WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 6 | 7 || 9 | 10 |   ...   | 29 |

Теорема. Пусть G = A D, где A = Ri — редуцированная векторная группа, iI I — неизмеримое множество [2], D — делимая векторная группа ранга r(D). Пусть 0, r(D) конечен (в том числе r(D)=0) = r(D), r(D) бесконечен, = Inid() ={i Inid | |I (i)| >}.

Группа G полупроста тогда и только тогда, когда (1) |I| (2) Inid() удовлетворяет условию (d).

Список литературы [1] Beaumont R. A., Lawver D. A. Strongly semisimple abelian groups. Publ. J. Math., 53 (1974), N. 2, 327–336.

[2] Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. Т. 2. М.: Мир, 1977.

Московский Педагогический Государственный Университет, Москва E-mail:kompantseva@yandex.ru Мальцевские чтения 2009 Теория групп О распознаваемости по спектру простых групп Dp+1(3) для нечетного простого числа p А. С. Кондратьев Пусть G — конечная группа. Обозначим через (G) спектр группы G, т. е.

множество всех порядков ее элементов. Множество (G) определяет граф простых чисел (граф Грюнберга — Кегеля) GK(G) группы G, в котором вершинами служат простые делители порядка группы G и две различные вершины p и q соединены ребром тогда и только тогда, когда pq (G). Обозначим число компонент связности графа GK(G) через s(G).

Общее строение конечных групп с несвязным графом простых чисел дается теоремой Грюнберга — Кегеля (см. [1]). Конечные простые неабелевы группы с несвязным графом простых чисел описаны в [1, 2].

Результаты о конечных группах с несвязным графом Грюнберга — Кегеля нашли большое применение в исследованиях распознаваемости конечных групп по спектру (см., например, обзор В. Д. Мазурова [3]). Конечная группа G называется распознаваемой (по спектру), если для любой конечной группы H с условием (H) =(G) имеем H G.

= В данной работе продолжается изучение распознаваемости конечных простых групп лиева типа с несвязным графом Грюнберга — Кегеля. Доказана следующая Теорема. Пусть G — конечная группа с таким же спектром, как у простой группы Dp+1(3), где p — нечетное простое число. Тогда группа G изоморфна D4(3) или B3(3) при p =3 и Dp+1(3) при p >3.

В случае p =3 теорема была доказана ранее ранее в [4].

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 07-01-00148), РФФМБРФФИ (проект 08-01-90006), программы Отделения математических наук РАН и программ совместных исследований УрО РАН с СО РАН и НАН Беларуси.

Список литературы [1] Williams J. S. Prime graph components of finite groups. J. Algebra, 69 (1981), N. 2, 487–513.

[2] Кондратьев А. С. О компонентах графа простых чисел конечных простых групп. Мат. сб., (1989), N. 6, 787–797.

[3] Мазуров В. Д. Группы с заданным спектром. Изв. Урал. гос. ун-та. Сер. Математика и механика, 36 (2005), вып. 7, 119–138.

[4] Shi W. J., Tang C. Y. A characterization of some orthogonal groups. Progr. Nat. Sci., 7 (1997), N. 2, 155–162.

Институт математики и механики УрО РАН, Екатеринбург E-mail:a.s.kondratiev@imm.uran.ru Мальцевские чтения 2009 Теория групп Примитивные параболические подстановочные представления конечных ортогональных групп нечетной размерности В. В. Кораблева Ранее автором вычислены ранги, степени, подстепени и двойные стабилизаторы примитивных параболических подстановочных представлений для всех конечных простых исключительных групп лиева типа и классических групп Al(q), Cl(q) и Al(q), а также определены ранги для групп Bl(q) и Dl(q). В данной работе определяются параметры примитивных параболических подстановочных представлений конечных ортогональных групп нечетной размерности.

Пусть V — векторное пространство нечетной размерности l над конечным полем порядка q нечетной характеристики и F — невырожденная квадратичная форма на V. Подпространство, на котором ограничение формы F есть нулевая форма, называется изотропным относительно F. Подгруппа O(V ) группы всех невырожденных линейных преобразований пространства V, состоящая из элементов, для которых F (x) =F (x) при всех x из V, называется ортогональной группой пространства V.

Элементы из O(V ), имеющие равный единице определитель, образуют специальную ортогональную группу SO(V ). При нечетном q группа SO(V ) имеет единственную подгруппу индекса 2, которую обозначим через (V ). Пусть G =(V ) и W — изотропное подпространство пространства V относительно F. Известно, что стабилизатор GW подпространства W является параболической максимальной подгруппой в группе G, причем все параболические максимальные подгруппы в G так получаются.

