WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 10 |

Томский Государственный Университет E-mail: Zhenya4549@mail.ru В работе рассматриваются теоремы существования и единственности решения задачи Коши. Теоремы существования дают возможность находить решение задачи Коши приближенно, если оно не принадлежит ни одному из типов уравнений, интегралы которых находятся элементарными приемами.

Постановка задачи Коши: Требуется найти решения уравнения y' =f(x,y) или (1) x удовлетворяющее начальному условию у=у0 при х=х0. (2) Теорема о существовании решения (теорема Пеано): Пусть функция f(x,y) непрерывна в открытой области D плоскости xy. Тогда через каждую точку (x0,y0) области D проходит, по крайней мере, одна интегральная кривая уравнения y' =f(x,y), и каждая из этих x кривых может быть продолжена в обе стороны вплоть до границы любой замкнутой области, целиком содержащейся в D и содержащей точку (x0,y0) внутри себя.

Теорема о единственности решения (теорема Осгуда): Если функция f(x,y) для любой пары точек (x,y1) и (x,y2) области D удовлетворяет условию, (3) где при 0 непрерывна и такова, что когда, то через каждую точку (x0,y0) области D проходит не больше одной интегральной кривой уравнения (1).

Теорема о существовании и единственности решения (теорема Пикара): Пусть в замкнутой области D на плоскости (x,y)функция f(x,y)ограничена, непрерывна по и удовлетворяет условию Липшица по y:

.

Тогда для любой внутренней точки (x0,y0) из D можно указать такой заключающий внутри себя точку x0 замкнутый интервал [a,b] на оси Ox, на котором существует единственное решение дифференциального уравнения (1) при условии (2).

В курсовой работе приведены примеры функций (, для которых выполнены условия теоремы Пеано и Осгуда, но выполнены или не выполнены условия теоремы Пикара. При выполнении теоремы Пикара выполнены условия теорем Пеано и Осгуда.

ЛИТЕРАТУРА 1. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений/И.Г. Петровский - Москва Физматлит, 2009, 207с.

Статистический анализ временных рядов Васильева О.В.

Научный руководитель: Емельянова Т.В.

Томский государственный университет В данной работе исследуются данные, предоставленные брокерской компанией «АЛОР», по купле-продаже ценных бумаг Сбербанка России. По этим данным методом наименьших квадратов был проведен анализ зависимости цены акции от времени в период экономического кризиса и в период относительной стабильности экономики. С помощью критерия Дарбина-Уотсона была определена автокорреляция в остатках, и, применив обобщенный МНК, оценены параметры уравнений регрессии, содержащих автокорреляцию в остатках.

Но главная задача заключалась в решении следующей экстремальной задачи:

Можно представить себе модель, в которой колебания цен на акции в течение единичного периода времени (например, день) опи сываются броуновским движением (разумеется, это интерпретация, так как цены не бывают отрицательными) и требуется выбрать момент для самой выгодной в среднем квадратическом смысле * продажи акций. Решение этой задачи дает следующая теорема:

Теорема (Граверсен, Пешкир, Ширяев).

* inf{t [0;1]: St Wt z* 1 t}, где St maxWs,t [0;1], 0sа константа z* находится из уравнения 4(z*) 2(z*) 3 0, здесь и - соответственно функция распределения и плотность стандартной нормальной величины.

ЛИТЕРАТУРА 1. Булинский А.В. Теория случайных процессов/А.В. Булинский, А.Н.

Ширяев. – М.: Физматлит, 2005.-408 с.

2. Ширяев А. Н. Основы стохастической финансовой математики/А.Н.

Ширяев. – М.: Фазис, 1998. – 512 с.

Вклад Леонардо Эйлера в математический анализ Дериглазова И.А.

Научный руководитель: доцент, к. ф. – м. н. Александров И.А.

Томский государственный университет E-mail: innusik_kz_91@mail.ru Л.Эйлер – самый продуктивный математик в истории, автор более чем 800 работ по математическому анализу, дифференциальной геометрии, теории чисел, приближённым вычислениям, небесной механике, математической физике, оптике, баллистике, кораблестроению, теории музыки и др. Он внёс очень большой вклад в развитие математического анализа. Цель моей работы – изучить историю развития математического анализа в восемнадцатом веке и как Л.Эйлер повлиял на этот процесс.

