WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 6 |

Если f(x) при переходе через точку x0 меняет знак плюс на минус, то в точке x0 функция имеет максимум, в противном случае – минимум. Если при переходе через критическую точку производная не меняет знак, то экстремума нет.

Второе достаточное условие экстремума. Пусть функция f(x) име ет вторую производную в критической точке x0. Если f(x0) > 0 (< 0), то точка x0 является точкой минимума (максимума).

9.3. Исследование выпуклости функции. Функция y = f(x) назы вается выпуклой вверх (вниз) на интервале (a, b), если касательные к графику функции на этом интервале расположены выше (ниже) графика функции.

Достаточное условие выпуклости функции. Если функция дважды дифференцируема на этом отрезке и f(x) > 0, то функция является выпуклой вниз. Если f(x) < 0, то функция является выпуклой вверх.

Точки, в которых выпуклость переходит в вогнутость, или наоборот, назы ваются точками перегиба функции. При переходе через эти точки вторая произ водная f(x) меняет знак.

9.4. Асимптоты к графику функции. Прямая называется асимпто той к графику функции, если при стремлении к бесконечности расстояние от графика до прямой стремится к нулю.

Асимптоты бывают вертикальными, они показывают поведение функции в окрестности особой точки, когда y ±, и наклонными, дающими представ ление о поведении функции при x ±. Если a – особая точка, то уравнение вертикальной асимптоты x = a.

Кривая y = f(x) имеет наклонную асимптоту при x, уравнение кото рой y = kx + b, если существуют пределы:

f(x) lim = k и lim [f(x) - kx] = b.

x x x В случае k = 0 асимптота называется горизонтальной, ее уравнение y = b = = lim f(x).

x 9.5. План исследования функции и построения ее графика.

1. Область определения функции, ее особые точки, вертикальные асимптоты.

2. Исследование поведения функции при x. Наклонные (горизонталь ные) асимптоты.

3. Вид функции (четная/нечетная/общего вида). Периодичность.

4. f(x) = 0 нули функции, интервалы знакопостоянства.

5. f(x) = 0 точки экстремума, интервалы монотонности.

6. f(x) = 0 точки перегиба, интервалы выпуклости.

4x Пример 1. Исследовать функцию y = и построить её график.

x2 + 1. Область существования функции – вся числовая ось, то есть (-, ).

Следовательно, у этой кривой нет особых точек и вертикальных асимптот.

2. Найдем предел функции при x :

4x x lim = lim = = x x x2 + 1 1 + 1 + xСледовательно, y = 0 – горизонтальная асимптота.

4(-x) 4x 3. f(-x) = = - = -f(x). Значит, функция является нечетной (-x)2+1 x2+и ее график симметричен относительно начала координат.

4x 4. f(x) = = 0 x = 0 – нуль функции. Функция отрицательна при x2+x (-, 0) и положительна при x (0, ).

5. f(x) = -4(x -1) = 0 x2 - 1 = 0 x = ±1. У функции две критиче (x2+1)ские точки. При x (-, -1) (1, ) производная f(x) < 0, следовательно, на этих интервалах функция убывает. При x (-1, 1) f(x) > 0 функция воз растает. Точка x = -1 – это точка минимума функции, точка x = 1 – точка максимума.

8x(x2-3) 6. f(x) = = 0 x = 0илиx = ± 3. При x (infty, -sqrt3) (x2+1) (0, 3) вторая производная f(x) < 0, на этих интервалах функция выпукла вверх. На интервалах x (-sqrt3, 0) ( 3, ) f(x) > 0 и функция выпукла вниз.

Строим график функции, учитывая точки максимума и минимума, три точ ки перегиба и горизонтальную асимптоту:

y -- 0 1 x - 9.6. Задания к теме.

Исследовать функцию и построить ее график.

x3 1. y = x2 + 4x + 5, 2. y = 4x -, 3. y =, 3 1 + xx2 - 6x + 13 x4. y =, 5. y =, 6. y = x2e-x, x - 3 x2 - (x - 1)2 7. y = x3 + 6x2 + 9x, 8. y =, 9. y = xe-x /2.

x2 + § 10. Нахождение наибольших и наименьших значений величин.

