WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 | 2 ||

5 1 0 Матрица 5 AT A = 0 имеет собственные числа 9 и 5. Соответствующие им собственные век торы образуют столбцы матрицы 0 V =.

1 Диагональная матрица будет иметь вид 3 0 5.

S = 0 Можно убедиться, что матрицы U и V являются ортогональными T и USV = A.

6.4. Описание метода главных компонент. Суть метода главных компонент заключается в поиске разложения T X = Y P + F, где Y называется матрицей счетов (она содержит главные компоненты матрицы X данных), P – матрица нагрузок (фактически являющейся матрицей проектирования), F – матрица остатков (содержит шум).

Матрицы X и F имеют размерность m n, матрица Y – m r, матрица P – n r.

Столбцы матрицы Y содержат числовые значения новых призна ков, а столбцы матрицы P нагрузок представляют собой координаты единичных векторов, направленных по новым осям. Важным свойством метода главных компонент является следующее: если число новых при знаков увеличивается, то матрицы Y и P не пересчитываются, к ним просто добавляются новые столбцы, соответствующие добавляемым признакам.

Для нахождения матрицы P используется сингулярное разложе нием матрицы X. Вначале требуется определить число r главных ком понент. Это можно сделать по методу описанному в разделе 5.4 для собственных чисел k матрицы XXT или XT X. Затем из первых r столбцов матрицы V формируется матрица P. После того как мат рица P найдена, нахождение Y по X происходит по формуле (6.1).

T Матрицу ошибок находят по формуле F = X - Y P.

Полученные таким образом матрицы P и Y не будут единствен ным решением поставленной задачи. Ту же самую матрицу ошибок можно получить, если взять в качестве матрицы нагрузок P = P T, а в качестве матрицы счетов Y = Y T, где T – ортогональная матрица поворота.

Действительно, T T T T Y P = (Y T )(P T )T = Y (T T )P = Y P.

§ 7. Дифференциальные уравнения. Модель роста численности популяции.

7.1. Основные сведения о дифференциальных уравне ниях. Пусть состояние некоторой системы описывается характеристи кой x. При изменении времени t эта характеристика может менять ся, следовательно, она будет представлять собой некоторую функцию x(t). Если в системе есть причинно-следственная связь, то можно пред сказать, чему будет равна характеристика при увеличении времени на малое значение t + t:

x(t + t) = x(t) + A(x, t) (7.1) По определению производной функции x(t + t) - x(t) x = lim, tt поэтому для малых значений t получим x(t + t) x(t) + xt.

Подставив это соотношение в (7.1), получим соотношение A(x, t) x = = f(x, t), t представляющее собой дифференциальное уравнение.

Дифференциальное уравнение первого порядка – соотношение, связывающее независимую переменную, некоторую неизвестную функ цию и ее производную. Решением дифференциального уравнения назы вается функция, которая обращает данное соотношение в тождество.

Физическим смыслом производной функции описывающей изме нение некоторой характеристики с течением времени является скорость изменения значения этой характеристики. Поэтому из дифференци ального уравнения можно определить как с течением времени будет меняться значение характеристики, описывающей некоторый процесс.

7.2. Модель роста численности в случае неограничен ности ресурсов. Рассмотрим модель роста численности популяции.

Пусть x(t) – функция, описывающая изменение численности популя ции с течением времени.

Будем считать, что прирост численности пропорционален числен ности самой популяции. Так как прирост численности есть производная x(t), то данное утверждение можно записать в виде дифференциаль ного уравнения x = kx, где k – некоторый коэффициент пропорциональности, называемый удельной скоростью роста.

Также для полного описания физического процесса необходимо за дать начальное условие, пусть в начальный момент t = 0 численность популяции x(0) = x0. Совокупность дифференциального уравнения вместе с начальным условием называется задачей Коши.

Решим это уравнение:

dx dx dx = kx = kdt = kdt dt x x ln x = kt + ln C x = Cekt.

Из начального условия найдем постоянную C = x0 и решением задачи Коши будет функция x = x0ekt. Таким образом, рост численности популяции происходит по экспоненциальному закону.

