WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 | 3 | 4 |
В. В. Козлов АНСАМБЛИ ГИББСА И НЕРАВНОВЕСНАЯ СТАТИСТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Москва Ижевск 2008 3 http://shop.rcd.ru УДК 531.19 http://ics.org.ru • физика Интернет-магазин • математика • биология • нефтегазовые http://shop.rcd.ru технологии Козлов В. В.

Ансамбли Гиббса и неравновесная статистическая механика. — Москва–Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Институт компьютерных исследований, 2008. — 204 с.

В рамках теории ансамблей Гиббса развивается последовательная неравновесная статистическая механика. В ее основе лежит идея слабых пределов решений уравнения Лиувилля при неограниченном возрастании времени. С ее помощью естественным образом решается задача о переходе к макроописанию, когда основное внимание сосредоточено на изучении эволюции средних значений (математических ожиданий) динамических величин. Этот подход отличается от традиционных подходов к проблеме необратимости, поскольку равновесные состояния динамических систем в прошлом и будущем совпадают. Результаты общего характера применяются к решению конкретных задач классической статистической механики.

Книга предназначена для математиков, механиков и физиков, интересующихся статистической механикой и вопросами обоснования термодинамики.

ISBN 978-5-93972-645-0 © В. В. Козлов, 2008 © НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2008 «Среди самых интересных проблем математической Оглавление физики особое место следует отвести проблемам, связанным с кинетической теорией газа.

Многое уже сделано для решения, но многое еще остается сделать. Эта теория представляет вечный параВведение........................... 5 докс. Мы имеем обратимость в предпосылках и необрати§ 1. Ансамбли Гиббса и теп ловое равновесие...... 11 мость в следствиях, и между ними — пропасть».

§ 2. Неавтономные системы................ 28 А. Пуанкаре «Настоящее и будущее математи§ 3. Равнораспределенность энергии связанных осцилческой физики.» ляторов......................... § 4. Тонкая и грубая энтроп ии............... § 5. Одномерный идеальный газ............. Введение § 6. Статистическая механика в конфигурационном пространстве........................ Статистическая механика — это механика, обогащенная ве§ 7. Бесстолкновительный газ в многогранниках.... роятностными представлениями. Основная задача неравновес§ 8. Статистическое равновесие в системах с медленно меняющимися п араметрами............. ной статистической механики — анализ механизма необратимо§ 9. Случай быстрых изменений............. го стремления системы к состоянию термодинамического равно§ 10. Некоторые неравенства для решений уравнения весия. Неравновесная статистическая механика была предметом Лиувилля........................ классических работ Больцмана и Гиббса. Предложенные ими под§ 11. Циклы Пуанкаре.................... ходы существенно отличаются друг от друга.

§ 12. Задача о п оршне.................... § 13. Термодинамика биллиардов и газ Больцмана–Гиббса Больцман исследовал статистические свойства системы стал§ 14. Статистические модели термостата......... кивающихся частиц в обычном трехмерном пространстве, вывел § 15. Обобщенное каноническое уравнение Власова... ставшее знаменитым кинетическое уравнение для плотности расЛитература.......................... пределения по скоростям и координатам (в µ-пространстве) и показал, что в общем случае решения этого уравнения стремятся 6ВВЕДЕНИЕ ВВЕДЕНИЕ при t + к распределению Максвелла. Возникающий при пути решения этой задачи не привели к ощутимым результатам.

таком подходе парадокс обратимости Лошмидта объясняется, в Одна из причин упирается в содержательные проблемы эргодичечастности, предположением Больцмана о статической независи- ской теории (некоторые из них не решены и по сей день), а друмости состояний частиц перед ударами. Если принять статисти- гая — в точное определение приближения системы к состоянию ческую независимость частиц после ударов, то эволюция сме- статистического (теплового) равновесия.

нит свое направление на обратное. По сути, метод Больцмана Вот один пример возникающих на этом пути трудностей. Как использует общую концепцию марковских случайных процессов, заметил сам Гиббс, статистическая энтропия где направление эволюции («стрела времени») задано уже с са- t ln t dµ (0.1) мого начала. Это замечание особенно отчетливо проявляется при анализе упрощенных моделей (урновая модель Эренфестов, кру(здесь t — плотность распределения — решение уравнения Лиговая модель Каца). Любопытно отметить, что задолго до работ увилля, dµ — инвариантная мера), вопреки ожиданию, не меняТ. и П. Эренфестов сам А. А. Марков подробно изучал урновые ется со временем. Поэтому Гиббс предложил заменить ее грумодели как пример дискретных марковских процессов.

