WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 | 3 |
КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Институт математики и механики Кафедра общей математики Д.Ф.Абзалилов Математическое моделирование в социологии Учебно-методическое пособие Казань – 2012 Печатается по решению учебно-методической комиссии института математики и механики им. Н.И.Лобачевского Казанского федерального университета Протокол № 1 от 4 октября 2012 г.

Абзалилов Дамир Фаридович Математическое моделирование в социологии. Учебно методическое пособие для социологов – Казань: КФУ, 2012 г. – 48 с.

Методическое пособие основано на курсе лекций, которые чита лись Д.Ф.Абзалиловым студентам-социологам II курса факультета жур налистики и социологии.

© Казанский федеральный университет, 2012 Содержание Введение............................................. 4 I. Математическое моделирование в социологии.... 6 §1. Векторы. Объекты и признаки.......................... 6 §2. Матрицы. Матрица объект–признак и матрица различий 12 §3. Поворот. Ортогональные матрицы...................... 18 §4. Собственные значения и собственные векторы.......... 21 §5. Метрический метод Торгерсона......................... 25 §6. Метод главных компонент.............................. 29 §7. Дифференциальные уравнения. Модель роста чис ленности популяции..................................... 34 §8. Системы дифференциальных уравнений. Модель “хищник–жертва”....................................... 38 Литература........................................... 48 3 Введение В любой науке столько истины, сколько в ней математики Иммануил Кант Данное методическое пособие представляет собой попытку позна комить социологов с математическим аппаратом и с современными методами решения социологических задач. Вот неполный перечень та ких задач:

• обработка и анализ данных опросов и других социологических ис следований • построение математических моделей социальных процессов и яв лений • объяснение и предсказание социальных явлений Математическое моделирование состоит в замене реального объек та его математической моделью с последующим изучением последней.

Вид математической модели зависит как от природы реального объ екта, так и задач исследования объекта и требуемой достоверности и точности решения этой задачи.

Многомерное шкалирование – математический инструментарий, предназначенный для обработки данных о отношениях между исследу емыми объектами с целью представления этих объектов в виде точек некоторого пространства восприятия. Этот метод позволяет выявить и интерпретировать латентные (т.е. скрытые и непосредственно не наблюдаемые) признаки, объясняющие связей между исследуемыми объектами. В пособии в качестве метода многомерного шкалирования рассмотрен метрический метод Торгерсона.

Другая задача обработки данных состоит в уменьшении размер ность данных, потеряв наименьшее количество информации. Это поз воляет, во-первых избавиться от “шума”, т.е. части данных, которая содержит не полезную информацию, а погрешности и ошибки. Во-вто рых, чем меньше размерность данных, тем легче их дальнейшее изу чение и интерпретация. В качестве аппарата уменьшения размерности данных в пособии рассмотрен метод главных компонент.

Все процессы, развивающиеся во времени и имеющую в при чинно-следственную связь моделируются с помощью дифференциаль ных уравнений (в случае, когда система описывается одной характе ристикой) и систем дифференциальных уравнений (когда таких харак теристик несколько). В качестве примера моделирования таких про цессов в пособии рассмотрены несколько примеров роста численности популяции некоторой замкнутой экосистемы.

Глава I.

Математическое моделирование в социологии § 1. Векторы. Объекты и признаки.

1.1. Точки в n-мерном пространстве. В обычном трехмер ном пространстве после введения системы координат каждой точке можно сопоставить тройку чисел {x, y, z}, называемых координатами этой точки. Соответствие точки и ее координат является взаимно од нозначным, то есть зная положение точки можно определить ее ко ординаты и, наоборот, по координатам можно установить положение.

Множество вещественных чисел обозначаетсяR, множество всех точек пространства (или, множество троек чисел) –R3.

Элементами множестваRn являются упорядоченные наборы n чи сел: {x1, x2,..., xn}. По аналогии с трехмерным пространством, мож но считать, что этим наборам чисел соответствуют точки в некотором n-мерном пространстве.

1.2. Представление исследуемого объекта в виде точ ки. Объекты социологического исследования обладают рядом харак терных признаков (будем считать, что таких признаков n). Эти при знаки образуют так называемое n-мерное пространство восприятия.

