WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 9 | 10 || 12 | 13 |   ...   | 22 |

1. Исследованы простые стационарные волны, в которых все функции зависят от широты. Для таких решений уравнения (1) проинтегрированы в конечном виде, доказано, что ключевым уравнением для анализа решения является дискриминантное уравнение vh3 - 1 - w2 h2 - = 0, (2) sinгде v = v0(h sin )-1, w = w0(sin )-1 + r0 sin. (3) Возможны два типа таких решений, различающихся выпуклостью профиля h = h() и геометрией линий тока. Одно из них является сверхкритическим (сверхзвуковым), второе докритическим. Они описывают движенияе жидкости из источника на одном из полюсов планеты в сток, расположенный в другом полюсе. При увеличении угловой скорости вращения планеты область течения расщепляется на два отдельных пояса в северном и южном полушариях. Особенностями типа источника и стока в этих случаях могут быть и линии параллели, на которых неограниченными становятся производные искомых функций. Решения (2), (3) моделируют истечения воздушных масс с полярных шапок планеты.

2. Исследовано возможное ветвление решений системы (1) для простейших случаев: состояния равновесия v = w = 0, h() = h0 + (r0/8f0) sin2 и волн Блиновой Россби w = w0 sin, v = 0. Доказано, что от данных решений ответвляются точные решения уравнений (1), имеющие константный произвол. Для отклонения от состояния равновесия это означает, что существуют нетривиальные решения системы (1), в которых h = h(), (v, w) = (0, 0). Построение таких реше ний сводится к анализу совместности переопределённой системы трёх уравнений для двух функций компонент скорости v и w. Переопределённая система уравнений приведена в инволюцию, получены все условия совместности, найден произвол в решении. Функции v и w описываются аналитическими формулами комбинациями эллиптических интегралов.

3. Исследовано распространение звуковых возмущений в атмосфере планеты в рамках модели (1). Система (1) является гиперболической, для неё проинтегрированы уравнения звуковых характеристик на состоянии равновесия (см. п. 2). Найдена точная формула для характеристического коноида в виде комбинации эллиптических интегралов.

Модель (1) описывает движения сплошной среды на сфере в целом.

Этим она существенно отличается от обычно используемых моделей типа -плоскости, в которых решение определено лишь в ограниченной по широте плоской полосе.

В работе получены точные решения уравнений гидродинамики на вращающейся сфере в целом, анализируются их свойства и наличие особенностей.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант № 0501-00080, СО РАН, интеграционный поект № 2.15 и Программы поддержки ведущих научных школ, НШ-5245.2006.1.

Случаи полной интегрируемости в динамике четырехмерного твердого тела в неконсервативном поле сил Шамолин М. В. (Россия) МГУ им. М. В. Ломоносова shamolin@imec.msu.ru Как было установлено в [1], [2], [3], [4] структура динамических уравнений движения свободного трехмерного твердого тела при наличии следящей силы на so(3) R3 при определенных условиях сохраняется при переносе динамических свойств на случай большей размерности. Настоящая работа посвящена изучению движения четырехмерного твердого тела, находящегося в неконсервативном поле сил сопротивления с так называемой переменной диссипацией [1], [6].

Предполагается что все взаимодействие (четырехмерного) твердого тела со средой, заполняющей неограниченное четырехмерное пространство, сосредоточено на той части гладкой (трехмерной) поверхности тела, которая имеет форму (трехмерного) шара K3. При этом угловая скорость движения такого тела элемент алгебры so(4), а скорость центра масс элемент R4.

Если оператор инерции в декартовой системе координат Dx1x2x3x4, связанной с телом (ось Dx1 направлена вдоль оси динамической симметрии, а декартова система Dx2x3x4 связана с трехмерным шаром), имеет диагональный вид diag{I1, I2, I3, I4}, I2 = I3 = I4, so(4) матрица угловой скорости твердого тела, то та часть уравнений движения, которая отвечает алгебре so(4), имеет следующий вид [1], [2], [3]:

+ + [, + ] = M, где = diag{1, 2, 3, 4}, 1 = (-I1 + I2 + I3 + I4)/2,..., 4 = (I1 + I2 + I3 - I4)/2, M – момент внешних сил, действующих на тело в R4, спроектированный на so(4)), [, ] – коммутатор в so(4).

