WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 12 | 13 || 15 | 16 |   ...   | 29 |

Сами же результаты относились к алгебрам над полем характеристики 0. В настоящей работе исследуются алгебры простой характеристики. В качестве базовой алгебры A выбрано конечное несепарабельное расширение поля F. Как известно, для такого расширения всегда существует ненулевое дифференцирование, которое является нулевым на F (отметим, что для сепарабельного расширения ненулевого дифференцирования не существует). В этом случае A можно рассматривать как конечномерную ассоциативно-коммутативную алгебру над полем F с ненулевым дифференцированием D.

Теорема. Пусть A — конечное несепарабельное расширение поля F простой нечетной характеристики. Тогда алгебра A(D) является простой алгеброй Ли.

Список литературы [1] Гейн А. Г., Тютин А. Н. Об алгебрах Ли, получаемых из ассоциативно-коммутативных алгебр с помощью дифференцирования, Алгебра и анализ: Тез. докл. международной конференции (Казань), КГУ, 1994.

Уральский государственный университет, Екатеринбург E-mail:Alexander.Gein@usu.ru Мальцевские чтения 2009 Теория колец Нильпотентность и разрешимость йордановых диалгебр В. Ю. Губарев Алгебры Лейбница были введены Ж-Л. Лодеем в начале 90-х годов при изучении групп когомологий алгебр Ли и являются некоммутативным обобщением алгебр Ли: умножение [, ] в этом многообразии алгебр удовлетворяет тождеству [x, [y, z]] = [[x, y], z] +[y, [x, z]]. Ассоциативные диалгебры — векторные пространства с двумя ассоциативными билинейными операциями,, удовлетворяющими тождествам x (y z) =x (y z), (x y) z =(x y) z x (y z) =(x y) z, относительно операции [x, y] = x y - y x являются алгебрами Лейбница. Ж.Л. Лодей и Т. Пирашвили (1993) доказали, что верно и обратное: любая алгебра Лейбница вкладывается в некоторую ассоциативную диалгебру. В разные годы были также введены многообразия коммутативных и альтернативных диалгебр.

Общий подход определения для произвольного многообразия Var обычных алгебр многообразия Var диалгебр был получен П. Колесниковым (2008). В частности, класс диалгебр Ли совпадает с классом алгебр Лейбница.

Йордановы диалгебры, которые мы назваем LJ-алгебрами (Leibniz—Jordan), являются некоммутативным обобщением йордановых алгебр и определяются следующими тождествами:

[x1, x2]x3 =0, (x2, x2, x3) =2(x1, x2, x1x3), x1(x2x2) =x2(x1x2).

1 1 В данной работе изучалась взаимосвязь между нильпотентностью и разрешимостью LJ-алгебр. Была доказана Теорема. Всякая разрешимая конечнопорожденная LJ-алгебра нильпотентна.

В качестве следствий установлены нильпотентность конечномерной LJ-ниль-алгебры и существование локально нильпотентного радикала в классе LJ-алгебр.

Также автором был построен аналог пирсовского разложения для LJ-алгебр с идемпотентом.

Работа выполнена при финансовой поддержке Совета по грантам Президента РФ по поддержке ведущих научных школ (код проекта НШ-344.2008.1) и проекта Федерального агентства по образованию «Поддержка научного потенциала высшей школы» (грант 2.1.1.419).

Новосибирский государственный университет, Новосибирск E-mail:vsevolodgu@mail.ru Мальцевские чтения 2009 Теория колец Конструкция Кантора — Кехера — Титса для йордановых диалгебр В. Ю. Губарев, П. С. Колесников Понятие алгебры Лейбница является наиболее изученным некоммутативным обобщением алгебр Ли: это многообразие алгебр с умножением [·, ·], определенное тождеством [x, [y, z]] - [y, [x, z]] = [[x, y], z]. Аналогами ассоциативных обертывающих для алгебр Лейбница являются ассоциативные диалгебры, введенные Ж.-Л. Лодеем в 1993. Эти алгебраические системы представляют собой линейные пространства с ассоциативными билинейными операциями (· ·), (· ·), удовлетворяющие тождествам x (y z) =x (y z), (x y) z =(x y) z, x (y z) =(x y) z.

Ассоциативная диалгебра A, рассматриваемая относительно операции [a, b] =a b-b a, a, b A, является алгеброй Лейбница, и, как показано Ж.-Л. Лодеем и Т. Пирашвили (1993), любая алгебра Лейбница вкладывается в некоторую ассоциативную диалгебру.

Другие многообразия диалгебр (коммутативные и альтернативные диалгебры) также вводились в рассмотрение в связи с их приложениями к алгебрам Лейбница.

