WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 22 |

В данной работе исследуются коэффициентные задачи идентификации для модели (1)–(3), заключающиеся в нахождении неизвестных функциональных коэффициентов, c и k и решения (u, p, T, C) по дополнительной информации о решении. Для исследования рассматриваемых задач в работе применяется методика, разработанная в предыдущих работах авторов по задачам управления для стационарных моделей гидродинамики и тепловой конвекции (см., например, [2]–[4]). Доказывается их разрешимость, выводятся и анализируются системы оптимальности, описывающие необходимые условия экстремума. Основное внимание уделяется исследованию вопроса о локальной единственности и устойчивости решений рассматриваемых задач идентификации. Сложность исследования этого вопроса связана с тем обстоятельством, что коэффициентные задачи идентификации характеризуются двойной нелинейностью. Первая связана с нелинейностью исходной модели (1)–(3), вторая с нелинейным вхождением в модель (1)–(3) (в виде множителей при T или C) неизвестных функций, c и k. Тем не менее, структура дифференциальных уравнений, составляющих модель (1)–(3), такова, что с помощью детального анализа выведенных систем оптимальности удается установить достаточные условия на исходные данные, обеспечивающие локальную единственность (и устойчивость) решений конкретных задач управления.

Указанные условия локальной единственности имеют громоздкий вид. Чтобы сделать их более наглядными, вводятся аналоги широко используемых в гидродинамике безразмерных параметров – числа Рейнольдса, а также температурного и диффузионного чисел Рэлея и Прандтля. С использованием безразмерных параметров указанные условия единственности могут быть записаны в достаточно простой форме, близкой к форме условий единственности коэффициентных задач идентификации для стационарного линейного уравнения конвекции-диффузии-реакции.

Работа поддержана грантом НШ-9004.2006.1, грантом РФФИ 0601-96020-р_восток_а и грантами ДВО РАН (проекты 06-I-П22-086, 06-II-СО-03-010, 06-III-А-01-011, 06-III-А-03-072).

Литература [1] Алексеев Г. В. Коэффициентные обратные экстремальные задачи для стационарных уравнений тепломассопереноса // Журн.

вычисл. мат. и мат. физики. – 2007. – Т. 47, № 6. – С. 1055–1076.

[2] Alekseev G. V., Tereshko D. A. On solvability of inverse extremal problems for stationary equations of viscous heat conducting fluid // J. Inv. Ill-Posed Problems. – 1998. – V. 6, № 6. – P. 521–562.

[3] Алексеев Г. В. Разрешимость обратных экстремальных задач для стационарных уравнений тепломассопереноса // Сиб. мат.

журн. – 2001. – Т. 42, № 5. – С. 971–991.

[4] Алексеев Г. В. Обратные экстремальные задачи для стационарных уравнений тепловой конвекции // Вестник НГУ. Сер. мат.

мех. информ. – 2006. – Т. 6. – С. 6–32.

Априорные оценки решений уравнения теплопроводности с нелокальными условиями типа Бицадзе–Самарского и Самарского–Ионкина Алиханов А. А. (Россия) Кабардино-Балкарский государственный университет alikhanov-tom@yandex.ru В работах [1]–[3] изучены нелокальные краевые задачи типа Бицадзе–Самарского и Самарского–Ионкина для обыкновенных дифференциальных уравнений в дифференциальной и разностной трактовках.

Работа [3] посвящена нелокальной краевой задаче типа Бицадзе–Самарского для уравнения теплопроводности в разностной трактовке.

В работе [4] изучена нелокальная задача типа Самарского–Ионкина для уравнения теплопроводности с постоянными коэффициентами.

В работах [5], [6] изучены устойчивость нелокальной разностной задачи для уравнения теплопроводности с постоянными коэффициентами.

Предложенная в работах [4], [5] методика, основанная на метоте разделение переменных, не распространяется на случай уравнения с переменными коэффициентами.

В данной работе получены априорные оценки дифференциальной задачи для уравнения теплопроводности с переменными коэффициентами с нелокальными условиями типа Бицадзе–Самарского и Самарского–Ионкина.

1. Краевая задача с нелокальными условиями типа Бицадзе–Самарского. В прямоугольнике QT = {(x, t) | 0 x l, 0 t T } рассмотрим нелокальную краевую задачу u u = k(x, t) - q(x, t)u + f(x, t), 0 < x < l, 0 < t T, (1) t x x ux(0, t) = 0, u(l, t) = (t)u(0, t), 0 t T (2) u(x, 0) = u0(x), 0 x l, (3) где 0 < c1 k(x, t) c2, |kx(x, t)| c3, q(x, t) 0, |(t)| 0.