Каждому объекту можно поставить в соответствие n чисел, то есть дать количественную оценку объекта по каждому из признаков. Таким образом, каждый объект некоторого множества описывается набором из n чисел, и по сути, является точкой в пространствеRn.

В таблице 1 представлены три характерных признака ряда автомо билей.

Табл. 1. Исходные данные цена расход разгон до (руб.) (л./100 км.) 100 км./ч (с.) 1. Лада Калина 260 000 9.8 12.2. Renault Logan 370 000 10.0 11.3. Huyndai Getz 450 000 7.6 9.4. Toyota Prius 1 100 000 3.9 10.5. Mitsubishi Lancer 1 300 000 13.8 7.1.3. Шкалирование данных. Прежде чем анализировать дан ные, их необходимо нормализовать. Это нужно для того, чтобы уров нять вклад каждого признака. Для этого данные центрируют (вычи тают из каждого признака среднее значение) и нормируют (делят на среднее квадратичное отклонение). В таблице 2 приведены нормализо ванные данные таблицы 1:

Табл. 2. Нормализованные данные № 1 2 1 -1.05 0.24 1.2 -0.77 0.30 0.3 -0.58 -0.45 -0.4 0.96 -1.57 -0.5 1.44 1.48 -1.1.4. Графическое представление данных. Если объекты характеризуются лишь двумя признаками, их представляют графиче ски в виде точек на плоскости. Каждая координатная ось этой плоско сти соответствует одному признаку.

Если признаков больше двух, графическое представление объек тов затруднительно. В этом случае обычно строят серию двумерных чертежей, по одному чертеже на каждую пару осей. Так, на рисунке представлены чертежи, соответствующие объектам из таблицы 2.

x2 x3 x5 2 x1 x14 x5 1.5. Скалярное произведение векторов. Скалярным про изведением двух векторов a{a1, a2,..., an} и b{b1, b2,..., bn} называ ется число вычисляемое по формуле n (a, b) = akbk. (1.1) k=Длина |a| вектора a{a1, a2,..., an} равна квадратному корню свя зана скалярного произведения n |a| = (a, a) = a2. (1.2) k k=Угол между векторами a и b вычисляется по формуле (a, b) cos =. (1.3) |a||b| Если для двух ненулевых векторов скалярное произведение равно нулю, то угол = и такие векторы называют перпендикулярными или ортогональными.

В случае, когда для ненулевых векторов = 0 или, векторы ле жат на параллельных прямых и они называются коллинеарными. Такие векторы можно связать соотношением b = a, где – постоянная.

1.6. Меры различия объектов. Мера различия ij в про странстве восприятия – величина, определенная для пары (i, j) объек тов и показывающая, как сильно они различаются.

Аналогом меры различия в обычном геометрическом простран стве является понятие расстояния. Евклидово расстояние между точ ками a{a1, a2,..., an} и b{b1, b2,..., bn} вычисляется по теореме Пи фагора n d(a, b) = |a - b| = (ak - bk)2. (1.4) k=Эта формула обобщена на случай n-мерного пространства.

Пространства, в которых расстояние между точками вычисляется по этой формуле называются евклидовыми. Понятие расстояния между точками может быть введено и по другому, например, n d1(a, b) = |ak - bk| k=или d(a, b) = max |ak - bk|.

k Так как точкам пространства соответствуют некоторые объекты, все эти формулы вычисления расстояний d можно считать мерой раз личия между объектами.

В таблице 3 приведены меры различия между объектами из таб лицы 2, рассчитанные по формуле (1.4):

Табл. 3. Меры различия между объектами № 1 2 3 4 1 0 1.13 2.10 3.13 4.2 1.13 0 1.14 2.59 3.3 2.10 1.14 0 1.94 3.4 3.13 2.59 1.94 0 3.5 4.14 3.19 3.01 3.43 1.7. Аксиомы расстояния. Формула вычисления расстояния между точками пространства не может быть произвольной. Эта должна удовлетворять следующим трем аксиомам расстояния:

1. Аксиома тождества: d(a, b) = 0 a = b.

2. Аксиома симметрии: d(a, b) = d(b, a).

