WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 | 9 |   ...   | 29 |

s Теорема 2. Подгруппы Hn,m изоморфны группе -Hm = A0,..., Am-1, T | T ApT = Aq, Aq = Ap, i =0,..., m- 0 m-1 i i+при всех s =0, 1,..., l - 1 и попарно неизоморфны при различных m.

Теорема 3. Число классов сопряженных подгрупп индекса n в группе BS(p, q) задается формулой µ(k) · ls · НОД(s, pm - qm).

n klms=n, lpq Здесь µ — функция Мёбиуса.

Работа выполнена при финансовой поддержке АВЦП Рособразования ”Развитие научного потенциала высшей школы”, проект 2.1.1.419.

Список литературы [1] Gelman E. Subgroup growth of Baumslag-Solitar groups. J. Group Theory, 8 (2005), N. 6, 801–806.

[2] Button J. O. A formula for the normal subgroup growth of Baumslag—Solitar groups. J. Group Theory, 11 (2008), N. 6, 879–884.

Новосибирский гос. ун-т, ул. Пирогова, 2, г. Новосибирск, 630090, РОССИЯ E-mail:DudkinF@ngs.ru Мальцевские чтения 2009 Теория групп Разрешимая группа, изоспектральная группе S4(3) А. В. Заварницин Множество порядков элементов конечной группы G обозначается через (G) и называется её спектром. Конечные группы G и H изоспектральны, если (G) =(H).

В работе [1] было показано, что если неабелева простая группа G изоспектральна разрешимой группе, то G L3(3), U3(3), S4(3), A10. Существование разрешимых групп, = изоспектральных группам L3(3) и U3(3) доказано в [2, 3]. Из [4] следует, что не существует разрешимой группы, изоспектральной группе A10. Таким образом, проблема оставалась открытой только для группы S4(3). Главным результатом настоящей работы является следующее утверждение.

Теорема 1. Существует конечная разрешимая группа, изоспектральная простой группе S4(3).

Разрешимая группа из теоремы 1 построена как группа матриц 17 17 над полем из трёх элементов. Эта группа имеет порядок 5 648 590 729 620 = 22 · 324 · и, по всей видимости, является наименьшей рассматриваемой группой. Хотя предложенное доказательство не зависит от компьютерных вычислений, первое свидетельство в пользу существования такой группы было получено с использованием пакета компьютерной алгебры GAP.

В качестве следствия из теоремы 1 получается следующее утверждение.

Следствие 1. Конечная простая неабелева группа G изоспектральна разрешимой группе тогда и только тогда, когда G L3(3), U3(3), S4(3).

= Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант 08-01-00322; совета по грантам Президента РФ для поддержки ведущих научных школ (проект НШ-344.2008.1); Фонда Содействия Отечественной Науке (грант от 2009 г.); АВЦП Минобразования России «Развитие научного потенциала высшей школы» (проект 2.1.1/419).

Список литературы [1] Lucido M. S., Moghaddamfar A. R. Groups with complete prime graph connected components. J. Group Theory, 7 (2004), N. 3, 373–384.

[2] Мазуров В. Д. Распознавание конечных простых групп §4(q) по порядкам их элементов. Алгебра и логика, 41 (2002), N. 2, 166–198.

[3] Зиновьева М. Р. Распознавание конечных групп по свойствам множества порядков элементов.

Дисс.... кандидата физ.-мат. наук. Екатеринбург, 2003.

[4] Старолетов А. М. Неразрешимость конечных групп, изоспектральных знакопеременной группе степени 10. Сибирские электронные мат. известия, 5 (2008), 20–24.

Институт математики им. С.Л.Соболева СО РАН, Новосибирск E-mail:zav@math.nsc.ru Мальцевские чтения 2009 Теория групп О пересечениях силовских 2-подгрупп в группе Aut(-(3)) В. И. Зенков Пусть G — конечная группа с единичным разрешимым радикалом, P — фиксироu z ванная силовская 2-подгруппа из G. Тогда (см. [1]) P P P =1 для некоторых x элементов u и z из G. Вто же время P P =1 для любого элемента x из группы G в случае, например, G = Aut(L2(7)). Для изучения аналогичной ситуации в общем g g случае рассмотрим множество X = {P | P P =1, g G}. Тогда подгруппа P действует сопряжениями на множестве X. Пусть l2(G) обозначает число орбит при этом действии. Если группа G проста, то l2(G) > 0 (см. [2]). Однако l2(G) =0, например, для почти простой группы G = Aut(L2(p)), где p — простое число Мерсенна, хотя l2(L2(p)) > 0 и |Aut(L2(p)) : Inn(L2(p))| =2.