Теорема. Пусть G =(V ) и W — изотропное относительно F подпространство размерности k в V. Тогда в V найдутся изотропные относительно F подпространства Wi,k-i-j,j размерности k, где 0 i k, 0 i + j k, 0 j [l/2] - k при 2k [l/2] и 0 j k при 2k [l/2], что GW GW = Ci,k-i-j,j : Li,k-i-j,j, где | Ci,k-i-j,j |= i,k-i-j,j q(i+j)(l-k)-(i+j)(i+j+1)/2-j, Li,k-i-j,j = 2 q(k-i)(i+j)-j : SLi(q). (q - 1) SLj(q). (q - 1) SLk-i-j(q). (q - 1) Gj. и подгруппа Gj изоморфна стабилизатору изотропного подпространства размерности j в l-2k(q).

Следствие. Пусть W — изотропное подпространство относительно F размерности k в V. Ранг подстановочного представления группы G =(V ) на левых смежных классах по параболической максимальной подгруппе GW равен ([l/2]-k+1)(3k-[l/2]+ 2)/2 при 2k [l/2] и (k +1)(k +2)/2 при 2k [l/2].

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект 07–01–00148).

Челябинский государственный университет, Челябинск E-mail:vvk@csu.ru Мальцевские чтения 2009 Теория групп О группах F/[N, N] А. Ф. Красников Пусть F — свободная группа с базой x1,..., xn, N — нормальная подгруппа группы F, F(c) — c-й член нижнего центрального ряда группы F, N(k) — k-й коммутант группы N, r F, R — нормальное замыкание r в группе F.

Определим итерированный нижний центральный ряд группы F с набором классов (c1,..., cl), полагая F(c,...,cl) =(F(c,...,cl-1))(c ).

1 1 l Пусть M — нормальная подгруппа группы F. Будем говорить, что образы элементов x2,..., xn при естественном гомоморфизме F F/RM свободны от r, если для любого слова v от x2,..., xn из v RM следует v M.

Теорема. Пусть F/N — разрешимая группа без кручения, n>2, r N, r [N, N], k — произвольное натуральное число. Образы элементов x2,..., xn при естественном гомоморфизме F F/R[N, N] свободны от r тогда и только тогда, когда образы элементов x2,..., xn при естественном гомоморфизме F F/RN(k) свободны от r.

Следствие. Пусть F/N — свободная в некотором разрешимом многообразии групп и упорядочиваемая группа с базой x1N,..., xnN, n > 2, r N, r [N, N], k — произвольное натуральное число. Образы элементов x2,..., xn при естественном гомоморфизме F F/RN(k) свободны от r тогда и только тогда, когда элемент r не сопряжен по модулю [N, N] ни с каким словом от x2,..., xn.

Следствие. Пусть N = F(c,...,cl), n > 2, r N, r [N, N], k — произвольное натуральное число. Образы элементов x2,..., xn при естественном гомоморфизме F F/RN(k) порождают свободную полинильпотентнуюгруппу с тем же набором классов, что и у группы F/N(k), тогда и только тогда, когда элемент r не сопряжен по модулю [N, N] ни с каким словом от x2,..., xn.

Следствие ([1]). Пусть N — член ряда коммутантов группы F, n > 2, k — произвольное натуральное число, r N, r [N, N]. Образы элементов x2,..., xn при естественном гомоморфизме F F/RN(k) порождают свободную разрешимую группу той же ступени, что и F/N(k), тогда и только тогда, когда элемент r не сопряжен по модулю [N, N] ни с каким словом от x2,..., xn.

Список литературы [1] Романовский Н. С. Теорема о свободе для групп с одним определяющим соотношением в многообразиях разрешимых и нильпотентных групп данных ступеней. Мат. сб., 89 (131) (1972), 93–99.

г.Омск E-mail:phomsk@mail.ru Мальцевские чтения 2009 Теория групп Сравнительный анализ бернсайдовых групп B0(2, 5) и B(2, 5) А. А. Кузнецов, А. К. Шлёпкин Пусть B(2, 5) — двупорожденная бернсайдова группа периода 5, а B0(2, 5) — максимальная универсальная конечная двупорожденная группа того же периода (порядок последней равен 534). Вопрос о совпадении указанных групп на сегодняшний день является открытым.

Будем считать, что образующие групп B0(2, 5) и B(2, 5) записаны в одном алфавите {1, 2}. При поэлементном сравнении группы B(2, 5) с группой B0(2, 5) по алгоритму из [1] было выявлено следующее.

Теорема 1. Пусть v, w — два слова в алфавите образующих {1, 2}, длины которых 29. Тогда v = w — соотношение в группе B0(2, 5) тогда и только тогда, когда v = w — соотношение в группе B(2, 5).