1. Решеткой длиной 120м нужно огородить прилегающую к дому прямоуголь ную площадку наибольшей площади. Определить размеры прямоугольной площадки.

2. В треугольник с основанием a и высотой h вписан прямоугольник наиболь шей площади. Определите его площадь.

3. Из квадратного листа картона со стороной a вырезаются по углам одинако вые квадраты и из оставшейся части склеивается прямоугольная коробка.

Какова должна быть сторона вырезанного квадрата, чтобы объем коробки был наибольшим 4. Боковые стороны и меньшее основание трапеции равны 10см. При каком большем основании ее площадь будет наибольшей 5. Сечение тоннеля имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом.

Периметр сечения равен 18м. При каком радиусе полукруга площадь сече ния будет наибольшей 6. В полукруг радиуса R вписан прямоугольник наибольшей площади. Опре делите его размеры.

7. Из круга вырезан сектор, содержащий угол, а затем свертывается в конус.

При каком угле объем конуса будет наибольшим.

Ответы: 1. 30м х 60м. 2. ah/4. 3. a/6. 4. 20 см. 5. 2.5. 6. Smax = R+ R при высоте x =. 7. = 2.

§ 11. Неопределенный интеграл. Вычисление интегралов методами разложения и замены переменной.

Первообразной функции f(x) называется функция F (x), производная ко торой равна f(x), т.е. F (x) = f(x). Поскольку (F (x) + C) = f(x), где C – произвольная постоянная, у любой функции f(x) бесчисленное множество первообразных.

Множество всех первообразных одной функции называется неопределенным интегралом этой функции и обозначается f(x)dx, причем f(x) называется подынтегральной функцией, f(x)dx – подынтегральным выражением.

11.1. Таблица неопределенных интегралов.

xn+1 dx 1. xndx = + C (n = 1) 2. = ln |x| + C n + 1 x ax 3. exdx = ex + C 4. axdx = + C ln a 5. cos xdx = sin x + C 6. sin xdx = - cos x + C dx dx 7. = tg x + C 8. dx = - ctg x + C cos2 x sin2 x dx 1 x 9. = arctg + C x2 + a2 a a dx x 10. = arcsin + C a a2 - x x - a dx 11. = ln x + C x2 - a2 2a + a dx x 12. = ln + x2 ± a2 + C x2 ± aПриведенный список не исчерпывает все функции, которые можно проинте грировать. Существуют приемы, позволяющие проинтегрировать более сложные функции.

11.2. Интегрирование методом разложения. Некоторые интегралы можно представить в виде линейной комбинации табличных интегралов, поль зуясь свойством линейности интеграла:

Af(x) + Bg(x) dx = A f(x)dx + B g(x)dx.

x2-Пример 1. Вычислить dx. Представим подынтегральную дробь в xвиде разности двух дробей и интеграл от разности заменим на разность инте гралов:

x2 - 2 x2 dx = - dx = x-1dx - 2 x-3dx = x3 x3 xx-2 = ln x - 2 + C = ln x + + C.

-2 x dx Пример 2. Вычислить. Воспользуемся тождеством 1 = sin2 x cos2 x = cos2 x + sin2 x. Тогда получим:

dx cos2 x + sin2 x dx dx = dx = + = cos2 x sin2 x cos2 x sin2 x cos2 x sin2 x = - ctg x + tg x + C.

xПример 3. Вычислить dx. Мы не изменим подынтегральную функ x2+цию, если вычтем и прибавим в числителе единицу и разность x4-1 представим в виде (x2 - 1)(x2 + 1):

x4 x4 - 1 + 1 (x2 - 1)(x2 + 1) + dx = dx = dx = x2 + 1 x2 + 1 x2 + 1 dx = x2 - 1 + dx = x2dx - dx + = x2 + 1 x2 + x= - x + arctg x + C.

11.3. Интегрирование методом замены переменной. Пусть x = = (t). Тогда дифференциал dx = (t)dt и справедлива формула f(x)dx = f[(t)] · (t)dt.

