WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 10 | 11 || 13 | 14 |   ...   | 29 |

УО ”ГГУ им. Ф. Скорины”, г.Гомель E-mail:kolenchukova@gsu.by Мальцевские чтения 2009 Теория групп О разрешимости групп с ограниченной длиной цепочек централизаторов Е. И. Хухро Максимальная длина цепочек вложенных централизаторов называется c-размерностью группы (или высотой решетки централизаторов). Доказывается, что если конечная разрешимая группа имеет c-размерность k, то ее ступень разрешимости kограничена (т. е. ограничена в терминах k). Доказательство основано на теоремах типа Холла — Хигмана и теореме Томпсона о централизаторе автоморфизма простого порядка.

В качестве одного следствия получается, что периодическая локально разрешимая группа конечной c-размерности k разрешима k-ограниченной ступени, а ранг ее фактор-группы по локально-нильпотентному радикалу (Плоткина — Хирша) kограничен.

В качестве другого следствия получается, что квази-(конечная разрешимая) группа конечной c-размерности k разрешима k-ограниченной ступени. По определению группа является квази-(конечной разрешимой), если она элементарно эквивалентна ультрапроизведению конечных разрешимых групп.

Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, Новосибирск E-mail:khukhro@yahoo.co.uk Мальцевские чтения 2009 Теория групп Кослед кольца псевдорациональных чисел А. В. Царев Через Zp будем обозначать кольцо целых p-адических чисел. Если M — подмножество группы G, то через M будем обозначать сервантную оболочку множества M, состоящую из всех таких g G, что ng M при некотором n N. Рассмотрим подкольцо R = 1, Zp Zp pP pP в кольце универсальных чисел Z = Zp, которое называется кольцом псевдорациpP ональных чисел.

Определение. Абелева группа G называется факторно делимой, если она не содержит ненулевых делимых периодических подгрупп, но содержит свободную подгруппу F конечного ранга, такую что G/F — делимая периодическая группа.

Редуцированная факторно делимая группа G вкладывается в свое Z-адическое по полнение G, являющееся Z-модулем, а значит, и R-модулем. Тогда для произвольной факторно делимой группы G определим R-модуль R(G) =divG G R, который называется псевдорациональной оболочкой группы G.

Последовательность (kp)pP, состоящая из целых неотрицательных чисел и символов, называется кохарактеристикой элемента g G, если kp — наименьшее такое, p что pk g pnG. Будем писать (kp) =cochar(g).

nN Рассмотрим множество KG(H) = ker. Факторгруппа G/KG(H) назыHom(G,H) вают коследом группы H в G. Нас интересует случай, когда G — факторно делимая группа, а H = R — кольцо псевдорациональных чисел.

Теорема 1. Пусть G — факторно делимая группа, тогда 1. KG(R) ={g G | cochar(g) не содержит символов };

2. KG(R) — сервантная вполне инвариантная подгруппа в G;

3. KG(R) R = KG(R), т. е. KG(R) является R-модулем;

4. G/KG(R) — редуцированная факторно делимая группа без кручения;

5. KG(R)/t(G) =div G/t(G) ;

6. KG(R) =G G/t(G) — делимая группа;

7. KG(R) =t(G) G/t(G) — редуцированная группа.

Теорема 2. Для факторно делимой группы следующие условия равносильны:

1. G/t(G) — почти делимая группа;

2. R(G) = KG(R) K, где K — конечная прямая сумма модулей вида Zp, возможно по различным простым p;

3. G = KG(R) H, где H — почти делимая группа без кручения.

Московский педагогический государственный университет, Москва E-mail:an-tsarev@yandex.ru Мальцевские чтения 2009 Теория групп О гамильтоновой разложимости графов Кэли бесконечной циклической группы О. А. Чуешева Пусть a1,..., ak — взаимно простые натуральные числа. Обозначим через C(a1,..., ak) граф, вершинами которого являются целые числа и две вершины x, y смежны, если |x - y| = ai для некоторого i. Этот граф является графом Кэли группы Z относительно порождающего множества {±a1,..., ±ak}.

Регулярный граф степени 2k называется гамильтоново разложимым, если множество его ребер можно разбить на k гамильтоновых циклов (в случае бесконечного графа — на k двусторонних гамильтоновых цепей). Известно, что для конечных абелевых групп все графы Кэли степени 4 гамильтоново разложимы. В случае бесконечных абелевых групп это не так: например, граф C(1, 2) неразложим.

