WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 |
KINETICS КИНЕТИКА OF BIOLOGICAL БИОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ PROCESSES A. B. RUBIN..

‚ „‰‡‚ ‚ Main features of kinetics... ‚‡ of biological processes and methods of their investigation are consiХорошо известно, что биологические системы dered. Several examples обладают свойствами саморегуляции, то есть споand corresponding matheсобностью перестраиваться в зависимости от внешних воздействий так, чтобы сохранился оптимальmatical models of dynamic ный уровень их функционирования.

behavior of biological Существуют различные способы регуляции жизsystems are analyzed.

недеятельности клетки, которые можно условно отнести к генетическому, биохимическому и физиологическому уровням регуляции. В пределах каждого ‡‡‚‡fl из них действуют механизмы, в основе которых ле‚ · жит последовательность конкретных метаболичес ·„ ких процессов. Понять динамические свойства этих регуляторных механизмов можно лишь на основе ‚ ‰ общесистемного подхода, рассматривающего повеfl. ‡ дение каждого из элементов сложной системы как ‡ ‡‡- результат его взаимодействия с остальными элементами.

fl ‡‡ Одним из наиболее развитых подходов для ре‰ ‰‡„ шения этой проблемы в современной биофизике ‚‰fl ·„является математическое моделирование. В соответствующих кинетических моделях отражена дина.

мика изменения концентраций различных составных элементов биологической системы, которая определяется скоростями отдельных элементарных реакций.

В основе процессов обмена клетки со средой и внутреннего метаболизма лежит сложная сеть организованных определенным образом во времени и пространстве различных реакций. В результате этих процессов изменяются концентрации различных веществ, численность отдельных клеток, биомасса организмов, могут изменяться и другие величины, например величина трансмембранного потенциала в клетке. Изменения всех этих переменных величин во времени и составляют кинетику биологических процессов. Основные исходные предпосылки при описании кинетики в биологических системах в общем такие же, как и в химической кинетике.

Рассмотрим простейший пример замкнутой популяции клеток, в которой одновременно происходят процессы размножения и гибели и в избытке имеются питательные вещества. Возникает вопрос, как меняется численность клеток в такой системе со временем и может ли в ней в конце концов, ‹10, © ·.., установиться стационарное состояние, когда число Здесь Nmax – максимальная численность популяклеток меняться не будет. Это типичная кинетичес- ции, возможная в данных условиях. Кривая N = кая задача, которая решается с помощью обычных = N(t), описываемая этим уравнением, приведена дифференциальных уравнений. Пусть в некоторый на рис. 1. В начальный период роста, когда N Nmax, момент времени t концентрация клеток в среде со- кривая носит экспоненциальный характер. Затем ставит N. Скорость dN/dt изменения концентрации после точки перегиба наклон постепенно уменьшаклеток в среде складывается из скорости их размно- ется и кривая приближается к верхней асимптоте жения Vразмн и скорости гибели Vгиб: N = Nmax, то есть к максимально достижимому уровню в данных условиях.

dN = V – Vгиб.

------размн dt N В простом случае скорость размножения, то есть увеличение концентрации клеток в единицу вре- K мени, пропорциональна их численности в каждый момент:

Vразмн = k1N, где k1 – константа пропорциональности, зависящая от условий среды (температура, наличие питательных веществ и др.).

Аналогично t Vгиб = k2N, Рис. 1. Логистическая кривая. N – концентрация где k2 – константа пропорциональности, определяклеток в среде, K = Nmax – предельная концентрающая интенсивность процессов гибели клеток. Отция клеток сюда следует, что dN = k N – k2N = kN, Как видно, динамику биологических процессов ------- (1) dt можно описывать уравнениями, аналогичными уравнениям химической кинетики. Однако по сравгде k = k1 - k2.

нению с обычной химической кинетикой биологиРешив это уравнение, мы найдем, как меняется ческая кинетика характеризуется следующими осоконцентрация клеток в среде N = N(dt):

бенностями.

