WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 29 |

ИМ СО РАН, Новосибирск E-mail:avgust@math.nsc.ru; khramtso@math.nsc.ru Мальцевские чтения 2009 Теория групп Об одном специальном локальном классе Шунка Л. П. Авдашкова, С. Ф. Каморников Рассматриваются только конечные разрешимые группы, используются определения и обозначения из [1, 2]. Напомним, что если H — подгруппа группы G, то факторгруппа H/CoreG(H) называется кофактором подгруппы H в группе G.

В данной работе предлагается общий подход к решению задачи о строении группы G, у которой кофакторы всех максимальных подгрупп принадлежат заданному гомоморфу X. В основе подхода лежит идея локального класса Шунка, изложенная в [1].

Напомним еще, что классом Шунка называется примитивно замкнутый гомоморф.

Следуя [1], рассмотрим функцию h : P{классы групп}, которая ставит в соответствие каждому простому числу p некоторый (возможно, пустой) класс групп h(p). Пусть H — класс всех таких групп G, которые удовлетворяют следующему условию (*): AutG(H/K) h(p) для любого нефраттиниева главного фактора H/K группы G и простого числа p, делящего |H/K|. Проверка показывает, что H — класс Шунка. Он называется классом Шунка, локально определенным функцией h, и обозначается через LC(h). Функция h называется локальной, если h(p) — гомоморф для любого простого числа p. Если H = LC(h) для некоторой локальной функции h, то H называется локальным классом Шунка.

Пусть X — непустой класс групп. Функцию h будем называть X-постоянной, если h(p) =X для любого простого числа p.

Теорема 1. Пусть X — непустой гомоморф и h — X-постоянная функция. Тогда справедливы следующие утверждения:

1) в том и только в том случае кофакторы всех максимальных подгрупп группы G принадлежат X, когда G LC(h);

2) LC(h) =N[X];

3) в том и только в том случае LC(h) =NX, когда X — формация.

Теорема 2. Пусть X — непустой класс Шунка. Если H — X-проектор группы G, то G N[X] тогда и только тогда, когда G = HCG(L/K) для любого дополняемого главного фактора H/K группы G.

Список литературы [1] Doerk K., Hawkes T. Finite soluble groups. Berlin-New York: Walter de Gruyter, 1992.

[2] Шеметков Л. А. Формации конечных групп. М.: Наука, 1978.

УО «Торгово-экономический университет потребительской кооперации», Гомель E-mail:lyudmila.avdashkova@gmail.ru УО ФПБ «Международный институт трудовых и социальных отношений», Гомель E-mail:sfkamornikov@mail.ru Мальцевские чтения 2009 Теория групп Числа Хигмана групп PSL2(2n) Р. Ж. Алеев, В. С. Насыпова Пусть G — конечная группа, U(I(Z( G))) — группа единиц (обратимых элементов) кольца целых центра рациональной групповой алгебры G группы G, U(Z( G)) — группа центральных единиц целочисленного группового кольца G группы G. Согласно теореме 4 из [1] существует такое натуральное число l, что ul U(Z( G)) для любой единицы u U(I(Z( G))). Наименьшее натуральное l с таким свойством называется числом Хигмана группы G и обозначается Hig(G).

Определим l() для Irr(G) как наименьшее число l со свойством, что для любой единицы u U(I( ())) выполняется u(ul) U(Z( G)).

В [2] доказано, что Hig(PSL2(16)) = 240. Развитием этого результата служит следующая Теорема. Пусть для Irr(PSL2(2n)) число l() определено также, как определено выше. Тогда:

q(q-1)(q-2) (1) если (1) = (cos ), то l(1) делит, если q-1 — простое число q-1 Мерсенна и делит q(q - 1) (p(q-1) - 1), 2 p p(q-1) p(q-1) p если q - 1 = pi и |(q - 1)| 2;

p(q-1) (2) если (1) = (cos ), то l(1) делит |PSL2(2n)|, если q+1 — простое число q+Ферма или q +1=9, и делит |PSL2(2n)| (p(q+1) - 1), 2 p p(q+1) p(q+1) p если q +1= pi и |(q +1)| 2;

p(q+1) (3) Hig(PSL2(2n)) = HOK(l(1), l(1)).