Теорема. Если m, n — взаимно простые нечетные числа, то граф C(m, n) гамильтоново разложим.

Следствие. Если a1,..., an, b1,..., bn — различные нечетные числа и (ai, bi) =1, то графы C(a1,..., an, b1,..., bn) и C(1, a1,..., an, b1,..., bn) гамильтоново разложимы.

Отметим, что разложения, полученные в теореме, симметричны: существует автоморфизм графа (сдвиг), переводящий одну гамильтонову цепь в другую. Вопрос о существовании несимметричных гамильтоновых разложений открыт.

КемГУ, Кемерово E-mail:simran@ngs.ru Мальцевские чтения 2009 Теория групп О существовании решетки доминионов в квазимногообразиях абелевых групп С. А. Шахова Согласно [1], доминионом подалгебры H универсальной алгебры A в полной категории M (A M), обозначаемым domM(H), называется множество элементов a A A таких, что (a) =(a) для любых морфизмов, : A M(M M), совпадающих на H.

А. И. Будкин, исследуя доминионы в квазимногообразиях универсальных алгебр [2], распространил это понятие на случай A Mи ввел в рассмотрение множество L(A, H, M) ={domN (H) | N Lq(M)}, A где Lq(M) —решетка подквазимногообразий квазимногообразия M. В [2] было доказано, что при определенных условиях множество L(A, H, M) образует решетку относительно теоретико-множественного включения и сформулирован вопрос: существует ли такое квазимногообразие M универсальных алгебр, что для некоторых алгебр A и H множество L(A, H, M) не образует решетку относительно теоретико-множественного включения Изучение этой проблемы применительно к квазимногообразиям абелевых групп показало, что среди них таких квазимногообразий нет, а верен следующий результат.

Теорема. Для произвольного квазимногообразия M абелевых групп, группы A и ее подгруппы H множество L(A, H, M) образует решетку относительно теоретикомножественного включения.

Список литературы [1] Isbell J. R. Epimorphisms and dominions. Proceedings of the Conference on Categorical Algebra, La Jolla 1965, New York: Springer-Verl., 1966, 232–246.

[2] Budkin A. Dominions in quasivarieties of universal algebras. Studia Logica, 78 (2004),N. 1–2, 107–127.

Алтайский государственный университет, Барнаул E-mail:sashakhova@gmail.com Мальцевские чтения 2009 Теория групп О полупрямых произведениях групп с интерполяционным условием Е. Е. Ширшова Пусть G — частично упорядоченная группа (po-группа). G+ = {x G| e x}.

Говорят, что po-группа G является группой с интерполяционным условием, если для любых элементов a1, a2, b1, b2 группы G справедливость неравенств a1, a2 b1, b2 влечет существование элемента c G, для которого верны неравенства a1, a2 c b1, b2.

Теорема 1. Пусть {Gi|i I} — семейство po-групп, и G — декартово произведение po-групп Gi (см. [2]). Если Gi — группа с интерполяционным условием для каждого i I, то G является группой с интерполяционным условием.

Направленную группу с интерполяционным условием называют группой Рисса (см.

[3]).

Пусть группа GA является полупрямым произведением A и G (см. [1]), где G — направленная группа, A — po-группа, g-1A+g A+ для всех g G+, и P = {ga GA| либо g G+ \{e}, либо g = e и a A+}.

Теорема 2. Группа GA является po-группой с положительным конусом P, A — выпуклая подгруппа группы GA, и G P = G+.

Теорема 3. Если GA — полупрямое произведение A и G, A и G являются группами Рисса, и g-1A+g A+ для всех g G+, то GA — группа Рисса.

Пусть A и B — произвольные группы, A = Ab — декартово произведение bB групп Ab, где Ab A для каждого b B. Полупрямое произведение BA называется = декартовым сплетением (AW rB) групп A и B (см. [1]).

Теорема 4. Пусть A и B — группы Рисса. Если b-1A+b A+ для каждого b B+, то декартово сплетение AW rB является группой с интерполяционным условием.

Список литературы [1] Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. М.: Наука, 1972.

[2] Копытов В. М. Решеточно упорядоченные группы. М.: Наука, 1984.

[3] Фукс Л. Частично упорядоченные алгебраические системы. М.: Мир, 1965.