Заметим, что по этому же закону происходит рост суммы вклада в банке, рост доходов предприятия и т.п.

7.3. Модель роста численности в случае ограниченно сти ресурсов. Предыдущее уравнение и его решение получены в предположении, что ресурсы питания неограничены, что привело к неограниченному росту численности популяции. Более точное реше ние можно получить, если предположить что удельная скорость роста k является не постоянной величиной, а зависит от численности x по пуляции по линейному закону:

x k(x) = k0 1 -.

b Число b называется емкостью среды, при численности популяции x = = b скорость роста популяции становится равной нулю. Таким образом, дифференциальное уравнение роста численности популяции имеет вид x x = k0 1 - x.

b Решим это уравнение:

dx x dx = k0 1 - x = k0dt x dt b 1 - x b 1 1 1 + dx = k0dt + dx = k0dt x b - x x b - x x Cek t ln = k0t + ln C x = b.

b - x 1 + Cek t Постоянную C найдем из начального условияx(0) = x0.

x0 bx0ek t C = x =.

b - x0 b + x0(ek t - 1) При t численность популяции x(t) b.

7.4. Модель роста численности при наличии мигра ции. Предположим теперь, что изменение численности популяции происходит не только за счет прироста, но и за счет миграции, то есть x = kx - m, где m – численность особей, покидающих популяцию (при m < 0 – приходящих извне). Эта величина может быть функцией от времени, но мы рассмотрим лишь случай, когда m является постоянной.

Решим полученное уравнение:

dx dx = kx - m = kdt dt x - m/k dx = kdt x - m/k m m ln x - = kt + ln C x = Cekt +.

k k Из начального условия x(0) = x0 находится постоянная C = x0 - m/k и функция роста популяции приобретает вид m m x = x0 - ekt +.

k k Также можно рассмотреть и другие модели, например модель ро ста численности популяции при наличии ограниченности ресурсов и миграции и т.п. Так, в случае наличия ограниченности ресурсов и на личия миграции уравнение примет вид x x = k 1 - x - m, (7.2) b где k – удельная скорость роста, b – емкость среды, m – коэффициент миграции.

На рис. приведены графики роста численности популяции для че тырех моделей: 1 – в случае неограниченности ресурсов (k = 1), 2 – в случае ограниченности (k0 = 1, b = 1), 3 и 4 – графики в случае наличия миграции (m = 0.05). В начальный момент времени (t = 0) численность популяции равнялась x(0) = 0.1.

x 1.1.0.0.0 1 2 3 4 t § 8. Системы дифференциальных уравнений.

Модель “хищник–жертва” 8.1. Основные сведения о системах дифференциаль ных уравнений. Пусть состояние некоторой системы описывается несколькими характеристиками x1, x2,... xn. При изменении време ни t эти характеристики могут меняться, следовательно, она будут представлять собой некоторые функции xi(t). Если в системе есть при чинно-следственная связь, то можно предсказать, чему будет равны характеристики при увеличении времени на малое значение t + t:

xi(t + t) = xi(t) + A(x1, x2,..., xn, t).

Также, как и для одного дифференциального уравнения, это озна чает что все характеристики удовлетворяют совокупности соотноше ний, включающих в себя искомые функции, их производные и время.

Эти соотношения назовем системой дифференциальных уравнений:

x = f1(x1, x2,..., xn, t), x2 = f2(x1, x2,..., xn, t), · · · x = fn(x1, x2,..., xn, t).

n Решением системы дифференциальных уравнений называется на бор функций x1, x2,... xn, которые обращает каждое уравнение систе мы в тождество.

Система дифференциальных уравнений называется автономной, если независимая переменная (в нашем случае такой переменной явля ется время t) не входит явным образом в функции, задающие систему.

Автономная система в нормальном виде имеет вид:

x = f1(x1, x2,..., xn), x2 = f2(x1, x2,..., xn), (8.1) · · · x = fn(x1, x2,..., xn).

n Автономная система моделирует автономные процессы, т.е. процесс, не подверженные внешним влияниям. Все эти процессы полностью опре деляются начальными значениями переменных состояния x1, x2,... xn и не зависят от выбора начального значения аргумента t.

