WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 || 3 | 4 |

Будем говорить, что t слабо сходится к : R при Можно начать с вопроса о слабой сходимости вероятной меt, если ры dt = tdµ при t. Такой подход естественен с точки зреtdµ dµ (1.11) ния обоснования термодинамики — перехода к макроскопическо му описанию эволюции динамической системы, поскольку плот- для любой «пробной» функции. Слабый предел, если он суность вероятностной меры «существует» не сама по себе, а прояв- ществует, естественно считать плотностью распределения вероляется при вычислении средних значений (математических ожи- ятностей в предельном стационарном состоянии. Слабая сходиданий) динамических величин. Систематическое изложение этой мость вполне естественна в физических приложениях: пробным 18 В. В. КОЗЛОВ §1. АНСАМБЛИ ГИББСА И ТЕПЛОВОЕ РАВНОВЕСИЕ функциям соответствуют устройства (термометр, барометр и т.д.), мые функции на, то измеряющие средние (наиболее вероятные) величины.

lim t(x, )(x, )dxd = ()(x, )dxd, (1.13) Справедливо следующее утверждение: если 0 Lp и слаt± бый придел существует, то он совпадает с (1.8) [7]. Для p =2 это где утверждение установлено ранее в [8].

= (x, )dx. (1.14) 4. В связи с этими результатами возникает интересная и нетривиальная задача о существовании слабых пределов. Они суПоследняя формула, очевидно, согласуется с формулой (1.8).

ществуют не всегда. Например, для линейных гамильтоновых сиКак показано в [10], это утверждение справедливо в многостем интегралы (1.10), как правило, осциллируют и не имеют мерном случае, когда =Tn Rn и Lp, Lq(1 + =1).пределов при t ±. В работе [9] выделен класс нелинейных p q Утверждения (1.13) и (1.14) — это одна из форм эргодической систем (так называемые системы со слоистыми потоками), для теоремы для вполне интегрируемых систем, которая фактически которых слабые пределы вероятностных мер существуют.

появилась за 10 лет до классической работы Г. Вейля о равномерЭтому общему результату предшествовала теорема автора о ном распределении условно-периодических движений на многослабых пределах решений уравнения Лиувилля для невырожденмерных торах.

ных вполне интегрируемых систем [10]. Она является усилением Доказательство общей теоремы о слабой сходимости в сии обобщением утверждения Пуанкаре из п.п. 2—3 его работы [2].

стемах со слоистыми потоками связано с новой формой эргодичеПуанкаре рассмотрел простую интегрируемую систему на ской теоремы, установленной в [7]. Снова рассматривается динацилиндре =T1 R1 = {x mod 2, }:

мическая система (1.1) на гладком многообразии с инвариант =, =0. (1.12) ной мерой dµ, п ричем µ() <. Пусть h() — плотность некоторой вероятностной меры на R = {}: это неотрицательная Если (x, ) — начальная плотность распределения, то В связи с обсуждаемыми вопросами В. В. Веденяпин заметил:«Теорема о dt = (x - t, )dxd.

слабой сходимости (Пуанкаре—Козлова) и ее недоказанные (и несформулированные) обобщения дают свет в конце туннеля [11].» Одна из целей настоящей Пуанкаре доказал, что если и — непрерывно дифференцируе- работы — доформулировать соответствующие обобщения.

20 В. В. КОЗЛОВ §1. АНСАМБЛИ ГИББСА И ТЕПЛОВОЕ РАВНОВЕСИЕ функция из L1(R, d), п ричем Я не буду давать общее определение систем со слоисты ми потоками, а вместо этого укажу класс гамильтоновых сиh()d =1.

стем, который является полезным примером таких систем. Будем говорить, что гамильтонова система дифференциальных уравнеВот одна из эргодических теорем: если f1, f2 L2(, dµ), то ний (1.3) квазиоднородна, если она инвариантна относительно действия группы подобия lim h() f1(gt(x))f2(x)dµd = f1f2dµ, t t t, x x, y y, H H.

где f1 — биркгофовское среднее (1.8) функции f1.

Веса, и удовлетворяют при этом следующему условию: + В частности, пусть система (1.1) эргодическая (но не обяза+ +1=.

тельно с перемешиванием) и h — плотность нормального распреВот несколько конкретных примеров.

