WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 | 9 |   ...   | 22 |

В докладе рассмотрен случай, когда период циклического процесса задан, а скорость его развития может варьироваться, точнее зависит от выбора значения управляющего параметра. Задачи такого типа встречаются при анализе моделей различных технологических процессов.

Основной результат работы – это следующая классификация типичных особенностей наибольшей выгоды для однопараметрических циклических процессов с заданным периодом.

Теорема. На окружности для типичного гладкого однопараметрического семейства пар плотностей выгоды и управляемых систем с положительными скоростями росток наибольшей выгоды, доставляемой движением с заданным периодом оборота, в любом значении параметра, допускающем такие движения, есть росток в нуле функции равной нулю при p 0 и одной из функций второго столбца таблицы при p 0 с точностью до эквивалентности, указанной в 3-м столбце. Более того, для типичной пары и любой близкой к ней график выгоды может быть переведен один в другой гладкой эквивалентностью близкой к тождественной.

No Особенность Экв. Условия 1 0 R+ #U 2 0, p 0 R+ #U 3 p2 R+ #U 4 p2 #U 5 p2 R+ #U 6 p3 R+ #U 7 -p2 dim U > Эта классификация отличается от аналогичной для случая со свободным периодом (см. [2]), хотя и пересекается с ней по значительному числу особенностей. Здесь #U – число различных значений управляющего параметра.

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке грантами РФФИ 06-01-00661а, и ИНТАС 05-1000008-7805.

Литература [1] В. И. Арнольд – Оптимизация в среднем и фазовые переходы в управляемых динамических системах // Функц. анализ и его приложения, 2002, т. 36, с. 1–11.

[2] А. А. Давыдов – Особенности типичной выгоды в модели Арнольда циклических процессов // Труды МИАН, 2005, т. 250, с. 79–94.

Глобальные и локальные краевые и обобщенные индексы особенностей пары полей и их приложения Кунаковская О. В. (Россия) Воронежский государственный университет ovk@math.vsu.ru В работах [2]–[6] Ю. Г. Борисовичем и автором было предпринято систематическое исследование на гладком компактном ориентированном многообразии с краем понятий глобального и локального топологического индекса краевой особенности 1-формы (векторного поля) (введенного В. И. Арнольдом в [1] для случая изолированной краевой особенности). Существенной частью глобальной конструкции является построенный аналог (соответствующий паре гладких сечений вещественного ориентированного евклидова векторного расслоения) индекса 1-формы вдоль гиперповерхности, введенного также в [1].

Рассматриваемые краевые и внутренние (глобальные и локальные), а также обобщенные индексы пары сечений (1, 2) обладают естественными свойствами гомотопической инвариантности и аддитивности. Теорему В. И. Арнольда I() + I+() = (M) о равенстве суммы индексов 1-формы на многообразии M с краем M эйлеровой характеристике (M) многообразия M (обобщение теоремы Хопфа) можно записать как I() + I+() = I(-df), где неотрицательная гладкая функция f : M R задает уравнение края многообразия M. Такой вариант записи помог перейти для пары гладких сечений (1, 2) векторного расслоения (E, p, M) ранга n = dim M к более общей формуле B(1, 2) = I(2) - I(-1), позволяющей связать взаимное поведение полей (сечений) на краю и их особенности в int M. Здесь B(1, 2) – глобальный краевой индекс пары полей (1, 2), отличие которого от нуля гарантирует существование краевых особенностей пары сечений (1, 2), т.е. таких точек x M, в которых векторы 1(x) и 2(x) коллинеарны. I(i) – внутренний индекс сечения i; при I(i) = 0 сечение i обращается в нуль в некоторой точке int M.

Эта теория оказалась полезной при исследовании акустических волн в кристалле произвольной сингонии (см. [5]), где с ее помощью удалось оценить снизу (числом 3) полное количество направлений продольных волн, а также указать соотношения между числами направлений продольных нормалей различных типов.

Построены бесконечномерные аналоги [2], [6] описанной теории для пары нелинейных операторов (из некоторых достаточно широких классов) в сепарабельном гильбертовом пространстве и в специальных классах банаховых пространств. На этом пути получены теоремы существования обобщенных собственных векторов x: F2(x) = F1(x) пары нелинейных операторов (F1, F2), уточняющие классические теоремы такого вида.

В докладе будут приведены и другие приложения введенных индексов.