Для группы PSL2(32) имеем следующее:

(1) l(1) делит 7440;

(2) l(1) делит 31 · 16 · (320 - 1) · (1120 - 1);

(3) Hig(PSL2(32)) = 900240.

Список литературы [1] Higman G. The units of group rings. Proc. London Math. Soc(2), 46 (1940), 231–248.

[2] Алеев Р. Ж. Описание группы центральных единиц целочисленного группового кольца группы PSL2(16). Ред. Сиб. Мат. ж. Деп. ВИНИТИ, № 3170-В99 27.10.99, 67 c.

Челябинский государственный университет, Челябинск E-mail:aleev@csu.ru, ll1alex@mail.ru Мальцевские чтения 2009 Теория групп О центральных единицах целочисленного группового кольца AР. Ж. Алеев, А. А. Шабаршина Ранее группы центральных единиц целочисленных групповых колец знакопеременных групп An, для n<7 были описанны в работе [1]. В работе [2] Ферраз нашел, что ранг rn группы центральных единиц целочисленных групповых колец знакопеременной группы An равен 0 тогда и только тогда, когда n {1, 2, 3, 4, 7, 8, 9, 12}. В работе [3] доказано, что ранг rn равен 1 тогда и только тогда, когда n {5, 6, 10, 11, 13, 16, 17, 21, 25}.

В работе [4] полностью описываются группы центральных единиц целочисленных групповых колец знакопеременных групп в случаях когда n {10, 11, 13, 16, 17, 21, 25}.

В совокупности с [1] таким образом получено полное описание групп центральных единиц целочисленных групповых колец знакопеременных групп имеющих ранг 1. В работе идет исследование самого первого случая, когда ранг > 1, а именно n = 14, в этом случае ранг группы центральных единиц целочисленного группового кольца группы A14 равен 3. А именно мы построим подгруппу конечного индекса в группе центральных единиц для A14. Более точно, доказана следующая Теорема Группа центральных единиц U(Z( A14)) имеет следующую подгруппу:

u20(1 + 13)43680 u57(19 + 833)27720 u59(5)индекса, делящего 43680 · 27720 · 30240 = 213 · 36 · 52 · 73 · 11 · 13.

Здесь u20 — локальная единица, соответствующая характеру группы A14 степени 4752, u57 — локальная единица, соответствующая характеру группы A14 степени 29952, u59 — локальная единица, соответствующая характеру группы A14 степени 34320, 1+ 13 1+ 33 1+ 13 =, 33 =, 5 =.

2 2 Список литературы [1] Aleev R.. Higman’s central unit theory, units of integral group rings of finite cyclic groups and Fibonacci numbers. Intern. J. of Algebra and Comp., 4 (1994), N. 3, 309–358.

[2] Ferraz R. A. Simple components and central units in group rings. J. of Algebra, 279 (2004), N. 1, 191–203.

[3] Алеев Р. Ж., Соколов В. В. Группы центральных единиц целочисленных групповых колец знакопеременных групп. Тезисы сообщений седьмой Международной школы-конференции, посвященной 60-ти летию А. С. Кондратьева. изд-во ЮУрГУ, Челябинск, 2008, 14–15.

[4] Алеев Р. Ж., Соколов В. В. О группах центральных единиц целочисленных групповых колец знакопеременных групп. Труды института математики, 15 (2009), N. 2.

