НГТУ, Новосибирск E-mail:ag.pinus@gmail.com Мальцевские чтения 2009 Универсальная алгебра Свободные частично коммутативные нильпотентные полугруппы с планарными графами Кэли Д. В. Соломатин Графы Кэли, представляющие собой одномерные комплексы Кэли, играют важную роль в комбинаторной теории групп. Так, например, если представление группы имеет планарный комплекс Кэли, то проблема равенства слов этого представления разрешима [1]. Более того, известно описание конечных групп, допускающих плоские графы Кэли [2]. Наличие подобных свойств и вызывает особый интерес к графам, отражающим структуру полугрупп. В [3] и ряде других работ нами уже изучалась планарность графов Кэли для некоторых классов полугрупп.
Напомним, что если дан граф с множеством вершин V ={a1,..., at}, то можно определить свободную частично коммутативную полугруппу [4], как полугруппу S(), заданную множеством {a1,..., at} образующих элементов и множеством определяющих соотношений вида aiaj = ajai для тех и только тех ai и aj, которые соединены ребром в графе. Свободной частично коммутативной n-нильпотентной полугруппой, определяемой графом, мы называем фактор-полугруппу Риса S()/Sn; будем обозначать n её через St (), где n 1 и t 1.
«Деревом» из простых циклов называем связный граф, блоками которого являются простые циклы или мосты.
n Теорема. Полугруппа St () допускает планарный граф Кэли, если и только если выполнено хотя бы одно из следующих условий:
1) — пустой граф;
2) связными компонентами графа являются паросочетания или изолированные вершины, а n 5;
3) связными компонентами графа являются цепи или изолированные вершины, а n 4;
4) связными компонентами графа являются ”деревья” из простых циклов или изолированные вершины, а n 3;
5) — любой граф, а n 2, либо n>2 и t 2.
Список литературы [1] Линдон Р., Шупп П. Комбинаторная теория групп. М.: Мир, 1980.
[2] Цишанг Х., Фогт Э., Колдевай Х.-Д. Поверхности и разрывные группы. М.: Наука, 1988.
[3] Соломатин Д. В. Прямые произведения циклических полугрупп, допускающие планарный граф Кэли. Сибирские Электронные Математические Известия, http://semr.math.nsc.ru, 3 (2006), 238–252.
[4] Diekert V., Mtivier Y. Partial commutation and traces. Handbook of formal languages. Berlin:
Springer–Verl., 1997. V.3. P. 457–533.
Омский государственный педагогический университет, г.Омск E-mail:denis2001j@bk.ru Мальцевские чтения 2009 Универсальная алгебра Квантовый дубль янгиана супералгебры Ли В. А. Стукопин Рассматривается квантовый дубль янгиана супералгебры Ли типа A(n, n). В настоящее время, ввиду возможных приложений в квантовой теории суперструн (AdS/CFT гипотеза, см., например, [1]), стала актуальной задача вычисления универсальной Rматрицы квантового дубля DY (A(n, n)) янгиана супералгебры Ли A(n, n). При этом особенно важным является случай случай n =4. В работе [2] был описан квантовый дубль DY (A(m, n)) и получена явная формула для универсальной R-матрицы квантового дубля DY (A(m, n)). Здесь мы рассматриваем эту формулу в частном случае m = n. Ниже мы будем использовать обозначения из [3], в предположении, что m = n.
Имеет место следующая Теорема. Универсальная R-матрица дубля DY (A(n, n)) может быть предста+ влена в следующей факторизованной форме: R = R+R0R-, где R+ Y+ Y, R+ - + Y0 Y0, R- Y Y+ и определяются следующими формулами R+ = exp(-(-1)()a()e e-), + R- = exp(-(-1)()a()e e-), r - R0 = exp ((+(u)) )k cji(T )(-(v +(n + )l(g)))-k-n0 i,j=1 k0 i j Отметим, что эта формула была, по существу, использована в работе [5] для вычисления S-матрицы нелинейной сигма-модели в квантовой теории суперструн, а также в работе [6].
Данная работа поддержана грантом РФФИ, проект 09-01-00671-а.
Список литературы [1] Arutyunov G.,Frolov S., Staudacher M. Bethe ansatz for quantum strings. JHEP, 0410, 016 (2004) (arXiv: hep-th/0406256).
[2] Стукопин В. А. Квантовый дубль янгиана супералгебры Ли типа A(m, n) и вычисление универсальной R-матрицы. Фунд. прикл. мат., 11 (2005), N. 2, 185–208.