В восемнадцатом веке происходил значительный прогресс анализа бесконечно малых. Благодаря влиянию Бернулли (друзей семьи Эйлера), исследования в этом направлении стали основными в работах Эйлера. Эйлер хорошо известен в анализе с частого использова ния и развития степенных рядов, выражающих функцию в виде суммы бесконечного множества степенных функций.

Геометрический смысл формулы Эйлера Эйлер начал использование в аналитических доказательствах экспоненты и логарифмов.

Ему удалось разложить в степенной ряд логарифмическую функцию и, посредством этого расписания, определить логарифмы для отрицательных и комплексных чисел. Он также расширил множество определения экспоненциальной функции на комплексные числа, и обнаружил связь экспоненты с тригонометрическими функциями, с помощью чего Эйлер вывел свою знаменитую формулу:

В дальнейшем будут рассмотрены частные случаи формулы Эйлера, а также другие факты из жизни Эйлера, его достижения в математическом анализе.

ЛИТЕРАТУРА 1. Артемьева Т.В. Леонард Эйлер как философ//Философия в Петербургской Академии наук XVIII века.-СПб.:1999.-182с.

2. Делоне Б.Н. Леонард Эйлер//Квант.-1974.-№5.

3. К 250-летию со дня рождения Л.Эйлера:Сборник.-Изд-во АН СССР,1958.

4. Математика XVIII столетия/Под редакцией А.П.Юшкевича.-М.:Наука, 1972.-Т.3. – (История математики в 3-х томах).

5. Полякова Т.С. Леонард Эйлер и математическое образование в России. – КомКнига, 2007. – 184с.

6. Юшкевич А.П. История математики в России. –М.: Наука,1968.

Исследование отображения на круговой счетноугольник с симметрией переноса Колесников И. А.

Научный руководитель: доцент, к.ф.м.н. Копанева Л.С.

Томский государственный университет E-mail: Ivan-delfin@list.ru Область будем называть круговым односвязным счетноугольником, если она является областью типа полуплоскости, односвязна и ее граница состоит из счетного числа дуг окружностей. Область считаем областью с симметрий переноса вдоль вещественной оси, если =L(), где L(w)=w+T. Если при преобразованиях L(w)=w+T среди всех простых концов границы области в точке w= неподвижным остается только один простой конец, то такую область будем называть областью типа полуплоскости.

Для функции f(z), однолистно и конформно отображающей верхнюю полуплоскость П+={z: Imz>0} на круговой односвязный счетноугольник с симметрией переноса вдоль вещественной оси на 2, получено дифференциальное уравнение 0 n f (z) 3 f (z) 1 (s )2 2M sin(as z) s g(z) f (z) 2 f (z) 8 as z ssinЗдесь s=1,…,n - прообразы вершин счетноугольника, приas, As надлежащие промежутку [0,2), углы при этих вершинах - соответственно s, s=1,…,n. Целая функция g(z) подлежит определению из условий конкретной задачи. Константы Ms, s=1,…,n - вычеты производной Шварца функции f(z) в точках.

as Для одного из частных случаев уравнение для отображающей функции сведено к уравнению Римана, функция записана с помощью гипергеометрических интегралов. Уравнение соответствующее другому частному случаю исследовано методом Хилла.

ЛИТЕРАТУРА 1. Александров И.А. Теория функций комплексного переменного. Томский государственный университет, Томск, 2002.

2. Уиттекер Э. Т., Ватсон Дж. Н. Курс современного анализа. чI, II. Москва 1963г.

3. Голубев В. В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. Москва 1950г.

Приемы разложения в ряд Тейлора и исследование этих разложений Молчанова Н. В.

Научный руководитель: ст. преподаватель Емельянова Т. В, Томский государственный университет E-mail: niaren@mail.ru Ряд Тейлора — разложение функции в бесконечную сумму степенных функций. Ряд назван в честь английского математика Тейлора, хотя ряд Тейлора был известен задолго до публикаций Тейлора его использовали ещё в XVII веке Грегори, а также Ньютон.

Основными приемами разложения дифференцируемых функций в ряд Тейлора являются:

Непосредственное разложение функции в ряд Тейлора;

Использование основных табличных разложений;

Использование операций над рядами;

Почленное интегрирование ряда.

a x В работе рассматривается вычисление интеграла dx, леe жащего в основе нормального распределения и широко используемого в теории вероятностей и математической статистике.

