WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 6 | 7 || 9 | 10 |   ...   | 22 |

[2] Mirzov J. D. Asymptotic Properties of Solutions of Systems of Nonlinear Nonautonomous Ordinary Differential Equations, Folia Math.

Fac. sci. natur. Univ. Masaryk. brun. 2004, N 14, p. 1–178.

[3] Atkinson F. V. On second-order non-linear oscillations // Pacif. J.

Math., 1955, 5, N 1, p. 643–647.

[4] Belohorec S. Oscilatorick rie istej nelinernej diferencialnej senia rovnice druhho rdu // Mat.-Fyz. Casop. SAV, 1961, 11, N 4, s. 250–255.

Оптимальный синтез в задача геометрии штрихов на плоскости Моисеев И. В. (Италия) International School for Advanced Studies, SISSA – ISAS, Trieste moiseev@sissa.it,moiseev.igor@gmail.com В данной задаче рассмотрена модель плоскости с каждой точкой которой связан вектор, задающий направление движения. Эта конструкция есть частный случай контактной структуры заданной на трехмерном многообразии полнотория, см. [1]. Подобные модели возникают в множестве прикладных задач, например в моделях видения [4] и робототехнике [5].

Произведено построение оптимального синтеза траектории в задаче управления и проведены исследования особенностей экспоненциального отображения. Примеры подобных исследований можно найти в статьях [2], [5] и [6]. В работе изучаются особенности субримановой сферы. Субриманова сфера имеет два типа особенностей, это самопересечения и множества точек возврата. Первый тип особенностей соответствует стратам Максвелла, а второй тип каустикам.

При построении оптимального синтеза в задаче управления наиболее важным является первое самопересечение субримановой сферы или момент потери глобальной оптимальности траектории системы.

Из общей теории контактных структур, см. [1], [3], этот момент времени оценивается моментом потери локальной оптимальности, соответствующий точкам каустики.

Главным результатом работы является построение синтеза оптимального управления, что сводиться к доказательству двух фактов.

1. Характеристика время разреза или потери траекториями оптимальности.

а. Время разреза t = t(0 |, ) есть корень следующих уравнений Cut1(t, 0 |, ) = + 2 - t - 0, в случае > Cut2(t, 0 |, ) = + t - 0, в случае < б. Время разреза инвариантно относительно вариаций и 0 : t = t().

1 2 в. t K, K, в случае > 1, t = 2K(), в случае < 1.

где K(m) есть полный эллиптический интеграл первого рода.

2. Экстремали без точек перегиба не имеют соряженных точек, т.е.

остаются локально оптимальными всюду.

Литература [1] A. Agrachev, Exponential mappings for contact sub-Riemannian structures, J. Dynam. Control Systems 2, No. 3, 321–358.

[2] A. Agrachev, B. Bonard, M. Chyba, and I. Kupka, Sub-Riemanian sphere in Martinet flat case. J. ESAIM: Control, Optimization and Calculus of Variations, 1997, v. 2, 377–448.

[3] В. И. Арнольд. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Наука, М., 1978.

[4] J. Petitot, The neurogeometry of pinwheels as a sub-Riemannian contact structure, J. Physiology – Paris 97 (2003), 265–309.

[5] J. A. Reeds, L. A. Shepp, Optimal paths for a car that goes both forward and backwards, Pacific J. Math. 145:2 (1990), 367–378.

[6] Yu. L. Sachkov, Discrete symmetries and Maxwell set in generalized Dido’s problem, SISSA preprint 2005.

Канонические и граничные представления на симметрических пространствах Молчанов В. Ф. (Россия) Тамбовский государственный университет им. Г. Р. Державина molchano@molchano.tstu.ru Канонические пpедставления на эpмитовых симметpических пpостpанствах G/K были введены Беpезиным и Веpшиком, Гельфандом и Гpаевым – для целей квантования и квантовой теоpии поля.