Общий подход, позволяющий для любого многообразия Var обычных алгебр определить многообразие Var диалгебр, был предложен П. Колесниковым (2008) иА. Пожидаевым (2009). В частности, класс диалгебр Ли совпадает с классом алгебр Лейбница.

Многообразие йордановых диалгебр, которое естественно назвать классом LJалгебр (Leibniz — Jordan), является, следовательно, некоммутативным надмногообразием для класса йордановых алгебр. Это многообразие определено тремя тождествами:

[x1x2]x3 =0, (x2, x2, x3) =2(x1, x2, x1x3), x1(x2x2) =x2(x1x2).

1 1 В частности, ассоциативная диалгебра относительно новой операции ab = a b + b a является LJ-алгеброй.

Нами построен некоммутативный аналог ККТ-конструкции, позволяющий вложить LJ-алгебру в алгебру Лейбница, и изучены основные свойства этой конструкции.

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке РФФИ (проект 09–01– 00157), Совета по грантам Президента РФ по поддержке ведущих научных школ (проект НШ-344.2008.1) и проекта Федерального агентства по образованию “Поддержка научного потенциала высшей школы” (грант 2.1.1.419).

Новосибирский государственный университет, Новосибирск E-mail:vsevolodgu@mail.ru Институт математики СО РАН, Новосибирск E-mail:pavelsk@math.nsc.ru Мальцевские чтения 2009 Теория колец Об обобщенной жордановой нормальной форме второго рода матрицы линейного преобразования над произвольным полем С. Г. Далалян В учебнике «Основы линейной алгебры» А. И. Мальцева [1] мелким шрифтом излагается обобщение теоремы К. Жордана о существовании и единственности нормальной формы матрицы линейного преобразования, определенного над любым подполем K поля комплексных чисел. В примечании указывается, что это обобщение верно для любого совершенного поля K. Обобщенной жордановой матрицей называется прямая сумма = · · · обобщенных жордановых клеток. У каждой обобщенной 1 k жордановой клетки по главной диагонали стоят сопровождающие матрицы [Pk(t)] k неприводимых полиномов Pk(t), непосредственно выше и правее них — единичные матрицы, а все остальные места заполнены нулями. Назовем такие клетки и их прямые суммы, соответственно, обобщенными жордановыми клетками и матрицами первого рода.

В [2] доказывается, что теорема Мальцева верна для любого сепарабельного поля K.

Как показывает несложный пример, в случае несепарабельного поля K эта теорема, вообще говоря, перестает быть верной. Однако небольшое изменение в построении обобщенных жордановых клеток и матрицы позволяет восстановить справедливость теоремы при произвольном поле K: надо только в конструкции обобщенных жордановых клеток и матрицы единичную матрицу заменить матрицей (естественно, того же порядка), в левом нижнем углу которой стоит единица, а все остальные элементы — нули. В [3] соответствующий результат выводится из теоремы Жордана переходом к алгебраическому замыканию поля K, а в [4] дается его прямое геометрическое доказательство, основанное на построении соответствующего базиса.

Список литературы [1] Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. М., 1975.

[2] Далалян С. Г. Обобщенный жорданов нормальный вид матрицы с сепарабельными неприводимыми делителями характеристического многочлена. Вестник РА(С)ГУ, Физ-мат. и естест. науки, 1, Ереван, 2005, 7–14.

[3] Далалян С. Г. Обобщенная жорданова матрица линейного оператора. Мат. заметки, 83 (2007), N. 1, 27–35.

[4] Далалян С. Г. Прямое доказательство теоремы об обобщенной жордановой форме линейного оператора. Известия НАН РА, 43 (2008), N. 5, 274–284.

Ереванский государственный университет, Ереван E-mail:dalalyan@ysu.am Мальцевские чтения 2009 Теория колец Простые йордановы супералгебры, возникающие из дифференциально простых алгебр В. Н. Желябин Пусть F — поле характеристики не 2 и —ассоциативная коммутативная алгебра с ненулевым дифференцированием D. Изоморфную копию пространства с отображением изоморфизма a a обозначим через. Рассмотрим прямую сумму пространств J(, D) =+ и определим на J(, D) умножение (·) по правилам:

a · b = ab, a · b = ab, a · b = ab, a · b = D(a)b - aD(b), где a, b и ab — произведение в. Тогда J(, D) —йорданова супералгебра с четной частью и нечетной. Супералгебра J(, D) проста тогда и только тогда, когда алгебра —D-проста [1].

Пусть F — поле характеристики 0. Рассмотрим алгебру полиномов F [x, y] от двух переменных x, y. Положим D =2y3 - x и f(x, y) =x2 + y4 - 1. Тогда D — x y дифференцирование алгебры F [x, y] и D(f(x, y)) = 0. Пусть =F [x, y]/f(x, y)F [x, y].

