WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 8 | 9 || 11 | 12 |   ...   | 29 |

УО ”ГГУ им. Ф. Скорины”, г.Гомель E-mail:kolenchukova@gsu.by Мальцевские чтения 2009 Теория групп Об одном обобщении метагамильтоновых групп Н. Н. Семко, О. А. Яровая Пусть G — группа. Обозначим через Lnon-norm(G) семейство всех ненормальных подгрупп G. Изучение влияния семейства Lnon-norm(G) на структуру группы G было начато очень давно. Так Г. М. Ромалис и Н. Ф. Сесекин в работах [1]– [3] начали изучать группы, в которых семейство Lnon-norm(G) состоит из абелевых подгрупп. Такие группы были названы ими метагамильтоновыми. Конечные метагамильтоновы группы изучались в работах [4]–[5]. Полное описание метагамильтоновых групп было получено в работе Н. Ф. Кузенного и Н. Н. Семко [6]. Естественным продолжением таких исследований является рассмотрение ситуации, когда подгруппы семейства Lnon-norm(G) принадлежат к классу групп, который является естественным расширением класса абелевых групп. Так в работах [7]–[8] рассматривались группы, в которых подгруппы семейства Lnon-norm(G) имеют конечный коммутант или являются FC-группами. В настоящей работе продолжаются исследования в данном направлении. Поскольку естественным обобщением конечных групп являются черниковские группы, то естественным расширением групп с конечным коммутантом являются группы с черниковским коммутантом. В настоящей работе начинается изучение групп, в которых всякая подгруппа либо нормальна, либо имеет черниковский коммутант.

Теорема 1. Пусть G — локально почти разрешимая группа, всякая подгруппа которой или нормальна, или имеет черниковский коммутант. Тогда имеют место следующие утверждения:

(1) Всякая конечно порожденная подгруппа группы G будет конечной над центром, в частности, G — локально FC-группа.

(2) Коммутант группы G будет локально конечной подгруппой, в частности, если G не имеет кручения, то она абелева.

Теорема 2. Пусть G — локально ступенчатая группа, всякая подгруппа которой или нормальна, или имеет черниковский коммутант. Предположим, что G не является локально почти разрешимой. Тогда имеют место следующие утверждения:

(1) G включает в себя такую нормальную локально конечную подгруппу T, что G/T — непериодическая абелева группа.

(2) T не имеет конечной системы порождающих элементов.

(3) Всякая собственная подгруппа T имеет черниковский коммутант.

Список литературы [1] Ромалис Г. М., Сесекин Н. Ф. О метагамильтоновых группах. Мат. зап. Урал. ун-та, 5 (1966), N. 3, 45–49.

[2] Сесекин Н. Ф., Ромалис Г. М. О метагамильтоновых группах. Мат. зап. Урал. ун-та. 6 (1968), N. 5, 50–53.

[3] Ромалис Г. М., Сесекин Н. Ф. О метагамильтоновых группах. Мат. зап. Урал. ун-та., 7 (1970), N. 3, 195–199.

[4] Нагребецкий В. Т. Конечные ненильпотентные группы, любая неабелевая подгруппа которых инвариантна. Мат. зап. Урал. ун-та., 6 (1967), N. 1, 80–88.

[5] Махнев А. А. О конечных метагамильтоновых группах. Мат. зап. Урал. ун-та., 10 (1976), N. 1, 60–75.

[6] Кузенний М. Ф., Семко М. М. Метагамiльтоновi групи та iх узагальнення. К.: Iн-т математики НАН Украiни, 1996.

[7] Kurdachenko L., Otal J., Russo A., Vincenci G. The local structure of groups whose non-normal subgroups have finite conjugacy classes. Advances in Group Theory, 2002. Proceedings of the Intensive Bimester Dedicated to the Memory of Reinhold Baer, Napoly, May–June 2002. Roma: Aracne, 2003.

Мальцевские чтения 2009 Теория групп [8] Kurdachenko L., Otal J., Russo A., Vincenci G. Groups whose non-normal subgroups have finite conjugate classes. Mathematical Proceedings of the Royal Irish Academy, 104A (2004), N. 2, 177–189.

Национальный университет государственной налоговой службы Украины, ул. К. Маркса 31, Ирпень, Киевская область, 08202, Украина E-mail:nsemko@mail.ru Мальцевские чтения 2009 Теория групп Одна характеризация групп с почти слойно конечной периодической частью В. И. Сенашов Собственная подгруппа H группы G называется сильно вложенной, если H содержит элемент порядка 2 (инволюцию) и для любого элемента g G \ H подгруппа H Hg не содержит инволюций.