деления с дисперсией 2. Тогда при (a) Задача n гравитирующих тел. Здесь = -2, =, = 3 =.

t e f1(gt(x))f2(x)dxdt (b) Система с однородным потенциалом:

- H = yj + Vm(x), f1dµ f2dµ. (1.15) где m — степень однородности потенциальной энергии. Здесь µ() 2 m 2m Это соотношение показывает, что при неограниченном росте =, =, =.

m - 2 m - 2 m - дисперсии 2 функции f1(gt(x)) и f2(x) становятся в среднем стаСлучай m = -1 соответствует ньютоновскому потенциалу (притистически независимыми: интеграл от произведения равен промер (a)). Особый случай m =2 отвечает линейной системе, котоизведению интегралов.

рая не является квазиоднородной и для нее не справедлива теореЭти эргодические теоремы обсуждаются в [12]. Отметим, что ма о слабом пределе.

исторически эргодическая теория, по существу, выросла из стати(c) Движение по инерции:

стической механики в связи с попытками обосновать физические H = gij(x)yiyj.

идеи Больцмана о тепловом равновесии.

22 В. В. КОЗЛОВ §1. АНСАМБЛИ ГИББСА И ТЕПЛОВОЕ РАВНОВЕСИЕ Здесь =0, =1, =2. Если конфигурационное многообразие Более точно, при p = 1 надо дополнительно потребовать, M = {x} имеет непустую границу M, мы предполагаем, что чтобы µ() <. Это утверждение — простое следствие известотражение от M происходит по упругому закону. ных эргодических теорем и некоторых новых идей из работы [7].

Теорема 2 показывает, что определения статистического равноКстати сказать, система вида (1.12) весия (путем замены t стационарной функцией ) в соответ j = j, j =0, 1 j n, ствии с формулами (1.8) и (1.16) совпадают. Теперь мы имеем общее определение статистического равновесия, которое приметоже гамильтонова и квазиоднородная: здесь xj и j — сопряженнимо, в частности, и к вырожденным гамильтоновым системам.

ные канонические переменные, а гамильтониан равен Подчеркнем, что сходимость по Чазаро можно заменить лю бым другим линейным и регулярным методом суммирования, коH = j.

торый включает метод Чазаро (например, методом Абеля). ПоТак что это — частный случай систем из примера (c).

этому стремление системы к статистическому равновесию в соответствии с формулой (1.8) не следует понимать буквально, что 5. К сожалению, для линейных колебательных систем слаплотность t заменяется средним по интервалу [0, t] и затем время бая сходимость вероятностных мер не имеет места. Чтобы испраt устремляется к бесконечности. Вообще не имеет смысла гововить это положение и достичь большей общности, определение рить о скорости сходимости к тепловому равновесию: стабилизаслабой сходимости (1.11) надо слегка усилить, введя дополниция средних значений разных динамических величин происходит тельное усреднение по времени:

по-разному.

t Сделаем важное замечание. Как хорошо известно, если lim sdµ ds = dµ. (1.16) t t в (1.8) время устремить к + и к -, то эти пределы совпадут для почти всех x. Таким образом, состояния теплового Будем говорить, что t слабо сходится к по Чазаро, если равновесия гамильтоновых систем в прошлом и будущем совпадля любой пробной функции справедливо равенство (1.16).

дают. Это — проявление общего свойства обратимости уравнений Теорема 2. Если 0 Lp(p 1), то t всегда слабо сходит- классической механики по времени. Конечно, такое понимание ся по Чазаро к функции Lp, определяемой равенством (1.8). необратимого стремления системы к состоянию термодинамиче24 В. В. КОЗЛОВ §1. АНСАМБЛИ ГИББСА И ТЕПЛОВОЕ РАВНОВЕСИЕ ского равновесия не соответствует общепринятым представлениS ям, основанным на свойствах известного кинетического уравнения Больцмана. Однако надо иметь в виду, что при всех выводах этого уравнения делаются дополнительные предложения, несовместимые с обратимостью уравнений динамики.

t 6. Теперь обсудим вопрос о возрастании информационной энтропии изолированной системы после достижения теплового Рис. 1. График энтропии (статистического) равновесия. Положим состояний теплового равновесия системы (1.12) Пуанкаре факSt = - t ln tdµ и S = - ln dµ.

тически заменял (не оговаривая этого явно) начальную плот ность вероятности ее слабым пределом, вычисляемым по форЯсно, что S — это энтропия системы в тепловом равновесии.

муле (1.14).

С использованием формулы (1.8) и неравенств выпуклости Конечно, для гамильтоновых систем предельная плотность, легко доказать, что вообще говоря, не совпадает с плотностью канонического распреS0 S. (1.17) деления Гиббса Как правило, S0 < S. Функция St постоянна при всех конечных e-H, =const > 0.