Предполагая существование регулярного решения задачи (1)–(3) методом энергетических неравенств получена априорная оценка t t u 2 d M f 2d + u0(x) 2, (4) 0 0 0 l где u 2 = u2 dx, M > 0 – известная постоянная, зависящая от c1, c2, c3, 0, l, T.

2. Краевая задача с нелокальными условиями типа Самарского–Ионкина. В прямоугольнике QT = {(x, t) | 0 x l, 0 t T } рассмотрим нелокальную краевую задачу u u = k(x, t) - q(x, t)u + f(x, t), 0 < x < l, 0 < t T, (5) t x x u(0, t) = 0, ux(l, t) = (t)ux(0, t), 0 t T, (6) u(x, 0) = u0(x), 0 x l, (7) где 0 < c1 k(x, t) c2, |kx|, |kt|, |qt| c3, q(x, t) 0, |(t)| 0.

Предполагая существование регулярного решения задачи (5)–(7) методом энергетических неравенств получена априорная оценка t t u 2 + ux 2 d M f 2d + u0(x) 2, (8) 0 0 W2 (0,l) 0 где M > 0 известная постоянная зависящая от c1, c2, c3, 0, l, T.

Из априорных оценк (4) и (8) следует единственность и непрерывная зависимость решения задач (1)–(3) и (5)–(7) от входных данных.

Литература [1] Ильин В. А., Моисеев Е. Н. // Докл. АН СССР. 1986. – Т. 291, № 3. – C. 534–539.

[2] Ильин В. А., Моисеев Е. Н. // Дифференц. уравнения. 1987. – Т. 23, № 8. – C. 1422–1431.

[3] Шхануков М. Х. // Докл. Адыг.(Черкес.) Междунар. акад. наук.

1994. – Т. 1, № 1. – C. 38–42.

[4] Ионкин Н. И. // Дифференц. уравнения. 1977. – Т. 13, № 2. – C. 294–304.

[5] Гулин А. В., Морозова В. А. // Дифференц. уравнения. 2003. – Т. 39, № 7. – C. 912–917.

[6] Гулин А. В., Ионкин Н. И., Морозова В. А. // Дифференц. уравнения. 2006. – Т. 42, № 7. – C. 914–923.

Замечание о диссипации интеграла магнитной спиральности Ахметьев П. М. (Россия) ИЗМИРАН pmakhmet@mi.ras.ru Замечено, что значение интеграла токовой спиральности для тонкой магнитной трубки пропорционально значению интеграла T w (определение см. в [1]), входящему слагаемым в интеграл магнитной спиральности. На основе этого вычисления проанализировано уравнение Фарадея для магнитного поля в жидкой проводящей среде и получено простое геометрическое объяснение закона изменения магнитной спиральности при ненулевом коэффициенте магнитной диффузии. Результат получен совместно с О. В. Кунаковской и В. А. Кутвицким.

Далее обсудим подход к решению проблем [2] (1990-16, 1984-12).

Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ 05-01-00993.

Литература [1] Moffatt H. K. and Ricca R. L., Helicity and Calugareanu invariant // Proc. R. Soc. Lond. A (1992) 439, 411–429.

[2] Арнольд В. И., Задачи Арнольда // Москва, Фазис, 2000.

Сингулярная задача Римана–Гильберта Безродных С. И. (Россия) Вычислительный центр РАН sergeyib@pochta.ru Власов В. И. (Россия) Вычислительный центр РАН vlasov@ccas.ru Рассматривается задача Римана–Гильберта, заключающаяся в нахождении аналитической в верхней полуплоскости H+ = {z :

Im z > 0}, функции P+ = u + iv по заданному на вещественной оси R соотношению Re h(x) P+(x) = c(x), x R, (1) где h и c – кусочно-гльдеровы функции (коэффициенты задачи) с разрывами первого рода в точках множества {xk} := {x0, x1,..., xK};

здесь x0 :=. Решение P+ задачи (1) ищется в классе аналитичных в H+ и непрерывных в H+ \ {xk} функций, удовлетворяющих в точке x0 соотношению P+(z) = O(z0+n0), z x0, а в точках xk, k = 1, K следующим соотношениям: P+(z) = O (z - xk)k-nk, если nk = 0, и P+(z) = O(1), если nk = 0. Здесь nk Z+ – заданные целые числа, а k – дробные части величин k, определяемых по формулам 0 := -1 [arg h(+)-arg h(-)], k = -1 [arg h(xk+0)-arg h(xk-0)], k > 0. Целые части этих величин обозначим µk (т.е. µk := [k]).

