WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 22 |

n n + Здесь j1 2.4048 – наименьший положительный корень функции Бесселя J0, а cos n – наибольший корень полинома Лежандра Pn. Верхние границы 2n и n достигаются. Оценки для внутреннего радиуса даются во внутренней метрике S2. Нижняя граница для h1(Nu), видимо, может быть улучшена; однако она больше, чем граница Area(M), полученная в [3] для всех компактных римановых поверхностей M (для достаточно больших собственных чисел в общем случае и для любых при неотрицательной кривизне M).

Подобными методами можно также найти среднее значение числа общих нулей функций из Hn оно равно n(n + 1).

Доказательства этих результатов имеются в препринте, доступном по адресу http://arxiv.org/abs/0705.2547.

Литература [1] Gichev V.M.. A note on common zeroes of Laplace–Beltrami eigenfunctions // Ann. of Global Anal. and Geom. – 2004. – v. 26. – p. 201–208.

[2] Федерер Г. Геометрическая теория меры: Пер. с англ. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. – 1987. – 760 с.

[3] Savo A. Lower bounds for the nodal length of eigenfunctions of the Laplacian // Ann. of Global Anal. and Geom. – 2001 – v. 19. – p. 133 151.

Подковы Смейла и их бифуркации в обобщенных отображениях Эно Гонченко С. В. (Россия) НИИ прикладной математики и кибернетики, Нижний Новгород gosv100@uic.nnov.ru Изучаются гиперболические свойства обобщенных отображений Эно вида x = y, y = y(1 - y) - bx + xy, (1) при > 4 и достаточно малых b и. Отображения такого типа возникают в системах с гомоклиническими касаниями, [1], [2], и, в отличие от стандартного отображения Эно ( = 0), они демонстрируют невырожденные бифуркации периодических точек с мультипликаторами e±i. В докладе показывается, что и гиперболическая динамика отображения (1) существенно отличаются от той, которая наблюдается в отображении Эно. Хорошо известно, что последняя представлена либо ориентируемыми (b > 0), либо неориентируемыми (b < 0) подковами Смейла, причем переходы между этими подковами (через b = 0) – сингулярные. Ориентируемые и неориентируемые подковы также существуют в отображении (1), однако переходы между ними сопровождаются появлением т.н. полуориентируемых подков Смейла и бесконечных цепочек “мгновенных” бифуркаций, не выводящих из гиперболичности но меняющих определенные (гладкие) свойства подковы.

Литература [1] Гонченко С. В., Гонченко В. С. “О бифуркациях рождения замкнутых инвариантных кривых в случае двумерных диффеоморфизмов с гомоклиническими касаниями”. Труды МИАН, 2004, т. 244, 84–114.

[2] Гонченко С. В., Тураев Д. В., Шильников Л. П. “О динамических свойствах диффеоморфизмов с гомоклиническими касаниями”.

Современная математика и ее приложения, 2003, т. 7, 92–118.

Крутильные колебания тела в жидкости под действием модулированной упругой силы Гуда С. А. (Россия) Южный федеральный университет gudasergey@mail.ru Исследуется совместная задача о крутильных колебаниях твердого тела вращения внутри сосуда произвольной формы, заполненного вязкой несжимаемой жидкостью. При таком движении область течения жидкости не меняется со временем. На тело действует момент упругой силы с периодической по времени жесткостью: Melastic = -k(1+h(t)). Здесь – угол отклонения тела от положения равновесия, k – коэффициент жесткости, h() – 2-периодическая относительная модуляция жесткости с нулевым средним, – круговая частота модуляции. Ранее автором совместно с В. И. Юдовичем [1] была доказана глобальная асимптотическая устойчивость состояния покоя в задаче с постоянной жесткостью упругой силы. Модуляция жесткости может привести к параметрическому возбуждению неустойчивости.

