WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 | 2 || 4 |

периодическая по x1,..., xn), то 3. Конечно, в неавтономном случае не приходится надеятьt(x, y) =0(x - yt + h(t), y - g(t)), (2.8) ся, что распределение вероятностей с плотностью t стремится в каком-то естественном смысле к стационарному распределению. где (t) =f(t), g(0) = 0, а (t) =tf(t), п ричемh(0) = 0.

Однако и здесь можно указать аналоги некоторых утверждений из Предположим, что начальная плотность 0 принадлежит п.1. Lp(, dµ). Ввиду формулы (2.8), t Lp при всех t. Пусть 34 В. В. КОЗЛОВ §2. НЕАВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ — некоторая функция из Lq(, dµ). Тогда корректно определена Если f =0, то функция t K(t), как правило, осциллирует функция времени и вообще не имеет предела при t. Тем не менее справедлив некоторый аналог утверждения (2.9). Положим K(t) = tdnxdny.

t(x, y) =(y - g(t)), (2.11) Если f =0, то где определяется формулой (2.10).

lim K(t) = dnxdny, (2.9) t± Теорема 3.

где lim tdµ - tdµ =0. (2.12) t (y) = lim (x - yt, y)dt.

Для почти всех (x, y) Эта формула показывает, что при больших t плотность t естественно заменить «предельной» плотностью t: среднее (наи (y) = 0(x, y)dnx. (2.10) (2)n более вероятное) значение любой динамической величины :

Tn R практически не изменится. С другой стороны, задача пеФункция — слабый предел t при t. Это —статистический рехода от микро- к макроописанию как раз сводится к анализу вариант эргодической теоремы Вейля об усреднении, установленэволюции средних значений.

ный в [10]. В частности, пусть — характеристическая функция измеримой области DTn; будучи поднятой на все фазовое про- Следствие 1. Если не зависит от y, то странство, она принадлежит L(, dµ). Тогда доля систем ансамlim K(t) = t(y)(x)dnxdny = (x)dnx.

бля Гиббса, которые в момент времени t находятся в области D, t± (2)n Tn пропорциональна мере области D:

Здесь используется формула (2.12) и очевидное свойство mes D (y)(x)dnxdny =.

(2)n tdnxdny =1.

Это — обобщенная теорема Пуанкаре.

36 В. В. КОЗЛОВ §2. НЕАВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ В частности, если — характеристическая функция измери- уравнение (2.7) приводится к виду мой области DTn, то = y, =0.

mes D lim K(t) = (mes Tn =(2)n).

Это — уравнение (2.7), в котором f =0. Следовательно, согласно (2.9), t± mes Tn Этот факт отмечен в работе [15]. Там же сформулировано неверt(x, y )(x, y )dnx dny (y )(x, y )dnx dny.

ное утверждение о поведении функции K для функций и общего вида.

Однако это равенство, конечно, не совпадает с (2.12).

Следствие 2. Если f =0, то из (2.12) вытекает (2.9).

4. Рассмотрим еще внешне похожую x задачу о колебаниях шарика единичной Теорема 3 доказывается по той же схеме, что и равенмассы между двумя стенками 0 z a, ство (2.9). Ключевую роль играет лемма Римана– Лебега.

на который действует сила f(t). Нап риКак уже было сказано, мер, можно считать, что шарик заряжен St = - t ln tdµ =const.

и находится в переменном электрическом поле. На первый взгляд эта система отноПоложим z сится к типу (2.7) — внешнее возмущеa St = - t ln tdµ.

ние интегрируемой системы. Однако это не так, и задача сводится к анализу пара- Рис. 2. Двулистное на Очевидно, что St =const(=S).

крытие.

метрических возмущений.

Теорема 4.

Перейдем к двулистному накрытию St St, отрезка [0, a] окружностью T1 = {x mod 2}, вводя угловую z переменную по правилу: x =, когда z возрастает от 0 до a, причем если 0 существенно зависит от x, то это неравенство a z и x =2 -, когда z убывает от a до 0. Уравнения движения строгое.

a шарика принимают вид ЗАМЕЧАНИЕ. Подстановкой x = x - g(t)dt, y = y - g(t) = -f(t)V, (2.13) x 38 В. В. КОЗЛОВ §2. НЕАВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ x кокасательное расслоение M, а функция Гамильтона H = T + где V (x) = -x, когда 0 < x <, и V (x) = -, когда a a a + fV. Пусть t — плотность вероятностного распределения в фа < x < 2. Задача об эволюции вероятностной меры уравнезовом пространстве, переносимая потоком гамильтоновой систения (2.13) более сложна по сравнению с изучением системы (2.7).

