Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 16 | 17 || 19 | 20 |   ...   | 29 |

Suppose that for some m for k = 0 we have |{i | [Lk, Li] = 0}| m, i. e. each component Lk for k = 0 commutes with all but at most m components. Khukhro proved that if L0 = 0, then L is soluble (for n prime, nilpotent) of m-bounded derived length (class), and if dim L0 = r (or |L0| = r), then L contains a soluble (for n prime, nilpotent) ideal of m-bounded derived length (class) and of (n, r)-bounded codimension. These results were applied to nilpotent groups with Frobenius groups of automorphisms.

Sobolev Institute of Mathematics, Novosibirsk E-mail:khukhro@yahoo.co.uk Мальцевские чтения 2009 Теория колец On finite non-nilpotent rings with planar zero-divisor graphs A. S. Kuz’mina The zero-divisor graph (R) of an associative ring R is the graph whose vertices are all nonzero (one-sided and two-sided) zero-divisors of R, and two distinct vertices x and y are joined by an edge iff xy =0 or yx =0.

Finite commutative decomposable rings with unity whose zero-divisors graph are planar were studied in [1]. In [2], all finite commutative local rings with unity whose zero-divisor graphs are planar were discribed.

In [3], all nilpotent finite rings with planar zero-divisor graphs were described. In the present thesis, we describe all non-nilpotent finite rings with planar zero-divisor graphs. So the results of this thesis and the paper [3] give us the complete list of finite rings with planar zero-divisor graphs. There are 57 types of such rings.

References [1] Akbari S., Maimani H. R., Yassemi S. When zero-divisor graph is planar or a complete r-partite graph.

Journal of Algebra, 270 (2003), 169–180.

[2] Belshoff R., Chapman J. Planar zero-divisor graphs. Journal of Algebra, 316 (2007), 471–480.

[3] Kuz’mina A. S., Maltsev Yu. N. Nilpotent Finite Rings with Planar Zero-Divisor Graphs. AsianEuropean Journal of Mathematics, 1(4) (2008), 565–574.

Altai State Pedagogical Academy E-mail:akuzmina1@yandex.ru Мальцевские чтения 2009 Теория колец The structural and model theory questions of nilpotent matrix groups and associated rings V. M. Levchuk The Malcev’s papers [1]–[3] raised suggest several important leads for further research.

We consider development of these trends by different authors. It is partially reflected in [4] and [5]. The work is supported by the Russian Foundation for Basic Research (grant 09–01–00717).

References [1] Malcev A. I. Commutative subalgebras of the semisimple Lie algebras. Izvestiya AN USSR, ser. matem., 9 (1945), N 4, 291–300.

[2] Malcev A. I. Generally nilpotent algebras and their adiont groups. Matem. Sbornik, 25 (1949), N 3, 347–366.

[3] Malcev A. I. On some correspondense between rings and groups. Matem. Sbornik, 50 (1960) N 3, 257–266.

[4] Levchuk V. M., Suleimanova G. S. The normal structure of the unipotent subgroup of Lie type groups and closely-related questions. Doklady Math., 77 (2008) N 2, 284–287.

[5] Levchuk V. M., Minakova E. V. Elementary equivalence and isomorphisms of locally nilpotent matrix groups and rings. Doklady Math., 79 (2009) N 2, 185–188.

Siberian Federal University, Krasnoyarsk E-mail:levchuk@lan.krasu.ru Мальцевские чтения 2009 Теория колец On identities in infinite rings with some combinatorial conditions on infinite subsets Yu. N. Mal’tsev The following main result is proved.

Theorem. Let R be an infinite associative ring and for any infinite subsets A1, A2,..., An of R A1A2... An = A(1)A(2)... A(n), where is a fixed permutation such that (1) =1 and A1A2... An = {a1a2... an; ai Ai}.

Then R satisfies the identity x1x2... xn = x(1)x(2)... x(n).

This result extends the theorem of H. Bell and A. Klein that an infinite ring R must be commutative if XY = YX for all infinite subsets X and Y [1].

References [1] Bell H., Klein A. A Commutativity and Finiteness Condition for Rings. Arch. Math. (Basel), 80 (2003), 354–357.