бой («физической») энтропией, усреднив плотность t по ячейТаким образом, кинетическое уравнение Больцмана является кам фиксированного разбиения фазового пространства, и пытался приближенным, но в случае разряженных газов в определенных доказать, что грубая энтропия уже возрастает. Однако, несмотвременных диапазонах оно качественно верно описывает эволюря на плодотворность самой идеи, его попытка оказалась неудачцию системы. Это уравнение является общепринятой основой для ной: грубая энтропия возрастает не всегда (не говоря уже об отчисленного моделирования кинетики взаимодействующих частиц.

сутствии монотонного возрастания). Кстати сказать, эта проблеПодход Гиббса основан на изучении вероятностных распре- ма тесно связана с возможностью корректного определения энделений в фазовом пространстве системы взаимодействующих ча- тропии в произвольном неравновесном состоянии системы. Инстиц (-пространство). Изменением со временем этих распределе- теграл (0.1) часто называют информационной энтропией. Однако ний (ансамблей Гиббса) управляет обратимое уравнение Лиувил- надо иметь в виду, что роль этой величины в теории информации ля. Гиббс пытался доказать, что с течением времени любое такое была осознана позже К. Шенноном под влиянием идей Гиббса.

распределение стремится в каком-то смысле к микроканоническо- Современное понимание классической неравновесной статиму, когда плотность зависит только от энергии. Намеченные им стической механики основывается на теории цепочек Н. Н. Бо8ВВЕДЕНИЕ ВВЕДЕНИЕ голюбова (теория Боголюбова — Борна — Грина — Кирквуда — рию ансамблей Гиббса. Мы даем строгое определение статистичеИвона). Ее исходный пункт — уравнение Лиувилля для гамильто- ского равновесия динамической системы с инвариантной мерой, новой системы, описывающей динамику N взаимодействующих основанное на слабой сходимости вероятностных мер. Это позвочастиц (как в теории ансамблей Гиббса). После усреднения по ляет исследовать задачу о необратимом стремлении гамильтонокоординатам и скоростям группы частиц возникает цепочка за- вой системы к состоянию статистического равновесия, развивая и цепляющихся уравнений для s-частичных функций распределе- несколько модифицируя эргодическую теорему. Одна из конечных ния (1 s N). В конце концов для первой функции распреде- целей — установить закон распределения Максвелла для частиц ления (когда s =1) выводится уравнение больцмановского типа газа Больцмана — Гиббса, не прибегая к дополнительным предс однонаправленной эволюцией. Эта теория считается неоспори- положениям физического характера. Ансамбль Гиббса описывамой вершиной неравновесной статистической механики, однако и ет эволюцию бесстолкновительной сплошной среды в многомерк ней применимо высказывание Пуанкаре: сохраняется пропасть ном искривленном фазовом пространстве. Однако эти же методы между обратимостью в предпосылках и необратимостью в след- позволяют продвинуться в анализе стабилизации решений нелиствиях. Мост между обратимостью и необратимостью составляют нейного уравнения Власова, описывающего кинетику континуума дополнительные предположения, два из которых имеют ключевое взаимодействующих частиц.

значение. Во-первых, считается, что на кинетической стадии эвоНе следует думать, что предложенный подход лишь по форме люции функции распределения высших порядков зависят от вреотличается, скажем, от теории цепочек Боголюбова. Характерное мени только через функциональную зависимость от первой функотличие, например, состоит в том, что в нашем подходе система ции распределения, а во-вторых, что в отдаленном прошлом имел необратимо стремится к одному и тому же состоянию статистиместо «молекулярный хаос»: состояния отдельных частиц были ческого равновесия как при t +, так и п ри t -. Тем статистически независимыми. Эти гипотезы, конечно, не самосамым сохраняется обратимость в следствиях и снимается параочевидны и требуют дополнительного анализа. Согласно Пуанкадокс Лошмидта.

ре, в кинетической теории газа остается еще много темных мест, Основные моменты нового подхода изложены в книге авток которым нужно возвращаться и, безусловно, не один раз.

