WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 7 | 8 || 10 | 11 |   ...   | 22 |

рациональность ряда Пуанкаре и теорема Трессе Саркисян Р.А. (Россия) Финансовая Академия при Правительстве РФ voidcaller@mail.domonet.ru В работах В. И. Арнольда [1] (задача 1994-24) и [2] была предложена задача исследования рациональности ряда Пуанкаре в т.н. локальных задачах анализа. В докладе с помощью техники базисов Гребнера строится страт V наибольшей размерности для произвольного действия псевдогруппы Ли, который оказывается открытым всюду плотным множеством в соответствующем пространстве бесконечных струй J ( этот страт является дополнением к пересечению подходящего набора гиперповерхностей). Доказывается рациональность ряда Пуанкаре построенного страта, V -регулярность точек страта V, справедливость теоремы Трессе для всех точек этого страта и ряд других результатов. (Точка x подмножества S J называется S-регулярной, если существует окрестность U этой точки такая, что ряды Пуанкаре у всех точек из U S совпадают.) На примере классификации струй векторных полей на многообразии (пример 2 из [1]) демонстрируется, что вне страта V (образованного струями неособых полей) картина усложняется: имеются открытые в пространстве G = J – V области, состоящие из точек, не являющихся G-регулярными. Каждой локальной задаче анализа соответствует действие своей группы диффеоморфизмов, т.е. подходящей псевдогруппы Ли. Это позволяет для таких задач получить страт наибольшей размерности и теорему Трессе из приведенных выше общих результатов.

Литература [1] Arnold V. I., Mathematical problems in classical physics, Trends and Perspectives in Applied Mathematics (Appl. Math. Series, V. 100), Springer, 1994, 1–20.

[2] Задачи Арнольда, М., ФАЗИС, 2000.

Некоторые классы нелинейных гиперболических уравнений с квазипериодическими решениями Сахаров А. Н. (Россия) Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского dynamic@mm.unn.ru Сидоров Е. А. (Россия) Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского dynamic@mm.unn.ru Вопрос о периодических, квазипериодических решениях различной структуры для определенных видов уравнений в частных производных рассматривался во многих работах, например, в [1]–[4]. Представляют интерес случаи существования дискретного множества (конечного, счетного) соответствующих решений специального вида – аналитических квазипериодических или более общего вида. Ниже выделяются уравнения в частных производных в конструктивной форме, имеющие заданные множества таких решений (периодических или квазипериодических по всем переменным и т.д.). Естественно, что в самих уравнениях явно отражена структура решений.

Имеются ввиду два случая: 1) вопрос о числе соответствующих решений рассматривается в пространстве аналитических функций с фиксированным набором частот (отдельно для вещественного и комплексного случаев), 2) постановка задачи о числе соответствующих решений относится к заранее указанному подпространству функций с дополнительными условиями, например, неотрицательность индексов в комплексном разложении Фурье. В обоих случаях исходным является линейное уравнение в частных производных относительно u(x, y):

Lu = 0. (1) Приведем некоторые полученные результаты. Случай 1.

Теорема 1. Пусть уравнение (1) имеет нетривиальные квазипериодические решения с частотами 1,..., m по x и y. Выберем такое одно (для краткости) решение u = (x, y). Предположим, что сопряженное уравнение Lu = 0 имеет нетривиальное квазипериодическое решение v = (x, y). Построим дифференциальное уравнение, имеющее n различных квазипериодических решений в пространстве аналитических квазипериодических функций H(1,..., m) в виде n Lu = (x, y) (u - ak(x, y)). (2) k=Тогда других, отличных от uk = ak(x, y), квазипериодических решений уравнение (2) не имеет.

Случай 2. Здесь выбирается пространство H квазиполиномов вида u = Pk(x)ei Akx,, k где, Ak – матрицы, элементы котоых – натуральные числа, x Rm.

Рассматривается вопрос о числе решений в пространстве H уравнения (3) (см. ниже).

Теорема 2. Пусть уравнение (1) имеет нетривиальное решение u = (x) H. Тогда уравнение, аналогичное (2) n Lu = (u - ak(x)) (3) k=не имеет других решений из пространства H, отличных от ak(x).

Литература [1] Забрейко П. П., Третьякова Л. Г. Периодические решения квазилинейного телеграфного уравнения // Дифференциальные уравнения. 1991. Т. 27. № 5. С. 815–826.

[2] Митропольский Ю. А., Хома Н. Г., Хома С. Г. Гладкие решения задачи Дирихле для квазилинейного гиперболического уравнения второго порядка // Укр. мат. журнал. 2000. Т. 52. № 7.

