WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 9 | 10 || 12 | 13 |   ...   | 29 |

Теорема 1. Пусть 1 и 2 деревья на множествах вершин X = {x1,..., xn } и Y = {y1,..., yn } соответственно, n1 2, n2 2. Группы S и S универсально 2 1 эквивалентны тогда и только тогда, когда графы и изоморфны.

1 Следствие. Пусть S и S частично коммутативные метабелевы группы, опре1 деляющие графы которых 1 и 2 являются конечными деревьями. Тогда вопрос об универсальной эквивалентности этих групп решается алгоритмически и равносилен вопросу об изоморфизме дереьев.

Пусть A = Z[x±1,..., x±1]. Аннулятор элемента c S обозначим Ann(c). По 1 n определению Ann(c) ={a A|ca =1}.

Теорема 2 устанавливает, что для любого элемента c из коммутанта S факторкольцо A/Ann(c) не содержит нильпотентных элементов.

Теорема 2. Если для некоторого элемента c из коммутанта S частично коммутативной метабелевой группы S, некоторого элемента из кольца A и некоторого m целого числа m 2 имеет место равенство c =1, то c =1.

Пусть M некоторый модуль над кольцом A. Простой идеал P кольца A называется ассоциированным с модулем M, если существует элемент x M, аннулятор которого Ann(x) совпадает с идеалом P.

Множество идеалов, ассоциированных с модулем M, называется ассоциатором M и обозначается As(M).

Теорема 3. Пусть граф на множестве вершин X = {x1,..., xn}, n 2, S частично коммутативная метабелева группа, A кольцо лорановых многочленов от переменных x1,..., xn. Если простой идеал P принадлежит ассоциатору коммутанта As(S), то найдутся вершины xi,..., xi, такие что идеал P порожден элементами 1 m 1 - xi,..., 1 - xi или является нулевым идеалом.

1 m НГАСУ(Сибстрин), Новосибирск E-mail:etim@sibstrin.ru Мальцевские чтения 2009 Теория групп Факторизации конечных групп холловыми подгруппами Т. В. Тихоненко, В. Н. Тютянов В работах [1, 2] рассматривались факторизации простых неабелевых групп двумя подгруппами взаимно простых порядков. Естественно рассмотреть более общую задачу о факторизации простых неабелевых групп холловыми подгруппами.

Доказана следующая Теорема. Пусть G = AB — конечная простая неабелева группа, где A и B собственные холловы подгруппы группы G. Тогда G является простой неабелевой группой одного из следующих типов: Ar, где 5 r — простое число; M11; M23;

PSL2(7); PSL2(11); PSL2(29); PSL2(59); PSL2(q), где q 1(mod4), q {7, 11, 29, 59};

/ PSL5(2); PSLr(q), где 1

Отметим, что для всякой простой неабелевой группы из списка теоремы, найдены все холловы факторизации. Отсюда получаем Следствие. Пусть G = AB — простая неабелева группа, где A и B холловы подгруппы группы G. Тогда A и B одновременно не могут иметь четные порядки.

Список литературы [1] Fisman E. On the product of two finite solvable groups. J. Algebra, 35 (1983), 517–536.

[2] Arad Z., Fisman E. On finite factorizable groups. J. Algebra, 36 (1984), 522–548.

УО ”Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины”, Гомель E-mail:tihonenkotanya@rambler.ru, tyutyanov@front.ru Мальцевские чтения 2009 Теория групп Теорема об определяющих симплексах А. А. Тоболкин Основные определения, относящиеся к теории n-упорядоченных алгебраических структур, изложены в [1, 2].

Определение 1. Пусть задана сюръекция : Sn+1 {-1, 0, 1}, где |S| n +1.

Если для каждого A S, |A| 2n +1, существует инъекция (реализация) : A Rn такая, что для всех x1,..., xn+1 An выполнено (x1;... ; xn+1) =n((x1);... ; (xn+1)), то назовём функцией n-мерного порядка на множестве S.

Определение 2. Пусть S, — n-упорядоченное множество, A Sk+1. Если существует такое B Sn-k, что выполняется (A, B) =0, то A назовём k-симплексом n-упорядоченного множества S,.

Определение 3. Пусть A — k-симплекс n-упорядоченного множества S,. Множество A = {x S : (A; Sn-k-1; x) =0} назовем k-мерной плоскостью, образованной симплексом A.