ра «Тепловое равновесие по Гиббсу и Пуанкаре» (2002 г.). ОдОсновная цель настоящей работы — развить последователь- нако здесь основной акцент делается на изучение неравновесноную статистическую механику, опираясь исключительно на тео- го случая. Кроме того, излагаются результаты совсем недавних 10 ВВЕДЕНИЕ исследований на эту тему. Наш текст, как правило, не содержит § 1. Ансамбли Гиббса и тепловое равновесие подробных доказательств. Однако все утверждения точно сфор1. В основе неравновесной статистической механики лежит мулированы и даны необходимые ссылки.

теория ансамблей Гиббса. Для приложений к термодинамике суАвтору много дало изучение статьи А. Пуанкаре «Замечания щественное значение имеют гамильтоновы системы. Однако, как о кинетической теории газов» (1906 г.). Хотя эта работа известна подчеркивал сам Гиббс, его подход применим к любым динами(достаточно упомянуть, что она переведена на русский язык), но ческим системам с инвариантной мерой.

не понята и поэтому не востребована. В статье Пуанкаре содерПусть = {x}(x = (x1,..., xm)) — фазовое пространство жатся новые идеи (зачастую не выделенные и не сформулировандинамической системы ные явно), осмысление и развитие которых могло бы привести к иному облику неравновесной статистической механики. Но этого, j = vj(x1,..., xm), 1 j m, (1.1) к сожалению, не произошло. Анализ причин и упущенных возt можностей — тема отдельного исследования. Нашу работу можно фазовый поток которой {gv} (или просто {gt}) сохраняет меру рассматривать также как расширенный комментарий замечатель- dµ = (x)dnx (dnx = dx1... dxm — «элемент объема»). Будем ной работы Анри Пуанкаре. считать сначала, что плотность этой меры — гладкая положиАвтор дружески благодарит С. В. Болотина, В. В. Веденяпина, тельная функция на. По теореме Мозера [1] две такие конечные И. В. Воловича, В. А. Зорича, О. Г. Смолянова и Д. В. Трещева за меры dµ1 = 1dnx и dµ2 = 2dnx эквивалентны (переводятся полезные обсуждения. друг в друга диффеоморфизмом ) тогда и только тогда, когда dµ1 = dµ2.

Можно считать, что локальные координаты x1,..., xm на выбраны таким образом, что (x) = const. В этих координатах дивергенция векторного поля v =(v1,..., vm) равна нулю:

vj =0. (1.2) xj 12 В. В. КОЗЛОВ §1. АНСАМБЛИ ГИББСА И ТЕПЛОВОЕ РАВНОВЕСИЕ Иногда координаты на можно задать в целом. Например, Если 0 — гладкая функция на фазовом пространстве, то форесли есть прямое произведение k-мерного тора и (m - k)- мула (1.4) показывает, что плотность t(x) гладко зависит от фамерного линейного пространства (=Tk Rm-k), то в качестве зовых переменных и времени и удовлетворяет дифференциальноглобальных координат можно взять k угловых и m - k линейных му уравнению Лиувилля. Однако формула (1.4) позволяет опрепеременных. делить негладкие (и даже разрывные) обобщенные решения уравДля гамильтоновых систем фазовое пространство обычно нения Лиувилля. Например, если 0 — суммируемая функция (из совпадает с T M — пространством кокасательного расслоения n- класса L1(, dµ)), то t L1 при всех значениях времени t.

мерного конфигурационного пространства M (при этом, конечно, Ансамбль Гиббса — это континуум одинаковых систем, расm =2n), уравнения (1.1) гамильтоновы пределенных в фазовом пространстве с плотностью вероятноH стей t. Этот ансамбль можно рассматривать как сплошную среду, i =, i = -H ; 1 i n, (1.3) yi xi состоящую из невзаимодействующих частиц.

с не зависящей от времени функцией Гамильтона H(x, y), а мера Ясно, что dµ — это инвариантная мера Лиувилля: dµ = dnxdny.

dt =1.

Согласно Гиббсу, на вводится, вообще говоря, нестацио нарная вероятностная мера Это означает, что пребывание системы в каком-то состоянии есть dt = t(x)dµ, достоверное событие.

которая переносится потоком {gt} («вморожена» в этот поток).

