WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 6 |
КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Институт математики и механики Кафедра общей математики Практические задания по высшей математике с применением программы Maxima для студентов, обучающихся по специальности “социология” Учебно-методическое пособие Казань – 2012 УДК 517(076) Печатается по решению Редакционно-издательского совета ФГАОУВПО Казанский (Приволжский) федеральный университет методической комиссии Института математики и механики Протокол № 1 от 4 октября 2012 г.

заседания кафедры общей математики Протокол № 9 от 24 мая 2012 г.

Рецензенты:

к.т.н., доц. КГАСУ Н.А.Иваньшин, д.ф.-м.н., проф КФУ Ш.Х.Зарипов Абзалилов Дамир Фаридович, Михаил Степанович Малакаев, Широкова Елена Александровна Практические задания по высшей математике с применением программы Maxima для студентов, обучающихся по специальности “социо логия”. Учебно-методическое пособие, Казань: КФУ, 2012 г. – 80 с.

Данное учебно-методическое пособие включает в себя сборник практиче ских заданий по высшей математике и краткий справочник команд системы компьютерной алгебры Maxima. Предназначено для студентов-социологов I кур са факультета журналистики и социологии КФУ.

© Казанский федеральный университет, 2012 © Абзалилов Д.Ф., Малакаев М.С., Широкова Е.А., 2012 Содержание I. Практические задания.................................... 5 §1. Вычисление определителей...................................... 5 §2. Решение систем линейных алгебраических уравнений............ 10 §3. Векторы на плоскости и в пространстве.......................... 15 §4. Скалярное произведение векторов................................ 17 §5. Уравнение прямой................................................ 19 §6. Вычисление пределов............................................ §7. Комплексные числа.............................................. §8. Вычисление производных........................................ §9. Исследование функций........................................... §10. Нахождение наибольших и наименьших значений величин........ §11. Неопределенный интеграл. Вычисление интегралов метода ми разложения и замены переменной............................. §12. Интегрирование по частям....................................... §13. Определенный интеграл. Вычисление площадей.................. §14. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. §15. Линейные однородные дифференциальные уравнения с по стоянными коэффициентами..................................... §16. Системы двух линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами...................... II. Работа в программе Maxima.............................. §17. Знакомство с программой Maxima............................... §18. Преобразование арифметических выражений.................... §19. Операции с матрицами.......................................... §20. Решение уравнений и систем уравнений.......................... §21. Построение графиков............................................ §22. Построение поверхностей........................................ §23. Вычисление пределов............................................ §24. Дифференцирование............................................. §25. Интегрирование.................................................. §26. Аналитическое решение дифференциальных уравнений и систем. §27. Численное решение дифференциальных уравнений и систем..... §28. Основные команды программы Maxima.......................... Литература................................................... Глава I.

Практические задания § 1. Вычисление определителей Матрица – это прямоугольная таблица чисел, состоящая из строк (элемен тов, расположенных по горизонтали) и столбцов (элементов, расположенных по вертикали). Размер матрицы, состоящей из m строк и n столбцов равен m n.

Матрица с одинаковым числом строк и столбцов называется квадратной матрицей. Главной диагональю квадратной матрицы называется диагональ, со единяющая левый верхний угол с правым нижним углом. Побочной диагональю определителя называется диагональ, соединяющая правый верхний угол с левым нижним углом. Пример квадратной матрицы n-го порядка:

a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n A =...

.

....

.

...

an1 an2 · · · ann Определитель (determinant) – это число, характеризующее квадратную мат рицу и вычисляемое по определенному правилу, через элементы этой матрицы.

Определитель матрицы A:

a a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n = det A = |A| =...

.

....

.

...

an1 an2 · · · ann Определитель второго порядка равен разности произведений элементов на главной и побочной диагоналях.

a11 a = = a11a22 - a12a a21 aДля определителя третьего порядка a a12 a a21 a22 a23 = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 = -a11a23a32 - a12a21a33 - a13a22a31.

a31 a32 aПравило вычисления определителя третьего порядка можно схематически представить как “правило треугольников”:

Для вычисления определителей третьего и более высоких порядков приме няется метод разложении по строке/столбцу.

