WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 || 7 | 8 |   ...   | 22 |

Пусть RA (соответственно, CA) – множество вещественных (соответственно, комплексных) точек неособой вещественной алгебраической кривой A. Кривая A принадлежит типу I или типу II в зависимости от того, несвязно CA \ RA или связно.

В работе найдены критерии принадлежности неособой вещественной тригональной кривой типу I. В частности, при n = 3 получена жесткая изотопическая классификация вещественных тригональных кривых типа I.

Литература [1] Звонилов В. И. Жесткие изотопии трехчленных кривых с максимальным числом овалов // Вестник Сыктывкарского ун-та. – 2006. – сер. 1, вып. 6. – С. 45–66.

[2] Degtyarev A., Itenberg I., Kharlamov V. On deformation types of real elliptic surfaces. // Preprint arXiv:math.AG/0610063. – 2006.

– P. 1–59.

Оценки скорости сходимости для некоторых линейных систем Зейфман А. И. (Россия) Вологодский государственный педагогический университет zai@uni-vologda.ac.ru Рассматривается система дифференциальных уравнений, описывающая вероятности состояний неоднородной марковской цепи с поглощением в нуле. Исследуются двусторонние оценки скорости сходимости к вырожденному предельному режиму.

Асимптотики решений некоторых сингулярных задач Зернов А. Е. (Украина) Южноукраинский государственный педагогический университет им. К. Д. Ушинского, г. Одесса zernov@ukr.net В первой части доклада рассматриваются задачи Коши F (t, x(t), x(t)) = 0, x(0) = 0, (1) где x: (0, ) R – неизвестная функция, F : D Rn – непрерывная функция, D (0, ) Rn Rn.

Во второй части доклада рассматриваются задачи Коши (t)x(t) = f(t, x(t), x(g(t)), x(t), x(h(t))), x(0) = 0, (2) где x: (0, ) R – неизвестная функция, f : D Rn – непрерывная функция, D Rn Rn Rn Rn, g : (0, ) (0, ) и h: (0, ) (0, ) – непрерывные функции, g(t) t и h(t) t при t (0, ).

Предполагается, что либо (t) – единичная матрица n-го порядка, либо (t) = diag(1(t),..., m(t), 1,..., 1), 1 m < n, (t) = diag(1(t),..., n(t)), и все элементы i : (0, ) (0, +) матрицы (t) – непрерывные функции, стремящиеся к нулю при t +0.

Решением каждой из задач (1), (2) называется непрерывно дифференцируемая функция x: (0, ) Rn (где 0 < < ), которая удовлетворяет соответствующему уравнению при всех t (0, ) и при этом lim x(t) = 0.

t+Задача (1) отдельно исследуется в случаях n = 1 и n 2. Изучаются линейные, возмущенные линейные, нелинейные и возмущенные нелинейные задачи (2).

Строятся асимптотики решений задач (1), (2). Доказывается существование у каждой из рассматриваемых задач непустых множеств решений с требуемыми асимптотическими свойствами при t +0.

При известных условиях определяется число таких решений.

Разрешимость некоторых задач вариационной ассимиляции данных Ипатова В. М. (Россия) Московский физико-технический институт ipatval@mail.ru Пусть – открытое подмногообразие сферы радиуса R с кусочногладкой границей, x, y, r – сферические координаты, H(x, y) – положительная непрерывно дифференцируемая функция, z = R - r, G = {(x, y), 0 < z < H(x, y)}, 0 < t1 <, D = (0, t1);

H(x,y) (u, v, w) (u, w) – вектор скорости, w = w(u) = div u dz, z = (x, y, t) – возвышение уровня поверхности океана. Далее символ используется как общее обозначение функций u, v, w, T, S.

Рассмотрим систему уравнений динамики океана [1]–[2] du + (A + B(u))u + P = f, (1) dt P = g - 0Aww, = 0 или = 1, (2) z dT dS + AT T = fT, + ASS = fS, (3) dt dt где d/dt = /t+u·+w(u)/z, B(u)u = (2 sin y +u tg y/R)(-v, u), A = -µ - 2/z2, Au = Av = A, плотность воды = (T, S) считается непрерывной по Липшицу функцией (при = 0 и = 1), либо многочленом второй степени (при = 1).

На верхней границе при z = 0 ставятся условия P = Patm + g0, w = -/t + Qw, (4) u w(u) w(u) = - + u, w = ww(u), (5) z 0 2 z T w(u) S w(u) T = T T + T + QT, S = SS + S + QS, (6) z 2 z где Patm, Qw, QT, QS, – заданное функции.

