WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 22 |

Задание группы крашеных кос типа B с помощью симметрических скручиваний Бирюков С. Н. (Россия) Коломенский государственный педагогический институт, Коломна sergeybirukov@yandex.ru В начале прошлого века Артин (Artin) дал стандартные определения группе кос и группе крашеных кос. В 1998 году Бирман (Birman), Ко (Ko) и Ли (Lee) предложили новое представление группы кос, которое затем было достаточно часто использовано (например, в работах Т. Брейди (T. Brady) и Д. Краммера (D. Krammer)). В 2006 году Дэн Маргалит (Dan Margalit) и Йон МакКэммонд (Jon McCammond) в своей статье [2] предложили новую геометрическую интерпретацию для группы крашеных кос, используя имеющееся представление Бирман– Ко–Ли. Геометрическая интерпретация предполагала использовать в качестве образующих скручивания (twist) и выпуклые скручивания Дена (convex Dehn twist). Цель этой работы - развитие перечисленных результатов и их применение к группе крашеных кос типа B.

Группа кос Bn на n нитях изоморфна фундаментальной группе конфигурационного пространства C(D2, n), состоящего из неупорядоченных наборов n различных между собой точек в диске D2: Bn = 1(C(D2, n), P ). Отмеченная точка P = {P1,..., Pn} фундаментальной группы состоит из точек P1,..., Pn диска D2, которые мы будем называть проколами. Элементами группы кос являются классы эквивалентности движений проколов (путей в C(D2, n)), при которых не меняется конфигурация проколов на диске D2.

Определить выпуклые скручивания типа B можно, добавив к имеющемуся множеству проколов на диске ещё один “выделенный” прокол. Скручиванием типа B будет обычное скручивание проколов, включая “выделенный”. При этом он не может быть включён в какойлибо поддиск вместе с другими проколами. Аналогично определяются симметрические скручивания Дена.

Пусть DA - выпукло-проколотый диск. Тогда группа крашеных кос типа B порождена выпуклыми скручиваниями типа B или симметрическими выпуклыми скручиваниями Дена, и все её соотношения являются следствиями из соотношений для выпуклых скручиваний типа B. В частности, группа крашеных кос типа B изоморфна группе, определённой следующим конечным представлением.

B В качестве образующих рассматриваются скручивания TU,V типа B, на которые накладываются указанные соотношения:

B B B B 1) TU,V TW,Z = TW,ZTU,V, если UV и W Z не пересекаются, B B B B 2) TU,V TW,Z = TW,ZTU,V, если UV и W Z – вложенные пары, B B B 3) TU,V W = TU,V TU,W, если (U, V, W ) – допустимое разбиение.

Аналогичные соотношения можно перечислить и для случая, когда в качестве образующих используют симметрические выпуклые скручивания Дена:

B 1) Su = 1, если u охватывает одиночный прокол, B B B B 2) Su Sv = Sv Su, если u и v имеют непересекающихся представителей, B B B B B B B 3) Sc Sd Se Sf = Sw Sy Sz, если перечисленные изотопические классы расположены так же, как и в лантерном соотношении, указанном Деном.

Литература [1] Sofia Lambropoulou, Braid structures in knot complements, handlebodies and 3-manyfolds, Mathematisches Institut, Gottingen Universitat, arXiv:math.GT/0008235v[2] Dan Margalit and Jon McCammond, Geometric presentations for the pure braid group, arXiv:math.GT/Регуляризация модели нестационарного течения газа на трансзвуковых скоростях Богданов А. Н. (Россия) НИИ механики МГУ bogdanov@imec.msu.ru При исследовании нестационарных трансзвуковых течений могут использоваться методы теории сингулярных возмущений. Проблема исследования заключается в том, что уравнение Линя–Рейсснера– Цяня – основное уравнение, описывающее нестационарное трансзвуковое течение, является вырожденным гиперболическим уравнением (уравнение не содержит второй производной по времени, но имеет смешанную производную по времени и одной из пространственных координат). Хотя в указанном уравнении удалось сохранить многие важные особенности трансзвуковых течений (в первую очередь нелинейность, а также пространственную неодномерность, уравнение описывает весь трансзвуковой диапазон скоростей -– и дозвуковую, и сверхзвуковую область течения), обнаружились и существенные недостатки этого уравнения. Оказалось, что оно дает бесконечные скорости распространения слабых нестационарных возмущений вниз по потоку, а волновые фронты возмущений от точечного источника во все моменты времени представляют собой незамкнутые кривые (параболы); уравнение не описывает высокочастотные нестационарные возмущения; задача Коши для этого уравнения не корректна и т.д.