Они унитаpны относительно некотоpого инваpиантного нелокального скаляpного пpоизведения (фоpма Беpезина). Мы думаем, что было бы естественным pассматpивать канонические пpедставления в более шиpоком смысле: надо отказаться от условия унитаpности и позволить пpедставлениям действовать в достаточно шиpоких пpостpанствах функций или сечений линейных расслоений, в частности, в пpостpанствах обобщенных функций. Понятие канонического пpедставления (в этом шиpоком смысле) может быть pаспpостpанено на дpугие классы полупpостых симметpических пpостpанств G/H, как римановых, так и псевдо-римановых. Более того, иногда оказывается полезным pассматpивать сpазу вместе несколько пpостpанств G/Hi, возможно с pазными Hi, вложенными как откpытые G-оpбиты в некотоpое компактное многообpазие, на котоpом G действует, так что есть замыкание объединения этих оpбит.

Канонические пpедставления можно определить следующим обра зом. Пусть G – группа, содержащая G (“надгpуппа”), R, C, – серия представлений гpуппы G, индуцированных характерами неко торой параболической подгруппы P, связанной с пространством G/H, и действующих в функциях на. Канонические представления R группы G – это ограничения представлений R на G. Вообще говоря, представления R и R могут еще зависеть от некоторого дискретного параметра.

Другой вариант состоит в том, что мы еще ограничиваемся на Gорбиту на.

Изучение представлений в функциях на всем оказывается в некотором смысле более естественным, чем изучение представлений в функциях на одной орбите. В частности, можно легко написать обратный оператор для преобразования Березина Q: он есть преобразование Березина Q-N-, где N – некоторое число. Это позволяет получить разложение (“формулу Планшереля”) формы Березина для всех в явном и прозрачном виде.

Канонические пpедставления поpождают гpаничные пpедставления – двух типов: пpедставления одного типа действуют в обобщенных функциях, сосpедоточенных на гpанице, пpедставления втоpого типа действуют в стpуях, тpансвеpсальных к гpанице (в коэффициентах Тейлоpа относительно гpаницы).

В настоящее время явные формулы для разложения канонических и граничных представлений получены для многих симметрических пространств ранга один, в частности, для гиперболических пространств.

Рассмотрим, например, пространство Лобачевского G/K, где G = SO0(n - 1, 1), K = SO(n - 1). Оно есть одна пола двуполостного гиперболоида L в Rn, задаваемым уравнением -x2 -... - x2 + x2 = 1.

1 n-1 n Его размерность равна n - 1. В качестве надгруппы мы берем G = SO0(n, 1). Эта группа действует в пространстве Rn+1, которое полу чается добавлением к Rn координаты x0. Группа G сохраняет билинейную форму [[x, y]] = -x0y0 -... - xn-1yn-1 + xnyn. Представления R,, C, = 0, 1, – это представления группы G, связанные с конусом [[x, x]] = 0. Они действуют в пространстве D() функций четности из D() (D = C), где – сечение конуса гиперплоскостью xn = 1, это – единичная сфера размерности n - 1. Группа G имеет три орбиты на : две полусферы ± (x0 0) и экватор 0 (x0 = 0). Гиперболоид L можно отождествить с этой сферой без экватора. Канонические пpедставления R, группы G – это ограни чения на G представлений R,. Ядро преобразования Березина есть [[u, vJ]], где J = diag{-1, 1,..., 1}, с множителем.

Каноническое пpедставление R, может быть распространено на пространство D() обобщенных функций из D() четности. Оно порождает граничные представления L, и M,, связанные с границей 0 многообразий ±. Первое из них, т.е. L,, есть ограничение пpедставления R, на пространство обобщенных функций из D(), сосредоточенных на экваторе 0. Второе, т.е. M,, действует в рядах Тейлора по u0 функций из D().

Мы разлагаем в явном виде канонические пpедставления на неприводимые составляющие, разлагаем форму Березина на соответствующих пространствах и разлагаем граничные представления.

Решающую роль в разложении играют операторы P,, и F,,, C, сплетающие канонические представления с представлениями T группы G, связанными с конусом (мы называем их преобразованиями Пуассона и Фурье). Полюсы по этих преобразований дают разложение граничных представлений. Полюсы первого порядка дают диагонализацию представлений, для полюсов второго порядка в разложении появляются жордановы клетки.

