WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 8 | 9 || 11 | 12 |   ...   | 22 |

О янгианах супералгебр Ли Стукопин В. А. (Россия) Донской государственный технический университет stukopin@mail.ru Рассмотрено квантование по В. Г. Дринфельду полиномиальных (скрученных и нескрученных) алгебр токов со значениями в супералгебре Ли типа A(m, n). Результат квантования (квантовая алгебра, называемая янгианом), описан в терминах образующих и соотношений. В некоторых случаях проведено вычисление универсальной Rматрицы. Рассмотрены возможные приложения в теории интегрируемых моделей квантовой теории поля.

Конкретная теория чисел: первичные числа и удивительные свойства чисел repunit Тарасов Б. В. (Россия) Институт теплофизики СО РАН, Новосибирск tarasov@itp.nsc.ru 1. Пусть n 0, k 0 целые числа. Целые числа вида En,k = (10(k+1)(n+1) - 1)/(10k+1 - 1) назовем первичными (initial) числами. При k = 0 получаем числа repunit (см.[3,4]) Rn+1 = (10n+1 - 1)/9.

2. Для чисел repunit доказываются следующие утверждения.

Теорема 1 (Ra, Rb) = R(a,b), где a 1, b 1 целые числа.

Теорема 2 Пусть p > 3 простое число, k t 1, t s 1 целые t s числа. Тогда gcd(Rpk/Rp, Rp ) = 1.

Теорема 3 Пусть a 1, b 1 целые числа, тогда справедливы следующие утверждения :

(1) Если (a, b) = 1, то gcd(Rab, RaRb) = RaRb.

(2) Если (a, b) > 1, то RaRb/R(a,b) gcd(Rab, RaRb) < RaRb.

Теорема 4 Число Rab/(RaRb) целое тогда и только тогда, когда (a, b) = 1, где a 1, b 1 целые числа.

Лемма 1 Если a = 3nb, (b, 3) = 1, то Ra 0(mod 3n), но Ra 0(mod 3(n+1)).

Лемма 2 Для целого числа a 1 справедливы утверждения :

(1) Если a нечетное, то Ra 0(mod 11).

(2) Если a = 2(11n)b, (b, 11) = 1, то Ra 0(mod 11n+1), но Ra 0(mod 11n+2).

Предположение [Общая формула для gcd(Rab, RaRb)] Если a 1, b 1 целые числа, d = (a, b), где d = 3L · 11S · c, (c, 3) = 1, (c, 11) = 1, L 0, S 0, то справедливы равенства :

если c нечетное число, то gcd(Rab, RaRb) = ((RaRb)/R(a,b)) · 3L, если c четное число, то gcd(Rab, RaRb) = ((RaRb)/R(a,b)) · 3L · 11S.

3. Основные открытые проблемы чисел repunit, где p > 3 простое число.

Проблема 1 (Prime repunit numbers [4]). Существует ли бесконечно много простых чисел Rp Проблема 2 Все ли числа Rp являются числами свободными от квадратов Проблема 3 Если число Rp свободно от квадратов, то найдется n ли число n, такое, что число Rp содержит квадрат Литература [1] Арнольд И. В. Теория чисел. - M. : Учпедгиз, 1939.

[2] Виноградов И. М. Основы теории чисел. - M. : Наука, 1981.

[3] Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О. Конкретная математика. Основание информатики : Пер. с англ. - M. : Мир, 1998.

[4] Weisstein, Eric W. "Repunit."From MathWorld–A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Repunit.html/.

©1999 2007 Wolfram Research, Inc.

[5] Ribenboim, P. "Fermat Numbers" and "Numbers k2n±1."§2.6 and 5.7 in The New Book of Prime Number Records. New York: SpringerVerlag, pp. 83-90 and 355-360, 1996.

[6] Tarasov, B. V. "The concrete theory of numbers: initial numbers and wonderful properties of numbers repunit". – Bell available at http://arxiv.org/abs/0704.Новая компактификация схемы модулей стабильных векторных расслоений на алгебраической поверхности Тимофеева Н. В. (Россия) Ярославский государственный педагогический университет им. К. Д. Ушинского ntimofeeva@list.ru Пусть S – гладкая неприводимая проективная алгебраическая поверхность над алгебраически замкнутым полем k нулевой характеристики, H P ic(S) – класс обильного дивизора на S, OS(H) – соответствующий обильный обратимый пучок. Рассматривается схема модулей M0 стабильных по Гизекеру векторных расслоений E, имеющих фиксированный многочлен Гильберта P (t) = (E OS(H)t).

Символ означает эйлерову характеристику пучка.