Дифференцирование D индуцирует дифференцирование алгебры, которое мы также обозначим через D. Отождествим образы элементов x и y при каноническом гомоморфизме F [x, y] с элементами x и y.

Теорема. Рассмотрим в подалгебру A, порожденную элементами 1, y2, xy и A-модуль M = xA + yA. Положим ={D11, D12, D22}, где D11 =(1 - y4)D, D12 = xyD, D22 = y2D. Тогда подпространство J(A, ) = A + M — подсупералгебра в J(, D), и умножение нечетных элементов в J(A, ) задается формулами xa · xb = D11(a)b - aD11(b), ya · yb = D22(a)b - aD22(b), xa · yb =(1 +y4)ab + D12(a)b - aD12(b).

Супералгебра J(A, ) проста и M не является однопорожденным A-модулем, т.е.

J(A, ) неизоморфна супералгебре J(0, D0).

Рассматриваемые супералгебры изучались в [2, 3].

Работа поддержана РФФИ 09-01-00157, грант СО РАН, Развитие научного потенциала высшей школы (проект 2.1.1.419) Список литературы [1] King D., McCrimmon K. The Kantor construction of Jordan superalgebras. Comm. in Algebra, (1992), N. 1, 109–126.

[2] Желябин В. Н. Простые специальные йордановы супералгебры с ассоциативной ниль-полупростой четной частью. Алгебра и логика, 41 (2002), N. 3, 276–310.

[3] Желябин В. Н., Шестаков И. П. Простые специальные супералгебры с ассоциативной четной частью. Сиб. мат. журн., 45 (2004), N. 5, 1046–1072.

Институт Математики им. С.Л. Соболева СО РАН, Новосибирск E-mail:vicnic@math.nsc.ru Мальцевские чтения 2009 Теория колец Об изоморфизме конечных локальных колец характеристики p2, радикал Джекобсона которых имеет индекс нильпотентности четыре Е. В. Журавлев Рассматриваемый здесь результат является продолжением исследований, начатых в работах [1, 2] и посвящен необходимым и достаточным условиям существования изоморфизма между двумя произвольными кольцами указанного типа.

Если A = (aij) — матрица над полем F, а – автоморфизм поля F, то в дальнейшем символом A будем обозначать матрицу ((aij)). Пусть A и B — матрицы над полем F размерностей m n и n k соответственно, и 1,..., m Aut(F ), n, m, k N. Обозначим через [A, B](,...,m) матрицу = (cij)mk, где i i i cij = ai1b + ai2b +... + ainb, i = 1, m, j = 1, k.

1j 2j nj Рассмотрим ситуацию, когда p J(R)3.

Пусть R = R(A, B, C, D, i, j, k) и R = R(A, B, C, D, i, j, k) два кольца конструкции B(с одинаковыми инвариантами, см. [1]).

Теорема. R R тогда и только тогда, когда существуют невырожденные = матрицы P = (pij)s s1, R = (rij)s s2, T = (tij)(s +1)(s3+1), некоторые матрицы 1 2 Q =(qij)s s1, S =(sij)(s +1)s2 и автоморфизм кольца R0, такие, что 2 s T P [A, P](,...,s1 ) = rkA, k = 1, s2, k =s2 s T T T P [Bk, P](,...,s1 ) + P [Ck, Q](,...,s1 ) + QT [Dk, P](,...,s2 ) = skA + tkB, 1 1 =1 =s3 s T T P [Ck, R](,...,s1 ) = tkC, RT [D T, P](,...,s2 ) = tk(D ), k = 0, sk 1 =0 = и i = j, если pji =0; i = j, если qji =0; i = idF, если s0i =0; i = j, если rji =0;

i = j, если sji =0; i = idF, если t0i =0; i = j, если tji =0.

Доказательство данной теоремы, а также оставшиеся ситуации p J(R)\J(R)2 и p J(R)2\J(R)3 подробно изложены в работе [2].

Список литературы [1] Журавлев Е. В. О классификации конечных локальных колец характеристики p2, радикал Джекобсона которых имеет индекс нильпотентности четыре. Известия АлтГУ, 1(57) (2008), 18–28.

[2] Журавлев Е. В. Об изоморфизме конечных локальных колец характеристики p2, радикал Джекобсона которых имеет индекс нильпотентности четыре. Известия АлтГУ, 1(61) (2009), 10–16.