значениях времени (теорема 1), а при t = ± она совершает e-Hdµ неотрицательный скачок S - S0, величина которого вполне согласуется с известными результатами феноменологической термоди- Параметр -1 обычно интерпретируется как kT, где k —п остояннамики (см. [6, 10]). ная Больцмана, а T — абсолютная температура. Но в этом нет ниДля системы (1.12) неравенство (1.17) установил Пуанкаре. чего неожиданного. Распределение Гиббса содержит температуру, С этим связана критика Н. С. Крылова [13] статьи Пуанкаре [2]. которая «разумным» образом может появиться лишь при рассмотН. С. Крылов отмечает, что неравенство (1.17) противоречит ре- рении взаимодействующих подсистем: только тогда появляется зультату п.1 статьи Пуанкаре о постоянстве информационной эн- возможность сравнить температуры разных систем. Статистичетропии St. На самом деле никакого противоречия здесь нет. Для ский вывод распределения Гиббса — это отдельная задача, тесно 26 В. В. КОЗЛОВ §1. АНСАМБЛИ ГИББСА И ТЕПЛОВОЕ РАВНОВЕСИЕ связанная с хаотизацией слабо взаимодействующих гамильтоно- Лагранжа вых систем (см. [6], гл.IV). Существенную роль в таком рассмот- I =4T - 2mV, рении играет идея термодинамического предела. Этот круг вопрогде I = gijxixj — «момент инерции» системы относительно сов мы обсудим ниже в §14. А сейчас лишь отметим, что для гаточки x =0.

мильтоновых систем с эргодическим поведением на изоэнергетиПусть теперь 0 — начальная плотность распределения вероческих поверхностях является плотностью микроскопического ятностей, причем распределения: оно зависит только от энергии. А это уже кое-что! E = (T + V )0dµ <. (1.18) 7. В заключение этого параграфа в качестве примера укажем статистический вариант теоремы Клаузиуса о вириале. С этой цеСледовательно, средняя полная энергия системы ограничена при лью рассмотрим гамильтонову систему с кинетической энергией всех значениях времени. Положим T = gijyiyj, gij =const Kt = Ttdµ, t = Vtdµ.

и однородной потенциальной энергией V : Rn R:

Теорема 3 [18]. Если энергетические многообразия комV (x) =mV (x) пактны и выполнено условие (1.18), то при m = для всех x Rn и > 0; число m — степень однородности.

mE 2E lim Kt = и lim t =. (1.19) Предположим, что энергетические многообразия {T + V = h} t± m +2 t± m +компактны (это заведомо так, если x = 0 — строгий локальный При m =2 эти равенства остаются справедливыми, если обычминимум потенциальной энергии). Тогда биркгофовские средние ную сходимость заменить сходимостью по Чезаро.

T и V кинетической и потенциальной энергии существуют для Подчеркнем, что равенства (1.19) не зависят от начальной всех начальных условий и плотности распределения 0. Для линейных колебательных сиmh 2h T =, V =.

стем (m =2) внутренняя энергия в итоге распределяется поровm +2 m +ну между средними значениями кинетической и потенциальной В этом заключается классическая теорема Клаузиуса, устаэнергии.

новленная еще в 1870 г. Она просто выводится из тождества 28 В. В. КОЗЛОВ §2. НЕАВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ § 2. Неавтономные системы уравнению Лиувилля +div(v) =0. (2.2) 1. В этом параграфе обсуждаются статистические свойства t неавтономных систем дифференциальных уравнений Решения этого уравнения порождают интегральный инвариант системы (2.1):

= v(z, t), (2.1) tdmz =const (2.3) z =(z1,..., zm) — точка фазового пространства, t —время.

gt(D) Важный класс составляют неавтономные гамильтоновы сидля любой измеримой области D. В частности, стемы. Изучение таких систем имеет существенное значение для I(t) = tdmz =const. (2.4) анализа неустановившихся процессов.

Будем предполагать, что все решения системы (2.1) опредеПриведем прямое доказательство этого утверждения. Мы булены на всей временной оси R = {t}. Это заведомо так, если дем использовать прием, который неоднократно встретится нам фазовое пространство компактно.