Для автономных систем существует понятие стационарной точки.

Стационарной точкой автономной системы дифференциальных урав нений называется совокупность таких начальных значений x10, x20,... xn0, при которых все правые части системы (8.1) обращаются в нули.

Можно также ввести понятие фазового пространства - простран ства размера n, представляющего собой множество всех состояний си стемы, так, что каждому возможному состоянию автономной системы соответствует точка фазового пространства. При изменении времени состояние системы меняется и в фазовом пространстве соответствую щая точка движется по так называемой фазовой траектории. В случае двух переменных фазовое пространство называется фазовой плоско стью.

8.2. Понятие устойчивости. Виды стационарных точек.

В математике, решение дифференциального уравнения или системы называется устойчивым, если поведение решений с близкими началь ными условиями “не сильно” отличается от поведения исходного ре шения. Слова “не сильно” можно формализовать по-разному, получая разные формальные определения устойчивости: устойчивость по Ля пунову, асимптотическую устойчивость и т.д. Обычно рассматривает ся задача об устойчивости решения в стационарной точке, поскольку задача об устойчивости произвольной траектории сводится к данной путем замены неизвестной функции.

Рассмотрим линейную систему дифференциальных уравнений x = a11x + a12y, (8.2) y a21x + a22y.

= и соответствующую ей матрицу a11 aA = (8.3) a21 aЭта система имеет одну стационарную точку x = y = 0. Пусть и 2 – два собственных значения матрицы A. В зависимости от этих значений классифицируют следующие виды стационарных точек:

1. 1 и 2 – вещественные отрицательные (1 < 0, 2 < 0). Точ ка называется устойчивый узел. Траектории в фазовой плоскости представляют собой параболы, движение точки в этой плоскости происходит по направлению к стационарной точке.

y x 2. 1 и 2 – вещественные положительные (1 > 0, 2 > 0). Точка называется неустойчивый узел. Траектории в фазовой плоскости представляют собой параболы, движение точки в этой плоскости происходит по направлению от стационарной точки.

y x 3. 1 и 2 – вещественные числа разных знаков (1 < 0, 2 > 0). Точ ка называется седло. Траектории в фазовой плоскости представля ют собой гиперболы, движение точки в этой плоскости происходит по направлению к одной из асимптот гиперболы. Стационарная точка является неустойчивой.

y x 4. 1 и 2 – комплексные числа с отрицательной действительной ча стью (1 = +i, 2 = -i, < 0). Точка называется устойчи вый фокус. Траектории в фазовой плоскости представляют собой логарифмические спирали, движение точки в этой плоскости про исходит по направлению к стационарной точке.

y x 5. 1 и 2 – комплексные числа с положительной действительной ча стью (1 = +i, 2 = -i, > 0). Точка называется неустой чивый фокус. Траектории в фазовой плоскости представляют со бой логарифмические спирали, движение точки в этой плоскости происходит по направлению от стационарной точки.

y x 6. 1 и 2 – комплексные числа с нулевой действительной частью (1 = i, 2 = -i). Точка называется центр. Траектории в фа зовой плоскости представляют собой эллипсы, движение точки в этой плоскости происходит по или против часовой стрелки вокруг стационарной точки. Стационарная точка является устойчивой.

y x 8.3. Описание модели “хищник–жертва”. В предыдущем параграфе мы рассматривали модель роста численности популяции, состоящей из одного вида. Рассмотрим теперь задачу развития эко системы, состоящей из двух видов. Первый вид назовем “хищниками”, основным средством существования которого является охота на второй вид, который мы назовем “жертвами”. Рассмотрим модель изменения численности популяции этих двух видов с течением времени. Пусть x(t) – функция, описывающая изменение с течением времени численности “жертв”, y(t) – численности “хищников”.

Будем считать, что прирост численности “жертв” в отсутствии “хищников” пропорционален численности самой популяции (x = kx).

Также, убыль численности “хищников” в отсутствие “жертв” также про порционален их численности (y = -y). Убыль численности “жертв” и рост численности “хищников” пропорционален числу встреч “хищни ков” и “жертв”, которое, в свою очередь пропорциональна произведе нию xy. Таким образом, развитие системы “хищник–жертва” описыва ется системой дифференциальных уравнений x = kx - axy, (8.4) y = -y + bxy, где k,, a, b – некоторые положительные постоянные.