В отличие от классической компактификации схемы модулей стабильных векторных расслоений полустабильными пучками без кручения, в предлагаемой компактификации семейства пар (E, S), где E – векторное расслоение и S – исходная поверхность, пополнены парами (E, S), где E – векторное расслоение, и S – поверхность, являющаяся модификацией поверхности S.

Пусть M M0 – компактификация схемы M0 по Гизекеру – Маруяме. Точки схемы M представляют классы полустабильных пучков без кручения, имеющих многочлен Гильберта, равный P (t). Пусть = M S – тривиальное семейство поверхностей, и E – универсальное семейство стабильных пучков, соответствующее тонкому пространству модулей M. В этом случае доказаны [2] следующие результаты:

Теорема 1. Существуют (i) M – проективное алгебраическое многообразие;

e (ii) – проективное многообразие с плоским морфизмом M, слои которого составляют семейство поверхностей над многообра зием M, (iii) H – семейство поляризаций на слоях семейства, такое, что многочлен Гильберта (O-1 (tH|-1 )) слоя -1( не зависит от y) e (y) e (y) e e выбора точки y M, (iv) E – локально свободный пучок на схеме, (v) морфизм : M M, (vi) морфизм семейств поверхностей :, такие, что i) морфизм бирационален, ii) схема M содержит открытую подсхему M0, такую, что |M0 :

f M0 M0 является изоморфизмом, iii) морфизм бирационален, iv) морфизм изоморфно отображает открытую подсхему 0 = -1M0 на подсхему 0, v) имеет место равенство пучков (E) = E.

Обозначим за Ey пучок – член семейства E, соответствующий точке y M.

Теорема 2. (i) Существует пучок идеалов J OMS, такой, f что проекция : M представима в виде композиции prM b f : - M S - M, в которой – морфизм раздутия в пучке идеалов J, морфизм prM – f проекция на прямой сомножитель.

(ii) Слой проекции над общей точкой y M0 изоморфен поверх ности S. Слой над специальной точкой y M \ M0 – приводимая по верхность, компонента которой изоморфна раздутию поверхности S в пучке нулевых идеалов Фиттинга Fitt0(Ext1(E(y), OS)).

e Также указаны условия, при которых компактификация M определяется однозначно заданием поляризованной поверхности (S, H) и многочленом P (t).

В случае, когда M – грубое пространство модулей, рассматривается этальное покрытие {i : Bi M, i = 1,..., N} схемы M, снабженное псевдосемейством пучков {Ei} в смысле определения Эллингсруда -и Г [1]. Пусть Bi0 = i (i(Bi) M0), i = Bi S, i0 = Bi0 S.

еттше Доказана Теорема 3. Существуют (i) M – проективная алгебраическая схема, (ii) этальное покрытие Bi M, (iii) i – набор квазипроективных многообразий, снабженных плосi e кими морфизмами i Bi, слои которых образуют семейства поверхностей, (iv) Hi – набор семейств поляризаций на слоях семейств i, такой, -что многочлен Гильберта (Oi e (tHi|i e )) слоя i (y) не зави e-1(y) e-1(y) сит от выбора точки y Bi, (v) Ei – набор локально свободных пучков на схемах i, (vi) морфизм схем : M M, (vii) морфизм этальных покрытий i : Bi Bi, (viii) морфизм семейств поверхностей i : {i} {i}, такие, что i) морфизм бирационален, ii) схема M содержит открытую подсхему M0, такую, что морфизм |M0 : M0 M0 является изоморфизмом, f iii) морфизмы i бирациональны, iv) каждая схема Bi содержит открытую подсхему Bi0, такую, что морфизм i|Bi0 : Bi0 Bi0 является изоморфизмом, e v) морфизмы i бирациональны, vi) каждый морфизм i отображает открытую подсхему i0 = - i Bi0 изоморфно на подсхему i0, vii) имеет место равенство псевдосемейств пучков, задаваемое на элементах Bi этального покрытия равенством (iEi) = Ei.

Литература [1] Ellingsrud, G. & Gttsche, L. Variation of moduli spaces and Donaldson invariants under change of polarization. // J. reine angew. Math., 467 (1995), pp. 1–49.

[2] Timofeeva, N. V. On the new compactification of moduli of vector bundles on a surface, I. Preprint, Institut Mittag-Leffler, 2007, no. 13.

www.ml.kva.se Гиперболичность абстрактных функциональных операторов Трубников И. Ю. (Беларусь) Белорусский государственный университет, Минск itrubnikov@gmail.com Пусть B банахова алгебра, A замкнутая подалгебра в B, а T представление группы Z в B, и для них выполнены следующие аксиомы:

-1 - 1. T aT A, a A, где T : a T aT есть автоморфизм алгебры A.

k 2. Множество B0 конечных сумм akT, ak A, плотно по норме в B.