С. 931–935.

[3] Колесов А. Ю., Мищенко Е. Ф., Розов Н. Х. Явление буферности в резонансных системах нелинейных гиперболических уравнений // УМН. 2000. Т. 55. № 2. С. 95–120.

[4] Сахаров А. Н., Сидоров Е. А. О числе периодических решений некоторых гиперболических нелинейных уравнений // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. 2006. № 11. С. 188–189.

Оптимальность эйлеровых эластик Сачков Ю. Л. (Россия) Институт программных систем РАН, Переславль-Залесский sachkov@sys.botik.ru В 1744 г. Леонард Эйлер рассмотрел следующую задачу о стационарных конфигурациях упругого стержня. Дан упругий стержень на плоскости, у которого закреплены положения концов, а также углы наклона на концах. Требуется определить возможные профили стержня при заданных граничных условиях. Эйлер получил дифференциальные уравнения для стационарных конфигураций стержня и описал их возможные качественные типы. Эти конфигурации называются эйлеровыми эластиками.

Эйлеровы эластики суть критические точки функционала упругой энергии на пространстве кривых с фиксированными концами и касательными на концах. Вопрос о том, какие из этих критических точек являются точками минимума (локального или глобального), оставался открытым. Данная работа посвящена исследованию этого вопроса.

Экспоненциальное отображение в задаче Эйлера параметризуется функциями Якоби. На основе анализа дискретных симметрий этого отображения получены оценки для точек разреза и сопряженных точек (т.е. точек, в которых экстремальные траектории теряют соответственно глобальную и локальную оптимальность). В частности, решена задача об устойчивости эйлеровых эластик.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 05-01-00703-а).

Литература [1] Yu. L. Sachkov, Maxwell strata in Euler’s elastic problem, arXiv:0705.0614 [math.OC], 3 May 2007.

[2] Yu. L. Sachkov, Conjugate points in Euler’s elastic problem, arXiv:0705.1003 [math.OC], 7 May 2007.

[3] Ю. Л. Сачков, Оптимальность эйлеровых эластик, Доклады Академии Наук, в печати.

Асимптотика решений матричных интегро-дифференциальных уравнений Сгибнев М. С. (Россия) Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН sgibnev@math.nsc.ru Рассматривается система интегро-дифференциальных уравнений n n Xim(t) + AijXjm(t) = Kij Xjm(t) + Fim(t), t 0, (1) j=1 j=i = 1,..., n, m = 1,..., n1, где Xim(t) неизвестные функции, Aij C, Kij(t), Fim(t) комплексные измеримые функции такие, что при неко тором R интегралы et|Kij(t)| dt и et|Fim(t)| dt конечны;

0 символ означает свертку функций. Запишем систему (1) в матричной форме X(t) + AX(t) = K X(t) + F(t), t 0. (2) Пусть (x), x 0, полумультипликативная функция, т. е. (x) конечна, положительна, измерима по Борелю и удовлетворяет условиям:

(0) = 1, (x + y) (x) (y), x, y 0. Известно, что ln (x) ln (x) r+() := lim = inf <.

x x>x x Предположим, что r+() > -. Для произвольной функции g(t), t 0, обозначим через g(s) ее производящую функцию моментов:

g(s) := estg(t) dt.

Допустим, что множество Z := {s1, s2,..., sl} корней характеристического уравнения det[A - sI - K(s)] = 0, (3) лежащих в полуплоскости () := {s C : Re s r+()}, конечно. Мы не исключаем случая Z =. Положительное целое число mj называется кратностью корня sj характеристического уравнения (3), если det[A - sI - K(s)] = (s - sj)mjg(s), g(sj) = 0.

Обозначим через |K(t)| матрицу (|Kij(t)|). Пусть sj Z и tmjeRe sjt|K(t)| dt <, tmjeRe sjt|F(t)| dt <.

0 Положим H(s) := [A - sI - K(s)]-1[X(0) + F(s)].

Определим матричные коэффициенты Bjk, k = 1,..., mj, из асимптотического разложения mj Bjk H(s) = (-1)k + o, s sj. (4) (s - sj)k s - sj k=Теорема. Пусть (t), t 0, полумультипликативная функция такая, что функция (t)/er+()t, t 0, не убывает. Пусть Z = {s1,..., sl} множество всех корней характеристического уравнения (3), лежащих в полуплоскости (). Обозначим через m1,..., ml кратности корней s1,..., sl соответственно. Положим N равным максимальной кратности корней этого уравнения, лежащих на прямой {s C : Re s = r+()} (если таких корней на указанной прямой не имеется, то N := 0). Предположим, что t2N(t)|K(t)| dt <, tN(t)|F(t)| dt <.

