WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 ||

Оно, очевидно, каноническое. В новых переменных гамильтониДля гамильтоновых систем предположения теоремы 4 осоан (3.1) принимает вид (dim ) бенно наглядны в двух крайних случаях: k = и k = 1.

1(P 1(P 2 H = + Q2) + + 2Q2), 2 =1 +2.

1 1 2 Первый из них, по существу, относится ко вполне интегрируемым 2 гамильтоновым системам: если n =2k, то k независимых первых Эта гамильтонова система допускает два независимых первых ининтегралов должны еще находиться в инволюции. Тогда каждая теграла компактная связная компонента их совместного уровня будет k– 2 P1 + Q2 и P2 + 2Q2, (3.14) 1 мерным тором, заполненным условно– периодическими траектокоторые являются линейными комбинациями первых интеграриями. Если эта система еще не вырождена, то почти все инвалов (3.1) и (3.4). Если функции (3.14) приравнять C1 и C2 сориантные торы будут нерезонансными и гамильтонова система на ответственно, то при ненулевых C1 и C2 полученные уравнения таких торах, очевидно, эргодическая. Единственное содержательвысекут в R4 связный двумерный тор. Таким образом, условие (b) ное условие — это условие связности.

теоремы 4 выполнено.

Если k = 1, то предположения теоремы 4 сводятся к двум Рассмотрим подстановку S, когда пары канонических переусловиям: связность энергетических (2n - 1)-мерных уровней и менных p1, q1 и p2, q2 меняются местами. Первые интегралы (3.1) эргодичность гамильтоновой системы на этих уровнях. Этот слуи (3.4) не меняются при такой подстановке (это условие (a)). Почай имеет существенное значение для статистической модели терскольку иррационально, то рассматриваемая гамильтонова симостата (§14).

стема будет эргодической на двумерных инвариантных торах 7. Покажем теперь, как из теоремы 4 можно вывести тео- 2 {H = c1, F = c2} = {P1 + Q2 = C1, P2 + 2Q2 = C2}, 1 рему 1 в типичном случае, когда частота = 1+2 иррациc2 cC1 =, C2 =2c1 -.

ональна. Для этого перейдем от канонических переменных pj, qj 2 52 В. В. КОЗЛОВ §4. ТОНКАЯ И ГРУБАЯ ЭНТРОПИИ Это условие (c). Таким образом, все условия теоремы 4 выполне- § 4. Тонкая и грубая энтропии ны, и поэтому средние 1. Постоянство средней энергии (1.6) гамильтоновой си1 2 (p2 + q1)d2pd2q и (p2 + q2)d2pd2q 1 стемы соответствует интуитивному представлению о неизмен2 R4 Rности температуры изолированной системы. Наоборот, постоянсовпадают (по формуле (3.13)).

ство энтропии (1.5) воспринимается многими как «печальный» Аналогичное рассуждение позволяет вывести теорему 2 из факт: вместо того чтобы возрастать, она не меняется со временем.

теоремы 4 при дополнительном предположении о рациональной В связи с этим ряд авторов пропагандируют точку зрения, что ин несоизмеримости частот j = 1+j (j = 1,..., n). Однако теграл (1.5) вообще не имеет отношения к термодинамической теорема 2 справедлива при более слабом предположении, что среэнтропии. Но это, конечно, не так. Во-первых, для канонического ди частот нет равных.

распределения Гиббса Замечание. Не следует думать, что все интегралы гамильтоH новой системы с S-инвариантным гамильтонианом S-инвариантkT e = H ны. Например, при = 0 система с гамильтонианом (3.1) до kT e dµ пускает интеграл момента p1q2 - p2q1, который меняет знак при перестановке частиц.

интеграл (1.5) как раз совпадает с энтропией из термодинамики.

Во-вторых, согласно (1.17), разность S-S0, как правило, положительна и в ряде важных случаев она совпадает с предсказаниями феноменологической термодинамики (см. по этому поводу [6,10]).

2. Выход из этого затруднительного положения предложил сам Гиббс. Согласно Гиббсу, тонкую энтропию математиков (1.5) следует заменить грубой энтропией физиков (термин Пуанкаре из [2]). Напомним определение грубой энтропии.

Пусть {j}, j J, — разбиение фазового пространства на 54 В. В. КОЗЛОВ §4. ТОНКАЯ И ГРУБАЯ ЭНТРОПИИ измеримые подмножества: случае дискретного распределения вероятностей. Если µ() <, то она принимает максимальное значение, когда все j равны j = µ(j), 0 <µ(j) <, j J.

между собой.

Как установил Гиббс и Пуанкаре, тонкая энтропия всегда не Множество индексов J предполагается конечным или счетным.