Московский педагогический государственный университет, Москва E-mail:e.shir@relcom.ru Мальцевские чтения 2009 Теория групп Isotyped representations of groups E. V. Aladova, A. A. Gvaramiya, B. I. Plotkin Let K be a commutative and associative ring with unit and let (V, G) be a representation of a group G in a K-module V. We consider such representations from the point of view of some logic. In particular, we consider various logical invariants of the representations and relations between different representations which defined by such invariants. One of the basic relations is the relation of isotypeness. Here we use a concept of a type from the Model Theory. If two representations are isotyped then they are elementary equivalent. We also consider a concept of logically Noetherian representations. If two representations (V1, G1) and (V2, G2) are logically Noetherian and elementary equivalent then they are isotyped.

In the Model Theory the concept of homogeneous algebra plays a very important role.

We apply this concept to representations of groups and connect it with the idea of the type of the representation. It is known [1], [2] that every group can be embedded into a homogeneous one, and that every homogeneous group is logically perfect. We have the similar problem for representations of groups: is it true that every representation can be embedded to a homogeneous one Note, that if a representation can be embedded to a homogeneous one then it is embedded to the logically perfect representation.

This work adjoins the paper [2], where the similar problems are considered for one-sorted algebras.

References [1] Higman G., Neumann B., Neumann H. Embedding Theorems for Groups. Jornal of the London Mathematical Society, 24 (1949) N. 4, 247–254.

[2] Plotkin B. I. Isotyped algebras. Arxiv: math.LO/0812.3298v2 (2009).

Bar-Ilan University, Ramat Gan E-mail:aladovael@mail.ru Abkhaz State University, Sukhum E-mail:agvaramia@mail.ru Hebrew University of Jerusalem, Jerusalem E-mail:plotkin@macs.biu.co.il Мальцевские чтения 2009 Теория групп Automorphisms and monomorphisms of free Burnside groups V. S. Atabekyan Let Bn be the variety of all groups, that satisfy the identity xn = 1. The free group of rank m in this variety is denoted by B(m, n) and called free Burnside group of period n and rank m.

Theorem 1. Let n 1003 be arbitrary odd number and be an automorphism of group B(m, n), such that (N) =N for any maximal normal subgroup N B(m, n), for B(m, n)/ is non-abelian group. Then is inner automorphism.

which N Corollary 1.1. For any odd n 1003 every normal automorphism of free Burnside group B(m, n) of rank m 2 (finite or infinite) is inner automorphism.

The similar results about normal automorphisms for other classes of groups have been proved by M. Jarden, A. Lubotzky, A. S.-T. Lue, N. Romanovskii, V. Roman’kov, G. Endimioni, M. Neschadim, O. Bogopolski, E. Kudryavtseva, H.Zieschang, E. Cherepanov, A. Minasyan, and D. Osin.

Theorem 2. For any odd n 1039 there exist words u(x, y), v(x, y) over the group alphabet {x, y}, such that if a, b are two elements, generating non-cyclic subgroup of group B(m, n), then for some p the elements u(ap, b), v(ap, b) freely generate subgroup that is isomorphic to the free Burnside group B(2, n) (moreover, p =2k and 0 k 9).

Corollary 2.1. There exists a monomorphism : B(2, n) B(2, n), such that for any endomorphism : B(2, n) B(2, n) with non-cyclic image, there exists an automorphism : B(2, n) B(2, n) for which is monomorphism.

Corollary 2.2. For any odd n 1039 free Burnside groups B(m, n) are uniformly non-amenable.

Yerevan State University, Yerevan (Armenia) E-mail:avarujan@ysu.am Мальцевские чтения 2009 Теория групп Groups with minimal conditions N. Chernikov The author plans to give a detailed survey of results relating to the important direction of investigations in the theory of groups defined by minimal conditions. Note, for example, the following ”united” author’s theorem belonging to this direction.

Remind that nonabelian groups with proper abelian subgroups are called Miller— Moreno.

Theorem. Let G be a binary finite group. Then the following statements are equivalent:

(i) G is Chernikov.

(ii) G is Artinian.

(iii) G satisfies the weak minimal condition on subgroups.

(iv) G satisfies the weak maximal condition on subgroups.

(v) G satisfies the minimal condition on abelian subgroups.

Further, in the case when G is nonabelian, the statement (i) is equivalent to each of the following statements:

(vi) G satisfies the minimal, or even if the weak minimal, condition on nonabelian subgroups.

