WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 || 7 | 8 |   ...   | 29 |

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 07-01-00148), РФФМБРФФИ (проект №08-01-90006), программы отделения математических наук РАН (проект О1-2) и программ совместных исследований УрО РАН с СО РАН (проект С1-2) и НА НБелоруси (проект СБ).

Список литературы [1] Белоногов В. А. О неприводимых характерах группы Sn, полупропорциональных на An или на Sn \ An. I–III. Tруды Института математики и механики УрО РАН, 14 (2008), N. 2, 143–163; N. 3, 58–68; N. 4, 12–30.

ИММ УрО РАН, Екатеринбург E-mail:belonogov@imm.uran.ru Мальцевские чтения 2009 Теория групп Гиперболические группы, отделимость относительно сопряженности и пространство Гриффитса О. В. Богопольский Идея решения алгоритмических вопросов в группах с помощью аппроксимации групп подгруппами конечного индекса восходит к А. И. Мальцеву. Следующая теорема мотивирована, с одной стороны, работами P. Ф. Стиба [7] и Дж. Л. Дайер [3], в которых доказано, что любые два не сопряженных элемента в почти свободной группе могут быть отделены относительно сопряженности, а с другой стороны работой Ф. Грюневальда и Д. Сегала [4] о том, что любые две не сопряженные подгруппы почти полициклической группы могут быть отделены относительно сопряженности.

Теорема 1 (О. В. Богопольский, Ф. Грюневальд). Пусть G — почти свободная группа, представимая в виде фундаментальной группы конечного дерева конечных групп. Тогда любые две ее конечно порожденные не сопряженные подгруппы отделимы относительно сопряженности.

Эндоморфизм группы G называется поточечно внутренним, если (g) сопряжен с g для каждого g G. Существуют группы, допускающие поточечно внутренние, но не внутренние автоморфизмы. Таковы, например, все свободные нильпотентные группы класса c 3.

Теорема 2 (О. В. Богопольский, Э. Вентура). Пусть H — свободная от кручения -гиперболическая группа относительно конечного порождающего множества S. Существует вычислимая константа C = C(, S) такая, что если эндоморфизм группы H и элемент (g) сопряжен с g для каждого g из шара радиуса C, то является внутренним автоморфизмом.

Из некоторой более общей теоремы мы выводим Следствие 3 (О. В. Богопольский, Э. Вентура). Если H свободная от кручения и отделимая относительно сопряженности гиперболическая группа, то Out(H) финитно аппроксимируема.

Теорема 2 сформулирована нами в [1], полное доказательство можно посмотреть в [2]; cм. также [6, 5].

Список литературы [1] Bogopolski O., Martino A., Ventura E. On the generalized Whitehead problem for hyperbolic groups.

In: Abstracts of the Conference: 2nd joint meeting of AMS, DMV, MG at Mainz, 2005, page 136-137. Available at: http://wwwalt.mathematik.uni-mainz.de/mainz2005/program/CP.pdf [2] Bogopolski O., Ventura E. On endomorphisms of torsion-free hyperbolic groups. Preprint. Available at http://arxiv.org/abs/0903.2306.

[3] DyerJ. L. Separating conjugates in free-by-finite groups. J. London Math. Soc., 20 (1979), N. 2, 215–221.

[4] Grunewald F. J., Segal D. Conjugacy in polycyclic groups. Comm. Algebra, 6 (1978), 775–798.

[5] Metaftsis V., Sykiotis M. On the residual finiteness of outer automorphisms of relatively hyperbolic groups. Preprint. Available at arXiv:math/0608685v2.

[6] Minasyan A., Osin D. Normal automorphisms of relatively hyperbolic groups. Preprint. Available at http://arxiv.org/abs/0809.2408v2.

[7] Stebe P. F. Conjugacy separability of groups of integer matrices. Proc. AMS, 32 (1972), 1–7.

Институт математики им. С. Л. Соболева, Новосибирск E-mail:olegbogopolski@yahoo.com Мальцевские чтения 2009 Теория групп О полумногообразиях нильпотентных групп А. И. Будкин Квазитождества вида (x1)... (xn)(t1(x1..., xn) =1 t2(x1..., xn) =1) называются полутождествами. Квазимногообразие, которое можно задать некоторой системой полутождеств, называется полумногообразием. В частности, всякое многообразие групп является полумногообразием.

Теорема 1. Пусть N — многообразие групп, заданное тождествами s (x)(y)(z)([x, y, z] =1), (x)(xp =1), (x)(y)([x, y]p =1)(s 2), где p — простое число. Тогда множество полумногообразий, содержащихся в N, счетно.