2. В дальнейшем важную роль играет простая Если dµ = dmx, то плотность = t(x)(= (x, t)) удовлетворяет уравнению Лиувилля Теорема 1. Пусть ft(x) — первый интеграл системы (1.1).

+div(v) =0.

Тогда t Ввиду условия (1.2) плотность — первый интеграл систеJ(t) = ftdµ =const.

мы (1.1). Следовательно:

t(x) =0(g-t(x)), (1.4) Это утверждение содержательно, если интеграл J конечен.

где 0 — значение плотности в начальный момент времени t =0. Укажем два следствия.

14 В. В. КОЗЛОВ §1. АНСАМБЛИ ГИББСА И ТЕПЛОВОЕ РАВНОВЕСИЕ Следствие 1. Если F — измеримая функция одного перемен- 3. Что такое тепловое (статистическое) равновесие в теоного, то рии ансамблей Гиббса и всегда ли система стремится к равновес F (t)dµ = const. ному состоянию Эти вопросы, конечно, имеют фундаментальное значение для статистической механики.

Именно в таком виде теорема 1 сформулирована у ПуанаБыло бы естественным считать, что предельное состоякре [2]. В частности, информационная энтропия (или энтропия ние теплового равновесия описывается стационарной плотностью Гиббса) распределения вероятностей St = - t ln tdµ (1.5) (x) = lim t(x). (1.7) t не зависит от времени. Этот важный факт был известен еще Гиббсу [3]. Однако, как заметил сам Гиббс ( [3], гл. XII), этот предел в обычном смысле почти никогда не существует: плотность t(x) Следствие 2. Если (1.1) — гамильтонова система, то средкак функция t осциллирует по теореме Пуанкаре о возвращении.

няя энергия Гиббс так и не сумел обойти это затруднение.

Htdµ (1.6) Между тем имеется естественный и простой выход. Можно не меняется со временем.

заменить обычную сходимость в (1.7) сходимостью в некотором Теорема 1 доказывается совсем просто. Согласно (1.4), более сильном смысле, например, сходимостью по Чезаро:

ft(x) =f0(g-t(x)).

(x) = lim t(x)dt. (1.8) Тогда J(t) = f0(g-t(x))dµ.

Существование этого предела вытекает из формулы (1.4) Рассмотрим диффеоморфизм x z, задаваемый формулой z = и известных результатов эргодической теории. Если начальная = g-t(x). Поскольку он сохраняет меру dµ, то плотность 0 — функция из L1(, dµ), то (x) существует для по J(t) = f0(z)dµ = J(0). чти всех x, также является суммируемой функцией, удовле творяет уравнению Лиувилля (точнее, инвариантна относительно 16 В. В. КОЗЛОВ §1. АНСАМБЛИ ГИББСА И ТЕПЛОВОЕ РАВНОВЕСИЕ преобразований gt) и (если µ() < ) точки зрения (в неявной форме использовавшейся Пуанкаре в его работе [2]) можно найти в книге [6].

dµ = 0dµ =1. (1.9) Пусть : R — динамическая величина, tdµ (1.10) Это — классическая теорема Биркгофа–Хинчина. Условие µ() < не выполняется для обычных гамильтоновых систем.

— ее среднее значение в момент времени t. Если t Lp (доОднако, соотношение (1.9) остается справедливым, если уровни статочно предположить, что 0 Lp), то для существования инэнергии теграла (1.10) следует считать, что Lq (1 + = 1). При p q {H(x, y = c)} p = 1 функцию надо предполагать существенно ограниченограничены в фазовом пространстве.

ной ( L). Например, пусть — характеристическая функАналогичный результат справедлив и в более общем случае, ция измеримой области конфигурационного пространства M когда 0 Lp(1 p ): п редел (1.8) имеет место для почти гамильтоновой системы; она тривиальным образом продолжается всех x и также принадлежит Lp. Это —известная теорема до измеримой функции =, определенной в фазовом про Аккоглу (см., например, [4, 5]).

странстве =T M, где : T M M — естественная проекция.

Таким образом, равенство (1.8) можно считать определениТогда интеграл (1.10) имеет смысл доли гамильтоновых систем из ем статистического равновесия. Такой подход может показатьансамбля Гиббса, которые в момент времени t находятся в облася чересчур формальным. К равенству (1.8) можно подойти пости.

другому.

Pages:     || 2 | 3 | 4 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.