В работе проводится качественное исследование линеаризованной на состоянии покоя задачи в случае произвольных форм сосуда и тела и произвольных значений вязкости. Изучается спектр Флоке. Спектральная задача для мультипликаторов Флоке сводится к отысканию нулей определителя Хилла D(). Определитель D() записывается не для исходной системы, описывающей совместное движение жидкости и тела, а для интегродифференциального уравнения, которое получается в результате исключения из исходной системы скорости течения жидкости. Функция D() разлагается на простейшие дроби D() = c-1 + c0 + cn - rn, -rn - -n=где c-1 > 0, rn = e-T n, T = 2/, n > 0 – собственные значения оператора Стокса. При некоторых условиях, например для гармонической модуляции h() = b1 cos + b2 sin, все коэффициенты cn неотрицательны. Это позволяет исследовать структуру спектра Флоке. Доказано, что он состоит из счетной последовательности мультипликаторов n (rn; rn-1), n = 2, 3,... и еще двух чисел: 0 и 1, которые могут быть комплексно сопряженной парой, могут вместе лежать на отрицательном луче действительной оси или на одном из интервалов (r1; +), (r2; r1), (r3; r2),... Таким образом, неустойчивость может возникнуть тогда и только тогда, когда хотя бы один из мультипликаторов 0 или 1 окажется вне единичного круга. Это позволяет установить некоторые топологические свойства нейтральных кривых (кривых в пространстве параметров (, h L2), для которых спектр Флоке содержит мультипликатор на единичной окружности). Что существенно сокращает трудоемкие вычисления – не приходится искать нейтральные кривые в тех областях пространства, где их заведомо быть не может. В трудных для расчетов областях ( мало или h Lвелика) знание закономерностей расположения нейтральных кривых позволяет быстро браковать графики, полученные с неудовлетворительной точностью вычислений.

Построены асимптотики показателей Флоке для трех случаев: малой амплитуды модуляции h L2, большой частоты и для большой высокочастотной модуляции порядка h L2 C2,. В первых двух случаях спектр Флоке устойчив. Третья асимптотика позволяет доказать существование значений параметров, при которых происходит возбуждение неустойчивости. Также с ее помощью удается установить существование нейтральных кривых всех трех типов: синхронного, субгармонического и комбинационного.

Доказана полнота решений Флоке. Спектральную задачу для решений Флоке w(t) = e-tw(t) (где w – периодическая функция) урав нения = A0w + B(t)w можно трактовать как задачу на собственные значения для оператора L = + A0 + B(t), действующего в проt странстве периодических вектор-функций. Получена оценка резольвенты оператора L на лучах Re > 0, Im = /2 + k, k Z:

(I -L)-1 C. Это позволило провести рассуждения подобные теореме Келдыша и доказать полноту корневых векторов оператора L.

Литература [1] Гуда С. А., Юдович В. И. Совместная задача о вращении твердого тела в вязкой жидкости под действием упругой силы // Сиб.

мат. ж. – 2007. – т. 48, № 3, с. 556–576.

Асимптотические разложения решений и специальные полиномы иерархии второго уравнения Пенлеве Демина М. В. (Россия) Московский инженерно-физический институт (ГУ) mvdemina@mephi.ru Кудряшов Н. А. (Россия) Московский инженерно-физический институт (ГУ) kudryashov@mephi.ru В докладе рассматривается иерархия второго уравнения Пенлеве и связанные с нею специальные полиномы. Иерархия второго уравнения Пенлеве – это последовательность обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) (N) P2 : (dz + 2 w) LN[wz - w2] - z w - = 0, N 1, (1) заданная с помощью оператора Ленарда dzLN+1[u] = (dz + 4udz + 2uz)LN[u], L0[u] =. (2) В уравнениях (1) – комплексный параметр. Первым представителем иерархии является второе уравнение Пенлеве [1] (1) P2 P2 : wzz - 2 w3 - z w - = 0. (3) Эта иерархия возникает из иерархии модифицированного уравнения Кортевега–де Вриза переходом к автомодельным переменным. Уравнения иерархии обладают целым рядом интересных свойств. В частности, каждое из уравнений имеет пару Лакса. Это означает, что задача Коши для уравнений (1) решается методом изомонодромной деформации. По-видимому, уравнения иерархии определяют новые трансцендентные функции. Это строго доказано для второго уравнения Пенлеве. Большую роль играет асимптотический анализ их решений.

Найдены асимптотические разложения решений любого представителя иерархии в окрестности нуля, бесконечности и точки z = z0 = 0.

Показано, что при = n – целом некоторые из полученных разложений могут быть просуммированы. Результатом являются рациональные решения. Найдена связь полюсов рациональных решений и коэффициентов одного из разложений в окрестности бесконечности. Раци(N) ональные решения w(N)(z; n) уравнения P2 допускают представление через полиномы {Q(N)(z)}, называемые полиномами Яблонского n – Воробьева (Я-В) [2], [3]:

d Q(N) (z) n-w(N)(z; n) = ln, (4) dz Q(N)(z) n w(N)(z; -n) = -w(N)(z; n), n 1.