Однако длина 30 явилась своеобразной «точкой расхождения» групп B(2, 5) и B0(2, 5). Так на длине 30 в B0(2, 5) имеются 2 соотношения, на длине 31 — 10, на длине 32 — 47, и на длине 33 — 69, доказать справедливость которых в B(2, 5) по алгоритму из [1], при применении соотношений, длины левой и правой части которых 33, не удается. В таблице 1 приведены некоторые соотношения указанного вида.

Та б л и ц а 122121121221121212211212212112 = 1221122121211221122121212222111 = 12211222121111211222212222121112 = 121211211121121211211122121221112 =.........

Поэтому имеет место Теорема 2. Если в группе B(2, 5) не выполняется хотя бы одно соотношение из таблицы 1, то тогда группа B(2, 5) бесконечна.

Список литературы [1] Кузнецов А. А., Шлёпкин А. К. Сравнительный анализ бернсайдовых групп B(2, 5) и B0(2, 5).

Труды Института математики и механики УрО РАН, 15 (2009), N. 2, 125–132.

КрасГАУ, Красноярск E-mail:alexkuznetsov80@mail.ru Мальцевские чтения 2009 Теория групп О классах Леви, порожденных нильпотентными группами В. В. Лодейщикова Для произвольного класса R групп обозначим через L(R) класс всех групп G, в которых нормальное замыкание (x)G любого элемента x из G принадлежит R. Класс L(R) групп называется классом Леви, порожденным R. Nc — многообразие нильпотентных групп ступени не выше c, qK — квазимногообразие, порожденное классом групп K.

Зафиксируем простое число p, p =2. Будем рассматривать квазимногообразие N, заданное в N2 следующим бесконечным множеством формул:

(x)(y)([x, y]p =1), (1) (x)(y)(xp =1 [x, y] =1), (2) (x)(xq =1 x =1), (3) (x)(xp =1 xp =1), (4) где q пробегает множество простых чисел, отличных от p.

Через M обозначим квазимногообразие, задаваемое в N3 квазитождествами (3), (4) и формулами (x)(y)([x, y, x]p =1), (5) (x)(y)(xp =1 [x, y, x] =1), (6) n n i i (x)(x1)... (xn)(xp = [x, xi]p [x, xi, x] =1), (7) i=1 i=где q пробегает множество простых чисел, отличных от p, i {-1; 1}, i =1,..., n, и n пробегают множество натуральных чисел.

Теорема. Пусть K — произвольный класс групп из N, содержащий неабелеву группу. Предположим, что во всякой группе из K централизатор любого неединичного элемента, не принадлежащего центру этой группы, является абелевой подгруппой.

Тогда L(qK) =M.

Работа выполнена при поддержке АВЦП ”Развитие научного потенциала высшей школы” (Мероприятие 1).

Алтайский государственный университет, Барнаул E-mail:victoria0504@mail.ru Мальцевские чтения 2009 Теория групп О -квазинормальных подгруппах конечных групп В. О. Лукьяненко, А. Н. Скиба В данном сообщении рассматриваются только конечные группы. Подгруппа H группы G называется (G)-квазинормальной в G [1], если H перестановочна со всеми силовскими подгруппами из G. В нашем сообщении мы анализируем следующие обобщения (G)-квазинормальности.

Определение. Пусть H — подгруппа группы G. Будем говорить, что:

(1) H-квазинормальна в G, если H перестановочна со всеми силовскими подгруппами Q группы G такими, что (|Q|, |H|) =1 и (|H|, |QG|) =1;

(2) H слабо -квазинормальна в G, если группа G содержит такую субнормальную подгруппу T, что HT = G и T H HG, где HG — подгруппа, порожденная всеми подгруппами из H, которые -квазинормальны в G.

Класс всех сверхразрешимых групп будем обозначать через U. Напомним, что Uгиперцентром группы G называется наибольшая нормальная подгруппа из G, в которой все G-главные факторы цикличны [2, с. 389]. В работе [3] было введено следующее обобщение этого понятия: наибольшая нормальная подгруппа группы G, в которой все нефраттиниевы G-главные факторы цикличны, называется U-гиперцентром группы G и обозначается ZU(G).

Исследования многих авторов связано с анализом следующего вопроса: Пусть X — класс групп, содержащий все сверхразрешимые группы, E — такая нормальная подгруппа группы G, что G/E X. При каких условиях на E группа G принадлежит X (см. [4, секция 5]). Многие результаты в данном направлении можно усилить, показав, что E ZU(G) (см. [3]). Следующая теорема дополняет утверждение теоремы 1.5 работы [3].