0 Тогда для решения X(t) уравнения (2) с начальными значениями 0, X(0) справедливо асимптотическое разложение mj l tk-1e-sjt X(t) = Bjk + (t), (k - 1)! j=1 k=в котором матричные коэффициенты Bjk определяются из асимптотического разложения (4), а остаток (t) удовлетворяет соотношению (t)|(t)| dt <.

Кроме того, (t)(t) 0 при t.

Аналогичный результат для “одномерного” интегро-дифференциального уравнения (n = n1 = 1) был получен в работе [1].

Литература [1] Сгибнев М. С. Асимптотика решений интегро-дифференциального и интегрального уравнений // Дифф. уравнения. – 2006. – Т. 42, N 9. – С. 1222–1232.

О некоторых обобщениях неравенства Коши–Буняковского Ситник С. М. (Россия) Воронежский институт МВД mathsms@yandex.ru Среди нетривиальных обобщений дискретного неравенства Коши – Буняковского одним из наиболее известных результатов является теорема Карлица – Элиезера – Дэйкина (CDE)(см. [1]–[2]), которую мы переформулируем с использованием средних.

Теорема CDE. Уточнение дискретного неравенства Коши – Буняковского вида 2 n n n xk · yk f2(xk, yk) · g2(xk, yk) k= k=1 k=n n x2 · yk (1) k k=1 k=выполняется тогда и только тогда, когда величины f(x, y), g(x, y) являются парой произвольных взаимно сопряжённых средних [4–6], удовлетворяющих свойствам однородности и монотонности по каждому аргументу.

Данная формулировка в терминах средних делает более понятным оригинальный результат, кроме того снабжает его огромным числом конкретных примеров с использованием многочисленных известных средних [4–6]. Прототипом теоремы CDE послужило известное неравенство Милна [2–3].

Рассмотрим интегральный аналог теоремы CDE. Оказывается, что справедлив следующий неожиданный результат: сохраняется лишь достаточная часть теоремы.

Теорема 1. Пусть M – произвольное однородное, монотонное по каждому аргументу абстрактное среднее (необязательно симметричное!), M = xy/M(x, y) – сопряжённое среднее (см. [4–6]). Тогда справедливо обобщение интегрального неравенства Коши – Буняковского вида 2 b b b f(x)g(x) dx (M(f, g))2 dx (M(f, g))2 dx a a a b b (f(x))2 dx (g(x))2 dx. (2) a a Мои любимые следствия из этой теоремы получаются при выборе арифметико-геометрического среднего Гаусса и максимума–минимума.

Следствие 1. Справедливо неравенство:

2 b b max(f, g) f(x)g(x)dx 2 dx a a min(f,g) K 1 max(f,g) b 2 b b min(f,g) (min(f, g))2 K 1 - dx f2 dx g2 dx, max(f,g) a a a где K(x) есть полный эллиптический интеграл Лежандра 1 рода.

Отметим экзотический характер последнего неравенства: это неравенство между произвольными функциями, но которые стоят под знаком конкретной специальной функции – эллиптического интеграла Лежандра! Следствие 2. Справедливо неравенство:

2 b b b f(x)g(x) dx [max(f, g)]2 dx · [min(f, g)]2 dx a a a b b f2(x)dx · g2(x) dx. (3) a a Для интегрального случая необходимая часть теоремы CDE не выполняется, что следует из существования найденных автором других обобщений неравенства Коши – Буняковского, которые не приводятся к виду (2), а имеют иную структуру.

Рассматриваются приложения полученных результатов к оценкам специальных функций и решений дифференциальных уравнений.

Литература [1] Mitrinovi D. S., Peari J. E., Fink A. M. Classical and new inequalities in analysis. Kluwer, 1993.

[2] Dragomir S. S. A Survey on Cauchy – Buniakowsky – Schwartz Type Discrete Inequalities. http://rgmia.vu.edu.au/monographs, 2003.

[3] Харди Г. Г., Литтлвуд Д. Е., Полиа Г. Неравенства. М.: ИЛ. – 1948.

[4] Ситник С. М. Обобщения неравенств Коши – Буняковского методом средних значений и их приложения // Чернозёмный альманах научных исследований. Серия “Фундаментальная математика”. – 2005. – № 1(1). – С. 3–42.

[5] Ситник С. М. Некоторые приложения уточнений неравенства Коши – Буняковского // Вестник Самарской государственной экономической академии. – 2002. – № 1(8). – С. 302–313.