Алтайский государственный университет, Барнаул E-mail:evzhuravlev@mail.ru Мальцевские чтения 2009 Теория колец О структуре факторов по действию алгебраических супергрупп А. Н. Зубков В работах Манина — Воронова — Пенкова и др. строились факторы простых супергрупп по действию параболических суперподгрупп (над полями нулевой характеристики). Соответствующий фактор строился чисто геометрическими средствами, как супермногообразие флагов. В случае произвольных супергрупп до сих пор неизвестно, будет ли фактор G/H, где G и H алгебраические супергруппы, хотя бы суперсхемой (в смысле Гротендика). Известны примеры, когда G/H не проективно (Манин, R. Fioresi). В предлагаемом докладе обсуждаются подходы к этой проблеме (над полями произвольной характеристики) и недавние результаты автора. Именно:

1) Если характеристика основого поля > 0 и нечетна, тогда G/H суперсхема.

2) Если H нормальна в G, тогда G/H аффинная суперсхема.

3) Если X аффинная суперсхема и конечная супергруппа G действует на X, тогда X/G аффинная суперсхема.

4) Если четная часть H редуктивна и характеристика поля > 0 и нечетна, тогда G/H аффинная суперсхема.

В классической теории алгебраических групп проблема описания подгрупп H, таких, что G/H аффинная схема, хорошо известна (Grosshans, Cline — Parshall — Scott).

Такие подгруппы носят название обозримых (observable). Пункт 4) дает частичный ответ на проблему, поставленную J. Brundan. Именно, не будет ли G/H аффинной суперсхемой, если Heven редуктивна Другими словами, не будет ли H с редуктивной четной частью всегда обозрима Омский государственный педагогический университет E-mail:a.zubkov@yahoo.com Мальцевские чтения 2009 Теория колец -Супердифференцирования простых конечномерных супералгебр Ли И. Б. Кайгородов В [1] были рассмотрены антидифференцирования алгебр Ли, т. е. такие линейные отображения µ алгебры, что µ(xy) =-(µ(x)y + xµ(y)), и было показано отсутствие ненулевых антидифференцирований на центральных простых алгебрах Ли размерности 4 при некоторых ограничениях на основное поле. Понятие -дифференцирования алгебры, т. е. такого линейного отображения алгебры, что (xy) =((x)y + x(y)), где — некоторый фиксированный элемент основного поля, является естественным обобщением понятия антидифференцирования и обыкновенного дифференцирования и широко изучалось в работах В. Т. Филиппова. Он рассматривал первичные алгебры Ли над ассоциативно-коммутативным кольцом с единицей и [2, 3]. В. Т. Филиппов доказал, что любая первичная -алгебра Ли с невырожденной симметрической инвариантной билинейной формой не имеет ненулевого -дифференцирования, 1 если = -1, 0,, 1. Также он дал описание -дифференцирований произвольной пер 2 вичной -алгебры Ли A ( ) с невырожденной симметрической инвариантной билинейной формой. Им доказано, что линейное отображение : A A является -дифференцированием тогда и только тогда, когда (A), где (A) —центроид алгебры A. Отсюда следует, что если A — центральная простая алгебра Ли над полем характеристики p =2, 3 с невырожденной симметрической инвариантной билинейной формой, то любое -дифференцирование имеет вид (x) =x,. В работе [3] он доказал, что любая первичная -алгебра Ли A ( ) с ненулевым антидифференцированием удовлетворяет тождеству [(yz)(tx)]x +[(yx)(zx)]t =0 и является 3-мерной центральной простой алгеброй над полем частных центра ZR(A) своей алгебры правых умножений R(A). Также в этой работе был построен пример нетривиального -дифференцирования ( (A)) для алгебры Витта W1. В дальнейшем В. Т. Филип/ пов описал -дифференцирования первичных альтернативных и нелиевых мальцевских -алгебр с некоторыми ограничениями на кольцо операторов. Он доказал [4], что алгебры из этих классов не имеют ненулевого -дифференцирования, если =0,, 1.

Под тривиальными отображениями мы будем понимать нулевые отображения, а также 0-(супер)дифференцирования, 1-(супер)дифференцирования и -(супер)дифференцирования, являющиеся элементами центроида. Под супералгеброй A мы понимаем Z2-градуированную алгебру, т. е. считаем, что A = A0 A1 и AiAj Ai+j(mod2).

В работе [5] И. Б. Кайгородов описал -дифференцирования полупростых конечномерных йордановых алгебр над алгебраически замкнутым полем характеристики отличной от 2 и простых конечномерных йордановых супералгебр над алгебраически замкнутым полем характеристики 0. Работа [6] посвящена описанию -дифференцирований классических супералгебр Ли. В дальнейшем им были описаны дифференцирования картановских супералгебр Ли. В этих работах было показано отсутствие нетривиальных -дифференцирований на даннах классах алгебр и супералгебр.

Однородный элемент суперпространства End(A) эндоморфизмов A A называется -супердифференцированием, если (xy) =((x)y +(-1)p(x)deg()x(y)).

Pages:     | 1 |   ...   | 12 | 13 || 15 | 16 |   ...   | 29 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.