мы, и 0 — данное Коши.

Она решается лишь при некоторых дополнительных условиях.

Пусть, например, f(t) =const. Тогда уравнение (2.13) проТеорема 5. Пусть 0dnxdny абсолютно непрерывна относто интегрируется и нетрудно доказать, что слабый предел плотсительно меры Лиувилля на, функция V имеет лишь невырожности вероятностной меры — функция от полной энергии + денные критические точки на M, функция t f(t) монотон + fV (x). Интегрируя по скорости, получаем плотность распрено возрастает с увеличением t и выполнено условие (2.14). Если деления в конфигурационном пространстве, которая уже не будет : M R — характеристическая функция измеримой области постоянной.

на M, не содержащей точек локального минимума V, то Предположим, что функция f(t) монотонно возрастает при t(x, y)(x)dnxdny t + и 3f ff. (2.14) при t +.

Используя метод работы [16], можно показать, что при t + Таким образом, предельное распределение ансамбля Гиббса все решения t x(t) уравнения (2.13) стремятся к точке мини на конфигурационном пространстве M будет сингулярным: эта мума потенциала V. Следовательно, в этих предположениях премера сосредоточена в конечном числе точек — локальных мидельная плотность распределения положений шарика на отрезке нимумов функции V. Отметим, что при стремлении системы к совпадает с дельта-функцией (z - a).

устойчивому равновесию импульсы y(t) будут неограниченными 5. Эти наблюдения можно обобщить. Пусть Mn = {x} — (в соответствии с теоремой Лиувилля о сохранении фазового объкомпактное конфигурационное пространство механической систеема гамильтоновых систем).

мы с n степенями свободы, T — кинетическая энергия — положительно определенная квадратичная форма по импульсам y = = (y1,..., yn), V : M R — гладкая функция, а произведение f(t)V — потенциальная энергия. Фазовое пространство — 40 В. В. КОЗЛОВ §3. РАВНОРАСПРЕДЕЛЕННОСТЬ ЭНЕРГИИ ОСЦИЛЛЯТОРОВ § 3. Равнораспределенность энергии связанных ном осцилляторов 1(p 1(p 2 2 2 H = +q1)+ +q2)+ (q1 -q2)2, =const > 0. (3.1) 1 2 2 1. Задача о равнораспределенности энергии по степеням Мы считаем (для простоты записи), что частоты свободных колесвободы колебательной системы рассматривалась в классической баний этих осцилляторов равны единице. Характерное свойство работе Ферми, Паста и Улама [17]. Изучалась цепочка из N одитакой системы — наличие биений: частных решений, которые денаковых частиц, причем соседние частицы были соединены нелимонстрируют эффект перекачки энергии между осцилляторами.

нейными пружинами. Вопреки ожиданию, при N = 64 энергия Мы укажем статистический вариант этого явления.

системы не распределялась по различным модам колебаний, а саПусть 0 — начальная плотность распределения вероятностей ма система регулярно «почти» возвращалась к своему начальнов четырехмерном фазовом пространстве R4 = {q1, q2, p1, p2}. Буму состоянию. Впрочем, в таком поведении системы нет ничедем предполагать только, что 0 — это неотрицательная суммируго удивительного: по теореме Пуанкаре о возвращении, энергии емая функция и существует среднее значение полной энергии отдельных частиц как функции времени осциллируют и, конеч E = H0d2pd2q. (3.2) но, не стремятся (в обычном смысле) к определенным значениям Rпри неограниченном возрастании времени. Однако после усреднения по времени эти величины необратимо стремятся к своим Если в этой формуле 0 заменить решением уравнения Лиувилпредельным значениям (как это видно из рис. 9 статьи [19]), что ля с этим начальным условием, то полная энергия не изменится вполне согласуется с общими идеями из § 1. Оказывается, имеет(теорема 1 из §1).

ся класс линейных колебательных систем, для которых независимо Рассмотрим еще средние энергии отдельных осцилляторов:

от начальной плотности распределения вероятностей происходит Ej(t) = (p2 + qj )td2pd2q; j =1, 2. (3.3) j выравнивание средней энергии по степеням свободы.

R2. Рассмотрим два одинаковых осциллятора, связанных Ввиду ограниченности (3.2), эти интегралы существуют для всех между собой упругой пружиной (симпатические маятники). Это значений времени t. Однако, в отличие от полной энергии (3.2), — линейная гамильтонова система с квадратичным гамильтониа- они уже зависят от времени.