У любого элемента определителя aij существует минор Mij – это определи тель, на порядок ниже исходного, полученный вычеркиванием строки и столбца, в которых стоит элемент aij. Например a11 a M32 = a21 aАлгебраическое дополнение Aij к элементу aij – это минор со знаком “+”, если i + j четно и со знаком “-”, если i + j нечетно: Aij = (-1)i+jMij. Так A32 = -M32.

Для разложения определителя по строке выбирают какую-нибудь строку и записывают определитель как сумму элементов этой строки, умноженных на их алгебраические дополнения. Для разложения можно использовать и столбцы.

Так, для определителя третьего порядка разложение по первой строке будет иметь вид:

a a12 a a22 a21 a23 a21 a a21 a22 a23 = a11 a = + a - a a32 a33 a31 a33 a31 a a31 a32 aТаким образом, вычисление определителя третьего порядка сводится к вычис лению трех определителей второго порядка, а вычисления определителя 4-го порядка – к вычислению четырех определителей 3-го порядка.

Очевидно, что для упрощения процесса вычисления удобно раскладывать определитель по строке или столбцу, содержащему в качестве элементов наи большее количество нулей.

Также при вычислении определителей используют их свойства:

1. Общий множитель элементов любой строки/столбца определителя можно выносить за знак определителя.

2. Если к любой строке/столбцу определителя прибавить другую стро ку/столбец умноженную на число, то определитель не изменится.

Используя приведенные свойства определителей, можно упростить их вы числение, применяя метод разложения по строке/столбцу. Идея метода: в ка кой-нибудь строке/столбце определителя по свойству 2 сделать все нули, кроме одного элемента, чтобы в разложении определителя по этой строке/столбцу оста лось одно слагаемое.

Пример. Найдем определитель -1 2 3 0 -1 1 = 2 8 -1 - 1 -2 0 -Прибавим ко второму столбцу третий, а вычтем из четвертого столбца третий, умноженный на 2:

-1 5 3 7 -1 5 3 0 0 1 2 0 0 1 = = 2 7 -1 -2 2 7 -1 1 -2 0 -2 1 -2 0 -В результате этих действий во второй строке остался лишь один ненулевой эле мент. Поэтому разложим определитель по этой строке:

-1 5 = - 2 7 1 -2 -Прибавим к третьей строке удвоенную первую и разложим определитель по тре тьему столбцу:

-1 5 1 2 = - 2 7 0 - - 2 · 8 - 7 · (-1) = -23.

= = -1 -1 8 1.1. Задания к теме.

1. Вычислить определители:

3 -2 a -1 sin cos а), б), в).

4 6 - cos sin a a 2. Вычислить определитель, используя правило треугольников:

2 3 5 -2 1 2 3. Вычислить определитель, используя разложение по строке:

1 b 0 b b 0 -b 4. Вычислить определители, используя свойства определителей с последую щим разложением:

a -a a -x 1 x x2 x a a -a, б) y y 1.

а), в) 0 -x - a -a -a z2 z x 1 -x 5. Вычислить определители 4-го порядка:

6 3 4 5 6 3 4 2 1 2 3 2 2 2 а), б).

3 3 1 2 3 3 3 1 2 3 1 2 3 3 6. Вычислить определители 3-го порядка:

2 -3 1 m + a m - a a а) -6 2 n + a 2n - a a, б).

2 -1 a -a a 7. Вычислить определители 4-го порядка:

4 3 4 5 6 4 4 3 1 2 3 2 3 2 а), б).

2 3 1 2 3 2 1 1 2 3 1 1 1 3 Ответы: 1. a) 26, б) 2a, в) 1. 2. -10. 3. -2b2. 4. а) -4a3, б) -2x, в) (x - y)(y - z)(x - z). 5. а) 36, б) 15. 6. а) 10, б) amn. 7. а) -18, б) 12.