ниже (с тривиальными модификациями):

Потоком системы (2.1) назовем семейство преобразований {gt}, t R фазового пространства, которые обладают следующим I = dmz = - div (v)dmz =t характеристическим свойством: функция по формуле Гаусса– Остроградского. Точнее, последняя формула t gt(z) заведомо справедлива для замкнутого фазового пространства. Ес— решение уравнения (2.1) с начальным условием z при t = 0. ли же некомпактно, то необходимо потребовать, чтобы поток Если система (2.1) неавтономная, то преобразования, конечно, не векторного поля v «на бесконечности» (через бесконечно больобразуют группу. Однако они являются взаимно-однозначными шую сферу) обращался в нуль.

преобразованиями фазового пространства. Далее считаем, что 0 и интеграл (2.4) равен единице. ТоНашим исходным пунктом снова будет теория ансамблей гда мера tdmz будет вероятностной мерой, инвариантной отноГиббса: нестационарные распределения вероятностей с п лотно- сительно преобразований gt. Значение интеграла (2.3) есть веростями t(z) =(t, z), которые удовлетворяют фундаментальному ятность нахождения системы в области gt(D) в момент времениt.

30 В. В. КОЗЛОВ §2. НЕАВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ 2. Отметим два утверждения, которые обобщают соответ- последний интеграл равен нулю. Далее:

ствующие утверждения из §1.

vj - ln dmz = ln dmz = t zj Теорема 1. Если ft(z) — первый интеграл системы (2.1), то = - vj dmz = div vdmz.

t fttdmz =const.

В автономном случае равенство (2.5) неоднократно обсуждалось (см., например, [14]). Если div v = 0, то получаем заклюДействительно, произведение ftt удовлетворяет уравнению чение Гиббса– Пуанкаре, справедливое и в неавтономном случае.

Лиувилля, если ft — первый интеграл. После этого замечания слеВ частности, информационная энтропия неавтономной гамильтодует воспользоваться соотношением (2.4).

новой системы не меняется со временем.

Мы не предполагаем, что система (2.1) имеет стационарПусть div v = c = const. Тогда из (2.5) вытекает важная ную инвариантную меру. Введем информационную энтропию по формула:

обычной формуле St - S0 = ct.

В качестве примера рассмотрим гамильтонову систему с дисSt = - t ln tdmz.

сипацией:

H H Теорема 2.

j =, j = - - (t)yj; 1 j n. (2.6) yj xj t = t(div v)dmz. (2.5) Здесь H — функция Гамильтона (полная энергия), 0 —коэф фициент трения. Из (2.6) вытекает соотношение Действительно:

= - yj H.

yj t = - ln dmz - dmz.

t t Если H есть сумма кинетической T = gij(x)yiyj Ввиду уравнения Лиувилля и формулы Гаусса– Остроградского 32 В. В. КОЗЛОВ §2. НЕАВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ и потенциальной энергии V (x), то С этой целью рассмотрим неавтономную интегрируемую систему дифференциальных уравнений = -2T 0.

= y, = f(t), (2.7) Таким образом, полная энергия не возрастает.

где x =(x1,..., xn) — точки n- мерного тора Tn (xj mod 2 — С другой стороны, дивергенция правой части (2.6) равна, угловые координаты), y =(y1,..., yn) Rn, f =(f1,..., fn) — очевидно, -n. Следовательно, формула (2.5) дает нам соотнозаданная вектор-функция времени. Фазовое пространство есть шение прямое произведение Tn Rn.

t = -n(t) 0.

Уравнение (2.7) описывает движение механической систеОткуда энтропия как функция времени находится простым интемы с конфигурационным пространством Tn = {x}, кинетической (y, y) грированием. Вопреки распространенному ожиданию, в изолироэнергией T = и находящейся под действием внешней сиванной системе с диссипацией энергии энтропия не возрастает, лы f. Поток этой неавтономной системы сохраняет стандартную а наоборот, убывает.

меру Лиувилля dµ = dnxdny. При f =0 получаем невырожденЗаметим еще, что дивергенция линейного векторного поля ную вполне интегрируемую систему вида (1.12), причем коордипостоянна: div (Ax) = tr A. В связи с этим отметим следуюнаты x, y служат переменными действие-угол.

щие два утверждения. Если линейная система дифференциальных Подход Гиббса связан с анализом решений уравнения Лиуравнений = Ax допускает инвариантную меру с гладкой поувилля ложительной плотностью, то tr A = 0. Далее, если эта система +, y +, f =0.

t x y допускает первый интеграл в виде невырожденной квадратичной Оно легко решается: если 0(x, y) — начальная плотность (2формы, то также tr A =0.

Pages:     | 1 || 3 | 4 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.