Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 11 | 12 || 14 | 15 |   ...   | 29 |

We study an algebraic problem concerning the Minkowski sum. Let k k k k k V1(P ) =h(P )(V2(P )) + g(P )(V0(P )), (1) k for all planes P En. How different can the bodies V1, V2 be We start from the case when V0 is a ball B(O, r), H = ISO+(R2) preserves orientation of R2 and G is a group of parallel translations in Ek:

Theorem 1. If h(P ) is a single-valued function then (1) implies that the bodies Vand V2 + B(O, r) are either parallel translates or centrally symmetric each other.

Similar results can be obtained in the complex spaces for k 2 as well, see [1]. Note that if H = G consists of linear conformal automorphisms of R2 and V1, V2 are centrally symmetric, then V1 and V2 + B(O, r) need not be affine equivalent ([2]).

These considerations are connected with the semialgebraic approximation problems and with complexity theory in the case when r = is sufficiently small, (see [1], [3]): Let k k k k dH(V1(P ), V2(P )) := min d(V1(P ), h(V2(P ))) <. (2) hH k for all planes P En. How close can these bodies be Theorem 2. If projections of V1, V2 R3 onto any 2-dimensional plane do not have SO(2)-symmetries and is sufficiently small, then (2) implies that V1 and V2 can be done 9 · 1/3-close either by a parallel translation, or by a central symmetry.

This theorem can be generalized to higher-dimensional spaces as well.

The work was partially supported by Leading Scientific Schools grant 8526.2006.1, by ADS-Program of Development of Scientific Potential of Higher School, grant 2.1.1/3707, and by Joseph Meyerhoff visiting professorship at the Weizmann Institute of Science.

References [1] Golubyatnikov V. P. Uniqueness Questions in Reconstruction of Multidimensional Objects from Tomography-Type Projection Data. VSP BV, The Netherlands, 2000.

[2] Gardner R. J. Geometric Tomography, 2-nd Edition. NY: Cambridge Univ. Press, 2006.

[3] Yomdin Y. Semialgebraic complexity of functions. J. of Complexity, 21 (2005), N 1, 111–148.

Sobolev Institute of Mathematics, Novosibirsk, Russia E-mail:glbtn@math.nsc.ru Weizmann Institute of Science, Rehovot, Israel E-mail:yosef.yomdin@weizmann.ac.il Мальцевские чтения 2009 Теория групп On solubility of groups with bounded centralizer chains E. I. Khukhro The c-dimension of a group (or the height of its centralizer lattice) is defined as the maximum length of nested chains of centralizers. It is proved that if a finite soluble group has c-dimension k, then its derived length is bounded in terms of k (for short, k-bounded).

The proof is based on the Hall—Higman type theorems and Thompson’s theorem on the centralizer of an automorphism of prime order.

One corollary is that a periodic locally soluble group of finite c-dimension k is soluble of k-bounded derived length and the rank of its quotient by the Hirsch—Plotkin radical (i. e., locally nilpotent radical) is k-bounded.

Another corollary is that a quasi-(finite soluble) group of finite c-dimension k is soluble of k-bounded derived length. By definition a group is quasi-(finite soluble) if it is elementarily equivalent to an ultraproduct of finite soluble groups.

Sobolev Institute of Mathematics, Novosibirsk E-mail:khukhro@yahoo.co.uk Мальцевские чтения 2009 Теория групп Mal’cev’s theorem and sub-Riemannian geometry S. V. Selivanova, S. K. Vodop’yanov Sub-Riemannian geometry (see e.g. [1] and references therein) models physical processes, in which it is possible to move only along several “horizontal” directions, and naturally arises in many applications. Motivated by metrical questions of sub-Riemannian geometry, we study a slightly more general object — a topological (in particular, quasimetric) space X on which a dilation structure is given (dilations are one-parametric families of contractive homeomorphisms defined in a neighborhood of each point x X). Axioms of a dilation structure allow to define in a neighborhood of each point x X a local topological group Dx. The study of algebraic properties of spaces with dilations turns out to be closely related to the celebrated H5 problem, which is solved for global groups e.g. in [2]. Generalizing results of [2] to local groups (where product is a partial function) is nontrivial, but in our case this difficulty may be overcome by means of the following well-known theorem due to A. I. Mal’cev.