Об области значений функционала в задаче о неналегающих областях Пчелинцев В.А.

Научный руководитель: профессор, д.ф.м.н. Александров И.А.

Томский государственный университет E-mail: VPchelintsev@vtomske.ru Задачи о неналегающих областях имеют богатую историю и непосредственно связаны с различными экстремальными вопросами геометрической теории функций комплексного переменного.

Один из первых результатов принадлежит М.А. Лаврентьеву. В дальнейшем такого типа задачи были рассмотрены в работах П.П.

Куфарева, Г.М. Голузина, Н.А. Лебедева и других математиков. В данной работе исследуется область значений E функционала ln f (z0 ) ln F(0 ) (1) 0 z0 при фиксированных z0 и 0 соответственно из и 1 в классе M. Для исследования этой задачи используется метод внутренних вариаций. Приводятся наиболее яркие результаты, в частности, выводы вариационных формул в классе M. Установлено необходимое условие для экстремальных функций f(z), F() этого функционала. Доказана следующая лемма:

Лемма. Пусть f(z), F() экстремальные функции функционала (1). Тогда множества f(U) и F(U*), где U – единичный круг и U* – его внешность, одновременно не имеют внешних точек.

Получены дифференциальные уравнения для экстремальных функций.

Теорема. Каждая экстремальная пара функций (f(z),F())M функционала (1) удовлетворяет функционально-дифференциальным уравнениям zf (z) 1 1 C ei, f (z) f (z) F() f (z) f (r) (r z)(1 rz) F ( ) 1 1 D ei, F( ) F( ) F() F( ) f (r) ( )(1 ) где rf (r) F () C ei (1 r2 ) 0; D ei ( 1) 0.

f (r) F() Проведен анализ полученных уравнений.

ЛИТЕРАТУРА 1. Александров И.А. Методы геометрической теории аналитических функций/ И.А. Александров. - Томск: Том. гос. ун-т, 2001, 220с.

2. Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного/ Г.М.Голузин. М.: Наука, 1966, 628с.

3. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т. 3 ч.2/ В.И. Смирнов. СПб:

БХВ Петербург, 2010, 816с.

Числа Фибоначчи и другие рекуррентные последовательности Чернодубова К.С.

Научный руководитель: профессор, Александров И. А.

Томский государственный университет E-mail: ksy-103@mail.ru В элементарной математике существует много задач, часто трудных и интересных, которые не связаны с чьим-либо именем, а скорее носят характер своего рода «математического фольклора».

Эти задачи нередко имеют хождение в нескольких вариантах; иногда несколько таких задач объединяют в одну, более сложную; иногда, наоборот, одна задача распадается на несколько более простых;

словом, часто, оказывается, трудно различить, где кончается одна задача и начинается другая. Правильнее всего было бы считать, что в каждой из таких задач мы имеем дело с маленькими математическими теориями, имеющими свою историю, свою проблематику и свои методы – все это, разумеется, тесно связано с историей, проблематикой и методами «большой математики.

Такой теорией являются и теория чисел Фибоначчи. Выросшие из знаменитой «задачи о кроликах», имеющей более семисот пятидесятилетнюю давность, числа Фибоначчи до сих пор остаются одной из самых увлекательных глав элементарной математики.

Кроме того, и это являются фундаментальным фактом истории математики нашего времени, существенно сместился центр математических исследований в целом. В частности, утратила свои доминирующие позиции теория чисел и резко повысился удельный вес экстремальных задач. В самостоятельную отрасль математики сложилась теория игр. По существу возникла вычислительная математика.

Наконец было установлено довольно большое количества ранее неизвестных свойств чисел Фибоначчи, а к самим числам существенно возрос интерес. Значительное число связанных с математикой людей в различных странах приобщились к благородному хобби «фибоначчизма».

Отображение с симметрией переноса Шелковникова М.Г.

Научный руководитель: доцент, к. ф. - м. н. Копанева Л. С.

Томский государственный университет E-mail: shelkovnikova-m@mail.ru Пусть область D есть односвязная область с симметрией переноса вдоль вещественной оси типа полуплоскости, граница которой состоит из отрезков прямых и лучей, причем при движении по границе от точки до w0 w0 2 их должно быть конечное число. Будем такую область называть счетноугольником.