Тогда говорят, что алгебра B порождена алгеброй A и представлением T группы Z, и обозначают B = B(A, T ). В случае, когда A и B есть C-алгебры, и представление T унитарно, обозначают B = C(A, T ). Приведенные аксиомы отражают важнейшие свойства функциональных операторов, поэтому элементы алгебры B(A, T ) называются абстрактными функциональными операторами, а элементы вида aT абстрактными операторами взвешенного сдвига.

Далее, пусть = (E, M, p) комплексное векторное расслоение над M размерности n, в каждом слое которого задано скалярное произведение, непрерывно зависящее от точки x. Непрерывное отображение : называется линейным расширением отображения : M M, если при отображении слой (x) линейно отображается в слой ((x)). Линейное расширение называется гиперболическим, если существуют инвариантные относительно непрерывные подрасслоения s и u, постоянные cs, cu > 0 и 0 < s, u < 1, такие, что = s u и m ||m(y)|| css ||y||, y s, m = 1, 2,..., (1) -m ||m(y)|| cuu ||y||, y u, m = 1, 2,..., (2) Подрасслоение s называют сжимающимся, u растягивающимся.

Достаточно широко известен ряд теорем об эквивалентности обратимости операторов вида I +aT, a A, где T оператор взвешенного сдвига в пространстве сечений (), и гиперболичности соответствующего линейного расширения отображения ([1], c.266).

Целью работы является получение аналогов таких теорем и их следствий для абстрактных функциональных операторов, в случае если A есть произвольная n-однородная C-алгебра. Прежде при построении ассоциированного линейного расширения использовались два предположения: что A HOM, и что автоморфизм = T задается с помощью некоторого линейного расширения, действующего на векторном расслоении : (a) = a -1, a A. Эти предположения в общем случае не выполнены.

В работе предложена новая конструкция ассоциированного линейного расширения, применимая в случае абстрактных функциональных операторов.

Требуемое изменение конструкции подсказывает теорема Фелла, утверждающая, что для любой n-однородной C-алгебры A существует алгебраическое расслоение A над пространством M максимальных идеалов алгебры A, такое, что A изоморфна алгебре непрерывных сечений (A). Напомним, что алгебраическим расслоением над пространством M называется расслоение, у которого слоем является алгебра матриц Cnn, а структурной группой группа автоморфизмов Aut(n).

Пусть Ix0 = {u (A) : u(x0) = 0} – максимальный идеал алгебры A. При автоморфизме T идеал Ix0 перейдет в некий идеал Ix1, тем самым порождая гомеоморфизм : M M, Ix0 Ix1. Автоморфизм T индуцирует отображение фактор-алгебр : A/Ix A/I(x). Но A/Ix Cnn – есть слой над точкой x, а A/I(x) Cnn – слой над точкой (x).

Таким образом, определено ассоциированное линейное расширение, действующее на алгебраическом расслоении A по формуле (x, y) = ((x), a(x)(x, y)), x M, y A(x).

Теорема 1. Пусть B = C(A, T ), A n-однородная C-алгебра, отображение действует на M топологически свободно. Элемент b = I + aT, a A, обратим тогда и только тогда, когда ассоциированное линейное расширение, действующее на алгебраическом расслоении A, является гиперболическим.

Литература [1] A. Antonevich, A. Lebedev. Functional differential equations: I. Ctheory. Longman Scientific and Technical, Harlow, 1994.

Вещественные четырехмерные кубики:

классификация с точностью до деформаций Финашин С.М. (Турция) Ближневосточный технический университет serge@metu.edu.tr Четырехмерные кубические гиперповерхности тесно связаны с К3поверхностями, что позволило (в совместой работе с В. Харламовым) классифицировать вещественные 4-мерные кубики и описать взаимное расположение их деформационных компонент.

Алгебраические методы оценки числа предельных циклов плоских векторных полей Черкас Л. А. (Беларусь) Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники cherkas@inp.by Гринь А. А. (Беларусь) Гродненский государственный университет им. Я. Купалы grin@grsu.by Пусть на односвязном компакте R2 определено структурно устойчивое векторное поле X = P (x, y)x + Q(x, y)y, P, Q C2(), имеющее единственную особую точку – антиседло A. Тогда существуют число k < 0 и функция (x, y) C2() такие, что для (x, y) имеет место D() := kdivX + X > 0. При этом число предельных циклов поля X в области равно b или b-1, где b – число овалов криn вой = 0. Существование функции в виде = Cjj(x, y), Cj R j=равносильно неравенству max min (x, y, C) > 0, где (x, y, C) = |Cj| 1 (x,y) n D() = CjD(j). Задача нахождения указанного максимина с поj=мощью ее дискретного аналога сводиться к стандартной задаче линейного программирования [1]. Функции j можно взять в виде многочленов, если область небольшого размера, или сплайн-функций.