Каждому N соответствует своя последовательность полиномов. Полиномы Я-В рассматриваются как аналоги классических ортогональных многочленов. Они выражаются через полиномы Шура. Кроме того, рассматриваемые полиномы непосредственно связаны с так называемыми -функциями P2 иерархии. Получены рекуррентные соотношения, которым удовлетворяют полиномы Я-В. Некоторые из соотношений справедливы для любой последовательности полиномов. Они выглядят следующим образом:

DzQ(N) · Q(N) = (2n + 1)(Q(N))2, n 1; (5) n+1 n-1 n DzQ(N) · Q(N) = 0, n 0, n+1 n где Dz – оператор Хироты. Наряду с этим выведено еще одно дифференциально-разностное соотношение, позволяющее последовательно строить полиномы dQ(N) Q(N) = z (Q(N))2 - 2 (Q(N))2 LN 2 ln Q(N), n 1. (6) n+1 n-1 n n dz2 n Получена иерархия ОДУ, которым удовлетворяют полиномы. Она имеет вид 1 ddef Q2LN+1 2 ln Q - z QzzQ + z Q2 - Qz Q = 0, Q = Q(N)(z). (7) z n 2 dzd С помощью замены h = 2dz ln Q из иерархии (7) может быть построена еще одна иерархия, также имеющая решения, выражаемые через полиномы {Q(N)(z)}:

n LN+1[hz] - zhz - h = 0. (8) Найдены первые интегралы уравнений (8), определены постоянные интегрирования, при которых первые интегралы имеют решения в терминах полиномов Я-В.

Литература [1] Арнольд В. И., Ильяшенко Ю. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – М.: ВИНИТИ, 1985. – Т. 1. – 149 c.

[2] Clarkson P. A., Mansfield E. L. The second Painlev equation, its hierarchy and associated special polynomials. Nonlinearity, 2003, v. 16, pp. R1–R26.

[3] Demina M. V., Kudryashov N. A. The Yablonskii–Vorob’ev polynomials for the second Painlev hierarchy. Chaos, Solitons & Fractals, 2007, v. 32(2), pp. 526–537.

Об одном классе интегральных уравнений типа Вольтерры второго рода и их приложениях к нелокальным задачам Дженалиев М. Т. (Казахстан) Институт математики ЦФМИ МОН РК, Алматы dzhenali@math.kz Амангалиева М. М. (Казахстан) Институт математики ЦФМИ МОН РК, Алматы В докладе рассматриваются интегральные уравнения типа Вольтерры второго рода, имеющие особенность. Так как интегральный оператор имеет особенность, то при определенных значениях спектрального параметра метод последовательных приближений не применим.

В работе показано, что в этих случаях задача оказывается нетеровой и имеет положительный индекс. Установлено, что исследуемые в работе интегральные уравнения возникают естественным образом при изучении некоторых нелокальных граничных задач, обратных задач математической физики, граничных задач для нагруженных дифференциальных уравнений и т.д.

На вещественной полуоси R+ (0, +) рассматриваются вопросы разрешимости следующего интегрального уравнения d Kµ (I - K)µ µ(t) - k µ() · = f(t), t R+, (1) t и его сопряженного t d K (I - K) (t) - k () · = g(t), t R+, (2) t где ядро k(z) определено соотношением 1 exp -, 0 < z < 1, 2 (1 - z)3/2 4(1 - z) k(z) = (3) 0, 1 z < +;

C – спектральный параметр, e-tf(t) L1(R+), etg(t) L(R+). (4) Решения уравнений (1) и (2) соответственно ищутся в классах:

e-tµ(t) L1(R+), et(t) L(R+). (5) Заметим, что в уравнениях (1) и (2) ядро интегрального оператора k(z) обладает свойством: норма интегрального оператора, определяемого ядром k(z) и действующего в пространстве суммируемых функций, равна erfc(1/2) = e- d. Это свойство определяет 1/особенность рассматриваемого интегрального уравнения (1). Отметим, что необходимость исследования особых интегральных уравнений вида (1) возникает, например, при изучении некоторых нелокальных внутренне-граничных задач для параболического уравнения [1], спектрально-нагруженных параболических уравнений [2], [3], задач с подвижной границей и обратных задач для параболических уравнений и т.д.

Вначале исследуем соответствующее (1) однородное уравнение d µ(t) - k µ() · = 0, t R+. (6) t Применяя к нему преобразование Меллина, с учетом теоремы о свертке, получим µ(s) · [1 - = 0, s = s1 + is2, k(s)] где µ(s) – изображение функции µ(t), а изображение ядра имеет вид 1 k(s) = exp - z-s-1 dx, Re s < 0.

2 (1 - z)3/2 4(1 - z) Сформулируем установленный результат для спектральной задачи (6).

Теорема 1. Для интегрального оператора K из (6) множество (K) { | C, Re 0} является множеством характеристических чисел, а C \ (K) – резольвентным множеством.