Теорема 1 (критерий принадлежности плоскости). Пусть (A; B) является nсимплексом n-упорядоченного множества S,, |B| = n - k, x S. Тогда x принадлежит плоскости A если и только если для всех i =1,..., n- k выполнено x (A; B) =0, [i] x где B есть вектор B, в котором i-я координата заменятся на x.

[i] Лемма 2. Пусть (A; B) является n-симплексом n-упорядоченного множества S,, x — произвольный элемент S, функция реализует (A; B; x) в Rn. Тогда условия x A и (x) (A) эквивалентны.

Лемма 3. Пусть (A; B) — симплекс n-упорядоченного множества S,, тогда A B =.

Теорема 4 (об определяющих симплексах). Пусть A, B — k-симплексы n-упорядоченного множества S,, причём B A. Тогда A = B.

Список литературы [1] Пестов Г. Г. Двумерно упорядоченные поля. Томск: Изд-во ТГУ, 2003.

[2] Пестов Г. Г. n-упорядоченные множества. Труды Иркутского Государственного Университета, 74, N. 6, 146–169.

ММФ ТГУ, Томск E-mail:tobantal@gmail.com Мальцевские чтения 2009 Теория групп Локально лиевы стабилизаторы вершин графов В. И. Трофимов Тесно связанная с задачей выталкивания в теории конечных групп задача восстановления стабилизатора вершины графа по его действию на окрестности состоит (в общем виде) в следующем. Пусть R — заданная группа подстановок на конечном множестве. Предположим, что связный граф допускает вершинно-транзитивную группу автоморфизмов G со следующим свойством: для вершины x графа ее стабилизатор Gx в группе G конечен и индуцирует на множестве смежных с x вершин графа группу, подстановочно изоморфную R. Какова при этом предположении может быть группа Gx (как абстрактная группа) Для теории конечных групп наибольший интерес представляет случай, когда группа R содержит нормальную подгруппу L, которая является группой присоединенного лиева типа, действующей на классе максимальных параболических подгрупп.

Начало исследования последней проблемы восходит к [1, 2], где был рассмотрен случай группы L = PSL2(2). К началу 90-х годов прошлого века с использованием метода амальгам и результатов об FF-модулях были рассмотрены все случаи, когда L отлична от группы PSLn(q), n >3, действующей естественным образом на множестве n m-мерных (можно считать, что 1 m ) подпространств n-мерного векторного пространства над Fq. Рассмотрение оказавшегося технически наиболее сложным случая, когда L есть группа PSLn(q), действующая естественным образом на множестве 1-мерных подпространств n-мерного векторного пространства над Fq, было завершено в серии работ автора (см. [3] в качестве «путеводителя» по этой серии). Рассмотрение случая, когда L есть группа PSLn(q), n >3, действующая естественным образом на n множестве m-мерных, 2 m, подпространств n-мерного векторного пространства над Fq, и (n, m) =(5, 2), было завершено в [4]. Наконец, случай, когда L есть группа PSL5(q), действующая естественным образом на множестве 2-мерных подпространств 5-мерного векторного пространства над Fq, в настоящее время рассмотрен в [5, 6].

Список литературы [1] Tutte W. A family of cubical graphs. Proc. Cambridge Phil. Soc., 43 (1947), 459–474.

[2] Tutte W. On the symmetry of cubic graphs. Canad. J. Math., 11 (1959), 621–624.

[3] Trofimov V. I. Vertex stabilizers of locally projective groups of automorphisms of graphs. A summary // Groups, combinatorics and geometry (Durham, 2001) / A.A. Ivanov, M.W. Liebeck, J. Saxl eds. River Edge, NJ: World Sci. Publication, 2003, 313–326.

[4] Trofimov V. I., Weiss R. M. Graphs with a locally linear group of automorphisms. Math. Proc. Cambridge Phil. Soc., 118 (1995), 191–206.

[5] Trofimov V. I., Weiss R. M. The group E6(q) and graphs with a locally linear group of automorphisms.

Math. Proc. Cambridge Phil. Soc., to appear.

[6] Trofimov V. I. Supplement to ”The group E6(q) and graphs with a locally linear group of automorphisms” by V. I. Trofimov and R. M. Weiss. Math. Proc. Cambridge Phil. Soc., to appear.