Теорема 2. Пусть M — многообразие групп, заданное тождествами (x)(y)(z)([x, y, z] =1), (x)(y)([x, y]p =1), где p — простое число. Тогда множество полумногообразий, содержащихся в N, имеет мощность континуума.

Работа выполнена при поддержке АВЦП ”Развитие научного потенциала высшей школы” (Мероприятие 1).

Алтайский госуниверситет, Барнаул E-mail:budkin@math.asu.ru Мальцевские чтения 2009 Теория групп Конечная 2-группа Альперина с вторым коммутантом произвольного порядка Б. М. Веретенников Мы называем группой Альперина группу, в которой любая 2-порожденная подгруппа имеет циклический коммутант. Неметабелевых конечных p-групп Альперина при нечетном p не существует, как показано в [1]. В работах [2] и [3] построены примеры конечных 2-групп Альперина c вторым коммутантом порядка 2 и 4.

В настоящем сообщении утверждается, что для любого натурального m сущеm ствует конечная 2-группа Альперина с вторым коммутантом, изоморфным Z2.

Теорема. Пусть m — произвольное натуральное число и — группа, заданная образующими и определяющими соотношениями:

m =, f, g, h, a, b, c|2 =1, m+2 m+f2 = g2 =1, f4g4h4 = 7, [a, b] =f, [b, c] =g, [c, a] =h, [f, g] =[g, h] =[h, f] =, [f, c] =g2h2-2, [g, a] =h2f2-2, [h, b] =f2g2-2, a2 = b2 = c2 =1, [, a] =[, b] =[, c] =1.

Тогда | | =23m+9, | | =2m, = и – группа Альперина.

Список литературы [1] Alperin J. L. On a special class of regular groups. Trans. Amer. Math. Soc., 106 (1963), 77–99.

[2] Веретенников Б. М. Об одной гипотезе Альперина. Сиб. матем. журн., 21 (1980), 200–202.

[3] Веретенников Б. М. О конечных 3-порожденных 2-группах Альперина. Сиб. электр. матем. известия, 4 (2007), 155–168.

Уральский государственный технический университет (УГТУ-УПИ), Екатеринбург E-mail:abvmt2@mail.ru Мальцевские чтения 2009 Теория групп Квазикристаллографические группы в псевдоевклидовых пространствах Р. М. Гарипов, В. А. Чуркин Кристаллографическая группа (сокращенно, к. группа) в евклидовом пространстве является подгруппой группы движений, все трансляции которой образует решетку, т. е. свободную абелеву группу, порождаемую базисом евклидова пространства. Квазикристаллографическая группа (сокращенно, кк. группа) —подгруппа группы движений, все трансляции которой образуют квазирешетку, т.е. свободную абелеву подгруппу конечного ранга, содержащую решетку. Факторизуя по решетке, получим линейную “группу поворотов” к. группы. Аналогично для кк. групп.

С. П. Новиков и А. П. Веселов [1] предложили использовать кк. группы при классификации квазикристаллов — нового состояния вещества, открытого в восьмидесятые годы. Оказалось, в частности, что кк. группа при действии на своей квазирешетке сопряжением сохраняет подходящую невырожденную симметричную билинейную форму ранга, равного рангу квазирешетки, т. е. она изоморфна к. группе в псевдоевклидовом пространстве большей размерности (определения к. групп и кк. групп с евклидова случая переносятся без изменений). Таким образом, возникает задача классификации по типу изоморфизма для к. групп в псевдоевклидовых пространствах и их проекций на подходящие инвариантные подпространства. Для решения необходимо развить теорию к. групп и, возможно, кк. групп в псевдоевклидовых пространствах, в частности, в пространствах Минковского, имея в качестве ориентира успешную теорию таких групп в евклидовых пространствах. Начало было положено в работе [2].

Основа для классификации кристаллографических групп в евклидовых пространствах — известная теорема Бибербаха о том, что при абстрактных изоморфизмах к.

групп решетки переходят в решетки. Назовем это свойством жесткости решеток в к.

группах. Р. М. Гарипов [2] доказал, что решетки к. групп в пространствах Минковского жесткие.

Tеорема 1. Если размерность максимального изотропного подпространства в псевдоевклидовом пространстве не превосходит двух, то решетки любых кристаллографических групп в таком пространстве — жесткие. Если же эта размерность больше двух, то в псевдоевклидовом пространстве всегда существуют кристаллографические группы с нежесткой решеткой.