Литература [1] Арнольд В. И. Индексы особых точек 1-форм на многообразии с краем, сворачивание инвариантов групп, порожденных отражениями. и особые проекции гладких поверхностей. – Успехи матем. наук. 1979, т. 34, вып. 2. – С. 3–38.

[2] Borisovich Yu. G., Kunakovskaya O. V. Boundary indices of nonlinear operators and the problem of eigenvectors // Meth. and Appl.

of Glob. Anal. – Voronezh, 1993. – P. 39–44.

[3] Кунаковская О. В. Краевые индексы пары сечений n-мерного векторного расслоения над n-мерным многообразием с краем.

Деп. в ВИНИТИ 25 июля 1986 г., № 6317-В86, 24 с.

[4] Kunakovskaya O. V. On additivity property of the boundary index of a pair of nonlinear operators // Труды междунар. конгресса Ассоциации “Женщины-математики”. Вып. 3. – Н. Новгород: Изд-во ННГУ, 1994. – С. 23–28.

[5] Борисович Ю. Г., Даринский Б. М., Кунаковская О. В. Применение топологических методов для оценки числа продольных упругих волн в кристаллах // Теорет. и матем. физика, 1993. – Т. 94, № 1. – С. 146–152.

[6] Borisovich Yu. G., Kunakovskaya O. V. Intersection theory methods in constructions of topological characteristics of solutions of nonlinear eigenvectors problem // Stochastic and Global Analysis. Voronezh, Russia, 13–19 January, 1997. Abstracts. – Voronezh, 1996. – P. 10–12.

Топологическая структура дополнений конфигураций гиперплоскостей в Cn и изомонодромные деформации ассоциированных фуксовых систем Лексин В. П. (Россия) КГПИ lexine@mccme.ru В комплексном линейном пространстве Cn со стандартным эрмито n вым произведением (u, v) = uivi рассматриваются конфигурации i=гиперплоскостей H = {H1 =..., HN }, определяемые конечными наборами неколлинеарных векторов R = {1,..., N} Cn, порождающих Cn. Каждая гиперплоскость Hj ортогональна вектору j. Деформации наборов векторов R определяют деформации конфигураций гиперплоскостей H. При условиях на деформации, которые не изменяют гомотопического, топологического или диффеоморфного типа N дополнения Cn \ Hj, рассматриваются ассоциированные линейj=ные фуксовы системы на Cn следующего вида B d(, z) d(z) = (z), () (, z) R где B = h, R, h C являются линейными операторами на Cn ранга один, а именно, B(v) = h(, v) и независят от переменных z = (z1,..., zn) (их называют коэффициентами фуксовой системы). Функция принимает значения в Cn. Приводится описание условий на наборы векторов R, которые обеспечивают выполнение условий интегрируемости Фробениуса для системы (). В специальных случаях, когда набор векторов R является системой корней некоторой конечной комплексной группы отражений, дано описание представлений монодромии фуксовых систем (). Обсуждаются различные варианты постановки задачи об изомонодромной деформации систем ().

Приводятся условия на деформации набора векторов R, которые дают различные типы изомонодромных деформаций системы (). Доказано, что в классе описанных выше фуксовых систем с коэффициентами ранга один не существует нетривиальных однопараметрических изомонодроиных деформаций, т.е. деформаций отличных от умножения всех параметров системы h на скалярные множители, зависящие от параметра деформации.

Работа ведется при содействии гранта президента России поддержки ведущих научных школ НШ-6849.2006.1 и гранта РФФИ 07-0100085.

Литература [1] В. И. Арнольд, Кольцо когомологий группы крашеных кос, Матем. заметки, 5 (2007), вып. 2, 227–231.

[2] В. П. Лексин, Монодромия фуксовых систем на комплексных линейных пространствах, Труды Математического института им.

В. А. Стеклова, 256 (2007), 267–277.

[3] R. Randell, Lattice-isotopic arrangements are topologically isomorphic, Proc. London Math. Soc. 19, no. 4 (1989), 555–559.

[4] A. P. Veselov, On geometry of a special class of solutions to generalized WDVV equations, in “Intagrability: Seiberg–Witten and Whithem equations” (Edinburg 1998), Gordon and Breach, Amsterdam 2000, 125–136.