Для полного описания этой системы необходимо задать начальные условие, пусть в начальный момент t = 0 численность популяций x(0) = x0, y(0) = y0.

Совокупность системы дифференциальных уравнений вместе с началь ными условиям также называется задачей Коши для системы диффе ренциальных уравнений.

Заметим, что наша система (8.4) является автономной. Найдем ее стационарные точки:

kx - axy = 0, x = 0, x =, b или -y + bxy = 0, y = 0, y = k, a 8.4. Исследование стационарной точки модели “хищ ник–жертва”. Система (8.4) является нелинейной, содержащей про изведение xy. Для исследования стационарных точек на устойчивость необходимо вначале линеаризовать систему.

Исследуем вначале точку x = y = 0. Вблизи этой точки x и y являются малыми, а их произведение – xy является величиной второго порядка малости, поэтому ей в системе (8.4) можно пренебречь. В результате получим линейную систему x = kx, y = -y, которой соответствует матрица k 0 Собственные числа этой матрицы легко находятся 1 = k, 2 = -.

Так как эти числа являются вещественными и различных знаков, то делаем вывод, что наша стационарная точка (0, 0) является седлом.

k Рассмотрим теперь вторую точку x =, y =. Вблизи этой b a точки x и y являются не являются малыми, поэтому произведением xy пренебрегать нельзя. Введем новые переменные x и y: x = x +, b k y = y +. Подставим полученные выражения в (8.4):

a x = -ay - a y, x b y x + b y, bk = x a Произведение x является величиной второго порядка малости, y поэтому линеаризованная система примет вид x = -ay, b y x.

bk = a Этой системе соответствует матрица 0 -a b, bk a Собственные числа которой 1,2 = ± ki. Так как эти числа являют ся комплексными с нулевой вещественной частью, наша стационарная k точка (, ) является центром.

b a Траектории в фазовой плоскости решения системы (8.4) изобра жены на рисунке.

y k/a x /b 8.5. Модели конкуренции и сотрудничества. Рассмот рим систему дифференциальных уравнений вида (8.4), но записанную в более общем виде x kx 1 - x x + axxy - mx, = bx y ky 1 - y = y + ayxy - my, by где kx, ky, bx, by, mx, my, ax, ay – постоянные величины. При ax = = ay = 0 каждое из этих уравнений можно решать отдельно, они представляют собой обычные логистические уравнения (7.2) с таким же смыслом входящих в них постоянных коэффициентов.

В случае, когда ax и ay не равны нулю одновременно, величины x и y будут влиять друг на друга. В зависимости от знаков величин ax и ay различают различные модели:

Знак Знак Модель взаи- Описание модели ax ay модействия + + Симбиоз Оба вида благоприятно влияют друг на друга + - Хищничество Один вид угнетает другой вид, по лучая от этого пользу - - Конкуренция Оба вида соперничают друг с дру гом + 0 Комменсализм Один из видов получает пользу от сотрудничества, не принося друго му виду ни вреда, ни пользы - 0 Аменсализм Один вид угнетается другим видом, не принося другому виду ни вреда, ни пользы 0 0 Нейтрализм Ни один вид не влияет на другой Литература Основная литература 1. Дейвисон М. Многомерное шкалирование. М.: Финансы и стати стика, 1988.

2. Гуц А.К., Фролова Ю.В. Математические методы в социологии.

М.: Изд-во ЛКИ, 2007.

3. Плотинский Ю.М. Модели социальных процессов. М.: Логос, 2001.

Дополнительная литература 4. Ахтямов А.М. Математика для социологов и экономистов. М.: Физ матлит, 2004.

5. Толстова Ю.Н. Основы многомерного шкалирования. М.: Изд-во КДУ, 2006.

6. Робертс Ф.С. Дискретные математические модели с приложени ями к социальным, биологическим и экологическим задачам.

М.: Наука, 1986.

Pages:     | 1 | 2 ||






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.