Для структурно устойчивого параметрического семейства векторных полей X, Rm, – выпуклый компакт, функцию можно найти, исходя из того, что если максимин положительный для m точек 1,..., m из, то оно выполняется на симплексе с вершинами в этих точках. Предполагается, что X линейно зависит от. Тогда нахождение функций для семейства X сводится к их нахождению на некоторой сетке точек.

Для векторного поля системы Льенара L = (y - F (x))x - g(x)y n можно выбрать функцию = i(x)yn-i так, что функция D() i=зависит только от x.

Пусть при изменении поворачивающего поле скалярного параметра происходит рождение предельных циклов из двукратных или их слияние. Тогда существует разбиение на кольцеобразные области типа вход-вход, выход-выход, вход-выход, что для каждой из областей первых двух типов применим предыдущий подход. В области вход-выход с единственной бифуркацией слияния двух предельных циклов в двукратный для ее обоснования используется [2] Теорема Пусть выполнены условия:

n 1) существуют функии Cj(), j = 1, n + 1, = Cjj(x, y), j=что D() + Cn+1()H2(x, y, ) > 0, Cn+1() = 0, (x, y) 0, I = [0, 1], H2 = (PH1 ) - (QH1 ), H1 = divX, H = P + Q2 ;

y H x H 2) при = 0 поле X имеет в кольцеобразной области 0 два предельных цикла, при = 1 предельных циклов нет;

3) 0 трансверсальна X0 и X1.

Тогда векторное поле X имеет в области 0 не более двух предельных циклов.

Второй метод применяется для векторного поля L, где F (x),g(x) – аналитические функции, xg(x) > 0, F (0) = 0. Векторное поле x L заменой u = (2G(x))1/2signx, G(x) = g(p)dp сводится к U = (y - F (u))u - uy, где F (u) = F ((u)), (u) – функция, обратная функции u(x). Подмечено, что в грубой ситуации число предельных циклов поля U не превышает числа положительных нулей функции F (u), которое равно числу решений системы F (x) = F (y), Q(x) = G(y), x < 0, y > 0. (1) Т.е. число решений системы (1) можно рассматривать как прогнозное число предельных циклов векторного поля L (или U). Этот подход рассмотрен для квадратичного поля X, когда P, Q – многочлены второй степени и для большого набора таких исследованных векторных полей прогнозное число не превышает трех. С помощью системы (1) также решена задача о прогнозном числе предельных циклов, рождающихся при возмущении квадратичного центра. Прогноз согласуется с ранее полученными результатами по этой задаче.

Литература [1] Черкас Л.А., Гринь А.А. Алгебраические аспекты нахождения функции Дюлака для полиномиальных автономных систем на плоскости // Дифференциальные уравнения. – 2001. – Т.37. – N3, C.384 – 390.

[2] Гринь А.А., Черкас Л.А. Экстремумы функции Андронова–Хопфа полиномиальной системы Льенара // Дифференциальные уравнения. – 2005. – Т.41. – N1, С.50 – 60.

Гидродинамика на вращающейся сфере Чупахин А. П. (Россия) Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН chupakhin@hydro.nsc.ru В работе исследуются движения газа в атмосфере вращающейся планеты и жидкости в Мировом океане. Изучаются крупномасштабные движения сплошной среды, описываемые моделью мелкой воды на вращающейся сфере Dv = w2ctg + r0w cos + (r0/2)2 sin cos - f0h, Dw = -vwctg - r0v cos - f0(sin )-1h, (1) Dh + (sin )-1h(w + (v sin )) = 0, где D = t+v+(sin )-1w. Уравнения (1) записаны в неинерциальной, вращающейся вместе с планетой сферической системе координат:

0 < < дополнение до широты, 0 < 2 долгота, v и w меридиональная и долготная компоненты скорости, h > 0 глубина жидкости (высота атмосферы). Безразмерные параметры r0 и f--связаны с числами Россби R0 и Фруда F : r0 = R0, f0 = F.

Для уравнений (1) получены следующие результаты.

Pages:     | 1 |   ...   | 8 | 9 || 11 | 12 |   ...   | 22 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.