В [1] было показано, что вопрос описания группы G с условием l2(Aut(G)) = 0 сводится к описанию компонент K группы G таких, что l2(Aut(K)) 2. Из теорем 4.1, 5.1, 6.1 и леммы 3.12 из [1] следует, что для полного описания таких компонент K осталось рассмотреть компоненты K группы G, изоморфные группам Шевалле над полем порядка p, где p — простое число Ферма или Мерсенна, или над полем порядка 32. Примерами таких компонент служат K L2(5) или L2(9), причем l2(Aut(L2(5)) Z2) =и l2(Aut(L2(9))) = 0, хотя l2(Aut(L2(5))) > 0 и l2(G1) > 0 для Inn(L2(9)) G1 < Aut(L2(9)). В [3] продолжается начатое в [1] и [2] изучение, причем в работе [3] показано, что l2(Aut(U3(3))) = l2(Aut(PSp4(3))) = 1, а l2(Aut(L3(3))) 3. Это означает (см. [1]), что l2(Aut(U3(3)) Z2) =l2(Aut(PSp4(3)) Z2) =0, а l2(Aut(L3(3)) Z2) 3.

Вопрос о числах l2(Aut(L4(3))) и l2(Aut(U4(3))) пока открыт.

В данной работе доказана Теорема. Если G = Aut(7(3)), то l2(G) > 0.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 07-01-00148), программы Отделения математических наук РАН и программ совместных исследований УрОРА Нс СОРА Ни НА НБеларуси.

Список литературы [1] Зенков В. И. Пересечения нильпотентных подгрупп в конечных группах. Фунд. прикл. мат., (1996), вып. 1, 1–92.

[2] Зенков В. И., Мазуров В. Д. О пересечении силовских подгрупп в конечных группах. Алгебра и логика, 35 (1996), N. 4, 424–432.

[3] Зенков В. И. О пересечениях силовских 2-подгрупп в конечных группах Aut(L3(3)), Aut(U3(3)), Aut(PSp4(3)). Межд. семинар по теории групп. Тез. докл. Екатеринбург: Ин-т мат. и мех. УрО РАН; Изд-во Урал. ун-та, 2001, 81–82.

Институт математики и механики УрО РАН, Екатеринбург E-mail:zenkov@imm.uran.ru Мальцевские чтения 2009 Теория групп Флаг-транзитивность линейных групп, определенных над подкольцом тела С. А. Зюбин Пусть K — поле или тело. Естественное действие проективной линейной группы PGLn+1(K) на проективном пространстве PG(n, K) является флаг-транзитивным, т. е. для любых двух максимальных флагов — неуплотняемых цепей вложенных подпространств — существует элемент группы, переводящий один флаг в другой.

Флаг-транзитивность сохраняется, если рассматривать не всю группу PGLn+1(K), а некоторые ее подгруппы. Такова, например, группа PSOn+1(R), флаг-транзитивная на PG(n, R) над полем вещественных чисел R. Качественно другим примером флагтранзитивной подгруппы служит PSLn(Z)

Работа поддержана РФФИ, грант № 09–01–00717.

Список литературы [1] Коуровская тетрадь (нерешенные вопросы теории групп). 16-е изд., Новосибирск: ИМ СО РАН, 2006.

[2] Higman D. G. Flag-transitive collineation groups of finite projective spaces. Ill. J. Math., 6 (1962), 434–446.

[3] Seitz G. Flag-transitive subgroups of Chevalley groups. Ann. Math., 2nd ser., 97 (1973), N. 1, 27–56.

[4] Зюбин С. А. Линейные группы, флаг-транзитивные на проективных пространствах. Классы групп, алгебр и их приложения, межд. алг. конф., тез. докл., Гомель, 2007, 75–76.

[5] Zyubin S. Groups acting transitively and flag-transitively on projective spaces. Межд. алгебр. конф., СПб отд. МИ РАН, Санкт-Петербург, 2007, 180–181.

Томский политехнический университет, Томск E-mail:sergey.zyubin@gmail.com Мальцевские чтения 2009 Теория групп О существовании холловых подгрупп В. Н. Княгина, В. С. Монахов Одним из фундаментальных результатов теории групп является теорема Шура — Цассензауза: если в конечной группе имеется нормальная -холлова подгруппа, то в группе существует и -холлова подгруппа. Условие нормальности -холловой подгруппы в этой теореме отбросить нельзя, т. е. для существования -холловой подгруппы недостаточно только существования -холловой подгруппы. Например, в любой неразрешимой группе G нет p -холловой подгруппы для некоторого простого p, в то время как p-холлова подгруппа (= силовская p-подгруппа) имеется. Напомним, что конечная ненильпотентная группа, у которой все собственные подгруппы нильпотентны, называется группой Шмидта. Без использования классификации конечных простых групп доказана следующая теорема.