Ранее автором была установлена почти слойная конечность группы Шункова с сильно вложенной подгруппой при условии почти слойной конечности всех собственных подгрупп [1] и при условии периодичности группы [2]. В работе автора [3] рассматривался случай смешанных групп, и условие почти слойной конечности накладывалось только на периодические части нормализаторов конечных нетривиальных подгрупп. При этом доказано, что при таком условии в группе Шункова с сильно вложенной подгруппой, обладающей черниковской почти слойно конечной периодической частью, элементы конечных порядков составляют почти слойно конечную периодическую подгруппу. Здесь удается отказаться от ограничения черниковости для периодической части сильно вложенной подгруппы, а именно, доказать следующую теорему.

Теорема. Пусть группа Шункова G содержит сильно вложеннуюподгруппу, обладающую почти слойно конечной периодической частью. Если в G нормализатор любой нетривиальной конечной подгруппы обладает почти слойно конечной периодической частью, то сама группа G обладает почти слойно конечной периодической частью.

Напомним, что группой Шункова называется такая группа G, в которой для любой ее конечной подгруппы K в фактор-группе NG(K)/K любые два сопряженных элемента простого порядка порождают конечную подгруппу.

Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ 09-01-00395 и гранта Сибирского федерального университета (проект — элитное математическое образование в СФУ).

Список литературы [1] Сенашов В. И. Достаточные условия почти слойной конечности группы. Укр. мат. журн., 51 (1999), N. 4, 472–485.

[2] Сенашов В. И. Строение бесконечной силовской подгруппы в некоторых периодических группах Шункова. Дискретная математика, 14 (2002), N. 4, 133–152.

[3] Сенашов В. И. О группах Шункова с сильно вложенной подгруппой. Труды ИММ УрО РАН, (2009), N. 2, 203–210.

Институт вычислительного моделирования СО РАН, Красноярск E-mail:sen@icm.krasn.ru Мальцевские чтения 2009 Теория групп О точно дважды транзитивных группах А. И. Созутов, Е. В. Антосяк Группа G подстановок множества называется точно дважды транзитивной, если для любых элементов =, = из найдется точно одна подстановка g G переводящая в и в, т. е. g = и g =. Хорошо известно, что точно дважды транзитивная группа содержит один класс сопряженных инволюций, и каждая инволюция либо содержится в стабилизаторе точки, либо является регулярной подстановкой.

Теорема 1. Пусть G — точно дважды транзитивная группа на,, H = G содержит инволюцию j, b — строго вещественный относительно j элемент из G \ G, A = CG(b) и V = NG(A). Тогда: (1) подгруппа A инвертируется инволюцией j и сильно изолирована в G; (2) подгруппа V действует точно дважды транзитивно на орбите = A, при этом A — абелева регулярная нормальная подгруппа в V, x T = V G — стабилизатор точки и V = AT ; (3) если | T | > 2, то G = V (и xH =).

Теорема 2. Пусть в точно дважды транзитивной группе G есть локально конечная подгруппа, содержащая регулярнуюподстановку и пересекающаяся с некоторым стабилизатором по нормальной в нем подгруппе состоящей более чем из двух элементов. Тогда группа G обладает регулярной абелевой нормальной подгруппой.

Теоремы допускают эквивалентные формулировки на языке почтиобластей и почтиполей [1]. Работа поддержана Российским фондом фундаментальных исследований (код проекта 09-01-00395).

Список литературы [1] Whling H. Theorie der Fastkrper. Essen: Thalen Ferlag, 1987.

Сибирский федеральный университет, Красноярск Мальцевские чтения 2009 Теория групп О f-локальных подгруппах в группах с инволюциями А. И. Созутов, М. В. Янченко Исследуется вопрос о существовании в группе f-локальных подгрупп [1–3]. Пусть G — произвольная группа. Любая её бесконечная подгруппа H с нетривиальным локально конечным радикалом называется f-локальной. По Шункову смешанная группа G обладает периодической частью, если все её элементы конечного порядка составляют подгруппу. Так, если множество элементов конечного порядка в группе G конечно, то ввиду известной леммы Дицмана группа G обладает конечной периодической частью. Если неединичный элемент a в группе G порождает почти с каждым элементом, сопряженным с неединичным элементом b, конечную подгруппу, то мы говорим, что в группе G выполняется (a, b)-условие конечности [4], при этом элемент a называем обобщенно конечным. Пусть G — бесконечная группа с инволюциями a, b и в G выполняется (a, b)-условие конечности. Если a bG и G содержит бесконечно / много элементов конечного порядка, то инволюции a и b принадлежат f-локальным подгруппам, содержащим бесконечно много элементов конечного порядка ([1], теорема 1). Как показал В. П. Шунков [5], при a bG теорема 1 из [1] неверна. Случай, когда |a| · |b| =8 в [2] был выделен в объект отдельного исследования.

