НГТУ, Новосибирск E-mail:ag.pinus@gmail.com Мальцевские чтения 2009 Универсальная алгебра Свободные частично коммутативные нильпотентные полугруппы с планарными графами Кэли Д. В. Соломатин Графы Кэли, представляющие собой одномерные комплексы Кэли, играют важную роль в комбинаторной теории групп. Так, например, если представление группы имеет планарный комплекс Кэли, то проблема равенства слов этого представления разрешима [1]. Более того, известно описание конечных групп, допускающих плоские графы Кэли [2]. Наличие подобных свойств и вызывает особый интерес к графам, отражающим структуру полугрупп. В [3] и ряде других работ нами уже изучалась планарность графов Кэли для некоторых классов полугрупп.
Напомним, что если дан граф с множеством вершин V ={a1,..., at}, то можно определить свободную частично коммутативную полугруппу [4], как полугруппу S(), заданную множеством {a1,..., at} образующих элементов и множеством определяющих соотношений вида aiaj = ajai для тех и только тех ai и aj, которые соединены ребром в графе. Свободной частично коммутативной n-нильпотентной полугруппой, определяемой графом, мы называем фактор-полугруппу Риса S()/Sn; будем обозначать n её через St (), где n 1 и t 1.
«Деревом» из простых циклов называем связный граф, блоками которого являются простые циклы или мосты.
n Теорема. Полугруппа St () допускает планарный граф Кэли, если и только если выполнено хотя бы одно из следующих условий:
1) — пустой граф;
2) связными компонентами графа являются паросочетания или изолированные вершины, а n 5;
3) связными компонентами графа являются цепи или изолированные вершины, а n 4;
4) связными компонентами графа являются ”деревья” из простых циклов или изолированные вершины, а n 3;
5) — любой граф, а n 2, либо n>2 и t 2.
Список литературы [1] Линдон Р., Шупп П. Комбинаторная теория групп. М.: Мир, 1980.
[2] Цишанг Х., Фогт Э., Колдевай Х.-Д. Поверхности и разрывные группы. М.: Наука, 1988.
[3] Соломатин Д. В. Прямые произведения циклических полугрупп, допускающие планарный граф Кэли. Сибирские Электронные Математические Известия, http://semr.math.nsc.ru, 3 (2006), 238–252.
[4] Diekert V., Mtivier Y. Partial commutation and traces. Handbook of formal languages. Berlin:
Springer–Verl., 1997. V.3. P. 457–533.
Омский государственный педагогический университет, г.Омск E-mail:denis2001j@bk.ru Мальцевские чтения 2009 Универсальная алгебра Квантовый дубль янгиана супералгебры Ли В. А. Стукопин Рассматривается квантовый дубль янгиана супералгебры Ли типа A(n, n). В настоящее время, ввиду возможных приложений в квантовой теории суперструн (AdS/CFT гипотеза, см., например, [1]), стала актуальной задача вычисления универсальной Rматрицы квантового дубля DY (A(n, n)) янгиана супералгебры Ли A(n, n). При этом особенно важным является случай случай n =4. В работе [2] был описан квантовый дубль DY (A(m, n)) и получена явная формула для универсальной R-матрицы квантового дубля DY (A(m, n)). Здесь мы рассматриваем эту формулу в частном случае m = n. Ниже мы будем использовать обозначения из [3], в предположении, что m = n.
Имеет место следующая Теорема. Универсальная R-матрица дубля DY (A(n, n)) может быть предста+ влена в следующей факторизованной форме: R = R+R0R-, где R+ Y+ Y, R+ - + Y0 Y0, R- Y Y+ и определяются следующими формулами R+ = exp(-(-1)()a()e e-), + R- = exp(-(-1)()a()e e-), r - R0 = exp ((+(u)) )k cji(T )(-(v +(n + )l(g)))-k-n0 i,j=1 k0 i j Отметим, что эта формула была, по существу, использована в работе [5] для вычисления S-матрицы нелинейной сигма-модели в квантовой теории суперструн, а также в работе [6].
Данная работа поддержана грантом РФФИ, проект 09-01-00671-а.
Список литературы [1] Arutyunov G.,Frolov S., Staudacher M. Bethe ansatz for quantum strings. JHEP, 0410, 016 (2004) (arXiv: hep-th/0406256).
[2] Стукопин В. А. Квантовый дубль янгиана супералгебры Ли типа A(m, n) и вычисление универсальной R-матрицы. Фунд. прикл. мат., 11 (2005), N. 2, 185–208.