N = N0ekt, (2) 1. В качестве переменных выступают не только концентрации веществ, но и другие величины.

где N0 – концентрация клеток в начальный момент времени t = 0 наблюдения за системой.

2. Переменные изменяются не только во времеЛегко видеть, что в зависимости от состояния ни, но и в пространстве.

констант скоростей процессов гибели k2 и размно3. Биологическая система пространственно гежения k1 судьба этой популяции будет различной.

терогенна, и условия взаимодействия реагентов моЕсли k1 > k2, k > 0, то и в системе будет происходить гут быть различны в разных точках системы.

неограниченный рост числа клеток:

4. Существуют специальные механизмы самореN(t) при t ;

гуляции, действующие по принципу обратной связи.

если k1 < k2, то со временем популяция будет вымиОсновная задача в биофизике сложных систем рать:

состоит в том, чтобы получить характеристики различных динамических режимов и выяснить условия N(t) 0 при t, и значения параметров, при которых они реализуи только в частном случае при k1 = k2 число клеток ются в живой клетке.

будет оставаться постоянным:

N = N0.

Другим примером модели роста популяции в Рассмотрим простейшую открытую систему, в среде с ограниченным количеством питательных которой происходит обмен веществами “a” и “b” с веществ служит известное уравнение логистичес- окружающей средой и, кроме того, обратимая рекой кривой. Логистическое уравнение Ферхлюста акция первого порядка превращения a b. На имеет вид рис. 2 a, b – переменные концентрации внутри системы; А, В – постоянные концентрации этих же веNmax – N dN = k N ---------------------.



ществ во внешних резервуарах; k1, k+2, k- 2, k3 – кон------- (3) dt Nmax станты скоростей процессов.

.. На рис. 3 приведены несколько видов переходk1 k+2 kных кривых а(t) и b(t). Сходные по форме кривые A ab B наблюдались, например, в физиологических исслеk- дованиях скорости дыхания при различных начальных условиях. Эти случаи получили специальные названия, обозначенные на рис. 3. Даже из анализа Рис. 2. Открытая система – модель обменных простой системы (4) видно, что аналитические репроцессов в клетке (объяснения в тексте) шения имеют довольно громоздкий вид и зависят от большого числа параметров.

Несмотря на простоту, модель отражает основные черты обменных процессов в клетке. ПоступлеЯсно, что при большом числе переменных такие ние субстрата и выброс метаболитов во внешнюю решения не только трудно получить, но по ним уже среду задаются реакциями – А а, b В, а сложно выяснить зависимость кинетического повепроцессам клеточного метаболизма соответствует дения системы от параметров. Обратим внимание превращение а b. Например, для процесса дына то, что уравнения (4) содержат в правых частях хания на этапе А а происходит поступление только линейные члены, куда неизвестные переменглюкозы и кислорода, этап b В соответствует ные входят в первой степени. Однако в биологичесвыбросу СО2 и Н2О из клетки, а весь метаболических системах процессы, как правило, существенно кий дыхательный цикл трансформации молекулы нелинейны. Так, скорость простейшей бимолекуглюкозы представлен реакцией a b. Значения лярной реакции второго порядка описывается матеконстант скоростей носят, конечно, феноменологиматически в виде произведения концентраций реаческий обобщенный характер и не могут быть отнегентов, то есть в модели такой реакции правые сены к какой-то конкретной биохимической стадии.

части уравнений содержат нелинейные члены. В Однако и такая, до предела упрощенная, модель отэтом случае нахождение точных аналитических реражает основные черты совокупности метаболичесшений встречается с серьезными математическими ких реакций клетки как открытой системы.

трудностями и подчас вообще невозможно. ПоэтоУравнения кинетики для этой системы имеют му основной подход в современной кинетике и мавид тематическом моделировании биологических процессов заключается в отказе от нахождения точных da = k (A – a) + k–2b – k+2a = f (a, b), ----1 аналитических решений дифференциальных уравdt (4) нений. Идея состоит в получении качественных хаdb = k a – k–2b – k3(b – B) = f (a, b).