(vii) G satisfies the minimal, or even if the weak minimal, condition on nonabelian metabelian subgroups.

(viii) G satisfies the weak maximal condition on nonabelian subgroups.

(ix) G satisfies the weak maximal condition on nonabelian metabelian subgroups.

(x) Any nonabelian metabelian subgroup H = AB of G, where A is a direct product of some finite elementary abelian minimal normal subgroups M of H and B is a finite psubgroup for some primer p, and also either B = b and [bp, A] =1 or B is Miller—Moreno and [B, A] = 1, satisfies the weak minimal or weak maximal condition on nonabelian subgroups LB such that L is a direct product of some M.

(xi) Any above subgroup H is finite.

Department of Algebra, Institute of Mathematics, National Academy of Sciences of Ukraine, Kiev, Ukraine E-mail:chern@imath.kiev.ua Мальцевские чтения 2009 Теория групп Evaluation of the multiple combinatorial sums in a problem of enumeration of D-invariant ideals of a ring Rn(K, J) G. P. Egorychev, M. N. Davletshin Let K be a local ring with principal maximum ideal J which is nilpotent of step s.

Following [3], authors solve a problem of determination of number (n, s) of D-invariant ideals of the ring Rn(K, J) for all n n matrices over an associative ring K with elements from an ideal J of K on and above the main diagonal (see also [4]). The solution of this combinatorial problem has been shown by us to a series of problems of enumeration of number of ways of various type on a rectangular lattice [1]. It has led us to n necessity of an evaluation of the several complicated sums with binomial of coefficients, n =0, 1,..., k (n-1) k =0, 1,..., n, including the following multiple sum Sr (i - 1, j) = r-1 k1 2r-k1-k2- i-1 j-i n-j - k2 + 2s-2r+k1+k2+ks { + k1 s k2 2r-s-k1-k2-2 s-r+k2+s - r + k1 +r1 k1=0 k2=0 s=r-k2-r-1 k1 2r-k1-k2- i-1 j-i n-j - k1 + 2s-2r+k1+k2+ks }.

k1 s k2 2r-s-k1-k2-2 s-r+k1+s - r + k2 +k1=0 k2=0 s=r-k2-By difficult calculations of this expression we used the idea of integral representation of combinatorial sums (the method of coefficients, [2]).

Theorem. The following identity is valid:

2n - 2 4 2n 2n (n-1) Sr (i - 1, j) =22n-1 +(n - 1) - -, n 2, r 1, i =1,..., n, j > i- 1.

n - 1 n n - 2 n The spent evaluations have allowed to discover number (n, s) of D-invariant ideals of ring Rn(K, J) as the sum of degrees of 2 and binomial of coefficients of certain type. A series of similar problems is considered in [1].

References [1] Andrews G., Krattenthaler C., Orsina L., Papi P. ad-Nilpotent b-ideals in sl(n) having a fixed class of nilpotence. Combinatorics and enumeration. arXiv:math/0004107v1 [math.RA], 17 Apr 2000.

[2] Egorychev G. P. Integral Representation and the Computation of Combinatorial Sums. Novosibirsk:

Nauka, 1977 (Russian); English Translation: Math. Monographs, Vol. 59, Amer.Math. Soc., (1984), 2nd edn in 1989.

[3] Egorychev G. P., Levchuk V. M. Enumeration in the Chevalley algebras. ACM SIGSAM Bulletin (2001), 20–34.

[4] Egorychev G. P., Kuzucuoglu F., Levchuk V. M. Some enumerative questions for algebras and modules over rings with strongly maximal ideals. (2008) (to appear).

Siberian Federal University, Krasnoyarsk E-mail:anott@scn.ru Siberian Federal University, Krasnoyarsk E-mail:makdav@rambler.ru Мальцевские чтения 2009 Теория групп Algebraic and semialgebraic problems in geometric tomography V. P. Golubyatnikov, Y. N. Yomdin Let V0, V1, V2 En be convex compact bodies in an Euclidean space En (real, complex k etc). Denote by Vi(P ) orthogonal projection of the body Vi onto k-dimensional plane k P En. Let d(A, B) be the Hausdorff metric.

Fix some k

Pages:     | 1 |   ...   | 10 | 11 || 13 | 14 |   ...   | 29 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.