Теорема 1. Пусть G — бесконечная группа, a и b — элементы из G, один из которых инволюция, второй — элемент порядка 4 и в G выполняется (a, b)-условие конечности. Тогда либо G обладает конечной периодической частью, либо a и b принадлежат f-локальным подгруппам, содержащим бесконечно много элементов конечного порядка.

Когда в группе все элементы простых порядков обобщенно конечны и это свойство наследуется всеми ее сечениями по периодическим нормальным подгруппам, она называется обобщенной группой Шункова.

Теорема 2. Обобщенно конечная группа Шункова либо обладает конечной периодической частью, либо содержит бесконечнуюлокально конечнуюподгруппу.

Работа поддержана Российским фондом фундаментальных исследований (код проекта 09-01-00395).

Список литературы [1] Созутов А. И., Янченко М. В. О существовании в группе f -локальных подгрупп. Сиб. мат. журн., 47 (2006), N. 4, 898–913.

[2] Созутов А. И., Янченко М. В. F -локальные подгруппы в группах с обобщенно конечным элементом порядка 2 и 4. Сиб. мат. журн., 48 (2007), N. 5, 1150–1157.

[3] Янченко М. В. F -локальные подгруппы групп с инволюциями. Сб. тр. сем. ”Математические системы”. Красноярск: КрасГАУ, 2007. Вып. 6, 122–127.

[4] Сенашов В. И., Шунков В. П., Яковлева Е. Н. Группы с конечной периодической частью. Тез.

докл. Международ. конф. ”Алгебра и её приложения”. Красноярск, 2002, 105–106.

[5] Шунков В. П. T0-группы. Новосибирск: Наука. Сибирская издательская фирма РАН, 2000.

Сибирский федеральный университет, Красноярск Мальцевские чтения 2009 Теория групп Вербальные подгруппы групп треугольных и унитреугольных матриц над полем произвольной характеристики Ю. В. Сосновский В работе [1] были описаны вербальные подгруппы групп верхних треугольных Tn(K), верхних унитреугольных UTn(K), бесконечномерных треугольных T (K) и бесконечномерных унитреугольных UT(K) матриц над произвольным полем характеристики 0. Оказалось, что вербальные подгруппы групп UTn(K) и UT(K) совпадают с членами их нижних центральных рядов — с группами унитреугольных матриц m m UTn (K) и UT (K) с (m - 1)-ой нулевой диагональю выше главной. У вербальных подгрупп групп треугольных матриц Tn(K) и T (K) несколько больше возможностей. Они либо совпадают с вербальными подгруппами соответствующих групп унитреугольных матриц, либо являются произведениями одной из вербальных подгрупп s s Vx (Dn(K)), Vx (D(K)) групп диагональных матриц и всей группы соответствующих s унитреугольных матриц. Здесь через Vx (G) обозначена вербальная подгруппа, порожденная значениями слова xs на элементах группы G, под группами бесконечномерных треугольных, унитреугольных и диагональных матриц в [1] понимаются прямые пределы: T (K) = lim(Tn(K), n), UT(K) = lim(UTn(K), n), D(K) = lim(Dn(K), n), а - - через n обозначено вложение матриц из группы Tn(K) в группу Tn+1(K) путем приписывания к матрице из Tn(K) снизу строки (0,..., 0, 1) и справа такого же столбца.

По поводу описания нижних центральных рядов группы UTn(K) (см., например, [2], упражнение 16.1.2).

В нашей работе описаны вербальные подгруппы групп треугольных, унитреугольных, финитарно треугольных FT(K) и финитарно унитреугольных FUT(K) матриц над полями произвольной характеристики. Описание остается почти таким же, как и для случая полей нулевой характеристики, с небольшими уточнениями для групп Tn(K) и FT(K). Поясним, что под финитарно треугольной мы понимаем бесконечную верхнюю треугольную матрицу, строки и столбцы которой занумерованы натуральными числами и компоненты которой отличны от компонент единичной матрицы лишь в конечном числе мест.