Theorem 1 [3]. A local topological group G is locally isomorphic to a topological group G if and only if the global associativity property in a neighborhood of identity U G holds, i.e. for each n-tuple of elements a1, a2..., an U, whenever there exist two different ways of introducing parentheses so that all intermediate products are defined, the resulting products are equal.

Using Theorem 1 and properties of dilations we show that the local group Dx is locally isomorphic to a contractible topological group and then apply known results regarding contractible groups [4]. From the metrical point of view, these considerations combined with results from [5] imply Theorem 2 [6]. The tangent cone to a (quasi)metric space with a dilation structure is a Lie group, the Lie algebra of which is graded and nilpotent.

The notion of the tangent cone to a metric space was introduced by M. Gromov. It generalizes the notion of the tangent space to a smooth manifold, in the sense that the tangent cone is the first order approximation to the original space.

References [1] Karmanova M., Vodopyanov S. Geometry of Carno-Carathodory spaces, differentiability and coarea formula. In: Analysis and Mathematical Physics, Trends in Mathematics. Basel: Birkhuser, 2009, 231–332.

[2] Montgomery D., Zippin L. Topological transformation groups. New York: Interscience, 1955.

[3] Mal’cev A. I. On local and global topological groups. Doklady USSR, 32 (1941), N. 1, 606–608 (Russian).

[4] Siebert E. Contractive automorphisms on locally compact groups. Mat. Z., 191 (1986), 73–90.

[5] Selivanova S. V. The tangent cone to a regular quasimetric Carnot — Carathodory space. Doklady Mathematics, 425 (2009), N. 5, 595–599.

[6] Selivanova S. V., Vodopyanov S. K. Algebraic properties of the tangent cone to a quasimetric space with a dilation structure. Doklady Mathematics, 2009 (to appear).

Sobolev Institute of Mathematics, Novosibirsk E-mail:sseliv@yahoo.com, vodopis@math.nsc.ru Мальцевские чтения 2009 Теория групп (2, k)-Generation of matrix groups C. Tamburini It is well known that all finite simple groups can be generated by two elements. This important result was proved by Miller (1901) for the alternating groups, Steinberg (1962) for the groups of Lie type and Aschbacher—Guralnick (1984) for the sporadic groups. Actually there is great abundance of generating pairs: indeed two randomly chosen elements of a finite simple group G generate G with probability 1 as |G|, as shown in papers of Kantor—Lubotzky (1990) and Liebeck and Shalev (1995). This allows various modifications of the 2-generation problem, which was addressed by many authors. In particular the constructive approach received a lot of attention, in view of the applications.

Let us recall that a group is said to be (n, k)-generated (respectively (n, k, )-generated) if it can be generated by a pair of elements of respective orders n and k (whose product has order ). Significative instances of these classes of groups are the (2, 3)-generated groups, i.e. the epimorphic images of PSL2(Z) whose order is infinite or divisible by 6, and the (2, 3, 7)-generated groups which, in the finite case, are also called Hurwitz groups.

After a brief survey of the main results in this area, I will describe some more recent ones, due to M. Vsemirnov, A. Zalesskii and myself, in the more general context of matrix groups over finitely generated rings. In particular I will illustrate the methods and the relevance of a formula of L. Scott for this kind of problems.

Universit Cattolica del Sacro Cuore, Brescia, Italy E-mail:Tamburini@dmf.unicatt.it Мальцевские чтения 2009 Теория групп Endomorphisms of rectangular relations Y. V. Zhuchok Let (X) be a symmetric semigroup of all transformations of set X and X X. The transformation (X) is called endomorphism of relation if for all a, b X condition (a; b) implies (a; b). The set of all endomorphisms of relation is a semigroup relative to ordinary operation of transformations’ composition. The semigroup is called an endomorphisms’ semigroup of relation and denoted as E(X).

For binary relation on a set X we put c() = Dom Im. If f : A B is an arbitrary mapping, Y A, then through f|Y we designate the restriction of mapping f on the subset Y and by Map(A; B) the set of all maps from A into B.

A binary relation on a set X is called a rectangular if (a; b), (c; d) implies (a; d) for all a, b, c, d X. Let Rec(X) be a set of all rectangular relations on a set X.