Мультипликативные функции вместо логарифма Лернер Э. Ю. (Россия) Казанский государственный университет lerner@ksu.ru В [1] В. И. Арнольд рассмотрел следующую динамическую систему, порожденную оператором конечного дифференцирования. Пусть x – замкнутая последовательность из n элементов конечного поля Fq (за n-м элементом опять следует первый). Пусть M – множество всех таких последовательностей. Определим операцию : M M как переход от x к последовательности разностей соседних элементов из x.

Динамическая система задается ориентированным графом с вершинами, помеченными x, x M. Из каждой вершины x выходит ровно одно ребро (ведущее в x). Аттракторы динамической системы представляют собой конечные циклы. К каждой точке аттрактора ведет дерево одного и того же вида (см. [1]). Арнольд исследовал графы динамической системы для q = 2 и q = 3. Замечу, что расчеты, основанные на алгоритме из [2], позволили выписать эти графы для всех значений n 300 и n 150 соответственно (см.

http://kek.ksu.ru/kek2/myArnold.htm). Рассмотрение этих графов позволило уточнить гипотезы Арнольда и далее доказать их.

mПроизвольные линейные операторы A, представимые в виде суммы aii, ai Fq, будем называть трансляционно-инвариантными.

i=Если a0 = 0, то оператор A будем называть дифференциальным.

В. И. Арнольд в [1] задавал компоненты начального вектора x с помощью различных функций f: xi = f(i). Если x принадлежит области притяжения цикла наибольшего периода (для заданного отображения A), причем предпериод последовательности x, Ax, A2x,... максимально возможен, то функция f называется самой сложной. Если же x принадлежит области притяжения цикла наибольшего периода и предпериод на единицу меньше максимального, то f называется почти самой сложной.

Арнольд выдвинул гипотезу, что при q = 2 и n + 1 равным некоторому простому числу r алгебраическая логарифмическая функция, задаваемая формулой 0, если i квадратичный вычет по модулю r;

f(i) = (1) 1, если i квадратичный невычет по модулю r, является самой сложной или почти самой сложной для оператора.

К сожалению, эта гипотеза несправедлива при некоторых значениях n, например при n = 17. Тем не менее в [2] доказан следующий факт.

Теорема 1. Пусть n = r – нечетное простое число. Тогда функция f, заданная формулой (1) при 1 i n - 1 и доопределенная как f(n) = f(0) = 0, является самой сложной функцией любого трансляционно-инвариантного оператора A тогда и только тогда, когда для некоторого целого k выполнено:

либо n = 4k + 3 и НОД (q, k + 1) = НОД (q, 2k + 1) = 1, либо n = 4k + 1 и НОД (q, 2k) = 1.

Неественность доопределения логарифма формулой f(0) = 0 (ноль – существенно особая точка обычной логарифмической функции) послужила в [2] причиной поиска сложных функций, для которых такое доопределение общепринято. Пусть n – простое число. Функцию f из {1,..., n - 1} в Fq назовем мультипликативной, если f(ij mod n) = f(i)f(j) для любых i, j из области определения, причем f отлична от константы. Положим f(n) = 0.

Теорема 2. При НОД (n, q) = 1 произвольная мультипликативная функция является либо самой сложной, либо почти самой сложной функцией для любого дифференциального оператора.

Литература [1] Арнольд В. И. Сложности конечных последовательностей нулей и единиц // Сообщения ММО, 11, 2005; http://www.elementi.ru/ lib/430178.

[2] Лернер Э. Ю. Мультипликативная функция вместо логарифма // Представлено в “Функциональный анализ и его приложения”;

http://kek.ksu.ru/kek2/MyArnold.pdf.

Исследование геодезического потока на группе сохраняющих объем диффеоморфизмов с использованием оператора коприсоединенного действия Лукацкий А. М. (Россия) ИНЭИ РАН macrolab@eriras.ru В докладе разбирается подход к построению решений уравнений математической физики, основанный на погружении конфигурационного пространства описываемого физического объекта в некоторую бесконечномерную группу Ли–Фреше G с алгеброй Ли g. Впервые такая конструкция была применена В. И. Арнольдом [1] для группы сохраняющих объем диффеоморфизмов.

Предполагается, что в алгебре Ли g имеется скалярное произведение u, v, которое индуцирует на группе Ли G лево-(или право-) инвариантную метрику в зависимости от физического смысла задачи.

Геодезические этой метрики являются решениями уравнений Эйлера на группе Ли G.

u = aduu(-aduu).

t Для анализа поведения решений уравнений Эйлера полезно установить вид оператора коприсоединенного действия adu.