Поле сил определяем по аналогии с полем, используемым при моделировании воздействия сопротивляющейся среды на твердое тело в условиях струйного обтекания [1], [5], [6], [7].

В более ранних работах в основном рассматривались такие движения четырехмерного (многомерного) тела, когда момент суммарной силы, действующей на тело, тождественно равен нулю. Данная работа принадлежит одному из современных направлений в геометрии и механике, развиваемое автором, в исследовании уравнений движения твердого тела на so(4) R4 (когда момент внешних сил не равен тождественно нулю и, более того, неконсервативен).

При некоторых условиях (наличие циклических интегралов вида 0 0 1 = 1 = 2 = 2 = 4 = 4 = 0, а также неинтегрируемой связи v = const) система динамических уравнений может быть представлена в следующем виде:

cos cos = -z3 + n2 sin, 3 = n2v2 sin cos - z2, = zz3, 0 sin sin zz cos z = 1 + zz ctg ctg 1, =, 1 + z sin cos = -z1(z, z), sin sin z2 AB 2 где z = z1 + z2, z =, n2 =, A, B, > 0 (постоянные z1 0 Iхарактеризующие момент воздействия среды на твердое тело), z1 = 3 cos 2 + 5 sin 2, z2 = -3 sin 2 cos 1 + 5 cos 2 cos 1 + 6 sin 1, z3 = 3 sin 2 sin 1 - 5 cos 2 sin 1 + 6 cos 1, (, 1, 2) сферические координаты, связанные с шаром K3, v скорость центра шара K3 относительно среды.

Приведенная выше система шестого порядка в указанных координатах распалась, соответственно, на независимую систему третьего порядка, независимую систему второго порядка (конечно, после замены в ней независимого переменного), а также одно присоединенное уравнение.

Теорема Рассматриваемая система шестого порядка обладает полным набором трансцендентных (в смысле комплексного анализа) первых интегралов, выражающихся через конечную комбинацию элементарных функций.

Полученная методика интегрирования рассматриваемых динамических систем может быть распространена и на пространство so(n) Rn произвольного динамически симметричного n-мерного твердого тела.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты 05– 08–01378–а и 05–01–00401–а).

Литература [1] Шамолин М. В. Методы анализа динамических систем с переменной диссипацией в динамике твердого тела. М.: Изд–во "Экзамен 2007. 352 с.

[2] Трофимов В. В., Фоменко А. Т. Алгебра и геометрия интегрируемых гамильтоновых дифференциальных уравнений. – М.: Факториал, 1995. – 447 с.

[3] Трофимов В. В., Фоменко А. Т. Геометрия скобок Пуассона и методы интегрирования по Лиувиллю систем на симметрических пространствах // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Новейшие достижения. М.: ВИНИТИ, 1986. – Т. 29. – С. 3–80.

[4] Шамолин М. В. Интегрируемость по Якоби в задаче о движении четырехмерного твердого тела в сопротивляющейся среде // Докл. РАН. – 2000. – Т. 375. – No. 3. – С. 343–346.

[5] Локшин Б. Я., Привалов В. А., Самсонов В. А. Введение в задачу о движении тела в сопротивляющейся среде. – М.: МГУ, 1986. – 86 с.

[6] Shamolin M. V., New integrable cases and families of portraits in the plane and spatial dynamics of a rigid body interacting with a medium, In: Journal of Mathematical Sciences, Vol. 114, No. 1, 2003, p.p. 919-975.

[7] Shamolin M. V., Structural Stability in 3D Dynamics of a Rigid.

In: CD-Proc. of WCSMO-3, Buffalo, NY, May 17-21, 1999; Buffalo, NY, 1999, 6 p.