We have the next Lemma. The transformation f (X) is endomorphism of relation Rec(X) if and only if or c() =X and one of the next conditions is hold:

(i) Dom = Im;

(ii) Dom Im =, f |Dom (Dom), f |Im (Im);

(iii) Dom Im, f |Dom (Dom), f |Im\Dom Map(Im \ Dom; X);

(iv) Im Dom, f |Im (Im), f |Dom\Im Map(Dom \ Im; X);

(v) f |ImDom (Im Dom), f |Dom\Im Map(Dom \ Im; Dom), f |Im\Dom Map(Im \ Dom; Im);

or c() = X, f |c() E(c()) and f |X\c() Map(X \ c(); X).

Here the semigroup which is isomorphic to semigroup of all endomorphisms of an arbitrary rectangular relation is constructed. Regularity, definability, idempotents and other properties of the semigroup of endomorphisms of a rectangular relation are described also. Study of different properties of endomorphisms’ semigroups of other types of binary relations can be seen for example in [1–3].

References [1] Higgins P. M., Mitchell J. D., Rukuc N. Generating the full transformation semigroup using order preserving mappings. Glasgow Math.J., 45 (2003), 557–566.

[2] Kim V. I., Kozhuhov I. B. On semigroups of isotone transformations of partially ordered sets. (Russian) Uspehi matematicheskih nauk, 62 (2007), N. 5, 155–157.

[3] Zhuchok Y. V. Endomorphisms of equivalence relations. (Ukrainian) Visnyk Kyivskogo universiteta.

Seriya: phizyko-mathematychni nauki, 3 (2007), 22–26.

Luhansk Taras Shevchenko National University, Luhansk E-mail:zhuchoky@mail.ru III. Секция «Теория колец» Мальцевские чтения 2009 Теория колец Обобщенные SV -кольца А. Н. Абызов Все кольца предполагаются ассоциативными и с единицей, а модули — унитарными. Модуль M называется I0-модулем, если каждый его немалый подмодуль содержит ненулевое прямое слагаемое модуля M. Кольцо R называется обобщенным справа (слева) SV -кольцом, если каждый правый (левый) R-модуль является I0-модулем.

Если над кольцом R каждый правый и левый R-модуль является I0-модулем, то назовем кольцо R обобщенным SV -кольцом.

С помощью трансфинитной индукции для каждого ординала в произвольном кольце R определим идеал I(R). При = 0 положим I(R) = 0. Если = +1, то I+1(R)/I(R) —сумма всех простых инъективных подмодулей правого R-модуля R/I(R). Когда — предельное ординальное число, положим I(R) = I(R).

< Ясно, что для некоторого ординального числа имеют место равенства I (R) = I+1(R). Далее через I(R) будем обозначать идеал I (R).

В работе [1, стр. 735] был приведен пример кольца R, над которым каждый правый модуль является I0-модулем, но среди левых R-модулей найдется не I0-модуль.

Следующая теорема описывает обобщенные SV -кольца.

Теорема. Для кольца R следующие условия равносильны:

(1) R — обобщенное SV -кольцо;

(2) R — обобщенное справа SV -кольцо, у которого каждый первичный образ артинов;

(3) R — обобщенное справа SV -кольцо, у которого каждый примитивный образ артинов;

(4) R — полуартиново кольцо, у которого каждый примитивный образ артинов, R/I(R) — артиново полуцепное кольцо и J2(R/I(R)) = 0.

Список литературы [1] Абызов А. Н. Слабо регулярные кольца над нормальными кольцами. Сиб. мат. журн., 49 (2008), N. 4, 721–738.

г. Казань E-mail:aabyzov@ksu.ru Мальцевские чтения 2009 Теория колец О решеточном изоморфизме полуколец непрерывных функций Е. М. Вечтомов, В. В. Сидоров Пусть X — произвольное топологическое пространство, C+(X) —полукольцо всех непрерывных неотрицательных функций на X с поточечными операциями сложения и умножения, A(C+(X)) — решетка всевозможных подалгебр полукольца C+(X) относительно включения и A1(C+(X)) — ее подрешетка, состоящая из всех подалгебр с 1. Подалгеброй в полукольце C+(X) называется его подполукольцо, выдерживающее умножение на константы.