Выход из создавшихся трудностей представляется в сохранении в уравнении нестационарного трансзвукового течения, при его выводе из полных уравнений для потенциала скорости течения, сингулярного члена со второй производной по времени.

Получаемое уравнение – невырожденное, что позволяет преодолеть недостатки описания нестационарного трансзвукового течения на основе традиционного трансзвукового разложения. Это уравнение удобно называть модифицированным уравнением Линя–Рейсснера– Цяня. Модифицированная модель позволяет уточнить полученные ранее решения задач нестационарной трансзвуковой аэродинамики, в том числе задач свободного нестационарного вязко-невязкого взаимодействия на трансзвуковых скоростях.

Турбулентность в слабо-диссипативной версии теории КАМ Богданов Р. И. (Россия) НИИЯФ МГУ bogdanov@bogdan.npi.msu.su Богданов М. Р. (Россия) МГУ ИЕ bogdanov@bogdan.npi.msu.su Сценариям перехода от ламинарного течения жидкости (или газа) к турбулентному в течение последнего столетия посвящено большое количество исследований как теоретических так и экспериментальных (см. [7], [8] и библ. там же). Со второй половины прошлого столетия использование ЭВМ привело к созданию вычислительной гидродинамики (см. [7]).

Теория бифуркаций, восходящая к работам А. Пуанкаре, А. П. Андронова и т.д., систематически развиваемая В. И. Арнольдом и его учениками вплоть до настоящего времени, традиционно считается ключевой идеей для понимания и создания соответствующих сценариев.

Бифуркация Богданова–Такенса, появившаяся в 1970-х годах, привела авторов [1] к следующей дискретной динамической системе на фазовой плоскости (x, ) xn+1 = xn + h ()n+1, ()n+1 = ()n + h ()n, (1) где h – шаг дискретизации. После ренормализации (см. [1]) в фазовом пространстве динамическая система в дискретном времени (1) принимает вид xn+1 = xn + h ()n+1, yn+1 = yn + kxn (xn - 1) + ( + µxn) yn (2) где k2 = h, а, µ R – параметры модели.

Система (2), будучи квадратичной с дробно-рациональным обратным отображением, выгодно продолжает примеры динамических систем Лоренца, Фейгенбаума, Эно-Хейлеса, Хейлеса [2].

При подходящих значениях параметров система (2) имеет богатую структуру асимптотически (не) устойчивых орбит наряду с гиперболическими [3]. Гиперболические периодические орбиты могут иметь гетероклиническую структуру. В соответствием с результатами символической динамики в этом случае их появляется счетное число. Они образуют область стохастической диффузии Арнольда, разделяющую асимптотически (не) устойчивые орбиты. Продвинуться в понимании взаимодействия асимптотически (не) устойчивых и гиперболических орбит, а также их численных характеристик помогают классические подходы математической физики и статистической механики [4]–[6].

Вдоль периодических орбит хорошо определены адиабатические инварианты отображения (2): временные средние функций на фазовом пространстве (например, таких как полная энергия, кинетическая и потенциальная ее составляющая и т.д.). Эти адиабатические инварианты с ростом периода обнаруживают тенденцию к “насыщению” (выходу на постоянное, не зависящее от периода значение), разбивая орбиты на кортежи. Внутри кортежа “насыщение” приходит к своему хорошо определенному предельному значению. Близкие к асимптотически (не) устойчивым орбитам гиперболические орбиты в пределах 10% наследуют значения адиабатических инвариантов вдоль асимптотически (не) устойчивых периодических орбит.

Отображение (2) помимо указанных выше адиабатических инвариантов имеет такой инвариант вдоль периодической орбиты как показатель сжатия (растяжения) фазовой площади. Внутри кортежей этот средний якобиан линейно растет с увеличением периода (угол наклона свой для каждого кортежа).

Оценки площадей бассейнов (отталкивания) притяжения асимптотически (не) устойчивых периодических орбит позволяют в соответствии с распределением Больцмана–Гиббса оценивать абсолютную температуру в этих состояниях. В адиабатическом приближении средняя работа сил диссипации и средний якобиан позволяют оценивать давление вдоль периодических орбит. Отношение сил давления к силам вязкости позволяет оценивать аналог числа Рейнольдса.