Челябинский государственный университет, Челябинск E-mail:aleev@csu.ru, staicy@list.ru Мальцевские чтения 2009 Теория групп Универсальные теории нильпотентных групп М. Г. Амаглобели Пусть G группа. Обозначим символом Th(G) – универсальную теорию G и через U(G) —универсальное замыкание G: множество всех групп H таких, что Th(H) Th(G). Если G — нильпотентная группа без кручения, то через GQ обозначим её мальцевское пополнение.

Теорема. Пусть G — конечно-порожденная нильпотентная группа без кручения.

Тогда Th(G) =Th(GQ) в следующих случаях:

• G — свободная нильпотентная группа;

• G =UTn(Z) — унитреугольная группа матриц над кольцом Z;

• G — двуступенно нильпотентная группа.

Пусть G1 и G2 — две конечно-порожденные двуступенно нильпотентные Q-группы, такие, что dimQG1/Z(G1) =dimQG2/Z(G2), и пусть — фиксированный изоморфизм между G1 = G1/Z(G1) и G2 = G2/Z(G2), и H — подгруппа G1 G2, состоящая из пар (g1, g2) таких, что (g1) =g2. Обозначим H через D (G1 G2), и будем называть её квазидиагональной подгруппой G1 G2 относительно. Тогда верен следующий результат: если G1 и G2 являются CT1-группами, то D (G1 G2) также является CT1-группой.

Напомним, что по определению группа G является CT1-группой, если для любого x Z(G) и любых y, z таких, что [x, y] =[x, z] =1 следует, что [y, z] =1.

/ Тбилиский университет, Тбилиси E-mail:remesl@ofim.oscsbras.ru Мальцевские чтения 2009 Теория групп Мозаики из выпуклых пятиугольников О. Г. Багина Назовем мозаикой покрытие плоскости попарно конгруэнтными пятиугольниками без зазоров и наложений. Соответствующий многоугольник называется плиткой мозаики. Наиболее сложной оказалась задача нахождения пятиугольных плиток. Было найдено 14 типов таких пятиугольников [1], но нет доказательства полноты имеющегося перечня.

Мной рассматривается задача классификации выпуклых пятиугольников, покрывающих плоскость ребро к ребру. Ранее аналогичная задача была решена для равносторонних пятиугольников [2]. Мозаика называется мозаикой ребро к ребру, если для любых двух ее плиток выполняется одно из следующих условий: 1) плитки не имеют общих точек; 2) плитки имеют ровно одну общую вершину; 3) плитки имеют ровно одно общее ребро.

Пусть x0, x1, x2, x3, x4 — углы пятиугольника, C0 = x4x0, C1 = x0x1, C2 = x1x2, C3 = x2x3, C4 = x3x4 — длины сторон пятиугольника.

Теорема. Пятиугольник, покрывающий плоскость ребро к ребру, относится к одному из следующих типов:

1) x0 + x1 = 180, C0 = C2 или C3 = C4.

2) x0 + x2 = 180, C1 = C3, C0 = C2.

3) x0 = x2 =90, C0 = C1, C2 = C3.

4) x2 =2x0 = 120, C0 = C1, C2 = C3.

5) x1 + x3 = 180, x0 =2x3, C0 = C1 = C2, C3 = C4.

6) x0 +2x3 = 360, x2 +2x1 = 360, C0 = C1 = C2 = C3.

7) x1 +2x0 = 360, x2 +2x3 = 360, C0 = C1 = C2 = C3.

8) x1 +2x4 = 360, x2 +2x3 = 360, C0 = C1 = C2 = C3.

Валентностью вершины пятиугольника называется число сходящихся в ней пятиугольников. Пусть (0,..., 4) —набор валентностей всех вершин пятиугольника, упорядоченных по возрастанию.

Предложение. В любой ребро к ребру пятиугольной мозаике найдется хотя бы один пятиугольник, для которого набор валентностей вершин может быть одним из следующих: (3,3,3,3,3), (3,3,3,3,4), (3,3,3,3,5), (3,3,3,3,6), (3,3,3,4,4).