Обозначим через (·, ·) и ·, (·, ·)0 и · 0 скалярное произведение и норму в L2(G) и L2();

[, 1] = µ(, 1) + (/z, 1/z) + (, 1)0 |z=0, где u = v = 0, []2 = [, ], [u]2 = [u]2 + [v]2 + [w(u)]2, 2 = u 2 + v 2 + g 2.

В работе доказываеся существование слабых решений системы (1)– (3), удовлетворяющих неравенствам 1 d ( T 2 + S 2) + [T ]2 + [S]2 dt (T, fT ) - T (QT, T )0|z=0 + (S, fS) - S(QS, S)0|z=0, (7) 1 d 2 + [u]2 dt (u, f - 1/0Patm) - (, u/0)0|z=0 + g((T, S), w(u)). (8) Пусть в области D1 D известны данные наблюдений за возвышением уровня поверхности океана = obs(x, y, t) и за поверхностной температурой T |z=0 = Tobs(x, y, t), а в области G1 (G (0, t1)) известны данные наблюдений за скоростью, температурой и соленостью воды, которые задаются функциями uobs(x, y, z, t), wobs(x, y, z, t), obs T (x, y, z, t), Sobs(x, y, z, t). Данные наблюдений используются для отыскания функций Qw,, QT и QS, входящих в граничные условия (4)–(6), либо для отыскания начальных значений функций u,, T, S в момент t = 0. Расхождение между решением (1)–(3) и наблюдаемыми величинами характеризуется регуляризованным функциналом стоимости. На основании вытекающих из (7)–(8) априорных оценок доказывается разрешимость поставленных оптимизационных задач.

Работа выполнена в рамках проекта “Методы и технология решения задач вариационного усвоения данных наблюдений и управления сложными системами” по теме 3 фундаментальных исследований ОМН РАН и при частичной поддержке РФФИ (проект 07-01-00714).

Литература [1] Lions J. L., Temam R., Wang S. On the equations of the large-scale ocean // Nonlinearity. – 1992. – N 5. – P. 1007–1053.

[2] Агошков В. И., Ипатова В. М. Теоремы существования для трехмерной модели динамики океана и задачи ассимиляции данных // ДАН. – 2007. – Т. 412, N 2. – С. 151–153.

Равномерные оценки кратных осциллирующих интегралов Карпушкин В. Н. (Россия) ИППИ РАН vladkarp@rol.ru Пусть N – множество неотрицательных целых чисел, k N, Q(k) – линейное пространство полиномов P таких, что P (0) = 0, где полином P степени k по переменной xj для всех 1 j n, n 2.

Пусть Q(k, ) – окрестность 0 Q(k) в какой-либо фиксированной норме в Q(k). Положим D(k, l) = {(k1,..., kn) : kj k, kj N для всех 1 j n и среди k1,..., kn встречается число k не более, чем l - 1 раз}; (2 l n). Это целочисленный куб с ребром длины k и со срезанными далекими от начала координат гранями, у которых коразмерность l; 2 l n. Пусть P – полином, P = amxm.

m Обозначим через supp P множество {m : am = 0}.

Пусть C0 (A) – пространство непрерывно дифференцируемых раз функций, равных нулю вне ограниченного открытого множества A;

() – норма в C0 (A) |s|/xs () = max sup.

|s| xA Обозначим через I(F,, ) осциллирующий интеграл с фазой F и амплитудой, т.е. интеграл по Rn от exp( -1F ). Пусть V (F, A, c, ) – объем с фазой F, т.е. интеграл от 1 по {x A : c - F (x) c + }.

Теорема 1. Пусть P Q(k) \ 0, supp P D(k, l). Для каждых n 2, k 2, 2 l n существуют константы L > 0, > 0 и окрестность A точки 0 Rn такие, что |I(P + G,, )| L-1/k(ln )l-2()1;

|V (P + G, A, c, )| L1/k|ln |l-для всех 2; C0(A); c R; 0 < < 1/2; G Q(k, ); supp G D(k, l).

Теорема 2. 1. Пусть P Q(k) \ 0. Для каждых n 2, k существуют константы L > 0, > 0 и окрестность A точки 0 Rn такие, что |I(P + G,, )| L-1/k(ln )n-1()1;

|V (P + G, A, c, )| L1/k|ln |n-для всех 2; C0(A); c R; 0 < < 1/2; G Q(k, ).

2. Предположим, что k = 1. Для каждого n 2 существуют константы L > 0, > 0 и окрестность A точки 0 Rn такие, что |I(P + G,, )| L-1(ln )n-2()2 для всех 2, C0(A), G Q(1, ).

Замечание 1. Утверждение 1 теоремы 2 в случае осциллирующего интеграла с амплитудой – характеристической функцией куба и правой частью L-1/k(ln )n-1 следует из теоремы В. Н. Чубарикова (с явными константами L и – теорема 5 на стр. 39 (см. [1])).