Следствие. Если группа поворотов к. группы не содержит нормальной свободной абелевой подгруппы ранга больше двух, то решетка в такой к. группе является жесткой.

Интересно развить теорию кк. групп в псевдоевклидовых пространствах. Здесь были получены следующие результаты.

Tеорема 2. Пусть G = G(, Z) — квазикристаллографическая группа в пространстве Rp,q с квазирешеткой Z ранга N и группой поворотов. Предположим, что в пространстве не существует ненулевых изотропных подпространств, инвариантных относительно группы. Тогда действие группы на квазирешетке Z сопряжением сохраняет некоторуюневырожденнуюсимметричнуюбилинейнуюформу на RN ZN.

Построены примеры кк. групп, показывающие, что условие на группу поворотов в теореме 2 на плоскости Минковского существенно. Отсюда следует, что не всякая кк. группа в пространстве Минковского является проекцией подходящей к. группы в псевдоевклидовом пространстве. Кроме того, примеры показывают, что Мальцевские чтения 2009 Теория групп существуют кк. группы в пространствах Минковского, обладающие недискретной группой поворотов.

Tеорема 3. Пусть матрица A имеет различные собственные числа, являющиеся корнями неприводимого над Q многочлена p() Z[] со старшим коэффициентом 1 и младшим коэффициентом ±1. Тогда существует лишь конечное число инвариантных относительно циклической группы = A минимальных квазирешёток с точностью до умножения слева на неособенные элементы Q-линейной оболочки группы.

Список литературы [1] Ле Ты Куок Тханг, Пиунихин С. А., Садов В. А. Геометрия квазикристаллов. УМН, 48 (1993), вып. 1., 41–102.

[2] Гарипов Р. М. Группы орнаментов на плоскости Минковского. Алгебра и логика, 42 (2003), N. 6, 655–682.

Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, г. Новосибирск E-mail:R.M.Garipov@mail.ru Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, г. Новосибирск E-mail:churkin@math.nsc.ru Мальцевские чтения 2009 Теория групп О квазимногообразии, порожденном группой кватернионов С. С. Глотов Через Lq(M) условимся обозначать решетку квазимногообразий, содержащихся в квазимногообразии M, через qR — квазимногообразие, порожденное классом групп R.

Если класс R = {G} содержит лишь одну группу G, то вместо qR пишем просто qG.

Пусть M — произвольное квазимногообразие групп. Если множество всех собственных подквазимногообразий в M, частично упорядоченное по включению, имеет максимальные элементы, то эти максимальные элементы называются максимальными квазимногообразиями в решетке Lq(M).

Рассмотрим группу кватернионов K = гр(a, b | a4 =1, a2 = b2, b-1ab = a).

Теорема. Максимальное квазимногообразие в решетке Lq(qK) не порождается конечной группой.

Работа выполнена при поддержке АВЦП ”Развитие научного потенциала высшей школы” (Мероприятие 1).

Алтайский государственный университет, Барнаул E-mail:GlotovSS@mail.ru Мальцевские чтения 2009 Теория групп Группы автоморфизмов точечных кристаллографических групп Е. В. Грачев Определение 1. Точечной группой называется такая группа G ортогональных преобразований пространства R3, для которой существует неподвижная точка.

Определение 2. Точечная группа G называется кристаллографической, если G(Z3) =Z3.

Любая точечная кристаллографическая группа может быть представлена матрицами из GL3(Z). Существует 32 различных точечных кристаллографических группы.

Все они конечные, более того порядок любой такой группы делит 48.

Далее под точечной кристаллографической группой будем понимать конкретную матричную группу, взятую из международной кристаллографической таблицы.

Определение 3. Автоморфизм назовем сопрягающим, если g GL3(Z) :

(x) =gxg-1 для любого элемента x группы G.

Все сопрягающие автоморфизмы группы G образуют подгруппу Sop(G) в группе Aut(G).

Замечание. Группы Aut(G) и Int(G) не зависят от конкретного матричного представления группы G, тогда как группа Sop(G) зависит от выбранного матричного представления.

Для всех 32 точечных кристаллографических групп описаны группы Aut(G), Int(G) и Sop(G). Результаты представлены в таблице.

Найдены матричные представления групп Sop(G) для всех точечных кристаллографических групп.