Теорема. Пусть E — нормальная подгруппа группы G и P — силовская pподгруппа из E, где p — наименьший простой делитель порядка |E|. Предположим, что существует такое число pk, что 1

Тогда E/Op (E) ZU(G/Op (E)).

Список литературы [1] Kegel O. H. Sylow-Gruppen and Subnormalteiler endlicher Gruppen. Math. Z., 78 (1962), 205–221.

[2] Doerk K., Hawkes T. Finite Soluble Groups. Berlin – New York: Walter de Gruyter, 1992.

[3] Shemetkov L. A., Skiba A. N. On the X-hypercentre of finite groups. J. Algebra (in press).

[4] Skiba A. N. On weakly S-permutable subgroups of finite groups. J. Algebra, 315 (2007), 192–209.

Гомельский госуниверситет им. Ф. Скорины, Гомель E-mail:lucas84@server.by, alexander.skiba49@gmail.com Мальцевские чтения 2009 Теория групп Конечные группы с S-квазинормальными третьими максимальными подгруппами Ю. В. Луценко, А. Н. Скиба Все рассматриваемые в сообщении группы конечны. В работе [1] Агравалем было доказано, что группа является сверхразрешимой, если каждая ее вторая максимальная подгруппа S-квазинормальна (подгруппа H группы G называется S-квазинормальной или S-перестановочной в G, если H перестановочна со всеми силовскими подгруппами группы G). Оказалось, что в ненильпотентной группе G в том и только в том случае каждая 2-максимальная подгруппа S-квазинормальна, когда G является сверхразрешимой группой Шмидта (см. [2, теорема 2.1]). Целью данного сообщения является изучение групп, у которых все третьи максимальные подгруппы S-квазинормальны.

Определение. Группой Белоногова будем называть всякую ненильпотентную разрешимуюгруппу, не являющуюся группой Шмидта, но содержащуютолько нильпотентные 2-максимальные подгруппы.

-1 -Напомним, что M(q) = a, b | aq = bq =1, ab = a1+q, где >3 при p =2 и >2 при нечетном p.

Теорема. В том и только в том случае каждая 3-максимальная подгруппа группы G является S-квазинормальной в G, когда группа G либо нильпотентна, либо |G| = pqr ( + + 3), либо G изоморфна SL(2, 3), либо G — сверхразрешимая группа Шмидта, либо G — сверхразрешимая группа Белоногова одного из следующих типов:

(1) G =[P ]Q, где |P | = p, |Q| = q ( 3); группа Q либо абелева, либо изоморфна группе кватернионов порядка 8, либо изоморфна группе M(q); CQ(P ) =-2(Q);

(2) G =[P ]Q, где P — циклическая группа порядка p2, обе группы (P )Q и G/(P ) являются группами Шмидта и максимальная подгруппа из Q совпадает с Z(G);

(3) G =[P1 P2]Q, где |P1| = |P2| = p, P1Q — группа Шмидта и группа P2Q либо нильпотентна, либо также является группой Шмидта;

(4) G = ([P ]Q)R, где P и R — минимальные нормальные подгруппы группы G, |P | = p, |R| = r, Q — циклическая группа и F (G) =PR(Q).

Список литературы [1] Agrawal R. K. Generalized center and hypercenter of a finite group. Proc. Amer. Math. Soc., 54 (1976), 13–21.

[2] Луценко Ю. В. Конечные ненильпотентные группы с нормальными или S-квазинормальными nмаксимальными подгруппами. Известия Гомельского университета им. Ф. Скорины, 1(52) (2009), 134–138.

Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины, Гомель, Беларусь E-mail:lucenkoav@mail.ru, skiba@gsu.by Мальцевские чтения 2009 Теория групп О пересечениях силовских 2-подгрупп в группе автоморфизмов группы U4(3) А. И. Макосий Пусть G — конечная группа с единичным разрешимым радикалом, P — фиксироg g ванная силовская 2-подгруппа из G. Рассмотрим множество X = {P | P P =1, g G}. Обозначим через l2(G) число орбит при действии группы P сопряжениями на множестве X. В работе [1] утверждается, что если G = Aut(U4(3)), то l2(G) > 0. Автору удалось установить, что l2(G) =8 для G = Aut(U4(3)), и указать явно представителей орбит.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 09-01-00395).

Список литературы [1] Зенков В. И., Пашкова С. В. О пересечениях силовских 2-подгрупп в группах автоморфизмов групп L4(3) и U4(3). Межд.конф. “Алгебра и ее приложения”, посвященная 75-летию со дня рождения В. П. Шункова. Тез. докл. Красноярск, 2007, 54–55.

Pages:     | 1 |   ...   | 6 | 7 || 9 | 10 |   ...   | 29 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.