Altai State University E-mail:maltsev@math.asu.ru Мальцевские чтения 2009 Теория колец Classification of finite dimensional structurable superalgebras over an algebraically closed field of characteristic A. P. Pozhidaev, I. P. Shestakov Classification of simple finite dimensional structurable algebras was obtained by I. Kantor, B. Allison, and O. Smirnov. We consider the superalgebra case. Recall that a superalgebra A with a superinvolution is called structurable if [Tz, Vx,y] = VT (x),y - (-1)xzVx,T (y), z z where Tx(z) =xz +(-1)xzz(x - x), Vx,y(z) =(xy)z +(-1)x,y,z(zy)x - (-1)xz+yz(zx)y.

We describe the simple Lie superalgebras arising from the simple unital finite dimensional structurable superalgebras of characteristic 0 and construct four series of the unital simple structurable superalgebras of Cartan type. We give a classification of simple finite dimensional structurable superalgebras of Cartan type over an algebraically closed field F of characteristic 0. Together with the Faulkner theorem on the classification of classical such superalgebras, it gives a classification of the simple finite dimensional structurable superalgebras over F.

Sobolev Institute of Mathematics, Novosibirsk E-mail:app@math.nsc.ru IV. Секция «Универсальная алгебра» Мальцевские чтения 2009 Универсальная алгебра Алгебраические соотношения над многоосновными алгебраическими системами и их использование в криптографии В. Д. Аносов А. И. Мальцев [1] впервые начал рассматривать многоосновные алгебры и модели. Алгебраические модели, основанные на многоосновных алгебраических системах (МАС) оказываются удобными для изучения ряда свойств криптографических алгоритмов [3]. В связи с использованием в криптографических алгоритмах преобразований и предикатов, зависящих от ключа, представляет прикладной интерес разработка вопросов, связанных с решением систем уравнений над МАС, в число неизвестных которых могут входить не только элементы основных множеств, но и операторы и предикаты. В [2] при перенесении результатов, связанных с разрешимостью уравнений, с полей на общие классы универсальных алгебр, рассматривались системы алгебраических уравнений с предметными переменными над произвольной одноосновной универсальной алгеброй Аиз некоторого многообразия. На основе использования гомоморфизмов МАС [4], [6] при которых могут отождествляться как элементы основных множеств, так и операторы и предикаты, предложенный подход развивается для систем алгебраических соотношений, в число неизвестных которых могут входить как предметные, так и сигнатурные переменные, над МАС из некоторого сверхпредмногообразия [3], [5].

Пусть X = {Xi}iI — предметные переменные и U = U UP — сигнатурные (функциональные и предикатные) переменными. Если алгебраическая система A принадлежит сверхпредмногообразию K, то существует полиномиальная МАС AK[X, U] [3].

Произвольный элемент t некоторого основного множества AK[X, U] можно представить в виде слова t(U1,..., Um, x1,..., xn), где U1,..., Um, x1,..., xn — функциональные и предметные переменные. Пусть =i, i I соответственно равенства на Si, i I. Алгебраическими соотношениями над A с предметными и сигнатурными переменными X, U называем формальные выражения вида 1 1 l l p(t1(U1,..., Um, x1,..., x1 ),..., tl(U1,..., Um, xl,..., xl )), 1 n1 1 nl 1 l где p {P, =i, i I}, а элементы основных множеств AK[X, U], входящие в соотно шения, согласованы с типами используемых предикатов.

Системой L алгебраических соотношений называем семейство алгебраических соотношений, индексированное произвольным множеством индексов L.

По алгебраическому соотношению над МАС A = M, и гомоморфизму = (M = {i}iI, ) МАС A в МА С A однозначно строится алгебраическое соотношение над МАС A = M,, удовлетворяющее условию: если s1,..., sn, sl Si, l = l 1,..., n, 1,..., m, (p)— решение алгебраического соотношения над МАС A = M,, то i (s1),..., i (sn), (w1),..., (wm), ((p))— решение алгебраического соотноше1 n ния над МАС A = M,.

Последнее утверждение позволяет предложить методы решения систем алгебраических соотношений, использующие гомоморфные образы и гомоморфные прообразы.

В связи с получением оценок сложности их реализации для конечных МАС, приводятся общие алгоритмы поиска гомоморфизмов конечной многоосновной алгебраической системы и оценки сложности их реализации [4].

Список литературы [1] Мальцев А. И. Модельные соответствия. Изв. АН СССР. Сер. матем., 23 (1959), N. 3, 313–336.

[2] Lausch H., Nobauer W. Algebra of polynomials. Amsterdam: Elsevier, 1973.