3. Неравенство треугольника: d(a, c) + d(c, b) d(a, b).

Важным следствием, вытекающим из этих аксиом является то, что расстояние является неотрицательной величиной.

1.8. Выполнение аксиом в социологии. Все перечислен ные аксиомы являются привычными и знакомыми каждому человеку.

Поэтому трудно бывает представить, что они могут не выполняться.

Но когда мы имеем дело не с обычным расстоянием, а с мерой раз личия и работаем не в привычном геометрическом пространстве, а в пространстве восприятия, такая возможность существует.

Рассмотрим следующий пример. Испытуемому предъявляют один за другим два сигнала из азбуки Морзе, а затем просят ответить, яв ляются ли эти сигналы одним и тем же или разными сигналами. Все возможные пары (i, j) сигналов предъявляются одинаковое число раз.

Число предъявлений пар (i, j) в которых испытуемый дал ответ “раз личны” можно рассматривать как меру различия между объектами i и j.

Ответ “различны” был дан при предъявлении двух сигналов азбуки Морзе “Е” в 3% случаев, в при предъявлении двух сигналов “P” – в 17% случаев. Как мы видим, первая аксиома тождества нарушается.

Когда сигнал “U” следовал за “А”, ответ различны встречался в 63% случаев, а когда сигнал “А” следовал за “U” – в 86%. Это можно интерпретировать как нарушение аксиомы симметрии.

Но самой “болезненной” аксиомой для социологов является третья аксиома, неравенство треугольника. Когда исследователь, опираясь на неформальные рассуждения, пытается выразить свое представление об расстояниях между объектами, он обычно интуитивно соблюдает первую и вторую аксиомы. А правило треугольника, как менее очевид ное, им часто не учитывается. Поэтому нарушение третьей аксиомы является наиболее часто встречающимся примером некорректно вы бранной меры различия в пространстве восприятия.

Если первые две аксиомы выполнены, но нарушается третья, то данные можно преобразовать следующим образом. Пусть h = max [ij - ik - jk].

i,j,k После этого создаем новые меры различий по формуле 0, i = j, ij = (1.5) ij + h, i = j.

Полученная таким образом мера различия ij будет удовлетворять всем трем аксиомам расстояния.

§ 2. Матрицы. Матрица объект–признак и матрица различий 2.1. Понятие матрицы. Матрица – двумерная таблица чисел.

Количество строк m и столбцов n матрицы задают ее размер. Элемен том aij матрицы A называется число, стоящее на пересечении i строки и j столбца.

Матрица называется квадратной если количество строк совпада ет с количеством столбцов. Квадратная матрица, у которой элементы aij и aji равны, называется симметричной. Элементы aii, у которых но мер строки совпадает с номером столбца, образуют главную диагональ.

Матрица, у которой выше или ниже главной диагонали стоят нули, на зывается треугольной. Матрица, у которой вне главной главной диаго нали стоят нули, называется диагональной. Диагональная матрица, у которой на главной диагонали расположены одни единицы, называется единичной. Для единичной матрицы в дальнейшем будем использовать обозначение E. Примеры матриц: A – симметричная, B – треугольная, D – диагональная, E – единичная:

1 5 2 1 5 - A =, B =, 5 0 -7 0 7 2 -7 3 0 0 - 1 0 0 1 0 D =, E =.

0 -2 0 0 1 0 0 3 0 0 2.2. Основные матричные операции. Для матриц опреде лены следующие действия:

1. Транспонирование. Матрица B = AT размера m n называет ся транспонированной для матрицы A размера n m, если ее элементы bij = aji для всех i = 1, m, j = 1, n.

2. Умножение на число. Матрица B = A называется матрицей A умноженной на число, если ее элементы bij = aij для всех i = 1, m, j = 1, n.

3. Сложение и вычитание. Матрица C = A + B называется суммой матриц A и B, если ее элементы cij = aij + bij для всех i = 1, m, j = 1, n.

Аналогично вводится операция вычитания. Заметим, что эти опе рации сложения и вычитания определены лишь в случае, когда матрицы A и B имеют один размер.

