WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 6 |

a| Единичные векторы i, j, k, направленные вдоль координатных осей x, y, z соответственно, называются ортами. Любой вектор в пространстве можно представить как линейную комбинацию ортов = ax + ay + az a i j k Числа ax, ay, az называются координатами вектора и любой вектор однозначно ими определяется = {ax, ay, az}.

a Если заданы координаты начала A(xa, ya, za) и конца B(xb, yb, zb) вектора, то координаты вектора находятся по формуле ax = xb - xa; ay = yb - ya; az = zb - za.

Связь длины вектора с координатами a = a2 + a2 + a2.

x y z a replacements b c c b b a a Сложение векторов происходит по правилу треугольника или параллело грамма (см. рис.). Если = + то c a b, cx = ax + bx, cy = ay + by, cz = az + bz.

Произведением вектора на число называется новый вектор длины a и a направленный одинаково ( > 0) или противоположно ( < 0). Если b = то a, bx = ax, by = ay, bz = az.

3.1. Задания к теме.

1. В прямоугольнике ABCD точка M – середина BC и N – середина CD.

- - - - - - - Выразить векторы AM, AN и MN через AB = и AD = b.

a - - 2. Даны векторы OA = и OB = b. Вектор OC = – медиана OAB.

a c Разложить аналитически и геометрически: 1) вектор по векторам и b, c a 2) вектор по векторам b и a c.

3. Дан правильный шестиугольник OABCDE со стороной OA = 3. Обо - - значив единичные векторы направлений OA, AB, BC через m, и p, n установить зависимость между ними (например, рассмотрением трапеции - - - - - - - - OABC). Выразить затем через m и векторы OB, BC, EO, OD, DA.

n - 4. Построить параллелограмм на векторах OA = i + j и OB = k - 3 и j определить его диагонали.

5. В точке A(2; 1; -1) приложена сила R = 7. Зная две координаты этой силы Rx = 2 и Ry = -3, определить координаты конца вектора R.

6. На плоскости xOy даны точки A(4; 2), B(2; 3), C(0; 5) и построены векторы - - OA = OB = b и OC = Разложить аналитически и геометрически a, c.

вектор по векторам b и a c.

7. Найти точку, удаленную на 5 единиц как от точки A(2; 1), так и от оси Oy.

8. Найти центр и радиус круга, описанного около треугольника с вершинами A(4; 3), B(-3; 2), C(1; -6).

9. В равнобедренной трапеции OABC угол BOA = 60, OB = BC = CA = - = 2, M и N – середины сторон BC и AC. Выразить векторы AC, OM, - - - - - ON и MN через m и – единичные векторы направлений OA и OB.

n 10. Даны точки A(2; 2; 0) и B(0; -2; 5). Построить вектор AB = Определить u.

его длину.

11. Даны три вершины параллелограмма A(1; -2; 3), B(3; 2; 1), C(6; 4; 4).

Найти его четвертую вершину D.

12. На оси ординат найти точку, одинаково удаленную от начала координат и от точки A(-2; 5).

Ответы: 1. = ( + 2. = 2 - 3. m + p = OB = 3( + m), c a b)/2. a c b. n, n - - - - - - BC = 3( - m), EO = 3(m - OD = 3(2 - m), DA = 6(m - 4.

n n), n n).

- OC = i- 2 + 3 OC = 6, AB = k - 4 - AB = 3 2. 5. Конец B(4; -2; 5) j k, j i, или B(4; -2; -7). 6. = 2 - 0.8 7. (5; 5), (5; -3). 8. (1; -1), R = 5. 9.

a b c.

- - - - - - AC = 2( - m), OM = 2 - m, ON = 3m + MN = 2m - 10. u = 3 5.

n n n, n.

11. D(4; 0; 6). 12. (0; 2; 9).

§ 4. Скалярное произведение векторов.

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произ ведению их длин, умноженное на косинус угла между ними: ( b) = ab cos.

a, Если известны координаты векторов, то ( b) = axbx + ayby + azbz.

a, Свойства скалярного произведения 1) ( b) = ( a) a, b, 2) ( b + = ( b) + ( c) a, c) a, a, 3) ( b) = ( = ( b) a, a, b) a, Вычисление длины вектора: a = ( a).

a, ( b) a, Вычисление угла между векторами: cos =.

ab 4.1. Задания к теме.