Доказательство теоремы основано на этом предложении и включает в себя полный перебор, который был проведен сначала с помощью компьютера, а затем большинство вычислений были проведены вручную.

Список литературы [1] Schattschneider D. Tiling the Plane with Congruent Pentagons. Math. Magazine, 51 (1978), 29–44.

[2] Bagina O. Tiling the Plane with Congruent Equilateral Convex Pentagons. J. Combin. Theory. Ser. A, 105 (2005), N. 2, 221–232.

Кемеровский государственный университет, Кемерово E-mail:ogb@km.ru Мальцевские чтения 2009 Теория групп Группа унитреугольных автоморфизмов кольца многочленов В. Г. Бардаков, М. В. Нещадим Пусть Kn = K[x1,..., xn] —кольцо многочленов от переменных x1,..., xn над полем K нулевой характеристики. В работе изучается строение некоторых подгрупп группы Aut Kn автоморфизмов кольца Kn.

Для каждого индекса i {1,..., n} и многочлена f = f(x1,..., xi,..., xn) Kn элементарным автоморфизмом i,f называется автоморфизм из Aut Kn, действующий на переменные x1,..., xn по правилу:

xk + f, если k = i, i,f (xk) = xk, если k = i.

Группа унитреугольных автоморфизмов определяется следующим образом:

Un = гр (i,f i =1,..., n, f = f(xi+1,..., xn) Kn).

Очевидно, что Gi = гр (i,f f = f(xi+1,..., xn) Kn), i =1,..., n, — подгруппа Un. Более того, Gi абелева и изоморфна аддитивной группе кольца K[xi+1,..., xn], i =1,..., n- 1, а Gn K.

Строение группы унитреугольных автоморфизмов проясняет Теорема 1. Группа Un распадается в полупрямое произведение абелевых групп:

Un =(... (G1 G2)...) Gn.

Из этой теоремы, в частности, следует, что Un — разрешимая группа ступени n (этот факт также установлен в работе: Романьков В. А., Чирков И. В., Шевелин М.

А., СМЖ, 45 (2004), N. 5, 1184–1188). С другой стороны, нетрудно проверить, что группа Un не нильпотентна при n 2.

Следующее предложение связано с известным вопросом М. И. Каргаполова о коммутаторной ширине разрешимых групп.

Предложение. Всякий элемент из коммутанта Un является коммутатором.

Также изучаются двупорожденные подгруппы группы Aut Kn. Справедлива Теорема 2. Для фиксированных различных индексов i, j {1,..., n} и для фиксиj 1 i n n рованных ненулевых мономов i = ixp ·... · xp ·... · xp, j = jxq ·... · xq ·... · xq, 1 i n 1 j n i, j K, имеет место изоморфизм Z Z, если qi 1 и pj 1, гр i,, j, = i j Z Z, иначе.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект №09-01-00422а).

Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН E-mail:bardakov@math.nsc.ru Новосибирский государственный университет, Новосибирск E-mail:neshch@math.nsc.ru Мальцевские чтения 2009 Теория групп О двумерной группе матриц с нестандартным произведением В. Г. Бардаков, А. А. Симонов Для двух квадратных матриц A =(aij) и B =(bij) степени n над полем P определены операции сложения и умножения: A · B = C, A + B = D, где элементы матриц C =(cij) и D =(dij) определяются следующим образом:

n cij = aikbkj, dij = aij + bij.

k=Множество Mn(P ) всех квадратных матриц степени n над полем P образует кольцо относительно этих операций. Множество обратимых элементов этого кольца образует общую линейную группу GLn(P ). Г. Г. Михайличенко [3] определил другую операцию умножения матриц: A B = C, где n- cij = (aik - ain)(bkj - bnj) +ain + bnj.

k=Нетрудно убедиться, что так определенная операция умножения ассоциативна. Возникающая при этом алгебраическая система Mn(P );, + находит применения в теории физических структур [1, 2]. Легко заметить, что эта алгебраическая система уже не будет кольцом (не выполняется дистрибутивность). Возникает естественный вопрос об описании группы Gn(P ) обратимых элементов алгебраической системы Mn(P );, +.