В разложении канонических пpедставлений участвуют части граничных представлений, количество неприводимых частей зависит от.

Работа поддержана Российским Фондом Фундаментальных Исследований: гранты No. 05-01-00074a и No. 05-01-00001a, Голландской Организацией Научных Исследований (NWO): грант 047-017-015, Научными Программами “Развитие Научного Потенциала Высшей Школы”: проект РНП.2.1.1.351 и Темплан No. 1.5.07.

Расчет нестационарных магнитных полей в пространстве с многосвязной трещиной Науменко Я. А. (Россия) Южный научный центр РАН jan@novoch.ru В работе рассматривается векторное операторное уравнение, возникающее в приложениях при моделировании нестационарных магнитных полей в однородном пространстве с электропроводящей трещиной.

Рассмотрим L2 (S; R2) – пространство двухкомпонентных векторфункций на римановой многосвязной поверхности S, суммируемых с квадратом. Будем считать, что поверхность S и ее граница l являются липшицевыми. Нормаль к S обозначим n, а нормаль к l, лежащую в касательной к S плоскости как.

Согласно Вейлю [1], [2], пространство L2 (S; R2) допускает разложение в прямую сумму ортогональных подпространств:

L2 S; R2 = L(P ) L.

Пространство обобщенных по Вейлю потенциальных полей L(P ) может рассматриваться как замыкание по норме L2 (S; R2) множества, (1) элементами которого являются градиенты функций из C0 (S). Пространство обобщенных соленоидальных полей L в свою очередь может быть представлено в виде:

L = G L(S).

Здесь G – конечномерное подпространство гармонических на S полей, размерность которого является топологическим инвариантом поверхности S, на единицу меньшим ее. В частности, если поверхность S односвязна, то G =. Введем ортопроектор PL из L2 (S; R2) на подпространство L. Введем также ортопроектор P = PLPS, где PS обнуляет нормальную к S компоненту поля.

Будем рассматривать следующее операторное уравнение:

= K + f(t). (1) t Здесь K = P ; = dSN; – некоторый вещественный 4 rNM S параметр; S – двумерная трещина; – неизвестная векторноя плотность потенциала простого слоя. Будем считать также, что f L есть ограниченная функция времени при t [0, ).

Свойств оператора K, показанных в [3], достаточно, чтобы спектр его был дискретен, а собственные функции образовывали в пространстве L полную ортонормальную систему. На основе этого, при достаточно широких предположениях относительно гладкости функции f L доказывается существование, единственность и численная устойчивость решения уравнения (1). Строится численный метод его решения. Приводятся примеры расчетов.

Литература [1] Weyl H. The method of orthogonal projection in potential theory // Duke Math. J. – 1940. – V. 7. – P. 411–444.

[2] Friedrichs K. O. Differential forms on Riemannian manifolds // Comm. on Pure and Appl. Math. – 1955. – Vol. VIII. – P. 551–590.

[3] Науменко Я. А. Локальный признак корректности и численное решение интегрального уравнения первого рода для плотности вихревых токов // Вестник Южного научного центра / РАН. – 2005. – Т. 1. № 4. – С. 3–8.

Задача Римана для уравнений мелкой воды на ступеньке Петросян А. С. (Россия) Институт космических исследований РАН apetrosy@iki.rssi.ru Рассматривается решение задачи Коши с кусочно постоянными начальными данными для уравнений мелкой воды на ступеньке. Показана множественность режимов обтекания ступеньки в зависимости от соотношения гидродинамических параметров и высоты ступеньки.

Предложена аппроксимация уравнений Эйлера квазидвухслойной моделью мелкой воды, позволяющая найти однозначное решение задачи Римана для течений тяжелой жидкости в поле силы тяжести.