Теорема 1. Для любых топологических пространств X и Y эквивалентны следующие утверждения:

1) решетки A(C+(X)) и A(C+(Y )) изоморфны;

2) решетки A1(C+(X)) и A1(C+(Y )) изоморфны;

3) полукольца C+(X) и C+(Y ) изоморфны.

+ Поскольку подалгебра констант определяется решеточным свойством в решетке A(C+(X)), то 1) 2). Главным в теореме является доказательство того, что решеточный изоморфизм A1(C+(X)) A1(C+(Y )) влечет гомеоморфизм X Y в = случае хьюиттовских пространств X и Y. При этом исходным моментом служит:

Лемма. Однопорожденные подалгебры в A1(C+(X)) — это в точности -неразложимые компактные элементы решетки A1(C+(X)).

Проблема решеточного изоморфизма для колец C(X) всех непрерывных действительнозначных функций на X и решеток A(C(X)) решена в [1] другими методами. Она положительно решается и для решетки A1(C(X)) всех подалгебр с 1 кольца C(X):

Теорема 2. Для любых топологических пространств X и Y изоморфизм решеток A1(C(X)) и A1(C(Y )) влечет изоморфизм колец C(X) и C(Y ).

Заметим, что полукольца C+(X) (и кольца C(X)) определяются также решетками своих идеалов [2] и решетками конгруэнций [3].

Список литературы [1] Вечтомов Е. М. Решетка подалгебр колец непрерывных функций и хьюиттовские пространства.

Математические заметки, 62 (1997), N. 5, 687–693.

[2] Варанкина В. И., Вечтомов Е. М., Семенова И. А. Полукольца непрерывных неотрицательных функций: делимость, идеалы, конгруэнции. Фундаментальная и прикладная математика, 4 (2008), N. 2, 493–510.

[3] Семенова И. А. Определяемость хьюиттовских пространств X решеткой конгруэнций полуколец непрерывных неотрицательных функций на X. Вестник Вятского государственного гуманитарного университета, 1 (1999), 20–23.

Вятский государственный гуманитарный университет, Киров E-mail:vecht@mail.ru Мальцевские чтения 2009 Теория колец Независимая система тождеств для многообразия монолейбницевых алгебр А. Т. Гайнов Пусть K — произвольное поле характеристики =2. Как известно, алгеброй Лейб ница называется алгебра L =(L, ·) над полем K, удовлетворяющая тождеству (x, y, x L) x(yz) =(xy)z - (xz)y.

Введем следующее Определение. Алгебру A =(A, ·) над полем K назовем монолейбницевой алгеброй, если всякая ее однопорожденная подалгебра является алгеброй Лейбница.

Очевидно, класс W всех монолейбницевых алгебр над фиксированным полем K является многообразием алгебр.

Пусть x — произвольный элемент алгебры A. Через xn (n N = {1, 2,... }) обозначим левонормированное произведение xn =(... ((x · x) · x)... )x.

n раз Теорема. Пусть K — бесконечное поле характеристики =2, W — многообразие монолейбницевых алгебр над полем K. Независимая система тождеств многообразия W есть бесконечное множество тождеств (x A)x · xn =0, n N \{1} = {2, 3,..., }.

Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, Новосибирск Мальцевские чтения 2009 Теория колец Алгебры Ли, индуцированные ненулевым дифференцированием А. Г. Гейн, А. Н. Егоров В 1990 году на IV Всесоюзной школе по алгебрам Ли А. И. Кострикин в своем докладе обратил внимание слушателей на конструкцию, позволяющую получать алгебру Ли из ассоциативно-коммутативной алгебры с помощью нетривиального дифференцирования этой алгебры. Опишем эту конструкцию.

Пусть A — ассоциативно-коммутативная алгебра над полем F, D — ее ненулевое дифференцирование. Через A(D) обозначим линейную алгебру над тем же полем, в которой операция умножения заменена операцией, определяемой формулой a b = D(a)b - aD(b). Легко убедиться, что относительно операции алгебра A(D) является алгеброй Ли. Будем говорить, что эта алгебра индуцирована дифференцированием D.

Первые результаты исследования алгебр, получаемых посредством такой конструкции, были анонсированы в [1], однако, развернутой публикации не последовало.

Pages:     | 1 |   ...   | 11 | 12 || 14 | 15 |   ...   | 29 |

© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.