Пример 4. Вычислить 4x - 1dx. Сделаем замену t = 4x - 1. Тогда dt = (4x - 1)dx = 4dx и dx = dt. Следовательно, 3 2 1 1 1 1 t (4x - 1) 4x - 1dx = t · dt = t dt = + C = + C.

4 4 4 dx Пример 5. Вычислить. В знаменателе выделим полный квадрат:

x2+2x+x2 +2x+2 = (x+1)2 +1 и сделаем замену t = x+1. При такой замене dt = dx.

Теперь dx dt = = arctg t + C = arctg(x + 1) + C.

x2 + 2x + 2 t2 + Пример 6. Найти e-x xdx. Сделаем замену t = -x2. Тогда dt = (-x2)dx = -2xdx и dx = dt/(-2x):

2 dt 1 1 1 e-x xdx = etx = - etdt = - et + C = - e-x + C.

-2x 2 2 Пример 7. Найти tg xdx. Сделаем замену t = cos x, тогда dt = = (cos x)dx = - sin xdx и sin xdx = -dt:

sin x dt tg xdx = dx = - = - ln |t| + C = - ln | cos x| + C.

cos x t 11.4. Задания к теме. Вычислить интегралы:

10x3 + 3 ( x - 1)1. dx, 2. dx, 3. cos2 xdx, x4 x dx 4. (2x + 3)100dx, 5., 6. ctg xdx, cos2 5x dx x2dx 7., 8., x(1 + ln x) 1 + x (x2 + 1)3 4x - 1 cos 2x 9. dx, 10. dx, 11. dx, xcos2 x sin2 x x cos x 12. 4x + 2dx, 13. sin(ax + b)dx, 14. dx, sin4 x e2xdx 15., 16. x x2 + 1dx.

1 - 3e2x 1 2 sin 2x x Ответы: 1. 10 ln x- +C. 2. x3/2-3x+6 x-ln x+C. 3. + +C.

x3 3 4 (2x+3)101 tg 5x (1+x3)2/4. +C. 5. +C. 6. ln sin x+C. 7. ln(1+ln x)+C. 8. +C. 9.

202 5 (4x+2)3/x3 3 +3x- + +C. 10. 3 x(x-1)+C. 11. - tg x-ctg x+C. 12. +C.

3 x 3x3 2x (x2+1)3/13. -cos(ax+b) + C. 14. - + C. 15. -ln(1-3e ) + C. 16. + C.

a 6 3 sin3 x § 12. Интегрирование по частям.

Этот метод основан на формуле uvdx = uv - vudx или, сокращенно, udv = uv - vdu.

По частям берутся интегралы следующих видов:

sin x ln x 1. Pn(x) dx, 2. Pn(x) dx, cos x arctg x u v ex arcsin x v u где Pn(x) = anxn + an-1xn-1... + a1x + a0 – многочлен.

Пример 1. Найти xexdx. Обозначим u = x, v = ex. Тогда u = 1 и v = exdx = ex. Применив формулу интегрирования по частям, получим xexdx = xex - exdx = ex(x - 1) + C.

Пример 2. Найти (ln x)2dx. В этом примере применим метод интегриро вания по частям дважды:

u = (ln x)2, u = 2 ln x ·, x (ln x)2dx = = v = 1, v = x = x(ln x)2 - 2 x ln x dx = x(ln x)2 - 2 ln xdx = x u = ln x, u = x = = x · (ln x)2 - 2 x ln x - x dx = x v = 1, v = x = x · (ln x)2 - 2x ln x + 2x + C.

12.1. Задания к теме.

Вычислить интегралы:

1. x ln(x - 1)dx, 2. x arctg xdx, 3. arctg 4x - 1dx, arcsin x 4. (x - 2) cos 2xdx, 5. (4 - 3x)e-3xdx, 6. dx, 1 - x 7. (2 + 3x)e2xdx, 8. (x + 3) sin xdx, 9. x2 ln xdx, 10. arcsin xdx.