[3] Стукопин В. А. О дубле янгиана супералгебры Ли типа A(m, n). Функ. анализ и его приложения, 40 (2005), N. 2, 86–90.
[4] Stukopin V. Quantum Double of Yangian of strange Lie superalgebra, Drinfeld approach. Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications, 3 (2007).
[5] Torrielli A. Structure of the string R-matrix. arXiv: hep-th/0806.1299.
[6] Zwiebel B. Two-loop Integrability of Planar N = 6 Superconformal Chern-Simons theory. arXiv:hepth/0901.0411.
ДГТУ (Ростов-на-Дону); ЮМИ и ВНЦ РАН (Владикавказ) E-mail:stukopin@mail.ru Мальцевские чтения 2009 Универсальная алгебра Разрешимость проблемы равенства слов в свободных алгебрах некоторых многообразий линейных квазигрупп А. Х. Табаров Доклад посвящен решению алгоритмической проблемы равенства слов в свободных алгебрах многообразий Т-квазигрупп, медиальных квазигрупп и является продолжением работ [1,2]. Согласно В.Д.Белоусову [3] квазигруппа (Q, ·), называется линейной над группой (Q, +), если она имеет вид: xy = x + c + y, где, Aut(Q, +), c фиксированный элемент из Q. Т-квазигруппы - это квазигруппы, линейные над абелевой группой. Квазигруппа называется медиальной, если в ней выполняется тождество xy · uv = xu · yv. Медиальные квазигруппы, также линейны над абелевой группой, причем = [3]. Существуют многообразия квазигрупп с разрешимой проблемой равенства слов. К ним относятся, в частности, все R-многообразия [4]. Вместе с тем, как доказал А.И.Мальцев, что существуют многообразия квазигрупп с неразрешимой проблемой равенства слов в свободных квазигруппах [5].
Теорема 1. В многообразии всех Т-квазигрупп разрешима проблема равенства слов для свободных алгебр.
По аналогии с доказательством теоремы 1 может быть доказана Теорема 2. В многообразии всех медиальных квазигрупп разрешима проблема равенства слов для свободных алгебр.
При доказательстве основной теоремы используются методы и идеи, разработанные в работе [4].
Список литературы [1] Табаров А. Х. О некоторых многообразиях абелевых квазигрупп. Дискретная математика, (2000), вып. 3, 154–159.
[2] Табаров А. Х. Гомоморфизмы и эндоморфизмы линейных и алинейных квазигрупп. Дискретная математика, 19 (2007), вып. 2, 67–73.
[3] Белоусов В. Д. Уравновешенные тождества в квазигруппах. Мат. сборник, 70 (1966), N. 1, 55–97.
[4] Глухов М. М., Гварамия А. А. Решение основных алгоритмических проблем в некоторых классах квазигрупп с тождествами. Сиб. мат. журн. 10 (1969), N. 2, 297–317.
[5] Мальцев А. И. Тождественные соотношения на многообразиях квазигрупп. Мат. сборник, 69 (1966), N. 1, 3–12.
Таджикский национальный университет, мех.-мат. факультет, г.Душанбе E-mail:tabarov63@rambler.ru Мальцевские чтения 2009 Универсальная алгебра Об упорядоченных лупах В. И. Урсу Абстрактная лупа L называется упорядоченной, если между ее элементами установлено отношение порядка, подчиненное обычным требованиям:
(i) для любых элементов a, b, c L верно одно и только одно из соотношений a (ii) если a
(iii) если a
При изучении свойств упорядоченных луп естественно встает вопрос: какие абстрактные лупы можно упорядочить Этот вопрос решается в этой работе, где среди прочего указаны на языке абстрактных теории луп необходимые и достаточные условия для упорядочиваемости абстрактной лупы. Рассматриваются также упорядоченные прямые произведения и доказывается, что любые два разложения упорядоченной лупы обладают изоморфными уплотнениями. Отметим, что аналогичные результаты для абстрактных групп были доказаны А. И. Мальцевым в [1].
Список литературы [1] Мальцев А. И. Об упорядоченных группах. Изв. АН СССР, сер. мат., 13 (1949), 473–482.
Институт математики ”Simion Stoilow” Румынской Академии Наук, Технический Университет Молдовы E-mail:vasileursumd@yahoo.com, vursu@mail.md, vasile.ursu@imar.ro Мальцевские чтения 2009 Универсальная алгебра Об относительно элементарной определимости класса гиперграфов в классе всех полугрупп Е. В. Хворостухина Под гиперграфом понимается система вида H = (X, L), где X — непустое множество и L — семейство произвольных подмножеств X. Элементы множества X называются вершинами и элементы множества L называются ребрами гиперграфа.