Доказательство теорем 1, 2 проводится методами, развитыми в работах [2], [3].

Замечание 2. Полученные равномерные оценки осциллирующего интеграла и объема являются точными для случая, когда невозмущенная фаза есть моном. Теорема 1 точна для фаз xk1... xkn осцил1 n лирующих интегралов и объемов, где maxi ki = k 2, 1 mini ki < k.

Утверждение 1 теоремы 2 точно для фаз xk... xk осциллирующих ин1 n тегралов при k 2 и объемов при k 1. Утверждение 2 теоремы дает точную оценку для фаз x1... xn осциллирующих интегралов.

Литература [1] Архипов Г. И., Карацуба А. А., Чубариков В. Н. Теория кратных тригонометрических сумм. М.: Наука, 1987.

[2] Карпушкин В. Н. Равномерные оценки осциллирующих интегралов с параболической или гиперболической фазой // Труды семинара им. И. Г. Петровского, выпуск 9, Изд. МГУ, 1983, с. 3–39.

[3] Карпушкин В. Н. Равномерные оценки объемов // Труды МИАН, т. 221, М.: Наука, 1998, с. 225–231.

Динамические системы и инварианты Васильева второго порядка Кирин Н. А. (Россия) КГПИ Kirin_N_A@mail.ru Описание движения вихрей Декарта на плоскости является сложной задачей, которая до конца не решена. Классический подход к изучению динамики вихрей приводит к рассмотрению гамильтоновой системы с гамильтонианом H = - ij log rij.

1 i =j n Как было показано в [3], такой гамильтониан представляет мнимую часть инварианта Васильева первого порядка, заданного 1-итерированным интегралом Чена от логарифмических дифференциальных d(zi-zj) форм ij =, с коэффициентами Xij. Эти коэффициенты предzi-zj ставляют собой формальные переменные, удовлетворяющие условиям [Xij; Xjk + Xik] = 0, где i = j = k = i. Здесь, по определению, комму татор [A; B] = AB - BA.

Обобщая классический подход, можно в качестве гамильтониана выбрать мнимую часть инвариантов Васильева более высокого порядка. Выбрав подходящую весовую систему W для коэффициентов итерированных интегралов, можно задать движение вихрей на плоскости.

Как известно, косы из n нитей представляют пространственно-временную диаграмму движения n вихрей на плоскости. В свою очередь, инварианты Васильева позволяют различать неизотопные косы, а, следовательно, могут различать принципиально различные типы движения вихрей.

В данной статье обсуждаются свойства базисных динамических систем с гамильтонианом, представленным инвариантов Васильева второго порядка.

Работа поддержана РФФИ, проект 07-01-00085.

Литература [1] Berger M. A. Hamiltonian dynamics generated by Vassiliev invariants, J. Phys. A: Math. Gen. 34 (2001), 1363–1374.

[2] Борисов А. М., Мамаев И. С. Математические методы динамики вихревых структур. – Москва–Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2005. – 368 с.

[3] Кирин Н. А. Гамильтоновы системы, отвечающие инвариантам Васильева первого порядка. Сборник научных статей аспирантов и соискателей “Начало”. – Вып. 5. – Коломна: КГПИ, 2006.

– 216 с.

[4] Козлов В. В. Общая теория вихрей. – Ижевск: Издательский дом “Удмуртский университет”, 1998 (24–34).

Классификация случаев локальной управляемости для семейств двумерных бидинамических систем Комаров М.А. (Россия) Владимирский Государственный Университет kami9@yandex.ru На гладком многообразии полидинамическая система задаётся конечным набором гладких полей скоростей при естественном предположении, что число скоростей в наборе не менее двух. Управление такой системой представляет собой выбор в последовательные моменты времени одного из полей набора для дальнейшего движения.

Полидинамическая система называется локально управляемой в точке P многообразия, если для любой окрестности U точки P и некоторого T > 0 найдётся такая окрестность V U этой точки, что p V можно построить кусочно гладкую замкнутую кривую (цикл), целиком лежащую в U и проходящую через точки P и p, участки гладкости которой – отрезки фазовых кривых полей системы, соответствующие некоторому управлению, причём время движения по циклу меньше T.

На плоскости случаи локальной управляемости изучены А. А. Давыдовым [2] для типичных полидинамических систем и Л. Азеведо [1] для типичных однопараметрических семейств бидинамических систем. Всюду здесь под типичным семейством мы понимаем семейство из некоторого открытого всюду плотного множества в пространстве семейств, снабжённом тонкой гладкой топологией.