Новосибирский государственный технический университет, Новосибирск E-mail:grachev@che.nsk.su Мальцевские чтения 2009 Теория групп Об одном классе модулей над групповыми кольцами, близких к артиновым О. Ю. Дашкова Исследование модулей над групповыми кольцами является важным направлением в современной алгебре. В этом направлении было получено много интересных результатов. Артиновы модули над групповыми кольцами представляют собой широкий класс модулей над групповыми кольцами. Напомним, что модуль называется артиновым, если частично упорядоченное множество подмодулей этого модуля удовлетворяет условию минимальности. Следует отметить, что решение ряда проблем алгебры требует исследования некоторых специфических артиновых модулей. Артиновы модули над групповыми кольцами с различными ограничениями на группы исследовались в [2]. Естественно возникает вопрос об изучении модулей над групповыми кольцами, которые не являются артиновыми, но близки к артиновым в некотором смысле.

Пусть A — OG-модуль, где O - дедекиндово кольцо, G — группа. Если H G, то фактор-модуль A/CA(H) называется коцентрализатором подгруппы H в модуле A. В дальнейшем в работе рассматривается OG-модуль A, такой, что CG(A) =1, и коцентрализатор группы G в модуле A не является артиновым O-модулем.

Говорят, что группа G имеет конечный 0-ранг r0(G) =r, если G обладает конечным субнормальным рядом, у которого в точности r факторов — бесконечные циклические, а остальные факторы — периодические. 0-ранг не зависит от выбора ряда и является числовым инвариантом. Пусть теперь p - простое число. Группа G имеет конечный секционный p-ранг rp(G) = r, если каждая элементарная абелева p-секция группы G конечна, и ее порядок не превосходит числа pr, и существует элементарная абелева p-секция U/V такая, что |U/V | = pr. В дальнейшем символом rp(G) =r обозначается секционный p-ранг группы G в случае, когда p - простое число, и 0-ранг группы G в случае, когда p =0.

Основными результатами работы являются следующие теоремы.

Теорема 1. Пусть A — OG-модуль, G — разрешимая группа, и ранг rp(G) бесконечен для некоторого p 0. Предположим, что для каждой собственной подгруппы M, такой, что ранг rp(M) бесконечен, коцентрализатор M в A является артиновым O-модулем. Тогда группа G обладает рядом нормальных подгрупп H N G таким, что подгруппа H и фактор-группа N/H нильпотентны, а фактор-группа G/N изоморфна квазициклической группе Cq для некоторого простого числа q.

Теорема 2. Пусть A — OG-модуль, G — разрешимая группа, и ранг rp(G) бесконечен для некоторого p 0. Предположим, что для каждой собственной подгруппы M, такой, что ранг rp(M) бесконечен, коцентрализатор M в A является артиновым O-модулем. Тогда группа G разрешима.

Отметим, что аналогичные утверждения имеют место в случае, когда рассматриваемая группа G имеет бесконечный абелев секционный ранг, или бесконечный специальный ранг.

Список литературы [1] Dashkova O. Yu., Dixon M. R., Kurdachenko L. A. Linear groups with rank restrictions on the subgroups of infinite central dimension. Journal of Pure and Applied Algebra, 208 (2007), N 3, 785–795.

[2] Kurdachenko L. A., Otal J., Subbotin I. Ya. Artinian modules over group rings. Basel, Boston, Berlin:

Birkhuser, 2007.

Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев E-mail:odashkova@yandex.ru Мальцевские чтения 2009 Теория групп Подгруппы конечного индекса в группах Баумслага — Солитера Ф. А. Дудкин Пусть p, q — взаимно простые целые числа (пишем p q), не равные нулю.

Группы Баумслага — Солитера BS(p, q) задаются двумя порождающими элементами a, t и одним определяющим соотношением t-1apt = aq. Без потери общности можно считать p натуральным, а q целым и p >|q|.

Пусть an(G) обозначает число подгрупп индекса n в группе G, а a (G) число n нормальных подгрупп. Гельман [1] доказал, что an(BS(p, q)) = l. (1) l|n, lpq Недавно Баттон [2] доказал формулу a (BS(p, q)) = НОД(l, p - q). (2) n n=lm, l|pm-qm Результаты, полученные в данной работе, используют только формулу (1). Формула (2) получается как следствие теоремы 1.

Теорема 1. Множество подгрупп индекса n в группе BS(p, q) = a, t t-1apt = s aq совпадает с множеством подгрупп Hn,m, порожденных двумя элементами al и tmas, s где n = lm, l, m N, l pq, s =0, 1,..., l - 1. Все подгруппы Hn,m различны.

Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 || 7 | 8 |   ...   | 29 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.