превосходит грубую энтропию. Это — следствие неравенства выПоложим пуклости. В п. 1 работы [2] утверждается, что (в отличие от груj = dµ (4.1) j бой энтропии) тонкая энтропия всегда конечна. Это на самом деле j не так. Пусть =R, и рассмотрим новую плотность : R такую, что c (x), c =const > 0(4.2) = j, j J.

j |x| ln2 |x| Будем называть грубой плотностью, а при больших |x|. Интеграл S = - dµ ln dx — грубой энтропией. Ясно, что абсолютно сходится, а S = - jj ln j = - j ln j + j ln j, jJ jJ jJ - ln dx =.

где j = jj = dµ, j =1.

В работе Пуанкаре [2] (фактически со ссылкой на Гиббса) jJ j утверждается, что В частности, если все j равны друг другу, то (A) при измельчении разбиения грубая энтропия сколь угодно точно аппроксимирует тонкую, S = - j ln j +ln, = j (j J).

(B) грубая энтропия все время увеличивается, по крайней меТак что грубая энтропия с точностью до аддитивной постоянной ре если дать режиму время установиться (Пуанкаре пишет об (зависящей только от ) совпадает с информационной энтропией в этом как о хорошо известном факте).

56 В. В. КОЗЛОВ §4. ТОНКАЯ И ГРУБАЯ ЭНТРОПИИ Эти утверждения повторялись многими авторами как само Можно показать, что для любого целого K>0 (в том числе собой разумеющиеся (см., например, [13, 20]). Однако, как пока- и сколь угодно большого) грубая энтропия равна +.

зано в работе [19], оба эти высказывания неверны. Этот пример показывает также, что в случае µ() = груК сожалению, если µ() =, то, вообще говоря, грубая эн- бая плотность, вообще говоря, не стремится к тонкой (в норме тропия не аппроксимирует тонкую, даже если диаметр разбиения L1(, dµ)) при неограниченном уменьшении диаметра разбиения.

(а не только его мера) как угодно мал. Это показывает Более того, грубая плотность не стремится к тонкой даже в смысПример. Пусть =R, а мера dµ — это обычная мера Лебега ле слабой сходимости.

на прямой. Пусть {an}, n N, — последовательность такая, что Теорема 1. Предположим, что компактно, L1(, dµ) и тонкая энтропия конечна. Если 0 an < 1, an =1, an ln an = -.

n=1 n=sup (diam j) 0, (4.3) jJ В качестве примера можно взять то грубая энтропия стремится к тонкой энтропии.

c, 0 < 1, n ln1+ n Эта аппроксимационная теорема установлена в [19]. В (4.3) с подходящим значением c (ср. с формулой (4.2)).

диаметр областей разбиения вычисляется в любой фиксированной Рассмотрим вероятностную меру с плотностью римановой метрике на. Условие (4.3) существенно: если только потребовать, что µ(j) 0, то заключение (A) также неверно.

1, если x [n, n + an] для n N, (x) = Таким образом, теорема 1 не является утверждением только из 0 для остальных x.

теории меры и интеграла.

Тонкая энтропия такой меры, очевидно, равна нулю (мы приниПусть снова компактно и L1. Тогда при неограниченмаем, что x ln x равно нулю при x = 0 по непрерывности). Для ном уменьшении диаметра разбиения {j} грубая плотность с любого целого K>0 рассмотрим разбиение любой наперед заданной точностью аппроксимирует в метрике j j +j = x R : x<, j Z. пространства L1(, dµ). Это утверждение — несложный факт по k K сравнению с теоремой 1. В частности, при условии (4.3) грубая Диаметр разбиения {j} равен.

плотность слабо сходится к тонкой плотности. Последнее свойK 58 В. В. КОЗЛОВ §4. ТОНКАЯ И ГРУБАЯ ЭНТРОПИИ ство представляется существенным при переходе от микро- к мак- лучшем случае указанием на правдоподобность этой «теоремы» роописанию (т. е. к исследованию эволюции средних значений (М. Кац [21], гл. III).

динамических величин).

Тем не менее справедлива следующая общая Фазовое пространство гамильтоновых систем некомпактно.

Теорема 2. Пусть гамильтонова система квазиоднородная, Однако можно изучать статистические свойства гамильтоновых начальная плотность — функция из Lp(, dµ), 1 p. Тогда систем в инвариантных областях пределы {(x, y) : c1 H(x, y) c2}, lim t и lim t (4.4) t+ tкоторые уже могут быть компактными.

существуют (в смысле слабой Lp-сходимости) и совпадают.

3. Формула (4.1) задает грубую плотность t в каждый мо Сделаем несколько замечаний. Теорема 2 установлена в [19].