§ 2. Решение систем линейных алгебраических уравнений Система линейных алгебраических уравнений в общем случае имеет вид a11x1 + a12x2 +... + a1nxn = b a21x1 + a22x2 +... + a2nxn = b(2.1).

.

.

an1x1 + an2x2 +... + annxn = bn Требуется найти неизвестные x1, x2,..., xn.

2.1. Метод Крамера. По методу Крамера решение системы (2.1) имеет вид j xj =, j = 1,..., n, где a a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n = det A = |A| =...

.

....

.

...

an1 an2 · · · ann – главный определитель системы, а j – определители, отличающийся от j-м столбцом: он заменен столбцом из свободных членов b1, b2,..., bn.

Очевидно, что правило Крамера применимо, если = 0. При этом исход ная система (2.1) имеет единственное решение. В том случае, если = 0 и существует хотя бы один из определителей j такой, что j = 0, система не имеет решений.

Если = 0 и все j = 0, то система имеет бесконечное число решений.

Для решения таких систем лучше использовать метод Гаусса, рассмотренный далее.

Пример 1. Решим систему методом Крамера x - y + 3z = 5, 3x - 2y = -2, -x + 5y - z = 7.

Сначала сосчитаем главный определитель системы:

1 -1 = = 38.

3 -2 -1 5 -Затем найдем все определители, где столбцы главного определителя заме няются последовательно столбцами свободных членов:

5 -1 3 1 5 -2 -2 0 x = = 24, y = = 74, 3 -2 -1 7 -7 5 - 1 -1 z = = 80.

3 -2 - -1 5 В соответствии с формулами Крамера x 24 12 37 x = = =, y =, z =.

38 19 19 2.2. Метод Гаусса. Данный метод основан на эквивалентных преобразо ваниях системы, при которых решение системы не меняется. Так, решение не изменится, если 1. поменять местами строчки системы, 2. к строчке прибавить или вычесть другую строчку, умноженную на число.

Суть метода заключается в том, чтобы последовательно исключить неиз вестные из уравнений системы. Рассмотрим исходную систему (2.1). Предполо жим, что мы хотим исключить переменную x1 из всех уравнений, кроме одного – первого из уравнений системы. В таком случае в качестве первого уравнения в системе мы должны выбрать то, где коэффициент при x1 отличен от нуля.

Предположим, что a11 = 0. Изменим второе уравнение системы, вычитая из aнего первое уравнение, умноженное на число. В новом втором уравнении aуже не будет члена с x1. Теперь изменим третье уравнение системы, вычитая из aнего первое уравнение, умноженные на число В новом третьем уравнении a11.

также не будет члена с x1. Проделав эту операцию со всеми уравнениями систе мы, мы получим новую систему, эквивалентную данной и содержащую x1 только в первом уравнении. Теперь исключим неизвестную x2 из всех уравнений, кроме первого и второго. Для этого на второе место поставим то уравнение системы, не содержащее x1, в котором коэффициент при x2 не равен нулю. Будем вычи тать это уравнение, умноженное на соответствующее число, из всех уравнений, начиная с третьего, чтобы уничтожить в них члены с x2. Проделывая это со все ми уравнениями системы и последовательно со всеми неизвестными, мы можем получить следующие ситуации.

A) В случае, когда на каком-то шаге мы получим тождество 0 = 0, мы исключаем данное уравнение из системы и продолжаем выполнение шагов.

Б) В случае, когда на каком-то шаге мы получим соотношение 0 = b, где b = 0, мы останавливаемся. Такая система несовместна и решений не имеет.

В) Мы дошли до последнего уравнения системы. Если в левой части этого уравнения содержится лишь переменная xn, это означает, что система имеет единственное решение. Если же последнее уравнение содержит две или более переменные, система имеет бесконечное множество решений.

Далее, начиная с последнего уравнения и поднимаясь выше, последователь но определяются все неизвестные. В случае бесконечного множества решений, все переменные могут содержать произвольные постоянные.