Доклад посвящён классификации типичных случаев локальной управляемости для двупараметрических семейств бидинамических систем на гладком двумерном многообразии. Под типичными объектом мы понимаем объект из открытого всюду плотного множества в пространстве объектов, снабжённом тонкой гладкой топологией.

Нетрудно заметить, что если бидинамическая система обладает локальной управляемостью в точке, то эта точка не является особой для одного из её полей (см. [1]), поэтому вблизи такой точки это поле можно гладко выпрямить, сделав его, например, единичным вдоль второй координаты, а саму точку в выпрямляющих координатах взять за начало координат. Тем самым, вопрос о случаях управляемости в нашем семействе будет сведён к вопросу об управляемости в нуле семейства систем вида {v = (0, 1); w = (w1, w2)}. (1) на плоскости.

Далее, известно, что если в изучаемой точке оба поля ненулевые, и фазовые кривые одного касаются фазовых кривых другого с конечным порядком, то локальная управляемость в этой точке есть тогда, и только тогда, когда в этой точке поля противоположно направлены, а порядок касания их фазовых кривых нечётный (см., например, [1]).

Заметим, что для типичного двупараметрического семейства бидинамических систем этот порядок не превосходит 4.

Итак, остаётся изучить случаи локальной управляемости вблизи нуля для систем из типичного семейства (1) в ситуации, когда нуль – особая точка второго поля. Мы будем рассматривать семейство систем с точностью до гладкой орбитальной эквивалентности, заключающейся в том, что разрешено (а) делать гладкие замены координат, гладко зависящие от параметра, (б) делать диффеоморфизмы оси параметра семейства, и (в) умножать поля на гладкие ненулевые (возможно, разные) функции одного знака.

Очевидно, что преобразования (а)–(в) сохраняют локальную управляемость в точке, т.е. ее наличие либо отсутствие.

Обозначим через w матрицу линеаризации поля w в нуле, а через D – дискриминант её характеристического многочлена.

Теорема. Для системы из типичного двупараметрического семейства (1) справедливо одно из двух:

1. либо система обладает локальной управляемостью в точке P (= нуле), w(P ) = 0, и тогда она входит только в один из следующих двух классов:

(F ) линеаризации поля w в нуле доставляет особую точку типа либо фокус либо центр, т.е. D < 0 и собственные числа матрицы w не являются вещественными;

(Z) росток системы (1) в нуле гладко орбитально эквивалентен ростку в нуле сиcтемы (0, 1), (y, w2) с w2,x(0, 0) = 0 < w2,xx(0, 0);

2. либо система не обладает локальной управляемостью в точке P (= нуле), w(P ) = 0, и тогда она входит только в один из следующих трех классов:

(NP ) матрица линеаризации w имеет вещественные различные собственные числа, т.е. D > 0;

(NJ) линеаризации поля w в нуле доставляет особую точку типа жорданов узел, т.е. D = 0, а след матрицы w ненулевой;

(NZ) росток системы (1) в нуле гладко орбитально эквивалентен ростку в нуле сиcтемы (0, 1), (y, w2) с w2,x(0, 0) = 0 > w2,xx(0, 0).

З а м е ч а н и е. Системы, для которых в некоторой точке либо оба поля нулевые либо вблизи этой точки сиcтема гладко орбитально эквивалентна системе из случаев (Z) или (NZ), не встречаются в типичных однопараметрических семействах.

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке грантом РФФИ 06-01-00661a.

Литература [1] Azevedo L. Transitividade Local de Sistemas Polidinamicos. Departamento de Matematica Aplicada Faculdade de Ciencias da Universidade do Porto. Janeiro / 2006.

[2] Davydov A. A. Qualitative theory of control systems // Translations of Mathematical Monographs. 141. Providence, RI: American Mathematical Society (AMS). viii, 147 p. (1994).

Типичные особенности выгоды однопараметрических циклических процессов с фиксированным периодом Кукшина Е. О. (Россия) Владимирский государственный университет kukshina@yandex.ru Управляемая система на окружности задается гладким векторным полем, гладко зависящим от управляющего параметра, который пробегает компактное гладкое многообразие и имеет не менее двух различных значений.

Допустимым движением системы называется абсолютно непрерывное отображение промежутка времени в окружность, у которого в точках существования производной скорость перемещения по окружности лежит в выпуклой оболочке множества допустимых скоростей в этой точке.

При наличии на окружности гладкой (непрерывной) плотности выгоды f допустимое движение системы на промежутке [t0, t0 + T ], доставляет выгоду t0+T P = f(x(t)) dt tP и среднюю выгоду A =.

T Максимизация средней выгоды циклического является одной из важных прикладных оптимизационных задач. В. И. Арнольдом предложен новый подход к решению таких задач, основанный на методах теории особенностей [1].

Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 || 7 | 8 |   ...   | 22 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.