В предлагаемой работе группа Gn(P ) изучается в случае n =2.

Определим множество аффинных преобразований векторного пространства V = P по правилу:

(x1, x2) ((11 -21)x1 -(11 -21 -1)x2, (21 -22)x1 -(12 -22 -1)x2)+(21, 22), где ij P. Легко заметить, что преобразование обратимо тогда и только тогда, когда 11-21 = 12-22. Относительно операции композиции множество таких обратимых преобразований образует группу Af2(P ). Преобразованию можно сопоставить пару 11 - 21 12 -, (21, 22) M2(P ) V.

1+21 - 11 1+22 - Основным результатом работы является Теорема 1. Группа G2(P ) изоморфна группе Af2(P ) и изоморфизм определяется правилом a11 a12 a11 - a21 a12 - a -, (a21, a22).

a21 a22 1+a21 - a11 1+a22 - aТаким образом, мы можем изучать группу Af2(P ), являющуюся подгруппой группы аффинных преобразований векторного пространства V. Справедлива Теорема 2. (1) Группа Af2(P ) распадается в полупрямое произведение P H, где a b H = | a, b P, a - b =0 GL2(P ).

1 - a 1 - b (2) Группа Af2(P ) разрешима ступени 3.

Из этой теоремы легко получается Следствие. Группа Af2(P ) вкладывается в группу GL3(P ).

Мальцевские чтения 2009 Теория групп Список литературы [1] Кулаков Ю. И. Об одном принципе, лежащем в основании классической физики. Докл. АН СССР, 193 (1970), N. 1, 72–75.

[2] Кулаков Ю. И. Теория физических структур. Москва, 2004.

[3] Михайличенко Г. Г. Решение функциональных уравнений в теории физических структур. ДАН СССР, 206 (1972), N. 5, 1056–1058.

Новосибирск E-mail:bardakov@math.nsc.ru, Andrey.Simonoff@gmail.com Мальцевские чтения 2009 Теория групп О некоторых парах неприводимых характеров симметрических групп В. А. Белоногов Ранее автором была высказана гипотеза: знакопеременная группа An при любом натуральном n не имеет полупропорциональных неприводимых характеров. В [1 (I)] (там же см. обозначения) выдвинута следующая более общая Гипотеза А. Пусть, P (n), {1, -1} и полупропорционально на Sn.

Тогда с точностьюдо перемены мест и верно одно из следующих утверждений:

(1) =1 и выполнено одно из условий:

(1а) = 2k.() + (3) и =2k.() + (0k, 2, 1), где k N {0};

(1б) = 2k.(1) + (3) и =2k.(1) + (0k, 1, 2), где k N {0};

(2) = -1 и выполнено одно из условий (везде k, m целые):

(2а) = 3k.l +(4) и = 3k.l +(0k, 2, 2), где k 0 и l 1;

(2б) = 3k.l +(4) и = 3k.l +(0k, 3, 1), где k 0 и l 0;

(2в) = 3k.2.l +(4) и = 3k.2.l +(0k, 1, 3), где k 0 и l 0.

Очевидно, доказательство гипотезы Аиндукцией по числу n достаточно провести в предположении, что выполнено следующее Условие А. Пусть n — натуральное число такое, что при любом n

Итогом работ [1 (I–III)] является следующая Теорема А3. Пусть, P (n), {1, -1}, полупропорционально на Sn и выполнено условие А. Предположим, что h = h. Тогда =(-1)h ипара (11, 11) 11 удовлетворяет одному из условий (2б) и (2в) заключения гипотезы А на месте (,, ).

В настоящее время автором доказана теорема А4, которая получается из теоремы А3 заменой выражения ”одному из условий (2б) и (2в)” выражением ”условию (2в)”.

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 29 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.