Оказывается, по мере возрастания периода (у нас в пределах 1105) асимптотически устойчивых периодических орбит температура возрастает на 2 3 порядка, давление падает на 2–3 порядка, а числа Рейнольдса падают в пределах 4 5 порядков (аналогичная картина наблюдается и для асимптотически неустойчивых орбит).

Работа выполнена частично при поддержке фонда РФФИ грант № 04-01-00115.

Литература [1] Arrowsmith D. K., Cartwright J. H. E., Lansbury A. N., Place C. M.

The Bogdanov-map: bifurcations, mode locking, and chaos in a dissipative system // International Journal of Bifurcation and Chaos, 1993, v. 3, № 4, p. 803–842.

[2] Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. – М.: Наука, 1978, 304 с.

[3] Богданов Р. И. Факторизация диффеоморфизмов над фазовыми портретами векторных полей на плоскости // Функц. анализ и его приложения, т. 31, вып. 2, 1997, c. 67–70.

[4] Богданов Р. И. Нелинейные динамические системы на плоскости и их приложения. – М.: Вузовская книга, 2003. 376 с.

[5] Богданов Р. И., Богданов М. Р. Переход от развитой турбулентности к квазиравновесному состоянию // Научный вестник МГТУГА, № 114, серия Математика и Физика. М.: МГТУ ГА, 2007, с. 4–10.

[6] Богданов Р. И., Гайдученко И. В., Расторгуев В. А., Тарасов Ю. И. Спектрометрия в слабо-диссипативной теории Колмогорова–Арнольда–Мозера. Тр.семинара “Время, хаос и математические проблемы”. – М.: Книжный дом “Университет”, 1999, c. 203–224.

[7] Капица П. Л. Научные труды. Физика и техника низких температур. – М.: Наука, 1989, 460 с.

[8] Belotserkovsrii O. V. Turbulence and Instabilities – M.: MZpress, 2003, 460 p.

[9] Фриш У. Турбулентность. Наследие А. Н. Колмогорова. Перевод с англ. А. Н. Соболевского под редакцией М. Л. Бланка. – М.:

ФАЗИС, 1998, XIV-346 с.

Гиперболическое уравнение Монжа–Ампера:

классические решения на всей плоскости Братков Ю. Н. (Россия) ЦНИИМаш icm2006@rambler.ru На плоскости R2 = (x, y) рассматривается задача Коши для гиперболического уравнения Монжа–Ампера A + Bzxx + Czxy + Dzyy + hess z = 0, o z(0, y) = zo(y), zx(0, y) = p (y), y R.

Здесь hess z = zxxzyy - zxy, коэффициенты A, B, C, D зависят от x, y, z, zx, zy. Уравнение гиперболично, если C2 - 4BD + 4A > 0.

Формулируются достаточные условия существования C3-решения на всей плоскости [1].

Используется сведение гиперболического уравнения Монжа–Ампера к системе пяти уравнений в римановых инвариантах (Д. В. Туницкий).

Теория гиперболических систем имеет чрезвычайно красивый вид, если собственные значения системы отделимы (например, разделены константами). В случае уравнения Монжа-Ампера собственные значения совпадают с решением системы, т.е. они неизвестны и их требуется найти.

Суть проблемы сформулировал в 1953 г. Ж. Лере: “Удается доказать только локальную теорему существования... Она показывает, что для гиперболических уравнений существование решений в целом зависит от получения априорных оценок для их производных”.

Добавим, что если в заданной области решение имеет особенности, то их заменой переменных можно вывести за пределы области. К этому сводятся многие работы. Но если заданная область – вся плоскость, то выводить сингулярности некуда. Мы получаем качественно иную задачу.

Еще Б. Риман показал, что некая конкретная гиперболическая система регулярных решений на всей плоскости не имеет. Класс слабо нелинейных систем (x + r(s)y) r = 0, (x + s(r)y) s = (под слабой нелинейностью понимается / = 0, = r, s) как систем, имеющих регулярные решения на всей плоскости, ввел в 1955 г.