ИММ УрО РАН, Екатеринбург E-mail:trofimov@imm.uran.ru Мальцевские чтения 2009 Теория групп О производной длине конечной группы с заданными силовскими подгруппами А. А. Трофимук Все рассматриваемые группы предполагаются конечными. Согласно теореме Цассенхауза [1, теорема IV.2.11] коммутант группы с циклическими силовскими подгруппами является циклической холловой подгруппой, фактор-группа по которой также циклическая. Бициклической называют группу G = AB, факторизуемую циклическими подгруппами A и B. Инварианты конечных разрешимых групп с бициклическими силовскими подгруппами получены в работе [2]. В частности, производная длина таких групп не превышает 6. Из теоремы Холла и Хигмена [1, теорема VI.14.16] следует, что производная длина разрешимой группы с абелевыми силовскими подгруппами не превышает числа различных простых делителей ее порядка.

В [3] В. С. Монаховым получена оценка производной длины фактор-группы G/(G) в зависимости от порядков силовских подгрупп группы G. В частности, если порядок разрешимой группы не делится на (n +1)-е степени простых чисел, то производная длина фактор-группы G/(G) не превышает 3+n. Здесь (G) —подгруппа Фраттини группы G.

В настоящей заметке установлено, что для оценки производной длины достаточно рассматривать порядки силовских подгрупп не всей группы, как это сделано в [3], а только ее подгруппы Фиттинга. Для формулировки основного результата введем следующие обозначения: sp(G) =logp(|Gp|), s(G) =max{sp(G) | p (G)}. Здесь G — группа, Gp — ее силовская p-подгруппа, (G) — множество всех простых чисел из (G), для которых силовская p-подгруппа в G небициклическая. Доказана следующая теорема.

Теорема. Пусть G — разрешимая группа. Если (F ) =, то d(G) (s(F )) + max{d(Fp) | p (F )}. Если (F ) =, то d(G) 6.

Здесь F — подгруппа Фиттинга группы G, d(G) —производная длина разрешимой группы G. Через (n) обозначается максимум производных длин вполне приводимых разрешимых подгрупп группы GL(n, P ), где P — поле.

Список литературы [1] Huppert B. Endliche Gruppen I. Berlin, Heidelberg, New York: Springer, 1990.

[2] Монахов В. С., Грибовская Е. Е. О максимальных и силовских подгруппах конечных разрешимых групп. Матем. заметки, 70 (2001), N. 4, 603–612.

[3] Монахов В. С. Об индексах максимальных подгрупп конечных разрешимых групп. Алгебра и логика, 43 (2004), N. 4, 411–424.

ГГУ им. Ф. Скорины, Гомель E-mail:trofim08@yandex.ru Мальцевские чтения 2009 Теория групп V -группа с нильпотентной конечной подгруппой Г. А. Троякова Группу G назовем V -группой, если для любой ее конечной подгруппы K в факторгруппе NG(K)/K, |a| = p, |b| = q (p, q — простые числа) подгруппы b-1ab, a, a-1ba, b конечны [1].

Теорема. Если в периодической V -группе G любая конечная подгруппа нильпотентна, то G/Z(G) разлагается в прямое произведение силовских подгрупп.

Группы, фигурирующие в этой теореме, не исчерпываются прямыми произведениями силовских подгрупп. Существует нерасщепляемое расширение конечной группы составного порядка с помощью p-группы Новикова — Адяна (p не делит n) [2]. Такая группа является V -группой, фактор-группа G/Z(G) которой разлагается в прямое произведение силовских подгрупп. Ранее [1] эта теорема была доказана только для случая без инволюций.

Список литературы [1] Троякова Г. А. К теории черниковских групп. Бесконечные группы и примыкающие алгебраические структуры. АН Украины, Ин-т математики, 1994, 290–311.

[2] Адян С. И. Проблема Бернсайда и тождества в группах. М.: Наука, 1975.

Кафедра алгебры и геометрии ТывГУ, г. Кызыл E-mail:afanasy@tyva.ru Мальцевские чтения 2009 Теория групп Каноническое разложение локальной абелевой группы без кручения В. Х. Фарукшин Рассматриваются p-локальные абелевы группы без кручения.

Определение. Неразложимая группа S называется группой расщепления для G, если G S является прямой суммой делимой группы и свободной S-группы.

Теорема 1. Всякая p-локальная группа G без кручения конечного ранга имеет единственную с точностью до изоморфизма группу расщепления S минимального ранга p-ранга 1.

Теорема 2. Если S — группа расщепления минимального конечного ранга и pранга 1 для G, то она является сильно неразложимой, сильно однородной изоморфной аддитивной группе ее кольца эндоморфизмов, алгебра квазиэндоморфизмов которой является конечным расширением поля Q.