Теперь перейдем к исследованию однородного сопряженного интегрального уравнения для уравнения (2):

t d (t) - k () · = 0, t R+. (7) t -Если в уравнении (7) произвести замены: t = t-1, = 1 и ввести следующее обозначение 1(t1) = t-1(t-1), то (7) преобразуется к виду 1 d1(t1) - k 1(1) = 0, t1 т.е. оно совпадает с интегральным уравнением (6), где неизвестной функцией выступает функция 1(t1). Здесь справедлива следующая Теорема 2. Для интегрального оператора K из (7) вся комплексная плоскость не содержит собственных значений.

Полученные результаты применяются к нелокальным граничным задачам для параболического уравнения.

Литература [1] Дженалиев М. Т., Рамазанов М. И., Туймебаева А. Е. Спектрально-нагруженный оператор теплопроводности. Автомодельный закон движения точки нагрузки. Препринт № 6. Алматы, 2006.

40 с.

[2] Нахушев А. М. Уравнения математической биологии. М., 1995.

[3] Дженалиев М. Т. К теории линейных краевых задач для нагруженных дифференциальных уравнений. Алматы, 1995.

Квадратичные условия оптимальности особых режимов и их применение к жестким траекториям и анормальным субримановым геодезическим Дмитрук А. В. (Россия) ЦЭМИ РАН, МГУ avdmi@cemi.rssi.ru Будет рассказано о результатах работ А. А. Милютина и автора по применению полученных ими ранее условий оптимальности особых режимов к анализу жестких траекторий и анормальных геодезических в субримановых (и субфинслеровых) метриках. Эти результаты в некоторых отношениях более сильные, чем у других авторов.

n-мерные модулярные формы Гильберта Ермаков В. В. (Россия) Московский автомобильно-дорожный институт vikvve@rambler.ru Модулярные формы Гильберта являются существенно двумерным объектом. Предпринята попытка обобщить их на n-мерный случай.

Пусть – вещественное целое алгебраическое число степени n;

k = Q(). Положим j = j-1 для j = 1,.., n. Рассмотрим решет n.

ку O = Z(), состоящую из чисел a = ajj, aj Z. Опредеj=лим отображения Si : O O, действующие по формулам: S1 = id;

n Si( ajj) = ajj - aii при i > 1.

j=1 j=i P SL2(O) = SL2(O)/{±1} – модулярная группа; H = {z : Im z 0} – верхняя комплексная полуплоскость; Hn – прямое произведение n экземпляров H. Зададим действие модулярной группы P SL2(O) на a b Hn следующим образом. Элемент g = P SL2(O) переводит c d z = (z1,..., zn) Hn в g(z) = (g(z1),..., g(zn)), где g(zj) = (Sj(a)zj + Sj(b))/(Sj(c)zj + Sj(d)).

Определение. n-мерной модулярной формой Гильберта веса (2k1,.., 2kn) называется мероморфная в Hn функция, для любого.

a b g = P SL2(O) удовлетворяющая соотношению c d n f(g(z1),..., g(zn)) = f(z1,..., zn) (Sj(c)zj + Sj(d))2kj.

j=Аналогичное определение можно дать для конгруэнц-подгрупп P SL2(O).

Изучаются разложения n-мерных модулярных форм в ряды Фурье.

Тип комплексного сопряжения вещественной трехчленной кривой Звонилов В. И. (Россия) Сыктывкарский государственный университет zvonilov@syktsu.ru Изучаются алгебраические кривые на поверхности Хирцебруха, задаваемые уравнениями вида yn + b(x)y + w(x) = 0. (1) и называемые трехчленными кривыми. При n = 3 такие кривые называются тригональными. Пусть e – наименьшее натуральное число, для которого в уравнении (1) выполняются неравенства deg b e(n - 1), deg w en с n > 1. Тогда многоугольник Ньютона левой части этого уравнения содержится в треугольнике с вершинами (0, 0), (ne, 0), (0, n). Торическая поверхность, построенная по этому треугольнику, – это рациональная линейчатая поверхность (поверхность Хирцебруха e), а x, y – аффинные координаты в карте, полученной удалением из e исключительной кривой и одной из прямолинейных образующих поверхности.

Трехчленная кривая называется вещественной, если многочлены b(x) и w(x) в уравнении (1) вещественны. Жесткой изотопией называется путь в пространстве неособых вещественных трехчленных кривых с фиксированными n и e. Жесткие изотопии вещественных трехчленных кривых на поверхностях Хирцебруха изучались в работе [1], а при n = 3 на любых линейчатых поверхностях – в работе [2].

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 22 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.