Для сформулированной задачи Римана–Гильберта с дополнительными условиями роста (сингулярной задачи) установлены теоремы разрешимости, а искомая функция P+ выписана через модифицированные интегралы типа Коши.

Отдельно рассмотрена задача (1) c кусочно-постоянными коэффициентами (т.е. когда при x (xk, xk+1) выполняются равенства h(x) = hk, c(x) = ck), в связи с тем, что в таком случае искомая функция P+ допускает яркую геометрическую интерпретацию. Действительно, перепишем краевое условие (1) в виде au - bv = c, где a + ib = h. Поскольку при постоянных a, b, c такое соотношение представляет собой уравнение прямой на плоскости w = u+iv, то в случае кусочно-постоянных коэффициентов естественно было бы ожидать, что образом P+(R) является многоугольный контур, а само решение w = P+(z) осуществляет конформное отображение полуплоскости H+ на некоторый неоднолистный многоугольник. Реализацией сформулированной трактовки решения задачи Римана–Гильберта с кусочнопостоянными коэффициентами является найденное в настоящей работе его представление в виде обобщенного интеграла Кристоффеля– Шварца. Прежде чем его выписать, сформулируем теорему о разрешимости рассматриваемой сингулярной задачи с кусочно-постояннми коэффициентами (предполагая k = 0, k = 0, K).

K Теорема. (i) Если индекс µ := n0 - µ0 + (µk + nk) неотk=рицателен, то решение P+ сингулярной задачи Римана–Гильберта с кусочно-постоянными коэффициентами имеет вид + P+(z) = X (z) Pµ(z) + F+(z), (2) где Pµ(z) – произвольный полином степени µ с вещественными ко K + эффициентами, X () := ie-arg hK (z - xk)k-nk – каноническое k=решение задачи, а F+ определяется по формуле K ck(z - k)µ (t - k)-µ F+(z) := dt;

+ hki X (t)(t - z) Lk k=здесь L0 := (-, x1), Lk := (k, k+1), LK := (K, +), k R \ Lk.

(ii) Если µ = -1, то единственное решение задачи дается формулой (2), где Pµ 0, а в формуле для F+ следует положить µ = 0.

Если µ < -1, то для разрешимости задачи необходимо и достаточно tnc(t) выполнения условий dt = 0, n = 0, |µ| - 2, а само решение + R h(t)X (t) дается той же формулой, что и при µ = -1.

Представление (2) для функции P+ было преобразовано к виду обобщенного интеграла Кристоффеля–Шварца:

K z P+(z) = ie-arg hK (t - xk)k-nk-1R(t) dt + w, (3) z k=где R – полином с вещественными коэффициентами. Такое преобразование удалось осуществить при помощи найденной в работе форму(n) лы типа Якоби для функции Лауричеллы FD – гипергеометрической функции многих комплексных переменных. Указанная формула дает выражение для производной от произведения некоторых биномов на функцию Лауричеллы в виде произведения (других) биномов и полинома. Коэффициенты полинома R в формуле (3) выписаны явно в терминах функции Лауричеллы.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 07-01-00503), программы фундаментальных исследований ОМН РАН № 3 и программы РАН “Современные проблемы теоретической математики”, проект “Оптимизация вычислительных алгоритмов решения задач математической физики”.

Размерность Хаусдорфа множества хорошо аппроксимируемых точек на гладких кривых Берник В. И. (Беларусь) Институт математики НАН Беларуси bernik@im.bas-net.by Ковалевская Э. И. (Беларусь) Белорусский государственный аграрный технический университет ekovalevsk@mail.ru Морозова И. М. (Беларусь) Белорусский государственный аграрный технический университет INNA.MOROZOVA@tut.by Метрическая теория диофантовых приближений на многообразиях возникла из работ В. Г. Спринджука и В. М. Шмидта (1964–1977 гг.).

Она интенсивно развивается в настоящее время [2]. Для изучения исключительных множеств в ней используется размерность Хаусдорфа [3]. Это связано с тем, что размерность Хаусдорфа дает дополнительную информацию о множествах нулевой меры. Именно, с ее помощью можно точнее описать размер множества. Такие результаты метрической теории чисел находят свое применение в так называемой проблеме малых знаменателей [1].