Метод линий уровня и анализ особенностей течений жидкости и газа Рылов А. И. (Россия) Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, Новосибирск rylov@math.nsc.ru Аналитические исследования течений жидкости и газа в значительной степени опираются на различные геометрические методы и подходы [1]–[4]. Метод линий уровня основан на анализе линий уровня таких пар функций, каждая из которых монотонна вдоль линии уровня другой функции [4]–[7]. Как оказывается, в области эллиптичности свойством монотонности обладает решение произвольной однородной системы двух уравнений первого порядка [5]. Важным этапом в развитии метода является построение алгоритма преобразования неоднородных систем в однородные [5], позволившего вовлечь в рассмотрение ряд новых пар функций, их линий уровня и новые физические объекты, например, осесимметричне течения [5]–[7] и др..

Метод особенно эффективен при совместном анализе особых точек (бесконечно удаленной точки, точек ветвления, точек торможения и разрыва кривизны на обтекаемом теле и т.д.) и связанных с ними линий уровня. В ряде случаев такой анализ позволяет сопоставить обтекаемому телу структуру особых точек и характерных линий уровня и выявить принципиальные свойства течений.

Опуская ряд результатов для плоских вихревых течений между телом и ударной волной (Никольский 1949, Шифрин 1966, 69, Рылов 1991–2003) и осесимметричных потенциальных течений (Шифрин 1971, Рылов 1995–2003) более подробно остановимся на исследовании особых точек обращения в нуль вектора ускорения и связанной с ними структуры линий нулевых значений компонент вектора ускорения в задачах дозвукового обтекания тел. С использованием обозначений M – число Маха и – плотность, система уравнений на плоскости потенциала (, ) такова [6], [7]:

kU - V = 0, U + V = 0; k = (1 - M2)/2.

Здесь U и V с точностью до положительных сомножителей равны, соответственно, продольной (вдоль линии тока) и поперечной компонентам F и G вектора ускорения. Данная система и функции U и V особенно интересны при изучении линий нулевых значений компонент вектора ускорения. Линия V = G = 0 имеет и ясный физический смысл, либо как линия точек перегиба линий тока, либо как прямая линия тока. Анализ линий F = 0 и G = 0 лежит в основе следующей теоремы [7].

Теорема. Из каждой особой точки i вне обтекаемого тела выходят четное число N(i) линий F = 0, G = 0 и N(i) линий G = 0, F = 0, N(i) зависит от порядка особенности и от того, является ли точка i бесконечно удаленной точкой или нет.

Следствие. Если точки растекания и схода находятcя на обтекаемом теле (классическая схема обтекания), то все указанные линии приходят на тело. Анализ геометрии тела, точек разрыва кри визны, растекания и схода позволяет оценить значение S = N(i) и указать на принципиальные свойства течений.

Работа поддержана Междисциплинарным интеграционным проектом СО РАН “Актуальные проблемы теории функций и гидродинамики” (проект № 117).

Литература [1] Arnold V. I., Khesin B. A. Topological methods in hydrodynamics.

N.Y.: Springer, 1997. 374 p.

[2] Черный Г. Г. Газовая динамика. М.: Наука, 1988. 424 с.

[3] Busemann A. Gasdynamik // Handbuch der experimentalphysik V. 4.1. Leipzig: Akad. Verlag, 1931. P. 341–460.

[4] Никольский А. А., Таганов Г. И. Движение газа в местной сверхзвуковой зоне и некоторые условия разрушения потенциального течения // ПММ. 1946. Т. 10. Вып. 4. С. 481–502.

[5] Рылов А. И. Свойства монотонности решений эллиптических систем первого порядка и их приложения к уравнениям механики жидкости и газа // ПММ. 1995. Т. 59. Вып. 5. С. 758–766.

[6] Рылов А. И. О свойствах однородных систем уравнений газовой динамики для компонент вектора ускорения // Сиб. ж. индустр.

математики. 1998. Т. 1. № 2. С. 169–174.

[7] Рылов А. И. Топология линий нулевых значений компонент вектора ускорения в дозвуковых течениях // ПММ. 2006. Т. 70.

Вып. 3. С. 400–411.

Локальные задачи анализа по Арнольду:

Pages:     | 1 |   ...   | 6 | 7 || 9 | 10 |   ...   | 22 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.