1. Определить угол между векторами = - + j и b = i - 2 + a i j k.

2. Определить углы ABC c вершинами A(2; -2; 3), B(1; 1; 1), C(0; 0; 5).

3. Из вершины квадрата проведены прямые, делящие противоположные сто роны пополам. Найти угол между этими прямыми.

4. Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векто рах = 2 + j и b = -2 + k.

a i j 5. Вычислить: 1) (m + если m и – единичные векторы с углом между n)2, n ними 30 2) ( - если a = 2 2, b = 4 и угол между и b равен 135.

a b)2, a 6. Даны компланарные векторы b и причем a = 3, b = 2, c = 5, ( b) = a, c, a, = 60 и ( = 60. Построить вектор = + b - и вычислить его b, u a c c) модуль.

7. Определить длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах = 2m + и b = m - 2 где m и – единичные векторы, угол между a n n, n которыми 60.

8. Определить угол между биссектрисами двух плоских углов правильного тет раэдра, проведенными из одной вершины.

9. На осях Ox, Oy, Oz отложить равные отрезки a = 4 и на них построить куб. Пусть M – центр верхней грани, а N – центр правой боковой грани - - куба. Определить векторы OM и ON и угол между ними.

10. Из вершины прямоугольника со сторонами 6 см и 4 см проведены прямые, делящие противоположные стороны пополам. Найти угол между ними.

11. Найти угол между векторами = 2m + 4 и b = m - где m и – a n n, n единичные векторы, образующие угол 120.

12. К вершине правильного тетраэдра с ребром a приложены три силы, изобра жаемые его вектор-ребрами. Определить величину равнодействующей этих сил. (Указание: искомая величина равна a (m + + p)2, где m, p – n n, единичные векторы данных сил.) Ответы: 1. 135. 2. B + C = 45. 3. arccos 0.8. 4. 90. 5. 1) 2 + 3, 2) - - 40. 6. 7. 7. 7 и 13. 8. 5/6. 9. OM = 2( + j + 2 ON = 2( + 2 + k), i k), i j 0. cos = 5/6. 10. cos =. 11. 120. 12. a 6.

§ 5. Уравнение прямой.

Общее уравнение прямой имеет вид Ax + By + C = 0.

При B = 0 прямая параллельна оси Oy и ее уравнение можно записать в виде x = a.

При B = 0 уравнение прямой записывается в виде, называемом уравнением прямой с угловым коэффициентом y = kx + b. Угловой коэффициент k равен тангенсу угла наклона прямой к оси Ox. Свободный коэффициент b – величина отрезка на оси Oy.

Уравнение прямой с заданным k и проходящей через A(xa, ya):

y - ya = k(x - xa).

Уравнение прямой, проходящей через точки A(xa, ya) и B(xb, yb):

y - ya x - xa =.

yb - ya xb - xa k2 - kВычисление угла между прямыми: tg =.

1 + k1kУсловие параллельности прямых: k1 = k2.

Условие перпендикулярности прямых: k1k2 = -1.

5.1. Задания к теме.

1. Написать уравнение прямой, пересекающей ось Oy в точке 3 и составляю щей с осью Ox угол 1) 45, 2) 60, 3) 135.

2. Написать уравнение прямой, проходящей через 1) начало координат и точку A(-2, 3), 2) точки B(-1, 3) и C(4, -2).

3. Построить прямую 2x - y = 0. Через точку A(-2, 5) провести прямую 1) параллельную к данной, 2) перпендикулярную к данной. Написать их уравнения.

x 4. Построить прямые и определить угол между ними: 1) y = 2x-3 и y = +1, 2) 3x - 4y = 6, 8x + 6y = 11.

5. В треугольнике с вершинами A(-2, 0), B(2, 6) и C(4, 2) проведены высота BD и медиана BE. Написать уравнения прямых AC, BD, BE.

6. Написать уравнения сторон ромба с диагоналями 10см и 6см, приняв боль шую диагональ за ось Ox и меньшую – за Oy.