42 В. В. КОЗЛОВ §3. РАВНОРАСПРЕДЕЛЕННОСТЬ ЭНЕРГИИ ОСЦИЛЛЯТОРОВ Теорема 1. Пределы произведение плотностей двух нормальных распределений:

2 t (p2+q1) (p2+q2) 1 - 2kT1 2kTlim Ej(s)ds = Ej, j =1, 2, e e t t 0 =.

2kT1 2kTТаким образом, в начальный момент времени t = 0 состоясуществуют и равны между собой, причем при 0 E1 = ния двух осцилляторов считаются статистически независимыми и = E2 = E/2.

распределенными по закону Гиббса. В частности, T1 и T2 можно Таким образом, независимо от начальной плотности расинтерпретировать как абсолютные температуры этих колебательпределения средние энергии осцилляторов асимптотически (при ных систем с одной степенью свободы.

t ) совпадают. Подчеркнем тот момент, что при этом система Легко сосчитать, что средние энергии симпатических осцилсвязанных осцилляторов, конечно же, не является эргодической.

ляторов в начальный момент равны Более того, она вполне интегрируема: имеется дополнительный квадратичный интеграл kT1 и kT2 (3.5) соответственно, а средняя потенциальная энергия растянутой пруF =(p1 + p2)2 +(q1 + q2)2, (3.4) жины равна независимый от полной энергии H. Совпадение предельных средk(T1 + T2)/2. (3.6) них энергий осцилляторов можно трактовать как выравнивание Подсчет показывает, что при t ± температур подсистем при наличии сколь угодно малой связи.

k(T1 + T2) Скорость сходимости по Чезаро функций (3.3) убывает с умень2+4 + Ej(t) Ej = (j =1, 2) 4 1+шением. Подчеркнем, что выравнивание температур происходит (по Чезаро), а средняя энергия пружины стремится в том же смысбез какого-либо перехода к термодинамическому пределу. Доказале к тельство теоремы 1, основанное на простых вычислениях, можно k(T1 + T2) (1 + ) =.

найти в работе [18].

2 1+3. В качестве иллюстративного примера рассмотрим слу- Сумма E1 + E2 +, конечно, равна средней полной энергии чай, когда начальная плотность распределения вероятностей есть системы в начальный момент времени (сумма трех чисел (3.5) 44 В. В. КОЗЛОВ §3. РАВНОРАСПРЕДЕЛЕННОСТЬ ЭНЕРГИИ ОСЦИЛЛЯТОРОВ и (3.6)). Ясно, что при 0 Элементы соответствующей матрицы надо, конечно, поделить на нормировочный множитель 2k/2. Эти матрицы имеют следующий Ej kT, T =(T1 + T2)/2.

блочный вид:

Таким образом, при исчезающе малом взаимодействии температуA A, ра каждого осциллятора стремится к среднему арифметическому A -A их температур в начальный момент времени.

где A — предыдущая матрица из последовательности (3.7). Кстати Отношение сказать, все матрицы (3.7) симметричны.

2(2 + ) Пусть ||aij|| — ортогональная n n– матрица из списка (3.7).

= Ej 2 +4 +Поставим ей в соответствие гамильтонову систему с n степенями монотонно возрастает от 0 до 2, когда изменяется в интервасвободы и функцией Гамильтона ле [0, ). В частности, при асимптотически больших значениях 2 n n n 1 n коэффициента упругости средняя энергия двух осцилляторов равH = (p2 + qj ) + a1kqk +... + ankqk, j 2 2 j=1 k=1 k=на средней энергии упругой пружины. Интересно отметить, что (3.8) этот вывод справедлив вообще для любой начальной плотности где 1,..., n — неотрицательные вещественные числа.

распределения вероятностей.

Каков физический смысл этого гамильтониана Положим 4. Многомерное обобщение симпатических осцилляторов 1 =0, а 2,..., n будем считать малыми положительными чиссвязано со специальными вещественными ортогональными матлами. Тогда гамильтониан (3.8) можно представить в виде рицами, все элементы которых с точностью до знака равны между 1 собой. Такие матрицы имеются при n =2k, k 1. Они строятся H = (p2 + 2qj ) + ij(qi - qj)2, j 2 i

1 1 1 1 где частота и положительные коэффициенты ij выражаются 1 1 1 -1 1 -1 через 2,..., n. Таким образом, мы имеем n одинаковых линей,,... (3.7) 1 -1 1 1 -1 -1 ных осцилляторов, которые слабо взаимодействуют между собой.

1 -1 -1 1 При n =2 получаем классические симпатические маятники.