рактеристик динамического поведения системы:

----+2 dt устойчивые и неустойчивые стационарные состояния, переходы между ними, колебательные режиПоскольку в стационарном состоянии переменмы, качественная зависимость поведения системы ные (а, b) принимают постоянные значения, то, от критических значений параметров. Наиболее приравняв к нулю правые части (4):

важным свойством стационарного состояния явda = f (a, b) = 0, db = f (a, b) = 0, (5) ляется его устойчивость. Эта устойчивость опре----- ----- 1 dt dt деляется способностью системы самопроизвольно возвращаться в стационарное состояние после вненайдем стационарные значения a, b.

Величины a и b не зависят от начальных услоa вий, то есть от начальных значений а = а0 и b = b0 в момент времени t = 0, а определяются только величинами констант и концентраций веществ во внешних резервуарах А, В. Это означает, что, в каком бы начальном состоянии ни находилась система, в ней a в конце концов установится один стационарный режим, при котором а = a, b = b.

В этом состоит свойство эквифинальности стационарных состояний, которое присуще открытым системам и часто наблюдается при изучении биологических процессов. Хотя начальные условия не влияют на значения a и b, они тем не менее опре- t деляют конкретный характер кривых изменения а(t) и b(t) и кинетику перехода системы от начальной точки а = а0, b = b0 в момент t = 0 в стационарРис. 3. Переходные кривые a(t): 1 – овершут, ное состояние а = a, b = b при t. 2 – монотонная, 3 – ложный старт, ‹10, сения внешних возмущений, отклоняющих систему скорость превращения вещества во всей цепи реакот исходной стационарной точки. ций определяется наиболее медленной стадией (узким местом). Эта медленная стадия обладает самым Существует простой метод определения устойчибольшим характерным временем (самой малой сковости стационарного состояния, которым мы восростью) по сравнению со всеми характерными врепользуемся без доказательства при исследовании моменами других отдельных стадий. Общее время делей биологических процессов. Знак производной процесса практически совпадает с характерным правой части дифференциального кинетического временем этого узкого места. Самое медленное звеуравнения в стационарной точке указывает на харакно и является управляющим, поскольку воздейсттер устойчивости этого стационарного состояния.

вие именно на него, а не на более быстрые стадии В сложной системе могут протекать реакции может повлиять и на скорость протекания всего второго и более высоких порядков. Это соответстпроцесса. Таким образом, хотя сложные биологичевует тому, что наша система может обладать неские процессы и включают очень большое число сколькими стационарными состояниями.

промежуточных стадий, их динамические свойства определяются сравнительно небольшим числом от дельных наиболее медленных звеньев. Это и означает, что исследование можно проводить на модеНекоторые важные свойства стационарных солях, которые содержат существенно меньшее число стояний можно выявить изучая свойства правых уравнений. Наиболее медленным стадиям соответчастей дифференциальных уравнений (нахождение ствуют медленно меняющиеся, а быстрым стадиям – знака производной) и не прибегая к их точному анабыстро меняющиеся переменные величины. Это литическому решению. Однако такой подход дает имеет глубокий смысл. Если мы воздействуем кахорошие результаты при исследовании моделей, соким-то образом на такую систему (внесем в нее кастоящих из небольшого числа, чаще всего из двух, кое-то возмущение), то в ответ все переменные уравнений. Ясно, что, если мы хотим учесть все пеконцентрации взаимодействующих веществ начнут ременные концентрации промежуточных веществ, соответственно и изменяться. Однако это будет принимающих участие даже в простых биохимичепроисходить с существенно разными скоростями ских циклах, число уравнений в модели окажется для разных веществ.