Гиперграф H =(X, L) называется эффективным, если любая его вершина принадлежит некоторому его ребру. Для натурального числа p гиперграф H будем называть гиперграфом с p-определимыми ребрами, если в каждом ребре этого гиперграфа найдется по крайней мере p +1 вершина и, с другой стороны, любые p вершин этого гиперграфа принадлежат не более, чем одному его ребру. Например, проективные плоскости и аффинные плоскости с числом точек более четырех являются эффективными гиперграфами с 2-определимыми ребрами. Эндоморфизмом гиперграфа H = (X, L) называется такое преобразование множества X, что (l L)(l L)((l) l ).
С помощью [1] доказана относительно элементарная определимость класса эффективных гиперграфов с p-определимыми ребрами в классе полугрупп.
Теорема. Существуют такие формулы C(x), L( Eqv(x; y), Ins(x; y) сигнаx), туры языка элементарной теории полугрупп Ls (здесь и далее x = (x1,..., xp), y = i i (y1,..., yp), yi =(y1,..., yp) ), что любой эффективный гиперграф с p-определимыми ребрами H =(X, L) и его полугруппа эндоморфизмов S =EndH удовлетворяют следующим условиям:
1) множества X = {x S : C(x)} и L = {x Sp : L( не пусты;
x)} 2) формула Eqv(x; y) задает отношение эквивалентности Eqv на L;
3) формула Ins(x; y) задает такое бинарное отношение Ins между элементами множеств X и L, что (x, x) Ins x y(Eqv) = (x, y) Ins;
4) гиперграф H =(X, L, ) изоморфен двухсортной алгебраической системе H = ( X, L/Eqv, µ ) с бинарным отношением µ XL/Eqv, которое для x X, Y L/Eqv определяется по формуле: (x, Y ) µ (x, x) Ins, при любых x Y ;
5) для любой формулы языка эффективно строится такая формула языка, что в том и только том случае истинна на гиперграфе H, если формула истинна на полугруппе эндоморфизмов EndH, т.е. выполняется условие: H |= EndH |=.
Список литературы [1] Хворостухина Е. В. О конкретной характеризации универсальных гиперграфических автоматов. Международная алгебраическая конференция, посвященная 100-летию со дня рождения А. Г.Куроша. Тезисы докладов, 2008, 241–242.
Саратовский государственный социально-экономический университет, Саратов E-mail:katyanew2007@rambler.ru Мальцевские чтения 2009 Универсальная алгебра О вложении графов в TS-квазигруппы Л. В. Шабунин Группоид (Q, ·) называется TS-квазигруппой (тотально симметрической квазигруппой), если в (Q, ·) выполняются тождества xy = yx, x(xy) =y.
Пусть K0 — класс всех конечных графов, K1 — класс всех конечно определенных тотально симметрических квазигрупп, V — многообразие всех тотально симметрических квазигрупп, Теорема. Класс K0 относительно элементарно определим в классе K1.
Следствие 1. Элементарная теория Th(K1) класса K1 наследственно неразрешима.
Следствие 2. Элементарная теория Th(V ) многообразия V наследственно неразрешима.
Чувашский государственный университет, Чебоксары E-mail:lvsh@mail.ru Мальцевские чтения 2009 Универсальная алгебра Об эпигруппах, решеточно изоморфных вполне 0-простым полугруппам Л. Н. Шеврин Изучение разнообразных связей между полугруппами и решетками их подполугрупп ведется уже более полувека. Основные достижения в этой области до середины 1990-х годов отражены в монографии [1]. Полугруппы некоторых важных типов наделены дополнительной унарной операцией, их называют унарными полугруппами.
Таковы, в частности, инверсные полугруппы с операцией взятия инверсного элемента и эпигруппы с операцией взятия псевдообратного элемента (оба указанных типа расширяют свойство полугруппы быть группой). Идея рассматривать эпигруппы как унарные полугруппы была определяющей для работы [2]; см. также обзорную статью [3].
Для унарной полугруппы наряду с решеткой подполугрупп естественно рассматривать решетку ее подсистем, т. е. подполугрупп, замкнутых относительно данной унарной операции. Применительно к инверсным полугруппам соответствующие исследования ведутся с 1960-х годов, они достаточно полно отражены в [1]. Применительно же к эпигруппам такие исследования начались лишь недавно работой [4]. Обзор первых продвижений в этом направлении дан в статье [5]; к упоминаемым там основным результатам из [4] добавлены некоторые совсем недавние результаты автора, а также нескольких китайских математиков. Приводимый ниже результат и результат А. Я. Овсянникова, сообщаемый в настоящем сборнике, представляют дальнейшие шаги в обсуждаемом направлении.