Теорема. Пусть H — -холлова подгруппа группы G и G = HK для некоторой подгруппы K. Тогда справедливы следующие утверждения.

1. Если для каждого p (H) подгруппа H перестановочна со всеми p-замкнутыми pd-подгруппами Шмидта из K, то в группе G существует -холлова подгруппа.

2. Если H нильпотентна и перестановочна со всеми подгруппами Шмидта из K, то любые две -холловы подгруппы сопряжены.

Условие нильпотентности подгруппы H нельзя ослабить до сверхразрешимости.

Например, в группе PSL(2, 11) = ([Z11]Z5)A4 {5, 11}-холлова подгруппа H =[Z11]Zсверхразрешима, перестановочна с подгруппой Шмидта K = A4, но PSL(2, 11) не -группой. Приявляется C{5,11} -группой. Кроме того, группа G может не быть D мером служит группа PSL(2, 5) = Z5A4 с холловой подгруппой H = Z5 и подгруппой K = A4.

В 1962 году Ито и Сеп [1] доказали нильпотентность H/HG при условии, что подгруппа H перестановочна со всеми подгруппами конечной группы G. Здесь HG — наибольшая нормальная в G подгруппа, содержащаяся в H. Вполне естественно возникает следующий вопрос.

Вопрос. Будет ли H/HG нильпотентна, если подгруппа H перестановочна со всеми подгруппами Шмидта группы G Положительный ответ известен в двух случаях: когда H холлова (это доказывается легко) и H максимальна, см. [2], следствие 2, с. 750.

Список литературы [1] Ito N., Szep J. ber die Quasinormalteiler von endlichen Gruppen. Acta Sci. Math. Sz., 23 (1962), 168–170.

[2] Беркович Я. Г., Пальчик Э. М. О перестановочности подгрупп конечной группы. Сиб. мат. журн., 8 (1967), N. 4, 741–752.

Гомельский инженерный институт Министерства по чрезвычайным ситуациям Республики Беларусь E-mail:knyagina@inbox.ru Гомельский гос. университет им. Ф. Скорины E-mail:monakhov@gsu.by Мальцевские чтения 2009 Теория групп Mp-группы с ручками порядка три С. Н. Козулин, В. И. Сенашов, В. П. Шунков Mp-группы с ручками порядка, отличного от двух, в группе без инволюций изучались в работах В. П. Шункова [2], [3]. Mp-группы с ручками порядка 2 изучал В. О. Гомер [1]. В [4] получен признак непростоты Mp-группы с ручкой порядка, отличного от трех.

Группа G называется Mp-группой, если для ее бесконечной нормальной полной абелевой p-подгруппы B с условием минимальности и элемента a порядка p выполняются следующие условия:

а) локально конечные p-подгруппы из CG(a)B/B конечны;

б) если некоторая полная абелева p-подгруппа C группы G содержится в множестве a, ag, то C B.

gG Подгруппы B, a называются соответственно ядром и ручкой Mp-группы G.

Ручка называется p-конечной, если в CG(a) локально конечные p-подгруппы конечны.

Определение Mp-группы было введено В. П. Шунковым в 1983 г. в работе [2].

Теорема. Пусть G — группа, B — её бесконечная полная абелева 3-подгруппа с условием минимальности, удовлетворяющие условиям:

1) H = NG(B) является M3-группой с ядром B и 3-конечной ручкой a ;

2) для произвольного элемента g G \ H# подгруппы вида a, ag конечны и разрешимы;

3) |CG(a) : H CG(a)| < и H CG(a) содержит все 3 -элементы конечного порядка из CG(a);

4) если Q — конечная a -инвариантная q-подгруппа из H с условием QCG(a) =1, то NG(Q) H (q — простое число, отличное от 3);

5) в G все конечные a -инвариантные 3 -подгруппы разрешимы.

Тогда B G.

Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ 09-01-00395 и гранта Сибирского федерального университета (проект — элитное математическое образование в СФУ).

Список литературы [1] Гомер В. О. О группах с элементами конечных рангов. Дисс.... канд. физ.-мат. наук. Красноярск:

КрасГУ, 1992.

