WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 7 | 8 || 10 | 11 |   ...   | 29 |

ИВМ СО РАН, г.Красноярск E-mail:AIMakosi@mail.ru Мальцевские чтения 2009 Теория групп Максимальные подгруппы нечетного индекса в конечных группах с простым симплектическим цоколем Н. В. Маслова М. Либеком и Я. Сакслом в [1] и независимо В. Кантором в [2] для конечных групп с простым классическим цоколем приведены типы подгрупп, которые могут являться в них максимальными подгруппами нечетного индекса. Однако не всякая подгруппа из приведенного списка в действительности является максимальной подгруппой нечетного индекса соответствующей группы. Полная классификация максимальных подгрупп нечетного индекса конечных простых классических групп получена автором в [3]. Теперь мы рассматриваем конечные группы с простым классическим цоколем.

Ввиду результата П. Клейдмана [4, теорема 1.2.2] можно считать, что степень цоколя группы не меньше 13.

Пусть M — множество всех последовательностей (x0, x1,..., xn,...), где xi {0, 1} для всех i. Введем на M порядок, считая 1 0, а для u =(u0, u1,..., un,...), v =(v0, v1,..., vn,...) из M полагая u v тогда и только тогда, когда ui vi для всех i. Пусть — функция, ставящая в соответствие каждому натуральному числу s последовательность (s0, s1,..., sk,...) из M такую, что sksk-1... s0 — запись числа s в двоичной системе счисления и sn =0 для всех n>k.

Теорема Пусть G — конечная группа, L — ее цоколь, L PSpn(q) при n = и V — естественный проективный модуль для группы L. Подгруппа H группы G является максимальной подгруппой нечетного индекса тогда и только тогда, когда H = NG(P ) и либо q четно и P — параболическая максимальная подгруппа в L, либо q нечетно и выполняется одно из следующих утверждений:

t (1) P = NL(PSpn(q0)), где q = q0 и t — простое нечетное число;

(2) P — стабилизатор в L невырожденного подпространства размерности m< n/2 пространства V и (n) (m);

(3) P — стабилизатор в L ортогонального разложения V = Vi в прямуюсумму изометричных подпространств Vi размерности m и m =2w 2.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 07-01-00148).

Список литературы [1] Liebeck M. W., Saxl J. The primitive permutation groups of odd degree. J. London Math. Soc (2), (1985), N. 2, 250–264.

[2] Kantor W. M. Primitive permutation groups of odd degree, and an application to the finite projective planes. J. Algebra, 106 (1987), N. 1, 15–45.

[3] Маслова Н. В. Классификация максимальных подгрупп нечетного индекса в конечных простых классических группах. Труды Института математики и механики УрО РАН, 14 (2008), N. 4, 100– 118.

[4] Kleidman P., Liebeck M. The subgroup structure of the finite classical groups. Cambridge.: Cambridge University Press, 1990.

ИММ УрО РАН, Екатеринбург E-mail:butterson@mail.ru Мальцевские чтения 2009 Теория групп Об основаниях алгебраической геометрии над проконечными группами С. Г. Мелешева В работах [1, 2] изложены основы алгебраической геометрии над группами и другими алгебраическими системами. Мы рассматриваем случай проконечных групп, которые по определению являются проективными пределами конечных групп с соответствующей топологией. На этот случай стандартные определения буквально не переносятся.

Для проконечных групп мы определяем понятия уравнения, алгебраического множества, топологии Зарисского, координатной группы, находим представление координатной группы в виде проективного предела координатных групп конечных групп.

Алгебраическая геометрия над (проконечной) группой G является достаточно хорошей лишь в том случае, если эта группа нетерова по уравнениям, т. е. для всякого n произвольная система уравнений от x1,..., xn над G должна быть эквивалентна некоторой своей конечной подсистеме.

Пусть проконечная группа G является обратным пределом lim Gi конечных групп Gi. Обозначим через (G) = (Gi) множество простых делителей порядков групп Gi. Нами доказаны Теорема 1. Если множество (G) бесконечно, то проконечная группа G не нетерова по уравнениям от одной переменной.

Теорема 2. Если проконечная группа G абелева и множество (G) конечно, то группа G нетерова по уравнениям.

Строим два примера не нетеровых по уравнениям про-p-групп.

Определяем понятие линейной про-p-группы и доказываем Теорема 3. Линейная про-p-группа нетерова по уравнениям.