7. Построить треугольник со сторонами, заданными уравнениями x + y = 4, y = 3x, x - 3y - 8 = 0. Найти вершины треугольника и углы при них.

Ответы: 1. y = x + 3, y = 3x + 3, y = 3 - x. 2. y = -1.5x. 3. y = 2x + 3 x++ 9, y = -0.5x + 4. 4. arctg, 90. 5. y =, y = 5x - 4, y = 3x - 12. 6.

4 y = ±3x ± 3. 7. = arctg, = = arctg 2.

5 § 6. Вычисление пределов Предел функции f(x) в точке x = a обозначается как lim f(x). В случае, xa когда функция f(x) непрерывна и определена в точке x = a, то lim f(x) = f(a).

xa Свойства пределов (если lim u и lim v существуют):

1. lim(u + v) = lim u + lim v.

2. lim(uv) = lim u · lim v.

u lim u 3. lim( ) =, lim v = 0.

v lim v Раскрытие неопределенностей – методы вычисления пределов функций, за данных формулами, которые в результате формальной подстановки в них пре дельных значений аргумента теряют смысл, то есть переходят в выражения типа:

,, {0 · }, { - }, 00, {1}, 0. В случае появления таких неопределенностей невозможно сразу сказать о том, существуют или нет иско мые пределы, не говоря уже о нахождении их значений, если они существуют.

6.1. Раскрытие неопределенностей типа. Для раскрытия та кой неопределенности обычно используется метод разложения на множители числителя и знаменателя с последующим сокращением одинаковых множите лей.

x2 - 3x + 2 Пример 1. Найти lim. Имеем неопределенность типа.

xx2 - 1 Разложим на множители числитель и знаменатель:

x2 - 3x + 2 0 (x - 1)(x - 2) lim = = lim = x1 x1 - 1)(x + 1) x2 - 1 0 (x x - 2 1 - 2 = lim = = -.

xx + 1 1 + 1 x Пример 2. Найти lim. Для разложения знаменателя на мно x1 + 3x - жители используем прием умножения обеих частей на сопряженное к знамена телю выражение:

x 0 x( 1 + 3x + 1) lim = = lim = x0 x1 + 3x - 1 ( 1 + 3x - 1)( 1 + 3x + 1) x( 1 + 3x + 1) 1 + 3x + 1 1 + 0 + 1 = lim = lim = = x0 x(1 + 3x - 1) 3 3 6.2. Раскрытие неопределенностей типа. Для раскрытия неопределенности этого типа обычно используется метод деления числителя и знаменателя на наивысшую степень переменной.

x - 3xПример 3. Найти lim. Имеем неопределенность типа. Наи x x2 + высшая степень числителя и знаменателя равна двум. Делим числитель и зна менатель на x2:

- 3 - x - 3x2 x lim = = lim = = -3.

x x x2 + 1 1 + 1 + x Здесь мы учли, что = 0:

(x - 1)Пример 4. Найти lim. Выделяем наивысшие степени числителя x x2 + и знаменателя:

2 1 x2 1 - 1 (x - 1)2 x x lim = = lim = lim = x x x 4 1 x2 + x 1 + 1 + x2 x x (1 - 0)2 = = =.

0 1 + Неопределенности остальных типов обычно сводят к неопределенностям ти па, путем алгебраических преобразований.

6.3. Задания к теме. Найти пределы:

x2 - 4x + 1 x - 3 tg x 1. lim, 2. lim, 3. lim, x x2 x3 - 2x + 3 sin 2x 2x + 1 x 3x - 1 x3 - 1 x - 6x 4. lim, 5. lim, 6. lim, x - 9 x2 + 5 3x + x x x 1 + x - 1 - x x - 7. lim, 8. lim, x0 x1 - x x 3x + 6 9 - x9. lim, 10. lim, x-2 xx3 + 3x - 5x2 - 3x + 2 3x + 11. lim, 12. lim.

x x 2x2 + 4x + 3x2 + 1 1 1 2 Ответы: 1.. 2.. 3.. 4. 0. 5.. 6. 2. 7. 1. 8.. 9.. 10. -12. 11.

5 2 2 3. 12. 3.