(x2-1) ln(x-1) (x2+1) arctg x x2+2x x Ответы: 1. - +C. 2. -. 3. x arctg 4x - 12 4 2 (2x-4) sin 2x+cos 2x 4x-- + C. 4. + C. 5. (x - 1)e-3x + C. 6. 4 1 + x (6x+1)e2x x3(3 ln x-1) -2 1 - x arcsin x+C. 7. +C. 8. sin x-(x+3) cos x+C. 9. +C.

4 10. x arcsin x + 1 - x2 + C.

§ 13. Определенный интеграл. Вычисление площадей Определенным интегралом от функции f(x) по отрезку [a, b] называется b выражение вида f(x)dx. Здесь над и под знаком интеграла появляются концы a отрезка, по которому интегрируют, называемые пределами интегрирования.

13.1. Вычисление определенного интеграла. Для того, чтобы вы числить такой определенный интеграл, следует использовать любую первообраз ную F (x) функции f(x) в формуле Ньютона – Лейбница:

b b f(x)dx = F (x) = F (b) - F (a).

a a Таким образом, для вычисления определенного интеграла используется неопре деленный интеграл.

Пример 1. Вычислить x5dx. Мы знаем, что первообразной для функ xции x5 является функция. Поэтому x6 1 0 x5dx = = - =.

6 6 6 Вычисление первообразной, как мы уже убедились, часто бывает довольно дол гим процессом, где могут использоваться (и не один раз) методы замены пере менной и интегрирования по частям. Рассмотрим эти методы в процессе вычис ления определенного интеграла.

13.2. Метод замены переменной в определенном интеграле.

b Если сделать замену t = (x) в определенном интеграле f(x)dx, то необ a ходимо изменить пределы интегрирования в новом интеграле, где переменной интегрирования становится новая переменная t. Нужно в качестве нового нижне го предела интегрирования надо взять значение = (a), а в качестве верхнего предела – = (b).

/Пример 2. Вычислить (cos5 x+3 sin2 x cos x)dx. Вынесем cos x за скоб /ку и выразим оставшуюся в скобках функцию cos4 x через sin x: cos4 x = (1 - sin2 x)2. Получим:

/ (1 - sin2 x)2 + 3 sin2 x cos xdx.

/Нетрудно видеть, что удобно сделать замену: t = sin x. При этом dt = cos xdx и выражение под интегралом становится зависимым только от t. Теперь необходи мо изменить пределы интегрирования. Нижним пределом становится sin(/4) = = 2/2, а верхним пределом sin(/3) = 3/2. Поэтому / 3/(cos5 x + 3 sin2 x cos x)dx = [(1 - t2)2 + 3t2]dt = /2/ 3/ 3/t3 t5 109 3 73 = (1 + t2 + t4)dt = t + + = -.

3 5 160 2/ 2/13.3. Метод интегрирования по частям в определенном инте грале. Этот метод также можно применять в определенном интеграле, при этом необходимо расставить пределы интегрирования:

b b uvdx = uv|b - vudx.

a a a.

Пример 3.

u = arctg x, u = x2+x arctg xdx = = xv = x, v = 1 x2 1 x2 1 x2 + 1 - = arctg x - dx = - dx = 2 2 x2 + 1 8 2 x2 + 0 1 1 1 = - x - arctg x = - 1 - = -.

8 2 0 8 2 4 4 13.4. Вычисление площади области. Определенный интеграл при меняется при вычислении площадей областей. Пусть необходимо вычислить площадь области, расположенной между двумя кривыми y = f1(x) и y = f2(x) над отрезком [a, b]:

y f2(x) S f1(x) x a b Тогда b S = [f2(x) - f1(x)]dx.

a Пример 4. Вычислить площадь области, ограниченной кривыми y = x2 и y = 2 - x2.

Прежде всего найдем точки пересечения кривых: x2 = 2 - x2 x2 = = 1 x = ±1. Таким образом, пределами интегрирования будут числа a = -1, b = 1.

Вычислим теперь площадь по формуле. Кривая y = 2 - x2 над отрезком [-1, 1] находится выше кривой y = x2. Следовательно, 2 S = [(2 - x2) - x2]dx = 2x - x3 =.