Список литературы [1] Baumslag G., Myasnikov A., Remeslennikov V. Algebraic geometry over groups. I: Algebraic sets and ideal theory. J. Algebra, 219 (1999), N. 1, 16–79.

[2] Myasnikov A., Remeslennikov V. Algebraic geometry over groups. II. Logical foundations. J. Algebra, 234 (2001), N. 1, 225–276.

Новосибирский государственный университет, Новосибирск E-mail:meleshevas@ngs.ru Мальцевские чтения 2009 Теория групп Ограничения модулярных представлений специальных линейных групп на подгруппы типа A1 AА. А. Осиновская Пусть K — алгебраически замкнутое поле характеристики p >0, G — односвязная алгебраическая группа типа An над K, 1,..., n — фундаментальные веса группы G, — неприводимое представление группы G со старшим весом = a11 +... + ann.

Множество весов группы H типа A1 A1 можно отождествить с множеством пар целых чисел при помощи отображения x11 +x22 (x1, x2); множество доминантных весов - с множеством пар неотрицательных целых чисел. Мы предполагаем, что H — подсистемная подгруппа группы G, т. е. что корни подгруппы H образуют подсистему в системе корней группы G. Будем обозначать символом Irr(|H) множество старших весов композиционных факторов ограничения представления на подгруппу H.

Теорема. Пусть n>6 и ai + ai+1

Заметим, что множество Irr(|) совпадает с соответствующим множеством в характеристике 0 [1].

Список литературы [1] Железная Т. М. Об ограничениях неприводимых представлений алгебраических групп типа An в характеристике 0 на подгруппы типа A1 A1. Тр. Ин-та математики, 15 (2007), N 1, 56–67.

Институт математики НАН Беларуси, Минск E-mail:anna@im.bas-net.by Мальцевские чтения 2009 Теория групп Свободная полугруппа группы автоморфизмов свободной бернсайдовой группы А. С. Пайлеванян Нами доказана Теорема. Для любого нечетного n 665 и для любого четного n =16k > группа автоморфизмов Aut(B(m, n)) свободной бернсайдовой группы B(m, n) ранга m 2 содержит подполугруппу, изоморфнуюсвободной полугруппе ранга 2.

Следствие 1. Фактор-группа Aut(B(2, n))/ Int(B(2, n)) бесконечна, где Int(B(2, n)) — группа внутренних автоморфизмов группы B(2, n).

Ереванский Государственный Университет, Ереван E-mail:apahlevanyan@ysu.am Мальцевские чтения 2009 Теория групп О решетке квазимногообразий разрешимых групп без кручения А. Л. Полушин Как обычно, qR — квазимногообразие, порожденное классом R групп (пишем qG, если R = {G}, Lq(M) —решетка квазимногообразий, содержащихся в квазимногообразии M.

Зафиксируем простое число p, p =2, n = p2 - p. Будем рассматривать следующую группу:

G = gp(x0,..., xn-1, y | [xi, xj] =1 (i, j =0,..., n- 1), xy = xi+1 (i =0,..., n- 2), xy = x-1x-1 · · · x-1 ).

i n-1 0 p n-p Теорема. Решетка Lq(qG) является следующей цепью: E, qZ, qGp, qG, где Gp = gp(l0,..., lp-2, z | [li, lj] =1, (i, j =0,..., p- 2), (li)z = li+1, (i =0,..., p- 3), (lp-2)z = l0l1 · · · lp-2).

Работа выполнена при поддержке АВЦП ”Развитие научного потенциала высшей школы” (Мероприятие 1).

Алтайский государственный университет, Барнаул E-mail:hvostovich@gmail.com Мальцевские чтения 2009 Теория групп Центроиды нильпотентных групп без кручения К. Н. Пономарёв В ряде статей ([1, 2]) для класса групп было определено два различных понятия, близких к оператору центроида в классе неассоциативных колец. Доказываем что для нильпотентных групп не имеющих кручения оба эти понятия совпадают.

Список литературы [1] Пономарёв К. Н. Фактор-морфизмы нильпотентных групп. Сиб. мат. журн., 32 (1991), N. 3, 119– 125.

[2] Lioutikov S., Myasnikov A. Centroid of groups. J. Group Theory, 3 (2000), N. 2, 177–197.

НГТУ, Новосибирск E-mail:ponomaryov@ngs.ru Мальцевские чтения 2009 Теория групп Об одной гипотезе Цассенхауза А. М. Попова Пусть G — конечная группа, ZG — целочисленное групповое кольцо, h =gg ZG, (h) =g.