[3] Стукопин В. А. О дубле янгиана супералгебры Ли типа A(m, n). Функ. анализ и его приложения, 40 (2005), N. 2, 86–90.
[4] Stukopin V. Quantum Double of Yangian of strange Lie superalgebra, Drinfeld approach. Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications, 3 (2007).
[5] Torrielli A. Structure of the string R-matrix. arXiv: hep-th/0806.1299.
[6] Zwiebel B. Two-loop Integrability of Planar N = 6 Superconformal Chern-Simons theory. arXiv:hepth/0901.0411.
ДГТУ (Ростов-на-Дону); ЮМИ и ВНЦ РАН (Владикавказ) E-mail:stukopin@mail.ru Мальцевские чтения 2009 Универсальная алгебра Разрешимость проблемы равенства слов в свободных алгебрах некоторых многообразий линейных квазигрупп А. Х. Табаров Доклад посвящен решению алгоритмической проблемы равенства слов в свободных алгебрах многообразий Т-квазигрупп, медиальных квазигрупп и является продолжением работ [1,2]. Согласно В.Д.Белоусову [3] квазигруппа (Q, ·), называется линейной над группой (Q, +), если она имеет вид: xy = x + c + y, где, Aut(Q, +), c фиксированный элемент из Q. Т-квазигруппы - это квазигруппы, линейные над абелевой группой. Квазигруппа называется медиальной, если в ней выполняется тождество xy · uv = xu · yv. Медиальные квазигруппы, также линейны над абелевой группой, причем = [3]. Существуют многообразия квазигрупп с разрешимой проблемой равенства слов. К ним относятся, в частности, все R-многообразия [4]. Вместе с тем, как доказал А.И.Мальцев, что существуют многообразия квазигрупп с неразрешимой проблемой равенства слов в свободных квазигруппах [5].
Теорема 1. В многообразии всех Т-квазигрупп разрешима проблема равенства слов для свободных алгебр.
По аналогии с доказательством теоремы 1 может быть доказана Теорема 2. В многообразии всех медиальных квазигрупп разрешима проблема равенства слов для свободных алгебр.
При доказательстве основной теоремы используются методы и идеи, разработанные в работе [4].
Список литературы [1] Табаров А. Х. О некоторых многообразиях абелевых квазигрупп. Дискретная математика, (2000), вып. 3, 154–159.
[2] Табаров А. Х. Гомоморфизмы и эндоморфизмы линейных и алинейных квазигрупп. Дискретная математика, 19 (2007), вып. 2, 67–73.
[3] Белоусов В. Д. Уравновешенные тождества в квазигруппах. Мат. сборник, 70 (1966), N. 1, 55–97.
[4] Глухов М. М., Гварамия А. А. Решение основных алгоритмических проблем в некоторых классах квазигрупп с тождествами. Сиб. мат. журн. 10 (1969), N. 2, 297–317.
[5] Мальцев А. И. Тождественные соотношения на многообразиях квазигрупп. Мат. сборник, 69 (1966), N. 1, 3–12.
Таджикский национальный университет, мех.-мат. факультет, г.Душанбе E-mail:tabarov63@rambler.ru Мальцевские чтения 2009 Универсальная алгебра Об упорядоченных лупах В. И. Урсу Абстрактная лупа L называется упорядоченной, если между ее элементами установлено отношение порядка, подчиненное обычным требованиям:
(i) для любых элементов a, b, c L верно одно и только одно из соотношений a (ii) если a
(iii) если a
При изучении свойств упорядоченных луп естественно встает вопрос: какие абстрактные лупы можно упорядочить Этот вопрос решается в этой работе, где среди прочего указаны на языке абстрактных теории луп необходимые и достаточные условия для упорядочиваемости абстрактной лупы. Рассматриваются также упорядоченные прямые произведения и доказывается, что любые два разложения упорядоченной лупы обладают изоморфными уплотнениями. Отметим, что аналогичные результаты для абстрактных групп были доказаны А. И. Мальцевым в [1].
Список литературы [1] Мальцев А. И. Об упорядоченных группах. Изв. АН СССР, сер. мат., 13 (1949), 473–482.
Институт математики ”Simion Stoilow” Румынской Академии Наук, Технический Университет Молдовы E-mail:vasileursumd@yahoo.com, vursu@mail.md, vasile.ursu@imar.ro Мальцевские чтения 2009 Универсальная алгебра Об относительно элементарной определимости класса гиперграфов в классе всех полугрупп Е. В. Хворостухина Под гиперграфом понимается система вида H = (X, L), где X — непустое множество и L — семейство произвольных подмножеств X. Элементы множества X называются вершинами и элементы множества L называются ребрами гиперграфа.