46 В. В. КОЗЛОВ §3. РАВНОРАСПРЕДЕЛЕННОСТЬ ЭНЕРГИИ ОСЦИЛЛЯТОРОВ Пусть 0 L1(R2n, dnpdnq) — начальная плотность распре- 5. Рассмотрим теперь некоторые геометрические и тополоделения вероятностей, причем гические идеи, которые позволят прояснить и обобщить теоремы 1 и 2. Вновь обратимся к системе (1.1) с инвариантной мерой dµ.

H0dnpdnq <. (3.9) Пусть S– диффеоморфизм фазового пространства, который R2n сохраняет инвариантную меру dµ и коммутирует с преобразоПоложим ваниями из фазового потока {gt}. Если f : R — измеримая функция, то через fS будем обозначать функцию z f(Sz). Если Ej(t) = (p2 + qj )tdnpdnq (1 j n), (3.10) j fS = f, то такую функцию будем называть S-инвариантной.

R2n Имеет место простая где t — решение уравнения Лиувилля с начальным условием 0.

Теорема 3 (принцип симметрии). Пусть начальная плотВвиду предположения (3.9) средние энергии Ej корректно опреность 0 распределения вероятностей S– инвариантна. Тогда делены при всех значениях времени.

средние значения Теорема 2. Если среди чисел 1,..., n нет равных и выпол- ftdµ и fStdµ (3.11) нено условие (3.10), то t совпадают при всех значениях t. В частности, fS = f.

lim Ej(s)ds t± t ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

существуют и равны между собой.

В первом интеграле (3.11) сделаем замену переменных Оказывается, линейные гамильтоновы системы с гамильтоz Sz. При этомf перейдет в fS, а мера dµ и функция t останианом (3.8) допускают частные решения типа биений, если чиснутся неизменными. Последнее вытекает из цепочки равенств ла t(Sz) =0(g-t(Sz)) = 0(S(g-t(z))) = 0(g-t(z)) = t(z).

1+1,..., 1+n Что и требовалось.

рационально несоизмеримы. Обсуждение этих вопросов содержится в [18]. В качестве простого примера рассмотрим систему с гамиль48 В. В. КОЗЛОВ §3. РАВНОРАСПРЕДЕЛЕННОСТЬ ЭНЕРГИИ ОСЦИЛЛЯТОРОВ тонианом Теорема 4. Пусть динамическая система (1.1) имеет k

(с) при почти всех c Rk динамическая система (1.1) эргоФункция (3.12) инвариантна относительно преобразований R2n, дична на Mc.

порождаемых перестановками пар канонических переменных.

Тогда биркгофовское среднее для любой начальной плотЭти преобразования, очевидно, сохраняют меру Лиувилля и комности 0 Lp(, dµ), p 1, будет S-инвариантной функцией мутируют с фазовым потоком гамильтоновой системы.

из Lp.

В теории цепочек Боголюбова обычно предполагается, что Следствие. Пусть выполнены условия теоремы 4 и f начальная плотность 0 не меняется при всех перестановках ко1 Lq(, dµ), + =1. Тогда ординат и импульсов отдельных частиц. Иногда это представляют p q как следствие принципа неразличимости частиц в классической fdµ = fSdµ. (3.13) механике. Однако формально — это дополнительное предположе ние. В этом случае, согласно теореме 3, средние значения полных энергий отдельных подсистем будут совпадать.

Это вытекает из предположения об S-инвариантности меры 6. Однако больший интерес представляет случай, когда на- Лиувилля, свойства S-инвариантности плотности (теорема 4) и чальная плотность 0 не является симметричной. Как и при каких формулы замены переменных в кратных интегралах.

условиях свойство симметрии приобретает плотность в состоя- Теорема 4 доказывается совсем просто. Так как первые интении статистического равновесия Преобразование S будем теперь гралы fj инвариантны относительно преобразования S, то тем определять как автоморфизм пространства с мерой (, dµ). же свойством обладают и поверхности Mc: если z Mc, то 50 В. В. КОЗЛОВ §3. РАВНОРАСПРЕДЕЛЕННОСТЬ ЭНЕРГИИ ОСЦИЛЛЯТОРОВ Sz Mc, и обратно. Далее, так как система (1.1) эргодична на к «нормальным» координатам Pj, Qj с помощью ортогонального почти всех Mc, то принимает одно и то же значение почти всю- преобразования ду на каждой связной компоненте Mc. Согласно топологическому q1 + q2 p1 + p2 q1 - q2 p1 - pQ1 =, P1 =, Q2 =, P2 =.

предположению (b), многообразия Mc связны. Следовательно, для 2 2 2 почти всех z имеем (Sz) =(z), что и требовалось.

Pages:     | 1 | 2 || 4 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.