WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор К. Л. САМАРОВ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С МОДУЛЯМИ Учебное пособие для подготовки к ЕГЭ и ГИА по математике © К. Л. Самаров, 2010 © ООО «Резольвента», 2010 Пример 1. Решить уравнение 2x +1 = 3 Решение.

2x +1 = 3 2x = 2 x =1 2x +1 = 3 2x +1 = -3 2x = -4 x = -2 Ответ.1; - 2 Пример 2. Решить уравнение 5 3 x3 - x - 2 = x3 + x2 + x + 2 2 2 Решение.

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 5 3 x3 - x - 2 = x3 + x2 + x + 2 5 3 2 2 x3 - x - 2 = x3 + x2 + x + 2 2 2 3 x - 5 x - 2 = - x3 + x2 + 3 x + 2 2 2 2 x + 2 = 0 2 ( ) x + 2 = 0 ( ) x2 + 4x + 4 = 0 x = 0 2x3 + x2 - x = 0 x 2x2 + x -1 = 0 ( ) 2x2 + x -1 = 0 x1 = -2 x2 = 0 x3,4 = -1± 1+ 8 = -1± 3 = -1; 1 4 4 2 1 Ответ. -2; -1; 0;

2 Пример 3. Решить уравнение x + 3 -1 = 4 x -1 Решение.

x + 3 = 4x - 3 x + 3 -1 x + 3 -1 = 4x - 4 x + 3 = 4x - 3 = 4 4x - 3 0 x -1 x 1 x 1 x 1 6 = 3x x + 3 = -4x + 3 4x x + 3 = 4x - 3 x + 3 = -( - 3 ) 4x 3 3 - 3 0 4x - 3 0 x x 4 4 x 1 x 1 x 1 x 1 x = 2 x = 0 3 3 x x x = 2 4 4 x 1 x 1 Ответ. 2 ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-10 Пример 4. Решить уравнение 2x2 - 4x = 3x - 3 Решение.

2x2 - 4x = 3x - 3 - 4x = 3x - 3 2x2 2x2 - 4x = 3x - 3 3x - 3 0 3x - 3 0 - 2x2 - 4x = 3x - 3 2x2 - 7x + 3 = 0 2x2 - x - 3 = 0 ( ) x 1 x 1 3x - 3 0 7 ± 5 1± 5 7 ± 49 - 24 1± 1+ 24 x = x = x1,2 = x3,4 = 1,2 3,4 4 4 x 1 x x 1 x 1 x = 3; x = -1;

1,2 3, x = 3 x = 2 x 1 x Ответ. ; Пример 5. Решить неравенство x - 3 < Решение.

x -( - 3 < - 3 < 7 x x <10 x - 3 > -) x - 3 < 7 x 3 x - 3 < x - 3 0 x - 3 < x 3,10 x 3 x ) (-4,) [ ) (-4, Ответ. x (-4,) Пример 6. Решить неравенство 6x2 - x - 2 Решение. Заметим, что исходное неравенство эквивалентно объединению двух систем неравенств:

- x - 2 0 6x2 + x - 2 6x6x2 - x - 2 0 x 0 x < ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-Решим первую систему неравенств. Для этого сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения:

1± 1+ 48 1± 7 1 6x2 - x - 2 = 0 x1,2 = = x1 = -, x2 = 12 12 2 Следовательно, - 1 - x - 2 6xx, 0, 2 3 x x x Теперь решим вторую систему неравенств. Для этого найдем корни соответствующего квадратного уравнения:

-1± 1+ 48 -1± 7 2 6x2 + x - 2 = 0 x1,2 = = x1 = -, x2 = 12 12 3 Далее получаем:

- 2 6x2 + x - 2 x, - 3 2 x, x < x < Объединение решений первой и второй систем неравенств дает ответ задачи.

- 2 Ответ. x, 3 Пример 7. Решить неравенство 2x x +1 - x -1 > Решение. Заметим, что исходное неравенство эквивалентно объединению двух систем неравенств:

2x x +1 - x -1 > 0 -2x x +1 - x -1 > ( ) ( ) 2x x +1 - x -1 > 0 x +1 0 x +1< -2x2 - 3x -1 > 0 2x2 + x -1 > 0 2x2 + 3x +1< 2x2 + x -1 > x +1 0 x +1< 0 x -1 x < - ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-Теперь решим первую систему неравенств. Для этого сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения:

-1± 1+ 8 -1± 3 2x2 + x -1 = 0 x1,2 = = x1 = -1, x2 = 4 4 Следовательно, 2x2 + x -1 > 0 (-, ) x -1 x, + 2 x, + x - x - Теперь решим вторую систему неравенств. Для этого найдем корни соответствующего квадратного уравнения:

-3 ± 9 - 8 -3 ±1 2x2 + 3x +1 = 0 x1,2 = = x1 = -1, x2 = - 4 4 Далее получаем 2x2 + 3x +1< x -1, 2 x x < - x < - Таким образом, вторая система неравенств решений не имеет, и решение первой системы неравенств дает ответ задачи.