Гиперграф H =(X, L) называется эффективным, если любая его вершина принадлежит некоторому его ребру. Для натурального числа p гиперграф H будем называть гиперграфом с p-определимыми ребрами, если в каждом ребре этого гиперграфа найдется по крайней мере p +1 вершина и, с другой стороны, любые p вершин этого гиперграфа принадлежат не более, чем одному его ребру. Например, проективные плоскости и аффинные плоскости с числом точек более четырех являются эффективными гиперграфами с 2-определимыми ребрами. Эндоморфизмом гиперграфа H = (X, L) называется такое преобразование множества X, что (l L)(l L)((l) l ).
С помощью [1] доказана относительно элементарная определимость класса эффективных гиперграфов с p-определимыми ребрами в классе полугрупп.
Теорема. Существуют такие формулы C(x), L( Eqv(x; y), Ins(x; y) сигнаx), туры языка элементарной теории полугрупп Ls (здесь и далее x = (x1,..., xp), y = i i (y1,..., yp), yi =(y1,..., yp) ), что любой эффективный гиперграф с p-определимыми ребрами H =(X, L) и его полугруппа эндоморфизмов S =EndH удовлетворяют следующим условиям:
1) множества X = {x S : C(x)} и L = {x Sp : L( не пусты;
x)} 2) формула Eqv(x; y) задает отношение эквивалентности Eqv на L;
3) формула Ins(x; y) задает такое бинарное отношение Ins между элементами множеств X и L, что (x, x) Ins x y(Eqv) = (x, y) Ins;
4) гиперграф H =(X, L, ) изоморфен двухсортной алгебраической системе H = ( X, L/Eqv, µ ) с бинарным отношением µ XL/Eqv, которое для x X, Y L/Eqv определяется по формуле: (x, Y ) µ (x, x) Ins, при любых x Y ;
5) для любой формулы языка эффективно строится такая формула языка, что в том и только том случае истинна на гиперграфе H, если формула истинна на полугруппе эндоморфизмов EndH, т.е. выполняется условие: H |= EndH |=.
Список литературы [1] Хворостухина Е. В. О конкретной характеризации универсальных гиперграфических автоматов. Международная алгебраическая конференция, посвященная 100-летию со дня рождения А. Г.Куроша. Тезисы докладов, 2008, 241–242.
Саратовский государственный социально-экономический университет, Саратов E-mail:katyanew2007@rambler.ru Мальцевские чтения 2009 Универсальная алгебра О вложении графов в TS-квазигруппы Л. В. Шабунин Группоид (Q, ·) называется TS-квазигруппой (тотально симметрической квазигруппой), если в (Q, ·) выполняются тождества xy = yx, x(xy) =y.
Пусть K0 — класс всех конечных графов, K1 — класс всех конечно определенных тотально симметрических квазигрупп, V — многообразие всех тотально симметрических квазигрупп, Теорема. Класс K0 относительно элементарно определим в классе K1.
Следствие 1. Элементарная теория Th(K1) класса K1 наследственно неразрешима.
Следствие 2. Элементарная теория Th(V ) многообразия V наследственно неразрешима.
Чувашский государственный университет, Чебоксары E-mail:lvsh@mail.ru Мальцевские чтения 2009 Универсальная алгебра Об эпигруппах, решеточно изоморфных вполне 0-простым полугруппам Л. Н. Шеврин Изучение разнообразных связей между полугруппами и решетками их подполугрупп ведется уже более полувека. Основные достижения в этой области до середины 1990-х годов отражены в монографии [1]. Полугруппы некоторых важных типов наделены дополнительной унарной операцией, их называют унарными полугруппами.
Таковы, в частности, инверсные полугруппы с операцией взятия инверсного элемента и эпигруппы с операцией взятия псевдообратного элемента (оба указанных типа расширяют свойство полугруппы быть группой). Идея рассматривать эпигруппы как унарные полугруппы была определяющей для работы [2]; см. также обзорную статью [3].
Для унарной полугруппы наряду с решеткой подполугрупп естественно рассматривать решетку ее подсистем, т. е. подполугрупп, замкнутых относительно данной унарной операции. Применительно к инверсным полугруппам соответствующие исследования ведутся с 1960-х годов, они достаточно полно отражены в [1]. Применительно же к эпигруппам такие исследования начались лишь недавно работой [4]. Обзор первых продвижений в этом направлении дан в статье [5]; к упоминаемым там основным результатам из [4] добавлены некоторые совсем недавние результаты автора, а также нескольких китайских математиков. Приводимый ниже результат и результат А. Я. Овсянникова, сообщаемый в настоящем сборнике, представляют дальнейшие шаги в обсуждаемом направлении.