Рассматриваются уравнения Эйлера на группе диффеоморфизмов Diffµ(M), сохраняющих элемент объема компактного ориентированного риманова многообразия M, являющегося областью течения идеальной несжимаемой жидкости [2]. Известно, что из вида оператора ad u можно получить простое выражение для секционных кривизн Diffµ(M) в случае, когда M локально евклидово [3].

В докладе разбирается другая группа приложений, связанных с видом ad u. Берется разложение в некотором ортогональном базисе {ek} g поля скоростей ut = ut ek идеальной несжимаемой жидk k кости. Показано, что производные коэффициентов этого разложения удовлетворяют оценке ut k C(ek) u0 2.

t Отсюда следует, коэффициенты ut удовлетворяют условию Липшица k на всем промежутке своего существования, причем норма Липшица зависит только от начальных условий u0. Подобные оценки нередко строятся в локальных теоремах существования и единственности [4], но норма Липшица там обычно определена лишь локально. Более поn дробно разбирается случай n-мерного тора T. В качестве ek берется базис из простых гармоник, где k Zn. Получена оценка для выражения ut k |k|2 t k =с мажорантой, независящей от времени t.

В случае уравнения Навье–Стокса аналогичные оценки удается поu лучить для коэффициентов разложения векторного поля - u, t где – вязкость жидкости.

Литература [1] Arnold V. I. Sur la geometry differentielle de groupees de Lie de dimension infinie et ses applications a l’hydrodynamique des fluids parfaits, Ann. Inst. Fourier Vol. 16, 1966, p. 316–361.

[2] Arnold V. I., Khesin B. A. Topological methods in hydrodynamics, Applied Mathematical Sciences, Vol. 125, New York: Springer-Verlag, 1998.

[3] Lukatsky A. M. On the curvature of diffeomorphisms groups, Ann.

Global Anal. And Geometry, Vol. 11, 1993, Berlin, p. 135–140.

[4] Марсден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения, М.: Мир, 1980.

Версальные деформации матриц: приложения и численные методы Майлыбаев А. А. (Россия) МГУ им. М. В. Ломоносова mailybaev@imec.msu.ru Доклад посвящен приложениям теории версальных деформаций матриц, разработанной В. И. Арнольдом в 1971 году. В докладе будут представлены приложения версальных деформаций к проблеме численного определения кратных собственных значений для матриц, зависящих от параметров, приложения к теории устойчивости и теории управления многопараметрических систем. Будут представлены физические эффекты, описание которых возможно при помощи теории версальных деформаций.

Об уравнениях со свойством OМирзов Дж. Д. (Россия) Адыгейский государственный университет mirzov@adygnet.ru Рассмотрим уравнение u + a(t)|u|n sign u = 0, (1) где n > 0, a: R+ R+ локально суммируемая функция. Нас будет интересовать поведение правильных решений уравнения (1) в окрестности +. Необходимые понятия и определения можно найти в [1] или [2].

Ф. В. Аткинсон [3] доказал, что если n > 1, то для колеблемости всех правильных решений уравнения (1) необходимо и достаточно, чтобы + ta(t) dt = +. (2) Ш. Белогорец [4] установил, что если 0 < n < 1, то для колеблемости всех правильных решений уравнения (1) необходимо и достаточно, чтобы + tna(t) dt = +. (3) Известно, что для линейных уравнений второго порядка нет интегральных признаков колеблемости решений, аналогичных критериям Ф. В. Аткинсона и Ш. Белогорца. Поэтому, заметив, что если n условие (3) “приближается” к (2), представляется интересным вопрос:

чем является условие (2) для уравнения (1) при n = 1 Ответу на этот вопрос посвящена данная работа.

Скажем, что уравнение (1) обладает свойством O1, если каждое его правильное решение u(t) является колеблющимся либо монотонно стремится к бесконечности при t +.

Теорема. Пусть n = 1. Тогда (2) есть необходимое и достаточное условие для наличия свойства O1 у уравнения (1).

Аналогичное утверждение получено и для двумерных нелинейных дифференциальных систем.

Литература [1] Мирзов Дж. Д. Асимптотические свойства решений систем нелинейных неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений, Майкоп, РИПО “Адыгея”, 1993, 132 с.

Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 | 9 |   ...   | 22 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.