Теорема 1. Пусть K — произвольное поле, а n — произвольное натуральное число, большее 1. Тогда всякая вербальная подгруппа группы верхних унитреугольных матриц UTn(K) совпадает с одним из членов нижнего центрального ряда этой группы.

Теорема 2. Пусть K — произвольное поле. Тогда всякая вербальная подгруппа группы финитарно унитреугольных матриц FUT(K) совпадает с одним из членов нижнего центрального ряда этой группы.

Теорема 3. Пусть K — произвольное поле, а n — произвольное натуральное число, большее 1. Тогда всякая вербальная подгруппа группы верхних треугольных матриц Tn(K) либо совпадает с одной из вербальных подгрупп группы верхних униs треугольных матриц UTn(K), либо совпадает с произведением Vx (Dn(K)) · UTn(K), где s — некоторое натуральное число, не делящееся на q - 1 в случае конечного поля K из q элементов.

Теорема 4. Пусть K — произвольное поле. Тогда всякая вербальная подгруппа группы финитарно треугольных матриц FT(K) либо совпадает с одной из вербальных подгрупп группы финитарно унитреугольных матриц FUT(K), либо совпадает с проs изведением Vx (FD(K))·FUT(K), где s — некоторое натуральное число, не делящееся на q - 1 в случае конечного поля K из q элементов.

Мальцевские чтения 2009 Теория групп Кроме того в [1] для полей характеристики 0 доказывалось равенство единице ширины вербальных подгрупп групп унитреугольных матриц UTn(K) и UT(K) относительно естественного множества порождающих — коммутаторов [x1, x2,..., xm] веса m. В доказательстве леммы 5, предшествовавшей доказательству этого утверждения, использовалась обратимость матрицы B - 1, но B из UTn(K) и матрица B - необратима. Несмотря на эту погрешность в доказательстве, само утверждение о ширине оказывается справедливым для полей любой характеристики.

Теорема 5. Пусть K — произвольное поле, а m, n — произвольные натуральm ные числа, причем n 2 и n m. Тогда ширина вербальных подгрупп UTn (k) m и FUT (K) относительно множества порождающих — коммутаторов [x1, x2,..., xm] веса m — равна единице.

Список литературы [1] Bier A. Verbal subgroups in the group of triangular matrices over field of characteristic 0. J. Algebra, 321 (2009), N. 2, 483–494.

[2] Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. 3-е изд. М.: Наука, 1982.

Новосибирский государственный педагогический университет, Новосибирск E-mail:yurysosnovsky@mail.ru Мальцевские чтения 2009 Теория групп О группах ограниченных подстановок множеств целых и натуральных чисел Н. М. Сучков, Н. Г. Сучкова Подстановка g числового множества M называется ограниченной, если (g) =max | - g| <.

M Пусть F — группа всех ограниченных подстановок множества целых чисел, H — её подгруппа, порождённая элементами конечных порядков. Ранее было установлено, что H факторизуется двумя локально конечными подгруппами и в неё изоморфно вложимы любая счётная свободная группа, некоторые периодические не локально конечные группы [1, 2].

Изучаются сходства и различия группы F и группы G всех ограниченных подстановок множества натуральных чисел.

Теорема 1. Группы F и G не являются изоморфными.

Теорема 2. G = AB, где A, B — локально конечные подгруппы.

Теорема 3. G = g | g G, (g) =1.

Указанные порождающие элементы группы G являются инволюциями.

Теорема 4. F = f | f F, (f) =1.

Кроме инволюций в данных порождающих содержатся два элемента бесконечного порядка.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант № 09-01-00395.

Список литературы [1] Сучков Н. М. Пример смешанной группы, факторизуемой двумя периодическими подгруппами.

Алгебра и логика, 23 (1984), N. 5, 573–577.

[2] Сучков Н. М. О подгруппах произведения локально конечных групп. Алгебра и логика, 24 (1985), N. 4, 408–413.

Сибирский федеральный университет, Красноярск Мальцевские чтения 2009 Теория групп Универсальная эквивалентность и строение ассоциатора коммутанта частично коммутативных абелевых групп Е. И. Тимошенко Две группы G и H называются универсально эквивалентными, если их универсальные теории совпадают.

Пусть конечный простой граф на множестве вершин X = {x1,..., xn}. Частично коммутативная метабелева группа S задана представлением S = x1,..., xn | [xi, xj] =1 (xi, xj) в многообразии метабелевых групп.

Выбросим из графа все крайние вершины и инцидентные им ребра. Полученный граф будем обозначать.

Pages:     | 1 |   ...   | 8 | 9 || 11 | 12 |   ...   | 29 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.