Напомним, что две алгебраические системы с изоморфными решетками подсистем называются решеточно изоморфными. Вполне 0-простые полугруппы представляют собой один из важнейших типов эпигрупп. Следующая теорема дает ответ на естественный вопрос о решеточно изоморфных образах таких эпигрупп.
Теорема. Если вполне 0-простая полугруппа S обладает делителями нуля, то любая решеточно изоморфная S эпигруппа сама будет вполне 0-простой; если же S без делителей нуля, то (как нетрудно убедиться) это не обязательно так.
Список литературы [1] Shevrin L. N., Ovsyannikov A. J. Semigroups and Their Subsemigroup Lattices. Kluwer Academic Publishers, 1996.
[2] Шеврин Л. Н. К теории эпигрупп, I, II. Матем. сб., 185 (1994), N. 8, 129–160, N. 9, 153–176.
[3] Shevrin L. N. Epigroups. In: Structural Theory of Automata, Semigroups, and Universal Algebra (NATO Science Series, II. Mathematics, Physics and Chemistry, 207), eds. V. B. Kudryavtsev, I. G. Rosenberg.
Springer, 2005, 331–380.
[4] Shevrin L. N., Ovsyannikov A. J. On lattice properties of epigroups. Algebra univers. 59 (2008), 209–235.
[5] Шеврин Л. Н. Решеточные свойства полугрупп. Фунд. прикл. мат., 14 (2008), N. 6, 219–229.
Уральский государственный университет, Екатеринбург E-mail:Lev.Shevrin@usu.ru Мальцевские чтения 2009 Универсальная алгебра Алгебраическая характеризация многообразий частичных алгебр М. С. Шеремет Известно, что формальное равенство термов имеет неоднозначную интерпретацию, если в качестве модельных объектов рассматриваются алгебры с частичными операциями. В настоящее время в литературе (см., например, [3]) закрепились четыре варианта: сильное равенство, равенство Клини, равенство Эванса и слабое равенство (сильное равенство в [3] называется экзистенциальным).
Естественно, возникает вопрос, как можно охарактеризовать классы частичных алгебр, которые можно задать тождествами относительно того или иного понятия равенства. Для сильного равенства такая характеризация была дана в [3]. Результат оказался вполне аналогичен HSP-теореме Биркгофа. Для слабого равенства характеризация многообразий получена в [1]. Для равенства Клини один частный случай был рассмотрен в [2].
Мы вводим новый оператор, обозначим его, действие которого, в общих чертах, следующее. Пусть A, Bi(i I) —частичные алгебры. Тогда A (Bi | i I), если A может быть получена как описано ниже.
Пусть B — множество всех непустых частичных функций b : I Bi таких, iI что b(i) Bi, если b(i) определено. Пусть B — частичная алгебра на множестве B, в которой на любом наборе аргументов основные операции покоординатно для всех координат, где это возможно. Пусть — бинарное отношение на B, состоящее из всех пар (a, b) таких, что a(i) = b(i), если a(i) и b(i) определены. Рассмотрим произвольное X B такое, что i-я проекция X совпадает с Bi для всех i I. Используя, мы замыкаем X до некоторого множества X, индуцируем на нем с помощью B частичную алгебру X, и факторизуем X по транзитивному замыканию отношения X, получая A.
Мы доказываем, что слабые многообразия — это в точности классы вида ( ), c w где — некоторый класс частичных алгебр, а и — операторы взятия слабых c w подалгебр и замкнутых гомоморфных образов, соответственно. Это уточняет результат из [1]. Кроме того, мы доказываем, что и в случае равенства Эванса или равенства Клини соответствующие многообразия имеют аналогичную характеризацию.
Список литературы [1] Biczak G. A charachterization theorem for weak varieties. Algebra Univers., 45 (2001), N. 1, 53–62.
[2] Brner F. Varieties of partial algebras. Contrib. to Algebra and Geometry, 37 (1996), N. 2, 259–287.
[3] Burmeister P. A model-theoretic oriented approach to partial algebras. Part I. Berlin: Academie-Verlag, 1986.
[4] Evans T. The word problem for abstract algebras. J. London Math. Soc., 26 (1951), N. 1, 64–71.
Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.