Алгебры операторов Лакса и их центральные расширения Шейнман О. К. (Россия) Математический институт им. В. А. Стеклова РАН Независимый московский университет sheinman@mi.ras.ru Алгебры операторов Лакса – новый класс алгебр токов на римановых поверхностях, возникший вслед за аффинными алгебрами Каца– Муди и алгебрами Кричевера–Новикова. Каждая такая алгебра отвечает римановой поверхности и голоморфному векторному расслоению на ней. Вводятся ортогональные и симплектические аналоги операторов Лакса и соответствующие алгебры токов. Изучены почти градуированная структура и локальные центральные расширения этих алгебр.

Перечисленное является результатом совместной работы автора с И. М. Кричевером и М. Шлихенмайером.

Общие В-гиперсингулярные интегралы Шишкина Э. Л. (Россия) Воронежская государственная технологическая академия ilina_dico@mail.ru Будут представлены теоремы об обращении интегралов типа Впотенциалов Рисса общими В-гиперсингулярными интегралами.

Об особенностях перехода к детерминированному хаосу в некоторых гидродинамических системах Щвец А. Ю. (Украина) НТУУ “Киевский политехнический институт” alex.shvets@bigmir.net При изучении возникновения детерминированного хаоса в динамических системах одним из самых интересных является вопрос о сценариях перехода от одного типа установившихся режимов к другому. К настоящему времени обнаружено и описано большое количество типов хаотических аттракторов в динамических системах самой разной природы. Однако число известных сценариев перехода между установившимися режимами разных типов остается сравнительно небольшим.

Поэтому обнаружение новых сценариев перехода к хаосу является интересной и актуальной научной проблемой нелинейной динамики.

Настоящая работа посвящена изучению свойств установившихся, в том числе и хаотических, режимов взаимодействия колебаний свободной поверхности жидкости в цилиндрических жестких баках и процесса вращения вала электродвигателя ограниченной мощности, возбуждающего пространственные колебания бака. Рассматриваемая система является детерминированной динамической системой с ограниченным возбуждением. Существование хаотических режимов при ограниченном возбуждении бака впервые было доказано в работе [1]. Однако в этой работе доказательство существования таких режимов было проведено только для одного частного случая колебаний свободной поверхности жидкости. Появление хаотических режимов в общем случае пространственных колебаний свободной поверхности установлено в работе [2]. Разнообразие возможных типов хаотических аттракторов и сценариев перехода от регулярных режимов к хаотическим изучалось в работе [3].

В пространстве параметров рассматриваемой системы обнаружен новый сценарий перехода типа "хаос–хаос". Этот сценарий относится к типу переходов к хаосу через перемежаемость. Он является обобщением известного сценария перехода от предельного цикла к хаосу через перемежаемость по Помо–Манневиллю. При новом сценарии роль исчезающего предельного цикла сценариев Помо–Манневилля играет исчезающий, при бифуркации, хаотический аттрактор. Ламинарной фазой обнаруженной перемежаемости являются хаотические движения траекторий, возникающего нового аттрактора, в окрестности траекторий исчезающего хаотического аттрактора. Турбулентной фазой являются непредсказуемые наперед уходы траекторий в отдаленные области фазового пространства.

Проведено детальное исследование установившихся хаотических режимов системы до и после точки бифуркации. Построены и проанализированы фазовые портреты, сечения и отображения Пуанкаре, распределения спектральной плотности и инвариантной меры в обнаруженном переходе "хаос-хаос".

На рисунках приведены фазовые портреты проекций хаотических аттракторов иллюстрирующие вышеупомянутую перемежаемость “хаос–хаос”.

p2 p-----1 0 1 2 -1 0 1 p1 pЛитература [1] Краcнопольская Т.С., Швец А.Ю. Регулярные и хаотические поверхностные волны в жидкости при ограниченном возбуждении колебаний цилиндрического бака // Прикл. мех.- 1990.-Т. 26, N8.-С. 85–93.

[2] Krasnopolskaya T.S., Shvets A.Yu. Chaotic surface waves in limited power-supply cylindrical tank vibrations // J. Fluids &Structures.1994.-V.8, N1.-P.1-18.

[3] Швец А.Ю. Сценарии переходов “порядок–хаос” при резонансных колебаниях жидкости в цилиндрических баках // Сб. трудов Института математики НАН Украины.–2006.–Т.3, N1.–С. 216– 249.