3 --13.5. Задания к теме. Вычислить площадь области, расположенной между двумя кривыми:

1. y = 9 - x2 и y = 0.

2. y = 16 - x2 и y = 0.

3. y = (x - 2)3 и y = 4x - 8.

4. y = 4 - x2 и y = x2 - 2x.

Ответы: 1. 36. 2. 256/3. 3. 8. 4. 9.

§ 14. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Дифференциальным уравнением n-го порядка называется соотношение ви да F (x, y, y, y,..., y(n)) = 0. Решить дифференциальное уравнение – это значит, определить функцию y(x), удовлетворяющее этому соотношению.

Простейшее дифференциальное уравнение вида y(x) = f(x) имеет реше ние y(x) = f(x)dx. Это решение определяется с точностью до произвольного постоянного слагаемого. Решения более сложных дифференциальных уравне ний также находятся с точностью до произвольных постоянных (их число равно порядку уравнения).

Так же, как не любая функция может быть проинтегрирована, и представле на в виде элементарных функций, так и не любое дифференциальное уравнение имеет решение, выражающееся через элементарные функции. Мы рассмотрим лишь несколько простых классов дифференциальных уравнений, для которых можно найти аналитическое решение.

14.1. Дифференциальное уравнение первого порядка с разде ляющимися переменными. Такое уравнение имеет вид y = f(x)g(y). За dy пишем производную в виде отношения дифференциалов: = f(x) · g(y) и dx разнесем в разные части выражения, содержащие x и y. Мы получим равен dy ство двух дифференциалов: = f(x)dx. После интегрирования правой части g(y) по x, а левой – по y мы получим слева функцию, зависящую от y, а справа – dy функцию, зависящую от x, отличающихся на константу: = f(x)dx + C.

g(y) Зависимость между x и y, полученная при решении дифференциального уравнения, задает в плоскости xOy семейство кривых из-за присутствия про извольного параметра C. Для того, чтобы выбрать из этого множества един ственную кривую, задают начальное условие y(x0) = y0. Таким образом, из множества кривых выбирается единственная – проходящая через точку (x0, y0).

Задача нахождения решения дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальному условию, называется задачей Коши.

1-xПример 1. Найти решение уравнения yy = 1, удовлетворяющее 1-yусловию y(0) = 0.

Представим производную в уравнении в виде отношения дифференциалов и разделим переменные:

dy 1 - x· y · = dx 1 - yydy dx =.

1 - x1 - yПроинтегрируем обе части последнего соотношения по соответствующим пере менным и получим связь между функцией и аргументом:

- 1 - y2 = arcsin x + C.

Теперь нужно удовлетворить начальному условию y(0) = 0. Подставляя задан ные значения в полученное решение, получим -1 = 0 + C или C = -1. Следо вательно, из всех решений следует выбрать то, где константа C = -1, то есть, имеем соотношение - 1 - y2 = arcsin x - или, выразив y, получим y(x) = ± 2 arcsin x - arcsin2 x.

Пример 2. Найти решение дифференциального уравнения (1+ex)y = yex, удовлетворяющее условию y(0) = 2.

dy exdx =.

y 1 + ex Интегрируя обе части, получим ln y = ln(1 + ex) + ln C y = C(ex + 1).

Подставив в полученное решение уравнения значения x = 0 и y = 2, получим C = 1. Поэтому решением поставленной задачи Коши является y = ex + 1.

14.2. Задания к теме. Решить задачи Коши для дифференциальных уравнения при заданных начальных условиях:

1. yy(x2 - 1) = 1 + y2, y(0) = 0.

2. xy = -y(1 + ln y), y(1) = 1.

3. y(e2x + 5)y = -e2x, y(0) = -1.

4. yy 1 + x2 = -x 1 + y2, y(0) = 0.

5. y(e-x + 1)(y + 2) = -e-x, y(0) = 0.

6. yy(1 + cos x) = - sin x, y(0) = -1.

7. yy(x2 - 1) = 2 - y2, y(0) = 0.

8. y(e2x - 1)y2 = -e2x, y(0) = 2.

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 6 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.