4. Матричное умножение. Матрица C = AB размера m n назы вается произведением матрицы A размера m l и матрицы B размера l n, если ее элементы l cij = aikbkj для всех i = 1, m, j = 1, n.

k=Заметим, что операция умножения определена лишь в случае, ко гда количество столбцов первой матрицы совпадает с количеством строк второй. В общем случае AB = BA, т.е. при матричном умножении матрицы нельзя менять местами.

5. Аналог деления. Обратная матрица. Операции деления для мат риц не существует. Аналогом деления служит умножение на обрат ную матрицу. Матрица B = A-1 называется обратной к матрице A, если AB = BA = E.

Заметим, что вычисление обратной матрицы определено лишь для квадратных матриц, имеющих ненулевой определитель.

Основные свойства матричных операций:

1 AT T = A, 2 (A-1)-1 = A, 3 A + B = B + A, 4 AE = EA = A, 5 (A + B) = A + B, 6 ( + µ)A = A + µA, 7 A(BC) = (AB)C, 8 A(B + C) = AB + AC, 9 (AB)T = BT AT, 10 (AB)-1 = B-1A-1.

2.3. Матрица объект признак и матрица различий. Таб лицу 2 (стр. 7) называют матрицей объект–признак, в дальнейшем будем ее обозначать буквой X. Элемент xij содержит числовую харак теристику i объекта по j признаку, эта матрица имеем размер m n, где m – число объектов, n – число признаков.

Таблицу 3 (стр. 10) называют матрицей различий, в дальнейшем будем ее обозначать буквой. Эта матрица является квадратной (ее размер m m). Элемент ij содержит числовую характеристику различия между объектами i и j. Элементы, стоящие на главной диа гонали равны нулю (следствие аксиомы 1), а сама матрица является симметричной (следствие аксиомы 2).

По матрице X легко можно получить матрицу. Вследствие фор мулы (1.4) n ij = dij = (xik - xjk)2. (2.1) k=Обратная задача, т.е. задача нахождения матрицы X по матрице является целью метода многомерного шкалирования, который будет рассмотрен в § 5.

Также введем матрицу скалярных произведений, элементы ко торой вычисляются по формуле (1.1) n ij = xikxjk. (2.2) k=2.4. Экспериментальные методы получения матрицы различий. Для получения матрицы необходимо провести попар ное сравнение всех исследуемых объектов. Для m объектов таких пар m(m-1) будет. Различие между каждой парой объектов обычно оцени вается путем усреднения оценок, полученных от разных испытуемых.

40n Число усредняемых оценок должно быть не менее, где n – ожида m-емое число признаков, характеризующих объекты группы. Таким обра зом, общее число оценок при проведении исследования должно быть не меньше чем 20nm.

Экспериментатор должен решить, какой тип задания следует дать испытуемым. В существует 4 основных вида таких заданий: оценка величины различия, категоральная оценка, графическая оценка и ка тегоральная сортировка.

В задании по оценке величины различия одна пара стимулов вы бирается в качестве стандарта. Различие между этой парой считается равным 1 (или 100%). Стандартная пара выбирается таким образом, чтобы степень различия между ней и другими парами объектов были не слишком низкими и не слишком высокими. Задача испытуемого за ключается в выборе для каждой пары объектов числа, показывающего степень отличия данной пары от стандартной.

Допустим, стандартной парой выбраны объекты 1 и 2, следова тельно 12 = 1. Испытуемому предложено оценить различие между объектами 3 и 4. Если он считает, что объекты 3 и 4 в два раза более различны, чем объекты 1 и 2, то 34 будет равна 2. Если испытуемый считает, что, например, различие между объектами 5 и 6 составля ет половину различия между стандартной парой 1 и 2, то он должен приписать 56 = 1/2.

В задании по категоральной оценке испытуемому предъявляют па ру стимулов следующим образом:

Очень Максимально похожи различны Объекты 1 и 1 2 3 4 5 6 Испытуемому требуется указать, насколько различными он счита ет пару объектов и отметить соответствующую категорию на шкале оценок. Обычно каждой категории приписывается целое число; в пока занном примере ответ получил оценку 5.

Метод графической оценки похож на метод категоральной оценки.

В этом случае испытуемому пара объектов для оценки предоставляется в следующем виде:

Pages:     || 2 | 3 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.