Мальцевские чтения 2009 Универсальная алгебра [3] Аносов В. Д. О гомоморфизмах многоосновных алгебраических систем в связи с криптографическими применениями. Дискретная математика, 19 (2007), вып. 2, 27–44.

[4] Аносов В. Д. Гомоморфизмы многоосновных алгебраических систем. Международная конференция по алгебре: тезисы докладов по логике и универсальным алгебрам, прикладной алгебре. ИМ СО АН СССР, Новосибирск,1991, 6–7.

[5] Аносов В. Д. Уравнения (соотношения) над многоосновными алгебраическими системами. Мальцевские чтения. Новосибирск, ИМ СО РАН, 13–15 ноября 2007.

[6] Мовсисян Ю. М. Сверхтождества в алгебрах и многообразиях. Успехи математических наук, (1998), вып. 1(319), 61–114.

ФСБ России, Москва E-mail:AnosovVD@yandex.ru Мальцевские чтения 2009 Универсальная алгебра Тождества и линейность квазигрупп Г. Б. Белявская, А. В. Михалев, А. Х. Табаров Важность изучения тождеств в алгебрах указано А. И. Мальцевым в [1]. Доклад посвящен проблеме характеризации линейных квазигрупп и некоторых их обобщений тождествами. Линейные квазигруппы впервые введены В. Д. Белоусовым в 1967 году в связи с исследованием уравновешенных тождеств в квазигруппах [2]. В дальнейшем Г. Б. Белявской и А. Х. Табаровым введены и исследованы различные обобщения линейных квазигрупп — полулинейные, алинейные, односторонние линейные, квазигруппы смешанного типа линейности и т.д. (см. [3, 4]). Как известно, теория тождеств в алгебрах имеет два взаимосвязанных аспекта: тождества и алгебра. Соответственно этому имеются две задачи: 1) описать алгебры с тождествами; 2) описать тождества в алгебрах. Для класса линейных, алинейных, смешанных линейных квазигрупп, односторонних линейных и алинейных квазигрупп, Т-квазигрупп и близких к ним квазигрупп решена вторая задача, а именно, описаны тождества (система тождеств), характеризующие все вышеназванные классы квазигрупп. Кроме того, найдены тождества с подстановками, выполнение которых в квазигруппах влечет линейность или обобщенную линейность указанных типов.

Список литературы [1] Мальцев А. И. Алгебраические системы. М.: Наука, 1970.

[2] Белоусов В. Д. Уравновешенные тождества в квазигруппах. Мат. сборник, 70 (1966), N. 1, 55–97.

[3] Белявская Г. Б., Табаров А. Х. Характеристика линейных и алинейных квазигрупп. Дискретная математика, 4 (1992), вып. 2, 142–147.

[4] Табаров А. Х. Гомоморфизмы и эндоморфизмы линейных и алинейных квазигрупп. Дискретная математика, 19 (2007), вып. 2, 67–73.

Институт математики и информатики АН Молдовы, Кишинев E-mail:gbel1@rambler.ru Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, Москва E-mail:aamikhalev@mail.ru Таджикский национальный университет, Душанбе E-mail:tabarov63@rambler.ru Мальцевские чтения 2009 Универсальная алгебра Независимые системы элементов в унарных алгебрах и их приложения В. К. Карташов Пусть A = A, — произвольная унарная алгебра сигнатуры. Для любого элемента a A через (a) обозначается подалгебра алгебры A, порожденная этим элементом. Элементы a, b A будем называть эквивалентными и писать a b, если (a) =(b). Класс эквивалентности с порождающим элементом a называется слоем элемента a.

Элементы a, b A называются независимыми, если каждый из них не принадлежит подалгебре, порожденной другим. Непустое подмножество X A называется независимым, если оно либо одноэлементно, либо любые два его элемента независимы.

В работе [1] доказано, что если унарная алгебра имеет хотя бы одну независимую систему порождающих, то любые две ее независимые системы порождающих имеют одинаковуюмощность.

В [1] независимые системы порождающих применялись также для нахождения условий, при которых унарная алгебра A обладает одним из следующих свойств:

1. EndA = AutA;

2. свойство Хопфа (каждый эпиэндоморфизм алгебры A является автоморфизмом).

В частности, в [1] доказано, что любая конечно порожденная коммутативная унарная алгебра обладает свойством Хопфа (теорема 2).

Настоящая работа является продолжением [1].