[6] Ситник С. М. Уточнение интегрального неравенства Коши – Буняковского // Вестник Самарского гос. тех. университета. Сер.

“Физико-математические науки”. – 2000. – № 9. – С. 37–45.

Ветвление собственных значений задачи Орра–Зоммерфельда Скороходов С. Л. (Россия) ВЦ РАН skor@ccas.ru Изучается задача Орра – Зоммерфельда на отрезке y [-1, 1]:

(IV )(y) - 22 (y) + 4 (y) - U(y) - (y) - 2 (y) iR +U(y) (y) = 0, с краевыми условиями (±1) = (±1) = 0. Здесь параметр R > 0 – число Рейнольдса, > 0 – волновое число, U(y) – функция скорости основного потока жидкости, и (y) – искомые собственные значения (СЗ) и собственные функции.

Для профиля скорости U(y) рассматривают течение Куэтта U(y) = y, течение Пуазейля U(y) = 1 - y2, либо общее течение Куэтта – Пуазейля U(y) = ay2 + by + c.

Для решения задачи разработан метод, использующий представление (y) в виде комбинации четырех степенных разложений в окрестности граничных точек:

(1, 2)(y) = d(1, 2)(y + 1)k+2, (3, 4)(y) = e(3, 4)(1 - y)k+2, (1) k k k=0 k=где для коэффицентов dk = dk(R,, ) и ek = ek(R,, ) получены рекуррентные уравнения шестого порядка. С помощью теории Пуанкаре – Биркгофа исследована асимптотика решений dk и ek при k.

Показано, что в случае течения Куэтта – Пуазейля асимптотика коэффициентов dk и ek имеет вид dk/dk-1 k-1/2, а в случае течения Куэтта dk/dk-1 k-2/3, то есть ряды (1) задают целые функции.

Преставляя решение (y) в виде комбинации разложений (1) и осуществляя сшивку решений в некоторой точке y (-1, 1), получаем уравнение для вронскиана Wr() = Wr(1, 2, 3, 4; ; y) = 0 ; (2) это уравнение является основным для вычисления искомого спектра n(R).

Для случая течения Куэтта детально исследованы траектории СЗ n(R) при изменении числа R (0, 106). Численно показано, что функции n(R) имеют в окрестности узловой точки = -i/ 3 счетное множество точек ветвления Rk второго порядка, в окрестности которых пара СЗ n(R) и m(R) имеет поведение n, m(R) = ± R - Rk (R) + (R), где (R) и (R) – регулярные функции в окрестности точки R = Rk.

При непрерывном увеличении числа R > 0 пары СЗ n(R) и m(R) сначала образуют при R = Rk двойные СЗ на мнимой оси, которые затем распадаются на пары простых СЗ, симметричных относительно мнимой оси. При дальнейшем увеличении числа R эти простые СЗ приближаются к своему предельному графу двум симметричным отрезкам L1 и L2, соединяющим точку = -i/ 3 с точками = и = -1.

Процесс образования и распада двойных СЗ соответствует переходу СЗ с нижней ветви спектра, расположенной на мнимой отрицательной оси, на четыре других ветви, окаймляющих отрезки L1 и L2.

Картина распределения СЗ в совокупности составляет портрет "спектрального галстука".

Для вычисления точек ветвления Rk и двойных СЗ n, m(Rk) был разработан специальный итерационный метод, позволивший найти их с точностью до 100 десятичных значащих цифр вплоть до чисел Рейнольдса R = 106.

Приведем значения первых четырех точек ветвления Rk и двойных СЗ n, m(Rk) для течения Куэтта с волновым числом = 1:

R1 = 61.917759, 3, 4 = -0.79983498i ;

R2 = 65.520229, 1, 2 = -0.38816096i ;

R3 = 205.777781, 6, 7 = -0.66527009i;

R4 = 214.403383, 6, 7 = -0.64739767i.

Проведенный численный анализ позволяет предположить, что верна Гипотеза. Собственные значения n(R) задачи Орра – Зоммерфельда для течения Куэтта, рассматриваемые как функции числа Рейнольдса R при фиксированном > 0, имеют счетное множество точек ветвления второго порядка Rk > 0, в которых двойные СЗ n, m(Rk) чисто мнимые отрицательные и справедливо i lim n, m(Rk) -.

k Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (коды проектов 07-01-00295, 07-01-00503) и Программы № 3 ОМН РАН.

Pages:     | 1 |   ...   | 7 | 8 || 10 | 11 |   ...   | 22 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.