Н. Н. Яненко, положив тем самым начало новому виду спорта. Рассмотрение систем двух уравнений в инвариантах с ненулевой правой частью было проведено в 1967 г. Б. Л. Рождественским и А. Д. Сидоренко. Подходящим оказался класс (слабо нелинейных) систем, гиперболических в узком смысле, т.е. систем с отделимыми собственными значениями. Таким образом, теорема Рождественского–Сидоренко переводит проблему априорной оценки производных в проблему априорной оценки отделимости собственных значений, т.е. в проблему r = s.

Приведем пример. Гиперболическое уравнение Монжа–Ампера с коэффициентами, зависящими только от x, y, сводится к системе (x + sy) r = (r - s) ar(x, y, r), (x + ry) s = (r - s) as(x, y, s).

Вычтя из первого уравнения второе, разделив на r - s, сведя к логарифмической производной и проинтегрировав вдоль характеристики, получаем равенство x (r - s)(x, y) = (ro - so) exp (ar - as - sy) d.

Из него следует, что если ro(y) = so(y) y R, а r, s, sy не уходят в бесконечность ни в какой конечной точке, то r - s = 0 в любой конечной точке. Попросту говоря, здесь мы имеем эквивалентность априорных оценок для производных и для r, s, r - s.

Подход автора: автор волевым образом задает априорную оценку для r, s, r - s. Мышление в этом направлении было блокировано.

x Для приведенного примера имеем r(x, y) = ro + ar d и аналогично для s(x, y). Достаточно, чтобы интегралы от функций ar, as были малы, начальные функции ro, so были ограничены, и их разность ro - so была велика.

Литература [1] Братков Ю. Н. Гиперболическое уравнение Монжа–Ампера:

классические решения на всей плоскости // Математический сборник, 2007 (в печати); http://mi.mathnet.ru/msb3838.

О пересечениях узловых множеств Гичев В. М. (Россия) Омский филиал ИМ СО РАН gichev@ofim.oscsbras.ru Пусть M – связное компактное ориентируемое риманово многообразие без края, – оператор Лапласа–Бельтрами на нем, = 0 – его собственное число, E – соответствующее пространство вещественных собственных функций.

Теорема ([1]).

(1) Если у M первые когомологии де Рама тривиальны, то для любых u, v E найдется точка p M такая, что u(p) = v(p) = 0.

(2) Если M – однородное пространство компактной группы Ли изометрий, то верно и обратное: из H1(M) = 0 следует существо вание = 0 и собственных функций u, v E без общих нулей.

Доказательство (1) основано на следующем наблюдении: если общих нулей нет, то семейство узловых областей для u и v образует покрытие M. Сопоставим ему граф, вершины которого отвечают узловым областям, а ребра соединяют те из них, чье пересечение непусто. Он обладает свойствами: а) его вершины разбиваются на два подмножества, каждое из которых содержит ровно одну вершину любого ребра; б) в каждой вершине встречаются по крайней мере два ребра.

Свойство б) выполняется потому, что А) если U, V – узловые области для u, v (соответственно) и U V, то u скалярно кратно v; Б) вблизи своего узлового множества собственная функция меняет знак. Из этих свойств следует существование нетривиальных 1-циклов.

В случае единичной сферы S2 R3 со стандартной метрикой собственные числа имеют вид n = -n(n + 1), причем dim En = 2n + 1;

обозначим Hn = En. Для u, v Hn общего положения множество общих число точек узловых множеств Nu, Nv конечно. Более того, имеется простая оценка сверху, вытекающая из теоремы Безу: card(Nu Nv) 2n2. Она достигается. Доказанной нетривиальной оценки снизу нет, однако частичные результаты и компьютерные эксперименты подтверждают следующую гипотезу: card(Nu Nv) 2n (значение 2n достигается). Оценка числа общих нулей двух гармоник применима к числу критических точек одной гармоники, при условии конечности их количества; однако верхняя граница 2n2, видимо, не является точной (это так при n = 1, 2).

Следующее равенство есть весьма частный случай теоремы 3.2.из [2]: если, S2 имеют конечную длину, то card(g() ) dg = h1()h1(), (1) O(3) где dg – инвариантная мера на O(3) полной массы 1, h1 обозначает одномерную меру Хаусдорфа на S2. Используя (1) и оценки числа общих точек, при подходящем выборе и можно оценить сверху и снизу длины узловых множеств Nu, где u Hn, u = 0, а также внутренние радиусы узловых областей:

2 n + < h1(Nu) 2n, j1 1 jarcsin inrad S2 \ Nu n <.

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 22 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.