весьма большим. Поэтому для успешного анализа необходимо будет провести редукцию числа урав- В устойчивой системе быстрые переменные бынений в исходной модели и сведение ее к модели, стро отклонятся, но зато и быстро вернутся затем к состоящей из небольшого числа уравнений, кото- своим первоначальным значениям. Наоборот, медрые тем не менее отражают наиболее важные дина- ленные переменные будут долго изменяться в ходе мические свойства системы. Это уменьшение числа переходных процессов, которые и определят динауравнений не может происходить произвольно, а мику изменений во всей системе. В реальных услоего осуществление должно подчиняться объектив- виях система испытывает внешние толчки, которые ным законам и правилам. В противном случае мы приводят к видимым изменениям медленных перерискуем потерять какие-либо существенные свой- менных, однако быстрые переменные будут в осства объекта, что не только обеднит нашу модель, новном пребывать около стационарных значений.

но и сделает ее вообще неадекватной моделируемой Тогда для быстрых переменных вместо дифференбиологической системе. циальных кинетических уравнений, описывающих их поведение во времени, можно записать простые Редукция числа уравнений основана на известалгебраические уравнения, определяющие их станом в биологии принципе узкого места, или принционарные значения. Таким путем осуществляется ципе разделения всех переменных в сложных систередукция числа дифференциальных уравнений полмах на быстрые и медленные. Посмотрим, в чем ной системы, которые теперь будут включать лишь состоит этот принцип. Гетерогенный характер оргамедленные переменные, зависящие от времени.

низации биологических систем проявляется как в структурном, так и в динамическом отношении. В одной и той же биологической системе роль Различные функциональные процессы, отдельные узкого места и медленной стадии могут выполнять метаболические циклы сильно отличаются друг от разные звенья цепи в зависимости от внешних услодруга по их характерным временам и скоростям. В виях. Рассмотрим, например, характер световой целостной биологической системе одновременно кривой фотосинтеза – зависимости скорости выпротекают быстрые процессы ферментативного ка- деления кислорода от интенсивности освещения I тализа ( 10- 1–106 с), физиологической адаптации (рис. 4). На участке ОА этой кривой при недостатке ( секунды и минуты), репродукции ( от несколь- света узким местом всего процесса фотосинтетичеких минут и больше). Даже в пределах одной от- ского выделения О2 являются начальные фотохидельной цепи взаимосвязанных реакций всегда мические стадии поглощения и трансформации имеются наиболее медленные и наиболее быстрые энергии света в пигментном аппарате. Отметим, что стадии. Это и является основой для осуществления сами эти процессы от температуры практически не принципа узкого места, согласно которому общая зависят. Именно поэтому при низких освещеннос.. vO2 удается успешно использовать качественные метоB ды исследования подобных систем. В процессе изA менения состояния системы во времени переменные x, y изменяются согласно уравнениям так, что каждому состоянию соответствует пара значений (x, y). Иными словами, измеряя в последовательные моменты времени t1, t2, …, tn значения переменных x, y, мы представляем состояние системы в виде соответствующих пар (x1, y1), (x2, y2), …, (xn, yn), которые являются координатами точек М1, М2, …, Мn, OI изображающих движение системы.

В каждый момент времени t изображающая точка Рис. 4. Зависимость скорости выделения кисло- будет двигаться в соответствии с системой уравнерода vO2 от интенсивности освещения I ний (6) и каждый раз принимать положение М(x, y) в зависимости от значений x(t), y(t). Совокупность этих точек называется фазовой траекторией.

тях общая скорость фотосинтеза или скорость выделения О2, как известно, очень мало изменяется с Характер фазовых траекторий отражает общие температурой в физиологическом диапазоне от +качественные черты поведения системы во времени до +30° C. На этом участке световой кривой роль или, как говорят, дает фазовый портрет системы.

быстрой переменной играют темновые процессы Нас будет интересовать фазовый портрет системы транспорта электронов, которые легко реагируют вблизи стационарной или особой точки с координа любые изменения условий освещения и соответ- натами x, y при P(x, y) = 0 и Q(x, y) = 0, когда x = x, ственно электронного потока от реакционных цент- y = y.

ров фотосинтетического аппарата при низких освеЯсно, что в окрестности устойчивой особой точщенностях.

Pages:     || 2 |










© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.