Теорема 1. Если каждый слой конечно порожденной унарной алгебры конечен, то она обладает свойством Хопфа.

Пусть B1,1 означает многообразие унарных алгебр A, f, g, определенное тождеством fg(x) =x.

Унарная алгебра называется сильно связной, если она порождается любым своим элементом.

Теорема 2. Для любой сильно связной алгебры A многообразия B1,1 справедливо равенство EndA = AutA.

Здесь также построены примеры, показывающие, что каждое из условий в формулировке теоремы 2 из [1] является существенным. В частности, найдены примеры однопорожденных алгебр многообразия B1,1, для которых свойство Хопфа не выполняется.

Список литературы [1] Карташов В. К. Независимые системы порождающих и свойство Хопфа для унарных алгебр, Дискретная математика, 20 (2008), вып. 4, 79–84.

Волгоградский государственный педагогический университет, г. Волгоград E-mail:kartashovvk@yandex.ru Мальцевские чтения 2009 Универсальная алгебра Антимногообразия унаров А. В. Карташова Антитождеством ([1], [2]) называется предложение следующего вида (x)(¬1( ¬2(... ¬m( x) x) x)), где i( — атомная формула фиксированной сигнатуры для любого числа i x) {1, 2,..., m}.

Антимногообразием называется всякий класс -систем, определяемый некоторым (возможно, пустым) множеством антитождеств.

Настоящее сообщение является продолжением работы [3]. Здесь изучаются антимногообразия унаров, т. е. алгебр с одной унарной операцией.

Пусть K означает множество всех конечных непустых подмножеств множества целых положительных чисел и q = {(A, B) |(b)b B (a)(a A&a|b)}.

Для каждого подмножества положим C( ) ={A |(B)(B &AqB)}.

Нетрудно проверить, что отображение C является оператором замыкания на множестве.

Пусть L — решетка, полученная из решетки, двойственной к решетке всех замкнутых подмножеств оператора C, присоединением внешним образом наименьшего элемента.

Теорема 1. Решетка всех антимногообразий унаров изоморфна решетке L.

Следствие. Решетка всех антимногообразий унаров является дистрибутивной коалгебраической решеткой, имеет ровно один атом и ровно один коатом.

Теорема 2. Существует континуум антимногообразий унаров, имеющих независимый базис антитождеств, и континуум антимногообразий унаров, не имеющих независимого базиса антитождеств.

Теорема 3. Конечный унар A имеет независимый базис антитождеств тогда и только тогда, когда этот унар содержит хотя бы один одноэлементный цикл. Вэтом случае антимногообразие, порожденное унаром A, совпадает с классом всех унаров (т. е. определяется пустым множеством антитождеств).

Список литературы [1] Горбунов В.А. Алгебраическая теория квазимногообразий, Новосибирск: Научная книга, 1999.

[2] Горбунов В. А, Кравченко А. В. Универсальные хорновы классы и антимногообразия алгебраических систем. Алгебра и логика, 39 (2001), N. 1, 3–22.

[3] Карташова А. В. Строение решетки антимногообразий унаров, Алгебра и ее приложения, Тезисы докладов Международной конференции, Красноярск, 2002, 61.

Волгоградский государственный педагогический университет, г. Волгоград E-mail:kartashovaanna@mail.ru Мальцевские чтения 2009 Универсальная алгебра Минимально полные коммутативные нильполугруппы О. В. Князев В [1] для произвольных универсальных алгебр ставится задача (проблема 10): охарактеризовать минимальные полные алгебры данного многообразия. Здесь сообщается решение этой задачи для коммутативных нильполугрупп.

Напомним некоторые определения. Пусть — многообразие всех полугрупп с выделенным нулем; ( ) —решетка подмногообразий многообразия, ( ), A. В дальнейшем под словом «полугруппа» понимается алгебра из многообразия. Единственным классом -вербальной конгруэнции (, A) на полугруппе A ((, A) —наименьшая из конгруэнций на A, фактор-полугруппы по которым принадлежат ), являющимся подполугруппой полугруппы A, будет класс, содержащий нуль. Обозначают его через (A) и называют -вербалом полугруппы A.

Полугруппу A называют полной, если равенство (A) =A имеет место для любого атома из решетки ( ). Если полная полугруппа не имеет собственных, отличных от нуля, полных подполугрупп, то ее называют минимально полной полугруппой.

Pages:     | 1 |   ...   | 16 | 17 || 19 | 20 |   ...   | 29 |

© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.