Напомним, что две алгебраические системы с изоморфными решетками подсистем называются решеточно изоморфными. Вполне 0-простые полугруппы представляют собой один из важнейших типов эпигрупп. Следующая теорема дает ответ на естественный вопрос о решеточно изоморфных образах таких эпигрупп.
Теорема. Если вполне 0-простая полугруппа S обладает делителями нуля, то любая решеточно изоморфная S эпигруппа сама будет вполне 0-простой; если же S без делителей нуля, то (как нетрудно убедиться) это не обязательно так.
Список литературы [1] Shevrin L. N., Ovsyannikov A. J. Semigroups and Their Subsemigroup Lattices. Kluwer Academic Publishers, 1996.
[2] Шеврин Л. Н. К теории эпигрупп, I, II. Матем. сб., 185 (1994), N. 8, 129–160, N. 9, 153–176.
[3] Shevrin L. N. Epigroups. In: Structural Theory of Automata, Semigroups, and Universal Algebra (NATO Science Series, II. Mathematics, Physics and Chemistry, 207), eds. V. B. Kudryavtsev, I. G. Rosenberg.
Springer, 2005, 331–380.
[4] Shevrin L. N., Ovsyannikov A. J. On lattice properties of epigroups. Algebra univers. 59 (2008), 209–235.
[5] Шеврин Л. Н. Решеточные свойства полугрупп. Фунд. прикл. мат., 14 (2008), N. 6, 219–229.
Уральский государственный университет, Екатеринбург E-mail:Lev.Shevrin@usu.ru Мальцевские чтения 2009 Универсальная алгебра Алгебраическая характеризация многообразий частичных алгебр М. С. Шеремет Известно, что формальное равенство термов имеет неоднозначную интерпретацию, если в качестве модельных объектов рассматриваются алгебры с частичными операциями. В настоящее время в литературе (см., например, [3]) закрепились четыре варианта: сильное равенство, равенство Клини, равенство Эванса и слабое равенство (сильное равенство в [3] называется экзистенциальным).
Естественно, возникает вопрос, как можно охарактеризовать классы частичных алгебр, которые можно задать тождествами относительно того или иного понятия равенства. Для сильного равенства такая характеризация была дана в [3]. Результат оказался вполне аналогичен HSP-теореме Биркгофа. Для слабого равенства характеризация многообразий получена в [1]. Для равенства Клини один частный случай был рассмотрен в [2].
Мы вводим новый оператор, обозначим его, действие которого, в общих чертах, следующее. Пусть A, Bi(i I) —частичные алгебры. Тогда A (Bi | i I), если A может быть получена как описано ниже.
Пусть B — множество всех непустых частичных функций b : I Bi таких, iI что b(i) Bi, если b(i) определено. Пусть B — частичная алгебра на множестве B, в которой на любом наборе аргументов основные операции покоординатно для всех координат, где это возможно. Пусть — бинарное отношение на B, состоящее из всех пар (a, b) таких, что a(i) = b(i), если a(i) и b(i) определены. Рассмотрим произвольное X B такое, что i-я проекция X совпадает с Bi для всех i I. Используя, мы замыкаем X до некоторого множества X, индуцируем на нем с помощью B частичную алгебру X, и факторизуем X по транзитивному замыканию отношения X, получая A.
Мы доказываем, что слабые многообразия — это в точности классы вида ( ), c w где — некоторый класс частичных алгебр, а и — операторы взятия слабых c w подалгебр и замкнутых гомоморфных образов, соответственно. Это уточняет результат из [1]. Кроме того, мы доказываем, что и в случае равенства Эванса или равенства Клини соответствующие многообразия имеют аналогичную характеризацию.
Список литературы [1] Biczak G. A charachterization theorem for weak varieties. Algebra Univers., 45 (2001), N. 1, 53–62.
[2] Brner F. Varieties of partial algebras. Contrib. to Algebra and Geometry, 37 (1996), N. 2, 259–287.
[3] Burmeister P. A model-theoretic oriented approach to partial algebras. Part I. Berlin: Academie-Verlag, 1986.
[4] Evans T. The word problem for abstract algebras. J. London Math. Soc., 26 (1951), N. 1, 64–71.