Ответ. x, + Пример 8. Найти множество значений параметра p, при которых уравнение 2 px - 2x - 4 x -1 -1 = имеет ровно два корня.

Решение. В случае x 1 получаем 2 px - 2x - 4 x -1 -1 = 0 2 px - 2x - 4 x -1 -1 = 0 2 px - 6x + 3 = ( ) 2x p - 3 = -( ) Таким образом, при p 3 решение уравнения имеет вид ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28--x =, (1) 2 p - ( ) а при p = 3 уравнение решений не имеет. Кроме того, поскольку x 1, то должно выполняться неравенство - 3 - 2 p - -3 - 3 - 3 ( ) 1 2 - 2 0 2 p - 3 p - 3 p - 3 p - ( ) p 3 - 2 p 2 p - 3 0 0 0 p, p - 3 p - 3 p - 3 В случае x <1 получаем 2 px - 2x - 4 x -1 -1 = 0 2 px - 2x + 4 x -1 -1 = 0 2 px + 2x - 5 = ( ) 2x p +1 = ( ) Таким образом, при p -1 решение уравнения имеет вид x =, (2) 2 p +( ) а при p = -1 уравнение решений не имеет. Кроме того, поскольку x <1, то должно выполняться неравенство 5 - 2 p +5 5 5 ( ) <1 < 2 - 2 < 0 < 2 p +1 p +1 p +1 p +( ) p 3 - 2 p 2 p - 3 < 0 > 0 > 0 p -1, + (-, ) p +1 p +1 p +1 Следовательно, в случае p, исходное уравнение имеет 2 решения: решение, определяемое по формуле (1) и удовлетворяющее неравенству x 1, и решение, определяемое по формуле (2) и удовлетворяющее неравенству x <1.

Ответ. p, ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-Пример 9. Найти все значения параметра p, при которых уравнение 7 - 6 p x2 + p x + = имеет хотя бы один корень.

Решение. Поскольку 7 - 6 p 2 7 - 6 p x2 + p x + = 0 x + p x + = 4 - p ± p2 - ( - 6 p - p ± p + 7 p -) - p ± p2 + 6 p - ( )( ) x = = =, 1,2 2 то исходное уравнение имеет хотя бы один корень тогда и только тогда, когда выполняется неравенство - p + p + 7 p -( )( ) 0 - p + p + 7 p -1 0 p + 7 p -1 p.

( )( ) ( )( ) Таким образом, задача свелась к решению неравенства p + 7 p ( )( -1 p. (3) ) Для того, чтобы решить неравенство (3), рассмотрим два случая.

В случае p < 0 должны выполняться неравенства p + 7 p -1 0 p -7 1, + ( )( ) (-, ) ( ) p -7.

(-, ) p ) p < 0 (-, Поскольку при этом левая часть неравенства (3) неотрицательна, а правая – отрицательна, то неравенство (3) верно.

В случае p 0 обе части неравенства (3) можно возвести в квадрат:

p + 7 p ( )( -1 p p + 7 p -1 p2 6 p - 7 0 p, + ) ( )( ) Объединение полученных областей дает ответ задачи.

Ответ. p -7, + (-, ) ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ Решить уравнения 1. 3x + 2 =2. 4x -1 =3. 5x - 2 = 3x - 4. =x -1 - x - 2 +5. = -2x +7 + 3x 6. = -x +1 - 7. x2 - 8x +12 = 3x -8. x2 - 4x = 3x - 9. x2 - 2x - 8 = 8x - 10. x2 + 8x = 6x + 11. x2 - 2x - 3 = 3x - 12. x2 - 3x = 4x - 13. x2 - x - 2 = 4x - 14. 3x3 +12x +1 = 3x3 -18x2 -15. 8x3 - 5x - 2 = 8x3 + 4x2 + 3x + 14 7 18 16. 8x + - = 8x - - x x3 x x1 3 3 17. -4x + - = -4x - + x 2x3 x 2x18. x3 + 36x + 9 = x3 -18x2 - ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-14 19. x3 + 7x - = x3 - 9x - x x Решить неравенства 20. x -1 > 21. 2x +1 < 22. 3x - 2 < 23. x -1 x - 2x + 2 ( ) 24. x2 - 3 x -1 -1 25. x + 4 x - 3x - 6 > ( ) 26. x2 - 2 x - 3 27. 3x 2x - 3 + 7x - 8 < 28. x2 - 5x +1 + 5 > 29. Найти множество значений параметра p, при которых уравнение 2 px - 4x + 6 x -1 - 3 = имеет ровно два корня.

30. Найти множество значений параметра p, при которых уравнение x - 2 + px + 2x -1 = не имеет корней.

31. Найти все значения параметра p, при которых уравнение p2 - p - x2 - p x + = имеет ровно 4 различных корня.

32. Найти множество значений параметра p, при которых уравнение x - 2 - px - x +1 = не имеет корней.

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru, resolventa@list.ru, (495) 509-28-







© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.