Пусть Pn = Pn(x) = anxn + · · · + a1xn + a0 Z[x], an = 0, H = max0 j n(|aj|) – высота многочлена Pn. Легко получить, что неравенство |Pn(x)| < H-n имеет бесконечно много решений в многочленах Pn. А. Я. Хинчин (1926 г.) доказал более точное утверждение: для любого, 0 < < 1, неравенство |Pn(x)| < H-n имеет бесконечно много решений в многочленах Pn. Пусть Mn(w) – множество точек x R, для которых неравенство |Pn(x)| < H-w выполняется бесконечно часто в целочисленных многочленах Pn. К. Малер (1932 г.) установил, что при w > 4n множество Mn(w) имеет нулевую меру Лебега. С другой стороны, Хинчин доказал, что существуют такие числа R, что неравенства CH-n < |Pn()| < H-n, где константа C зависит только от и n, 0 < C < 1, имеет бесконечно много решений в многочленах Pn. Эти результаты были значительно усилены и обобщены в работах Спринджука, Шмидта и их последователей.

Пусть : N R+ – монотонно убывающая функция и f1(x),..., fn(x) – вещественные, определенные на интервале I, m раз непрерывно дифференцируемые функции, причем 1, f1(x),..., fn(x) линейно независимы над R. Пусть Ln(f1, f2,..., fn, ) обозначает множество точек x I, для которых неравенство |a1f1(x) + · · · + anfn(x) + a0| < Hn-1(H), (1) где H = max0 j n(|aj|), имеет бесконечно много решений в целых векторах (an,..., a0). В [2] доказано, что множество Ln(f1, f2,..., fn, ) имеет нулевую меру Лебега, если ряд (h) сходится, и имеет h=полную меру Лебега, если указанный ряд расходится.

Чтобы сформулировать полученный нами результат, заменим в неравенстве (1) правую часть на величину H-w, где w > 0, и введем множество Ln(f1, f2,..., fn, w) аналогично множеству Ln(f1, f2,..., fn, ). Обозначим через dim Ln(f1, f2,..., fn, w) размерность Хаусдорфа множества Ln(f1, f2,..., fn, w). Доказана n(n+2) Теорема. При w > - 1 имеем n + 1 n(n + 2) dim Ln(f1, f2,..., fn, w).

w + 1 4(w + 1) Работа выполнена в рамках государственной программы фундаментальных исследований Беларуси “Математические модели”.

Литература [1] Арнольд В. И. Малые знаменатели и проблема устойчивости движения в классической и небесной механике // УМН. – 1963.

18. N 6. С. 91–192. Ivanov I. I. Method of theory of functions at the boundary problems on the plate // Diff. equations. – 1997. N 8.

P. 1069–1075.

[2] Beresnevich V., Bernik V., Kleinbock D., Margulis G. Metric Diophantine approximation: The Khintchine–Groshev theorem for nondegenerate manifolds // Moscow Math. J. – 2002. 2. С. 203–225.

[3] Dodson M. M., Kristensen S. Hausdorff dimension and Diophantine approximation // Proc. Simposia in Pure Math. – 2004. 72. N 1.

C. 305–347.

Об энтропии приводимых кос Бирюков О. Н. (Россия) Коломенский государственный педагогический институт, Коломна Oleg_Biryukov.81@mail.ru Рассматривается поверхность M – двумерный диск с граничной окружностью, из внутренности которого удалены n открытых дисков. Хорошо известно, что гомеотопии (изотопические классы гомеоморфизмов) поверхности M, неподвижные на компоненте границы, образуют группу кос Артина Br(n) из n нитей.

Для элементов этой группы существует известная классификация Нильсена–Тёрстона, согласно которой гомеотопии любой гиперболической поверхности разбиваются на три типа: периодические, псевдоаносовские и приводимые. Каждая коса является либо псевдоаносовским, либо приводимым изотопическим классом.

Итерации гомеоморфизма, представляющего некоторую косу, задают динамическую систему с дискретным временем. Одной из важных характеристик динамической системы является топологическая энтропия, описывающая экспоненциальную скорость роста числа различимых траекторий при итерациях в системе. В качестве энтропии косы можно положить минимум топологической энтропии по изотопическому классу.

В 1995 году М. Бествина и М. Хендел [2] предложили алгоритм для вычисления энтропии псевдоаносовских кос. Данный алгоритм являлся модификацией другого алгоритма этих же авторов [1], который определял неприводимость внешнего автоморфизма свободной группы.

Алгоритм Бествины и Хендела можно распространить на случай приводимых кос.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант 07-0100085.

Литература [1] M. Bestvina and M. Handel. Train tracks and automorphisms of free groups. Ann. of Math., 135 (1992), 1–51.

[2] M. Bestvina and M. Handel. Train-tracks for surface homeomorphisms. Topology, 34 (1), 109–140, 1995.

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 22 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.