§ 7. Комплексные числа Мнимая единица – это число, квадрат которой равен -1:

i2 = -1 или i = -1.

Комплексные числа – расширение множества вещественных чисел. Любое комплексное число z может быть представлено как формальная сумма z = = x + iy, где i – мнимая единица, а x и y – вещественные числа, называемые действительной и мнимой частями соответственно: x = Re z, y = Im z.

Если для геометрической интерпретации вещественных чисел использова лась числовая прямая, то для интерпретации комплексных чисел используется плоскость, где по оси абсцисс откладывается действительная часть, а по оси ординат – мнимая.

y z = 5 + 3i 0 x -z = 5 - 3i Комплексно сопряженным числом к z = x+iy называется число z = x-iy.

Например, для числа z = 5 + 3i комплексно сопряженным будет z = 5 - 3i.

С комплексными числами тесно связана основная теорема алгебры, которая гласит, что алгебраическое уравнение порядка n zn + an-1zn-1 +... + a1z + a0 = с комплексными коэффициентами ak имеет ровно n комплексных корней: z1, z2,..., zn. Если все коэффициенты ak вещественные, корни уравнения будут либо чисто вещественные числа, либо пары комплексно сопряженных корней.

Пример 1. Решить квадратное уравнение x2 + 4x + 40 = 0. Вычисляем дискриминант D = 42 - 4 · 40 = -144. Так как D < 0 уравнение не имеет веще ственных корней, но из основной теоремы алгебры следует, что у квадратного уравнения есть два корня. Учитывая, что D = -144 = 144 · -1 = 12i, найдем -4 ± D -4 ± 12i x1,2 = = = -2 ± 6i.

2 Пример 2. Найти все корни уравнения x3 = 8. Из основной теоремы алгебры следует, что у данного уравнения должно быть три корня:

x3 = 8 x3 - 22 = 0 (x - 2)(x2 + 2x + 4) = 0.

Из условия обращения первой скобки в нуль находим первый корень: x1 = 2, из условия обращения в нуль второй скобки – два остальных:

x2 + 2x + 4 = 0 D = -12 D = 2 3i -2 - 2 3i x2 = = -1 - 3i, x3 = -1 + - 3i.

7.1. Задания к теме. Найти все корни уравнений:

1. x2 + 25 = 0, 2. x2 - 2x + 5 = 0, 3. x3 + 8 = 0, 4. x4 + 5x2 - 36 = 0, 5. x4 + 4x2 + 4 = 0, 6. x4 + 4 = 0, 7. x4 - 6x3 + 10x2 = 0, 8. x4 = 81, 9. x6 + 64 = 0.

Ответы: 1. ±5i. 2. 1 ± 2i. 3. -2, 1 ± 3. 4. ±2, ±3i. 5. ± 2i, ± 2i. 6.

±1 ± i. 7. 0, 0, 3 ± i. 8. ±3, ±3i. 9. ±2i, ± 3 ± i.

§ 8. Вычисление производных.

Производной функции f(x) называется функция, обозначаемая как f(x) равная пределу отношения f(x + x) - f(x) f(x) = lim xx 8.1. Таблица производных элементарных функций 1. (C) = 0 2. (xn) = nxn-1 3. (ln x) = 4. (loga x) = x x ln a 5. (ex) = ex 6. (ax) = ax ln a 7. (sin x) = cos x 8. (cos x) = - sin x 1 9. (tg x) = 10. (ctg x) = cos2 x sin2 x 1 11. (arcsin x) = 12. (arccos x) = 1 - x2 1 - x1 13. (arctg x) = 14. (arcctg x) = x2 + 1 x2 + 8.2. Правила вычисления производных. Для вычисления производ ных (или, другими словами, дифференцирования) применяются следующие пра вила:

1. (Cu) = Cu – вынесение постоянного множителя.

2. (u + v) = u + v – дифференцирование суммы.

3. (uv) = uv + uv – дифференцирования произведения.

u uv - uv 4. = – дифференцирование дроби.

v v5. Если y = f(u), а u = g(x)), то y(x) = f[g(x)] – сложная функция (функция от функции). Ее производная y = f(u) · g(x).