Определение. Автоморфизм AutZG называется нормализованным, если h ZG[(h) =((h))] (или, что эквивалентно, если ((g)) = 1 g G).

Гипотеза Цассенхауза состоит в следующем.

( ). Пусть AutZG — нормализованный автоморфизм. Тогда существует единица QG и автоморфизм AutG такие, что (g) =-1(g), g G.

Пусть T1(G),..., Ts(G) — все неэквивалентные неприводимые представления G степеней n1,..., ns соответственно, D(G) =diag(T1(G),..., Ts(G)). Можно показать, что ZG Z[D(G)].

= Между различными клетками кольца Z[D(G)] возникают отображения µij : gTi(g) gTj(g), g Z.

gG gG Если µij не является изоморфизмом, то i-я и j-я клетки расклеиваются, то есть существуют такие целые положительные числа mi и mj, что в Z[D(G)] лежат кольца вида Oi = {diag(0,..., 0, miZ[Ti(G)], 0,..., 0)} и Oj = {diag(0,..., 0, mjZ[Tj(G)], 0,..., 0)}.

|G| При этом mi = является минимальным числом с таким свойством.

ni Если же µij является изоморфизмом, то i-я и j-я клетки не расклеиваются. Таким образом, кольцо Z[D(G)] можно составить из блоков, состоящих из не расклеивающихся клеток.

Лемма 1. Пусть Q() — наименьшее поле такое, что Ti(G) (Q())n и инi декс Шура характера i равен 1. Тогда любой автоморфизм блока, содержащего Ti(G), является произведением автоморфизма поля Q() на сопряжение матрицей из GLn (Q()).

i Лемма 2. Пусть Q() удовлетворяет условиям леммы 1. Тогда для любого AutQ() найдется AutG, который изменяет таблицу характеров группы G, соответствующую представлению D(G), точно так же, как это делает.

Теорема. Пусть G — конечная группа и для любого неприводимого над C характера индекс Шура этого характера равен 1. Тогда для группы G справедлива гипотеза Цассенхауза.

НГТУ, Новосибирск E-mail:algebra@nstu.ru Мальцевские чтения 2009 Теория групп О -теоремах Бэра — Судзуки Д. О. Ревин Далее предполагается, что p — некоторое простое число, а — некоторое множество простых чисел. Для конечной группы G через O(G) обозначен ее -радикал — наибольшая нормальная -подгруппа.

Известная теорема Бэра — Судзуки утверждает, что если элемент x конечной группы G таков, что подгруппа x, xg является p-группой для любого элемента g G, то x Op(G). Заменить в этой теореме число p произвольным множеством простых чисел, вообще говоря, нельзя. Например, любые две транспозиции в симметрической группе Sn порождают {2, 3}-подгруппу, но O{2,3}(Sn) =1 при n 5.

Скажем, что для конечной группы G справедлива -теорема Бэра — Судзуки и будем писать G BS, если каждый элемент x G, порождающий вместе с любым сопряженным с ним элементом некоторую -группу, содержится в O(G). Следуя Х. Виландту и Ф. Холлу, скажем для конечной группы G справедлива -теорема Силова, и будем писать G D, если любые две максимальные -подгруппы в G сопряжены. Многие известные доказательства теоремы Бэра — Судзуки используют в качестве одного из ключевых инструментов теорему Силова. Поэтому представляется естественной Гипотеза. D BS, т. е. если для конечной группы справедлива -теорема Силова, то для нее справедлива -теорема Бэра — Судзуки.

Теорема 1. Если Inn(S), x BS для любой неабелевой простой группы S D и любого элемента x Aut(S) простого порядка p, то D BS.

Эта теорема дает надежду подтвердить с помощью классификации конечных простых групп или опровергнуть гипотезу D BS, тем более, что все простые группы, принадлежащие классу D, известны. В качестве промежуточного результата отметим следующую теорему, частным случаем которой при = {p} будет классическая теорема Бэра — Судзуки.

Теорема 2. Если любой композиционный фактор конечной группы G либо является -группой, либо имеет порядок, делящийся не более, чем на одно простое число из, то G BS.

Гипотеза D BS подтверждена также при некоторых ограничениях на множество.

Теорема 3. Если 2, 3, то D BS.

Работа поддержана РФФИ (проект 08-01-00322), Советом по грантам Президента РФ (проект НШ-344.2008.1) и АВЦП Минобразования России «Развитие научного потенциала высшей школы» (проект 2.1.1/419).