мент времени (при фиксированном разбиении {j}). Грубая энОна справедлива для более общего класса динамических систем тропия (не обязательно гамильтоновых ) со слоистыми потоками. Как St = - t ln tdµ, заметил сам Гиббс, для линейных гамильтоновых систем грубая плотность t осциллирует и вообще не имеет обычного предела в отличие от тонкой, уже зависит от времени.

при неограниченном возрастании времени. Однако если в (4.4) Заключение (B), восходящее к Гиббсу ( [3], гл. XII), в общем обычную сходимость заменить сходимостью по Чезаро, то теореслучае также несправедливо. Это будет показано в § 5.

ма 2 окажется справедливой для динамических систем общего виГиббс пытался доказать ( [3], гл. XII), что в типичном случае да. С другой стороны, предположение Гиббса заведомо справедгрубая плотность t сходится при t к некоторой функции, ливо для гамильтоновых систем с перемешиванием на изоэнерге зависящей лишь от полной энергии системы. «Пытаться доказать тических поверхностях. Это наблюдение принадлежит Н.С. Крыэто утверждение почти безнадежно; оно является более сильным, лову [13]. Однако он не заметил важного обстоятельства: для сичем эргодическая теорема. Известные доводы самого Гиббса (ос- стем с перемешиванием слабые пределы грубой плотности t при нованные на аналогиях с перемешиванием жидкостей), даже если t + и t -совпадают. Такая статистическая симметрия отбросить содержащиеся в них существенные ошибки, служат в прошлого и будущего противоречит традиционным представлени60 В. В. КОЗЛОВ §4. ТОНКАЯ И ГРУБАЯ ЭНТРОПИИ ям об однонаправленности приближения изолированной системы Теорема 3 [19]. Пусть начальная плотность 0 : R — к состоянию теплового равновесия. функция из L1(, dµ) и {j} — разбиение. Если S0 < S, Идея доказательства теоремы 2 состоит в следующем. Пусть S = - ln dµ <, j — характеристическая функция измеримой области j. Тогда то при достаточно малых sup(diam j) справедливо неравенj = tjdµ j ство S0 < S. (4.6) (формула (4.1)). Поскольку t слабо сходится к при t, то (применяя общую теорему о слабой сходимости вероятностных 5. Характер возрастания грубой энтропии изучался в рабомер) те [22] для дискретных преобразований. В принципиальном плане 1 1 j tjdµ j jdµ = j dµ. (4.5) дискретный случай ничем не отличается от непрерывного: сече ние и отображение Пуанкаре сводят непрерывную задачу к дисСледовательно, t сходится к некоторой кусочно-постоянной кретной.

функции, значение которой в точках куска j определяется Итак, пусть (, dµ) — пространство с мерой, а g : правой частью предельного равенства (4.5).

— автоморфизм этого пространства, сохраняющий меру ЛиувилНесложно показать, что если уровни энергии квазиоднородля dµ. Плотность : R переносится преобразованиями ной гамильтоновой системы компактны, то {gn}, n Z в соответствии с формулой (1.4):

dµ =1.

n(x) =0(g-n(x)), x, Таким образом, в этом случае неотрицательная функция также где 0 — плотность распределения вероятностей в начальный мо задает вероятностную меру на. мент n =0. Все основные конструкции (вместе с их свойствами) автоматически переносятся на дискретный случай. В частности, 4. Чтобы указать достаточные условия возрастания грубой тонкая энтропия энтропии, снова рассмотрим квазиоднородную гамильтонову сиSn = - n ln ndµ стему, ограниченную на компактную инвариантную область ={(x, y) : h1 H(x, y) h2}, h1

62 В. В. КОЗЛОВ §4. ТОНКАЯ И ГРУБАЯ ЭНТРОПИИ Пусть теперь (, dµ) —это m-мерный тор где S — тонкая энтропия, |R| c3, c — некоторая постоянная, зависящая от плотности, ее первых и вторых производных, Tm = {x =(x1,..., xm) mod 1} = m2m — диаметр разбиения.

со стандартной евклидовой метрикой ·, · и стандартной мерой Как показано в [22], аналогичная оценка имеет место и при Лебега более общих способах огрубления плотности вероятностей.

dµ = dmx = dx1... dxm. Поскольку тонкая энтропия постоянна, то (согласно (4.8)) п оведение грубой энтропии при относительно небольших значениРассмотрим разбиение тора {j}, где ях n (когда 2I еще больше c3) определяется вторым слагаемым, j = {x Tm : x = x(j) + y, y }, т. е. интегралом (4.7). В теории Боголюбова этот промежуток вре мени соответствует времени начальной хаотизации. В ряде случа={x Tm : |xk| ; k =1,..., m}.

ев функцию Так что — это куб с ребром 2, а j — трансляции — кубы n I(n)(4.9) с центрами в точках x(j) Tm. Поскольку кубы j не должны можно

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 ||






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.