Пример 1. Найти производную функции y = 2x3 - 3 sin x +.

xИспользуем первое и второе правила дифференцирования:

1 y = 2x3 + (-3 sin x) + = 2(x3) - 3(sin x) + x- = x2 2 2 5 2 3 = 6x2 - 3 cos x - x(- -1) = 6x2 - 3 cos x - x- = 6x2 - 3 cos x -.

3 3 xcos x Пример 2. Найти производную функции y =.

xИспользуем правило дифференцирования дроби:

cos x (cos x)x2 cos x(x2) y = = = x2 (x2)(- sin x)x2 - (cos x)2x x sin x + 2 cos x = = -.

x4 xПример 3. Найти производную функции y = sin x2.

Здесь y(x) – сложная функция, где внешняя функция f(u) = sin u и внут ренняя u = g(x) = x2. По правилу дифференцирования сложной функции y = (sin(x2)) = (sin u) · (x2) = cos u · 2x = 2x cos x2.

u x Пример 4. Найти производную y = arctg x3e2x.

По правилу дифференцирования сложной функции вначале берем произ водную от внешней функции (arctg u):

y = arctg(x3e2x) = · x3e2x =...

1 + (x3e2x)Далее нам потребуется формула дифференцирования произведения:

... = · (x3)e2x + x3 e2x =...

1 + x6e4x Функция e2x также является сложной, поэтому 3x2e2x + x3e2x(2x) 3x2e2x + 2x3e2x (3 + 2x)x2e2x... = = =.

1 + x6e4x 1 + x6e4x 1 + x6e4x 8.3. Задания к теме. Найти производные функций:

1 1 3 1. y = + +. 2. y = 6 x - 4 x. 3. y = x2 cos x.

x x2 x cos x 4. y =. 5. y = x22x. 6. y = (1 - 5x)4. 7. y = 1 - x2.

x 8. y = cos 4x. 9. y = arcsin 1 - 4x.

1 + 2x 10. y = ln x + x + 1. 11. y = ln.

1 - 2x x a 12. y = x arctg - ln(x2 + a2).

a e2x + 13. y = arctg e2x + ln. 14. y = x arccos x - 1 - x2.

e2x - 4x + x 15. y = x2 1 - x2. 16. y =. 17. y = xe.

x 18. y =ln(e2x + e4x + 1). 19. y =arccos 1 - 2x + 2x - 4x2.

2 Ответы: 1. -x +2x+3. 2. -. 3. x(2 cos x - x sin x). 4. (2 cos x xx2 4 x x -x sin x)/x3. 5. 2x(2x+x2 ln x). 6. -20(1-5x)3. 7. -. 8. -2 tg 4x cos 4x.

1-x1 1 2 x 4e2x 9. -. 10.. 11.. 12. arctg. 13.. 14. arccos x. 15.

1-4x2 a 1-e8x x-4x2 2 x2+ x 2x x(2-3x2) 2(3x+1) e 1 2e. 16. -. 17. 1 +. 18.. 19. - 4.

2 x x 1-x2 x3 4x+1 e4x+§ 9. Исследование функций.

9.1. Исследование возрастания и убывания функции. Функция y = f(x) называется возрастающей (убывающей) на отрезке [a, b], если для любых x1 и x2 > x1 на этом отрезке f(x1) < f(x2) (f(x1) > f(x2)). Интервалы возрастания и убывания функции называются интервалами монотонности.

Достаточное условие возрастания(убывания) функции. Если функция дифференцируема на этом отрезке и f(x) > 0, то функция возрас тает. Если f(x) < 0, то функция убывает.

9.2. Нахождение точек экстремума функции. Точка x = x0 на зывается точкой максимума (минимума) для функции y = f(x), если f(x0) является наибольшим (наименьшим) значением функции в некоторой окрестно сти этой точки. Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а значения функции в этих точках – ее экстремумами.

Необходимым условием экстремума является равенство нулю или отсутствие первой производной функции в точке x0, т.е. f(x0) = 0 или не существует. Эти точки называются критическими.

Первым достаточным условием экстремума в точке x0 является смена знака у первой производной функции при переходе x через точку x0.

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 6 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.