Пример 2. Решить систему методом Гаусса.

x - y + 3z = 5, 3x - 2y = -2, -x + 5y - z = 7.

Сначала с помощью первого уравнения исключим x из второго и третьего урав нений: из второго уравнения вычтем первое уравнение, умноженное на 3; к тре тьему уравнению прибавим первое уравнение. Получим эквивалентную систему x - y + 3z = 5, y - 9z = -17, 4y + 2z = 12.

Теперь исключим y из последнего уравнения. Для этого вычтем из него второе уравнение, умноженное на 4. Получим x - y + 3z = 5, y - 9z = -17, 38z = 80.

80 Теперь из последнего уравнения мы имеем: z = = Зная это значение, 38 19.

40 найдем y из второго уравнения: y = -17 + 9 · = И, наконец, из первого 19 19.

уравнения определим значение x = 5 + y - 3z = 19.

Пример 3. Решить систему методом Гаусса.

3x - 2y - z = 4, x + 2y - 3z = 1, x + 2y - 3z = 1, 3x - 2y - z = 4, 2x - 4y + 2z = 3. 2x - 4y + 2z = 3.

x + 2y - 3z = 1, x + 2y - 3z = 1, -8y + 8z = 1, -8y + 8z = 1, -8y + 8z = 1. 0 = 0.

Третье уравнение системы, являющееся тождеством, исключаем. В оставшемся последнем (втором) уравнении содержится две неизвестные, поэтому система имеет бесконечное число решений. Одну неизвестную можно взять произвольно.

Пусть z = C, где C – некоторая постоянная. Из второго уравнения теперь найдем y = C - Из первого уравнения, подставив вместо y и z их выражения через 8.

C, найдем значение x = C + 2.

Пример 4. Решить методом Гаусса:

x + 3y - z = 5, -3x + y - 3z = -2, 4x + 2y - 2z = 2.

Преобразовываем, прибавляя ко второй строчке утроенную первую и вычи тая из третьей строчки первую, умноженную на 4:

x + 3y - z = 5, x + 3y - z = 5, 10y - 6z = 13, 10y - 6z = 13, 10y - 6z = -18. 0 = -31.

Третье уравнение противоречиво 0 = -31. Система решений не имеет.

2.3. Задания к теме.

ax - 3y = 1, Решить методом Крамера: 1.

ax - 2y = 2.

2x - 3y + z - 2 = 0, 2x - 4y + 3z = 1, 2. 3. - 2y + 4z = 3, x + 5y - 4z + 5 = 0, x 4x + y - 3z + 4 = 0. 3x - y + 5z = 2.

x + 2y + 3z = 4, Решить методом Гаусса: 4.

2x + 4y + 6z = 3, 3x + y - z = 1.

x + 2y + 3z = 4, x + 2y + 3z = 4, 5. 6.

2x + y - z = 3, 2x + y = 3, 3x + 3y + 2z = 7. 3x + 3y + 2z = 10.

2x - y + z = 2, Решить системы: 7.

3x + 2y + 2z = -2, x - 2y + z = 1.

2x - y + 3z = 0, x - 2y + z = 4, 8. 9.

x + 2y - 5z = 0, 2x + 3y - z = 3, 3x + y - 2z = 0. 4x - y + z = 11.

Ответы: 1. (4/a, 1). 2. (5, 6, 10). 3. (-1, 0, 1). 4. Нет решений. 5. ((2 + + 5C)/3, (5 - 7C)/3, C), где C – любое число. 6. (-7/3, 23/3, -3). 7. (2, -1, -3). 8. (C, -13C, -5C). 9. ((18 - C)/7, (3C - 5)/7, C).

§ 3. Векторы на плоскости и в пространстве.

Вектор AB = – направленный отрезок, в a B котором точка A рассматривается как начало век a тора, а B – как конец. Модулем (длиной) вектора называется число, равное длине отрезка. Он обо A значается как |AB| = | = AB = a.

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 6 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.