Теорема. Для отображения f из класса X2, переводящего верхнюю полуплоскость в счетноугольник, имеет место формула Шварца-Кристоффеля z ( n ak0) z f (z) csin dz c z0 k( где c1,c2 - комплексные постоянные, прообразы ak0) (0, 2 ) вершин счетноугольника с углами k.

Изучаются частные случаи отображений, область которых представляет собой исключенные 3-х и 4-х угольники. В случае если 4-х угольник является прямоугольником, формула КристоффеляШварца для полуплоскости с исключенным прямоугольником примет вид:

z cos z f (z) c1 dz c zcos z ЛИТЕРАТУРА 1. Александров И.А. Теория функций комплексного переменного / И.А.

Александров. - Томск: Том. гос. ун-т, 2002, 510с.

2. Лаврентьев М.А., Шабат Б. В. Методы теории функции комплексного переменного/М.А. Лаврентьев.- М.: Наука 1987, 688с.

Об одном совершенном семействе множеств Шишкова А.А.

Научный руководитель: д.ф.м.н. Касаткина Т.В.

Томский государственный университет E-mail: Shishkova@sibmail.com Как известно, если числовое множество является замкнутым, без изолированных точек (т.е. любая точка этого множества является предельной), то его принято называть совершенным. Фундаментальным результатом, относящимся к совершенным множествам, является то, что всякое непустое совершенное множество из R несчетно, более того его мощность равна мощности множества R. Самым знаменитым примером совершенного нигде ни плотного множества нулевой меры является канторово множество C. Этот пример был построен немецким математиком Гергом Кантором, поэтому множество названо в его честь.

Метод построения канторова множества в несколько измененном виде можно применить для построения целого семейства линейных дисконтинуумов положительной меры.

Пусть 0<<1. Из отрезка [0;1] на первом шаге выбросим интервал с центром в точке длины. Из двух оставшихся отрезков удалим средние открытые интервалы, длина каждого из которых равна. На n шаге мера удаленных открытых интервалов будет равна (+++…+2-n). После бесконечного числа удалений открытых интервалов меры, оставшееся множество А меры (1-) назовем канторовым множеством положительной меры. Построенное таким образом семейство множеств { А | 0< <1} является нигде неплотным совершенным множеством и имеет мощность равную мощности множества R.

Легко показать, что все канторовы множества положительной или нулевой меры гомеоморфны. Более того, существует гомеоморфизм f отрезка[0;1] на отрезок [0;1], такой, что f(C )= А.

ЛИТЕРАТУРА 1. Б.Гельбаум, Дж. Олмстед Контрпримеры в анализе – Москва, 2007г..

2. Математическая энциклопедия.

Экспоненты дробного анализа целочисленного порядка Чуриков В.А.

Томский политехнический университет, E-mail: vachurikov@list.ru В случае дробном анализе целочисленных порядков [1] имеет место экспоненциальное вырождение, в соответствии с которым ветвь дробного анализа целочисленного порядка n имеет n2 экспонент.

В работе [2], были рассмотрены три экспоненты из девяти в целочисленном дробном анализе порядка 3. Все девять экспонент удобно представить в виде матрицы экспонент порядка ( ( (1|3) exp31|1) (1x) exp31|2) (2 x) exp3 (3 x) exp( p| ) (x) exp( 2|1) (1x) exp(2|2) (2 x) exp(1|3) (3 x) 1,2,3.

3 3 3 3 ;p, ( exp(3|1) (1x) exp33|2) (2x) exp(1|3) (3 x) 3 Здесь элементами матрицы являются экспоненты разных номеров p и с разными константами, которые удовлетворяют уравнению инвариантности 1. Всего будет 3 решения этого уравнения, которые названы корнями инвариантности и легко находятся по формуле Муавра, 1 3 1 1 1;2 i ;3 i.

2 2 2 Тогда ряды для всех девяти экспонент порядка 3 легко выразить.

В случае первого корня инвариантности 1 1, получим три основных экспоненты, одну главную и две дополнительные, соответственно первого, второго и третьего номера x3n2 x2 x5 x( ( exp(1|1)(x) exp31) (1x) exp31)(x)...;

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 10 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.