[2] Шунков В. П. Mp-группы. Алгебра и логика, 23 (1984), N. 4, 445–475.

[3] Шунков В. П. Mp-группы. М.: Наука, 1990.

[4] Козулин С. Н., Сенашов В. И., Шунков В. П. Группы с ручками порядка, отличного от трех. Укр.

мат. журнал, 56 (2004), N. 8. 1030–1042.

Институт вычислительного моделирования СО РАН, Красноярск E-mail:sen@icm.krasn.ru Мальцевские чтения 2009 Теория групп Два и 3-порожденные рациональные 2-группы С. Г. Колесников В 1976 году R. Gow [1] доказал, что порядок конечной разрешимой группы, у которой все значения всех комплексных неприводимых характеров лежат в поле рациональных чисел (позже такие группы стали называть рациональными или Q-группами) может делиться только на три простых числа: 2, 3 и 5. Этот неожиданный результат послужил толчком к более детальному исследованию рациональных групп. Было поставлено несколько вопросов и высказано ряд гипотез о строении Q-групп и их силовских 2-подгрупп. В частности, в [2] А. Хайкин-Запирайн поставил вопрос 16.102:

конечно ли число n-порождённых рациональных 2-групп (кратко n-Q-2-групп) при фиксированном n Автором классифицированы с точностью до изоморфизма рациональные 2-группы, порождённые двумя или тремя элементами. Более точно, доказаны Теорема 1. Существует только 3 неизоморфных 2-порождённых рациональных 2-группы: Z2 Z2, диэдральная и кватернионная группы порядка 8.

Теорема 2. Существует только 25 неизоморфных 3-порождённых рациональных 2-групп и любая из них разложима в произведение K z, где K = x, y | xn =1, ym = xl, [x, y2] =f, [x, y] =g, n, m, l {2, 4, 8}, f, g слова от x2, y2, (xy)2, |z| 4 и z2 Z(K), причём, xz = x3 и yz = y3.

Отметим, что порядок максимальной 3-Q-2-группы равен 256. Поскольку [3, стр.

70] сплетение G = H Z2 будет Q-группой, если H — Q-группа, причём, минимальное число порождающих группы G на единицу больше, чем у H, то существуют nn порождённые (n 3) рациональные 2-группы порядка больше либо равного 22 +2n-3-1.

В частности, существует 4-Q-2-группа порядка 217.

Следующие вопросы естественным образом возникают, как обобщение свойств два и 3-порождённых рациональных 2-групп.

Вопрос 1. Ограничены ли порядки элементов и ступень нильпотентности nпорождённой рациональной 2-группы числом 2n Заметим, что рациональность значения произвольного комплексного неприводимого характера группы G на элементе g равносильно тому, что g сопряжен с gk, если g = gk. В связи с этим, возможно, интересным будет и следующий Вопрос 2. Конечна ли n-порождённая группа G чётного периода, в которой каждый элемент g сопряжен с gk, если g = gk Список литературы [1] Gow R. Groups whose characters are rational-valued. J. Algebra, 40 (1976), 280–299.

[2] Коуровская тетрадь. Нерешённые вопросы теории групп. 16-е изд., Новосибирск: ИМ СО РАН, 2005.

[3] Kletzing D. Structure and representation of Q-groups. Lecture notes in mathematics. Springer, 1984.

Сибирский федеральный университет, Красноярск E-mail:sklsnkv@mail.ru Мальцевские чтения 2009 Теория групп Кольца на векторных абелевых группах Е. И. Компанцева Абелева группа G называется полупростой, если она является аддитивной группой некоторого полупростого ассоциативного кольца. Проблема исследования полупростых групп сформулирована в [1]. В настоящей работе получено описание полупростых групп в классе векторных абелевых групп [2].

Пусть G = Ri — векторная группа, Ri — группы без кручения ранга 1, которые iI с точностью до изоморфизма определяются своими типами t(Ri). Обозначим:

Inid = {i I | t(Ri) неидемпотентный тип}, I0 = {i I | t(Ri) идемпотентный тип с бесконечным числом нулей}, I = {i I | t(Ri) идемпотентный тип с конечным числом нулей}, I0(k) ={i I | t(Ri) t(Rk)}, k I, = I (k) ={i I | t(R0) =t(Rk)}, k I.

Будем говорить, что множество I I удовлетворяет условию (d), если существует система {Ji | i I } бесконечных попарно непересекающихся множеств Ji I0(i).

Известно [2], что произвольная векторная группа представима в виде прямой суммы редуцированной и делимой векторных групп.

Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 | 9 |   ...   | 29 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.