Если группа GS-расщепляемая, то будем называть ее также R-расщепляемой, где R — алгебра квазиэндоморфизмов группы S.

Всякому композиционному ряду группы Галуа поля R, реализованному в поле pадических чисел, соответствует ряд полей Q = R0 R1... Rm = R, которому, в свою очередь, однозначно соответствует ряд категорий Ri-расщепляемых групп с квазигомоморфизмами в качестве морфизмов K0 K1... Km.

В относительной гомологической алгебре в каждой категории Ki существуют неразложимые относительно проективные и инъективные объекты двойственные друг другу в смысле Арнольда.

Теорема 3. Всякая p-локальная группа без кручения конечного ранга имеет разложение G = G0 G1... Gm G, где 1. G не содержит прямых слагаемых, являющихся инъективными или проективными в категории Ki (i =1,..., m);

2. Gi = Pi Ji, где Pi — прямая сумма проективных групп категории Ki, а Ji — прямая сумма инъективных групп категории Ki (i =1,..., m);

3. G0 = P0 J0, где P0 — максимальное свободное прямое слагаемое, а J0 — максимальная делимая подгруппа.

Заметим, что выделение прямым слагаемым делимой подгруппы J0 общеизвестно.

Выделение прямым слагаемым P0 рассмотрено А. И. Мальцевым в хорошо известной статье «Абелевы группы конечного ранга без кручения», 1938 г.

Московский педагогический государственный университет, Москва E-mail:fvkh@mail.ru Мальцевские чтения 2009 Теория групп Теорема Мальцева об абелевых группах А. А. Фомин А. И. Мальцев в своей кандидатской диссертации описал абелевы группы без кручения конечного ранга при помощи матриц специального вида. Теорема Мальцева недавно получила следующее развитие. Для каждой упорядоченной пары матриц определяется группа морфизмов из одной матрицы в другую. Таким образом, совершенные в терминологии Мальцева матрицы образуют категорию. Эта категория является двойственной категории абелевых групп без кручения конечного ранга с квазигомоморфизмами. При этом, соответствие Мальцева между группами и матрицами совпадает с функтором двойственности.

Одновременно с Мальцевым и независимо от него Д. Дэрри получил описание того же класса абелевых групп при помощи матриц, введенных ранее Курошем для так называемых p-примитивных групп.

Нам представляется более естественным обобщение теоремы Куроша на факторно делимые группы, каковыми, в частности, являются p-примитивные группы Куроша.

Это обобщение оказывается эквивалентностью между упомянутой выше категорией совершенных матриц Мальцева и категорией смешанных факторно делимых групп с квазигомоморфизмами.

Композиция двойственности, которая получается из теоремы Мальцева, и эквивалентности, обобщающей теорему Куроша, совпадает с двойственностью, введенной У. Уиклессом и автором в 1998 г.

Московский педагогический государственный университет, Москва E-mail:alexander.fomin@mail.ru Мальцевские чтения 2009 Теория групп Абнормальные функторы на универсальных алгебрах А. Д. Ходалевич Рассматриваются алгебры из фиксированного мальцевского многообразия. Используются определения и обозначения из [1].

Определение. Пусть —отображение, которое ставит в соответствие каждой алгебре A некоторое множество (A) её максимальных подалгебр и саму алгебру A, причем (Af ) =((A))f, где f — произвольный изоморфизм алгебры A и ((A))f = {Mf |M (A)}. Тогда будем называть m-функтором.

m-функтор назовем регулярным, если для любой алгебры A и любой конгруэнции на A выполняются условия:

1) из M (A) всегда следует M/ (A/);

2) из M/ (A/) следует M (A).

Пусть X — непустой класс алгебр. Тогда, согласно [1], максимальная подалгебра M алгебры A называется X-абнормальной, если A/MA X, MA — наибольшая конгруэнция на A такая, что MAM = M.

Теорема. Пусть F — непустая формация, — отображение, которое ставит в соответствие каждой алгебре A множество (A) всех её F-абнормальных максимальных подалгебр и саму алгебру A. Тогда является регулярным m-функтором.

В частности, отсюда следует аналогичный результат для групп [2].

Список литературы [1] Шеметков Л. А., Скиба А. Н. Формации алгебраических систем. М.: Наука, 1989.

[2] Селькин М. В. Максимальные подгруппы в теории классов конечных групп. Минск: Бел. навука, 1997.

Pages:     | 1 |   ...   | 9 | 10 || 12 | 13 |   ...   | 29 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.