Singular curves and invariants of geometric structures Agrachev A. (Russia, Italy) Steklov Mathematical Institute SISSA agrachev@sissa.it Given a submanifold V of the tangnet bundle to a smooth manifold M, we consider “admissible curves” on M whose velocities belong to V. Among examples are parametrized by the length curves on a Riemannian manifold and integral curves of a vector distribution. The boundary map sends a curve into its endpoints. “Singular curves” are critical points of the boundary map restricted to the space of admissible curves. They give nice and efficient tools for the investigation and classification of many intersting geometric structures.

Projective geometric theory of differential equations: linearization criterion Aminova A. V. (Russia) Kazan State University asya.aminova@ksu.ru Aminov N. A.-M. (Russia) Kazan State Technical University asa@ksu.ru While developing the theory of spaces with a projective connection, E. Cartan stressed persistently its importance for the study of differential equations (see, for example, [1, c. 57]). The methods of differential geometry, in particular, the methods of Cartan’s theory provide tools for developing a systematic geometric approach to defining and studying point and non-point symmetries of large classes of ordinary differential equations and partial differential equations and to obtaining their solutions.

Devoted to the fundamentals of this approach are papers [2-5] where the group properties of the equations of geodesics on an affine or a pseudoRiemannian manifold Mn are considered, in particular, when these are written as a system of second-order differential equations (resolved with respect to the second derivatives) with third-degree polynomials in the derivatives of the unknown functions on the right-hand sides. Each point symmetry of such systems is proved to be a projective transformation.

A connection between projective transformations in pseudo-Riemannian manifold Mn and symmetries of Hamiltonian systems and Lie–Bcklund transformations of Hamilton - Jacobi equations with quadratic Hamiltonians is discovered. The dimension of the maximal symmetry group for a system of n second-order ordinary differential equations is found, and this group is proved to be the projective group; this result is an extension of a well-known theorem of Lie relating to n = 1. In [6-7] the group properties of systems S of second-order differential equations resolved with respect to the second derivatives and with the right-hand sides cubic in the first derivatives of the unknown functions are studied. No preliminary assumptions are made on the existence of a geometric structure (Riemannian, affine and so on) in the space of dependent and independent variables of the system. We show that certain combinations of the coefficients of the system are transformed as the components of a projective connection. It is remarkable that every projective connection on n-dimensional manifold M can be obtained in this way and every differential system S defines an (associated) projective connection on M. In other words, the theory of systems S of differential equations is the theory of projective connections.

The notion of equivalent differential systems is introduced and necessary and sufficient conditions are found for a system S to be reducible by a change of variables to a system whose integral curves are straight lines.

Symmetry group of differential system S is proved to be a group of projective transformations of dimension r n2 + 2n in n-dimensional space with associated projective connection.

In the frames of developed projective geometric theory of differential equations linearization criterion for general system of second-order differ ential equations: = F (t, ( N), is found, that is, necessary and x, ) x sufficient conditions are found for a system to be reducible by a change of variables to a system whose integral curves are straight lines and are expressed by n linear parametric equations or n - 1 linear equations with constant coefficients. For n = 2 this implies the linearization conditions deduced by Tresse (1894) for the second-order differential equation. As an application a classification is given of linearizable systems of two secondorder differential equations admitting four-dimensional solvable symmetry groups of Lie-Petrov type V I1. For each type explicit forms of equations of a system together with basic vector fields and structure equations of the corresponding symmetry Lie algebra are obtained as well as linearization conditions and linearizing changes are stated.

The work was partially supported by the Russian Foundation for Basic Researches (grant no. 06-01-00765).

References [1] Arnold V. I. Dopolnitelnye glavy teorii obyknovennykh differencialnykh uravnenii. Moscow: Nauka. 1978.

[2] Aminova A.V. Dep. VINITI. 1706- 91. 1991.

’ [3] Aminova A. V. Izv. vuz. Mat. 1994. 2, 3-11.

Pages:     | 1 |   ...   | 9 | 10 || 12 | 13 |   ...   | 22 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.