Институт математики им. С.Л.Соболева СО РАН, Новосибирский государственный университет, Новосибирск E-mail:revin@math.nsc.ru Мальцевские чтения 2009 Теория групп Метод подъема в теории частично коммутативных нильпотентных групп В. Н. Ремесленников, А. В. Трейер В теории групп автоморфизмов свободных групп определяющими являются так называемые ”pick up lemmas” (леммы о подъёме). Фактически, это метод доказательства основных результатов в этой теории. В докладе будет изложен метод доказательств нескольких результатов в теории частично коммутативных двуступенно нильпотентных групп. Суть этого метода состоит в выделении в графе коммутативности группы G специального подграфа, далее, по предположению математической ин дукции, необходимое утверждение считается верным для группы G, и затем нужное утверждение доказывается для всей группы G.

Метод будет проиллюстрирован на примере доказательства теоремы о структуре группы автоморфизмов частично коммутативной двуступенно нильпотентной группы.

ОФ ИМ СОРАН, Омск E-mail:remesl@ofim.oscsbras.ru, treyersas@rambler.ru Мальцевские чтения 2009 Теория групп Об одном критерии p-разрешимости М. В. Селькин, Р. В. Бородич Рассматриваются конечные группы. Одно из классических направлений в исследовании конечных групп связано с задачей о свойствах пересечений заданных максимальных подгрупп и исследовании влияния этих свойств на строение группы. В настоящее время к исследованию пересечений максимальных подгрупп и изучению свойств классов групп, все чаще, подходят с позиций теории подгрупповых функторов (см. монографии [1], [2], [3]).

Теорема. Пусть — абнормально полный m-функтор и p > 2. Тогда либо p(G) =(G), либо G является p-разрешимой группой.

В случае, когда (G)\{G} совпадает с множеством всех абнормальных максимальных подгрупп для любой группы G, из теоремы вытекает соответствующий результат Шлыка из [4].

Список литературы [1] Селькин М. В. Максимальные подгруппы в теории классов конечных групп. Минск: Бел. навука, 1997.

[2] Каморников С. Ф., Селькин М. В. Подгрупповые функторы и классы конечных групп. Минск: Бел.

навука, 2003.

[3] Скиба А. Н. Алгебра формаций. Минск: Бел. навука, 1997.

[4] Шлык В. В. О пересечении максимальных подгрупп в конечных группах. Матем. заметки, (1973), N. 3, 429–439.

Учреждение образования ”Гомельский государственный университет им. Ф.Скорины”, Гомель E-mail:Selkin@gsu.by, Borodich@gsu.by Мальцевские чтения 2009 Теория групп О сверхрадикальной формации и формациях Шеметкова В. Н. Семенчук, С. А. Мокеева, O. А. Мокеева Рассматриваются только конечные группы. Используются стандартные определения и обозначения [1].

В Коуровской тетради [2] Л. А. Шеметков поставил проблему о классификации насыщенных формаций, минимальные не F-группы которых либо группы Шмидта, либо группы простого порядка. В настоящее время такие формации называются формациями Шеметкова.

Напомним, что минимальной не F-группой формации F (критической группой) называется группа не принадлежащая F, все собственные подгруппы которой принадлежат F. Множество таких групп обозначают через M(F).

Формация F называется сверхрадикальной, если она удовлетворяет следующим требованиям:

1) F — нормально наследственная формация;

2) любая группа G = AB, где A и B — F-субнормальные F-подгруппы из G, принадлежит F.

В данной теореме получены новые характеризации сверхрадикальных формаций и формаций Шеметкова.

Теорема. Пусть F — наследственная насыщенная формация. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1) F — формация Шеметкова;

2) формация F содержит любую группу G = AB, где A и B — F-достижимые F-подгруппы из G и M(F) S;

3) F — сверхрадикальная формация и M(F) S;

4) формация F такова, что M(F) S и для любой группы G и для любых ее перестановочных F-субнормальных подгрупп H и K подгруппа HK F-субнормальна в G;

5) формация F такова, что M(F) S и для любой группы G и для любых ее перестановочных F-достижимых подгрупп H и K подгруппа HK F-достижима в G;

6) формация F имеет вид F = G G и M(F) S.

i j (i,j)I Список литературы [1] Шеметков Л. А. Формации конечных групп. М.: Наука, 1978.

[2] Коуровская тетрадь (нерешенные вопросы теории групп). Новосибирск: Институт математики СО АН СССР, 1992.

Pages:     | 1 |   ...   | 7 | 8 || 10 | 11 |   ...   | 29 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.