WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 10 |

Томский государственный университет E-mail: kevroleva@mail2000.ru Эллиптическая кривая над конечным полем Fq, q qn, E(Fq ) представляет собой множество точек (x, y), состоящее из решений уравнения y2 x3 ax b a,b Fq, и бесконечно удаленной, точки. На этом множестве точек определена операция сложения, придающая эллиптической кривой структуру абелевой группы. Нулевым элементом является бесконечно удаленная точка.

В криптографии эллиптические кривые рассматриваются над двумя типами конечных полей: простыми полями нечетной характеристики (, где p >3 – простое число) и полями характеристиp ки 2.

Порядок группы точек эллиптической кривой находится в интервале [ p 1 2 p, p 1 2 p]. Если порядок группы выбран гладким относительно некоторой границы, то алгоритм целочис ленной факторизации на эллиптических кривых с высокой вероятностью находит нетривиальные множители числа n. В случае неудачи алгоритм повторяется для другой группы точек эллиптической кривой.

Алгоритм Ленстры [1](гл. 5, §4) используется для выявления простых делителей числа. Если полученное после работы алгоритма число все еще является составным, то остальные сомножители – большие числа. При увеличении количества кривых шансы найти простой сомножитель возрастают, но зависимость «количество цифр числа – количество эллиптических кривых» экспоненциальная.

ЛИТЕРАТУРА 1. Росошек С.К. Специальные главы математики (Математические основы криптографии). Часть 2:Учебное пособие. – Томск: Изд. Томский гос. ун-т систем управления и радиоэлектроиники,2005. – 190 с.;

2. Кнэпп. Э. Эллиптические кривые. Пер с англ. Ф.Ю. Попеленского. – М.:

Изд-во «Факториал пресс», 2004. – 488 с.;

3. Коблиц Н. Курс теории чисел и криптографии. – М: Научное изд-во ТВП, 2001. – 254 с.;

4. Болотов А.А., Гашков С.Б., Фролов А.Б., Часовских А.А. Элементарное введение в эллиптическую криптографию: Алгебраические и алгоритмические основы. – М: КомКнига, 2006. – 328 с.;

5. Василенко О.Н. Теоретико-числовые алгоритмы в криптографии. – М.:

МЦНМО, 2003. – 328 с.

Квантовые компьтеры.

Горбунов Е.С., Ковалёва Т.Л.

Научный руководитель: Росошек С.К..

Томский государственный университет E-mail: Ghostman@sibmail.com Идея построения квантового компьютера принадлежит Р. Фейнману. Эти компьютеры радикально отличаются от классических:

квантовый процессор может находится одновременно во всех базисных состояниях. Основной частью квантового компьютера является квантовый регистр-совокупность некоторого числа кубитов.

Квантовый компьютер использует для вычисления не обычные (классические) алгоритмы.

Квантовое вычисление есть контролируемая классическим управляющим компьютером последовательность унитарных операций простого вида (над одним, двумя или тремя кубитами). В конце вычисления состояние квантового процессора измеряется, что и дает искомый результат вычисления.

Алгоритм Гровера — быстрый квантовый алгоритм решения задачи перебора. Его смысл состоит в «подскоке амплитуды» целевого состояния за счет убывания амплитуды всех других состояний Алгоритм Гровера также может быть использован для нахождения медианы и среднего арифметического числового ряда. Кроме того, он может применяться для решения NP-полных задач путем исчерпывающего поиска среди множества возможных решений.

Алгоритм Шора — это квантовый алгоритм факторизации. Значимость алгоритма заключается в том, что при использовании квантового компьютера с несколькими сотнями логических кубитов, он сделает возможным взлом криптографических систем с открытым ключом.

Алгоритм Дойча — Джоза заключается в определении, является ли функция двоичной переменной f (n) постоянной) или сбалансированной. Это один из первых примеров алгоритмов, предназначенных для выполнения на квантовых компьютерах.

Алгоритм телепортации реализует точный перенос состояния одного кубита (или системы) на другой.

Теоретически разработаны следующие модели квантового компьютера: импульсный ядерный магнитно-резонансный (ЯМР) спектрометр высокого разрешения, использование ионных ловушек, квантовый компьютер на твердом теле.

Как бы ни развивалась технология квантовых вычислителей, они вряд ли целиком и полностью заменят классические компьютеры. В лучшем случае, как представляется автору, будут созданы квантовые сопроцессоры, ответственные за определенные типы вычислений.

Логические исчисления Милютченко С.В.

Научный руководитель: профессор, д.ф.м.н. Гриншпон С.Я.

Томский государственный университет E-mail: sergei_ne@sibmail.com Современная логика является историческим преемником традиционной логики и в некотором смысле её прямым продолжением.

Но в отличие от традиционной, для современной логики характерно построение различного рода формализованных теорий логического рассуждения, т. е. логических исчислений. Логические исчисления позволяют сделать логические рассуждения предметом строгого анализа и тем самым полнее описать их свойства.

В данной работе рассматриваются следующие логические исчисления: исчисление высказываний и исчисление секвенций. Доказано следующее утверждение:

Если секвенция A B доказуема и не доказуемы секвенции A и B, то существует формула C, переменные которой входят как в A, так и в B, такая, что доказуемы следующие секвенции: A C и C B Прямые суммы циклических абелевых групп с чистыми кольцами эндоморфизмов Сорокин К.С.

Научный руководитель: профессор, д.ф.-м.н. Крылов П.А.

Томский государственный университет E-mail: Sorokin_k@list.ru Пусть R– кольцо с единицей, элемент a кольца R называется чистым, если a=e+u, где e– идемпотент, а u– обратимый элемент кольца R. Кольцо R называется чистым, если всякий его элемент чистый.

Понятие чистого кольца было предложено Николсоном в 1977 году [3] как пример кольца, в котором идемпотенты поднимаются по модулю любого левого (правого) идеала.

В случае, когда R является кольцом эндоморфизмов некоторого модуля, появляются новые описания свойства чистоты элементов кольца R, которые могут оказаться полезными при изучении условий чистоты кольца R. Поскольку абелевы группы являются Zмодулями, возникает естественная задача о нахождении необходимых и достаточных условий чистоты колец эндоморфизмов абелевых групп.

В результате проведённых исследований, были получены следующие результаты.

Теорема 1. Кольцо эндоморфизмов ограниченной группы чистое.

Теорема 2. Пусть A– прямая сумма циклических групп и f – её эндоморфизм. Если L– прямое слагаемое группы A, содержащее образ f(A), причём fL– чистый эндоморфизм группы L, то f– чистый эндоморфизм группы A.

Следствие 1. Пусть A– прямая сумма циклических групп и f – её эндоморфизм. Если высоты ненулевых элементов образа f(A) ограничены в совокупности, то f– чистый эндоморфизм группы A.

ЛИТЕРАТУРА 1. Крылов П.А., Михалев А.В., Туганбаев А.А. Абелевы группы и их кольца эндоморфизмов. – М: Факториал Пресс, 2006.

2. Туганбаев А.А. Теория колец.– М.: МЦНМО, 2009.

3. Nicholson W.K. Lifting idempotents and exchange rings // Trans. Amer. Math.

Soc. 1977, № 229. p. 269–278.

4. Han J., Nicholson W.K. Extension of clean rings // Commun. Algebra. 2001, V.29, №6. p. 2589-2595.

5. Nicholson W. K., Varadarajan K., Zhou Y. Clean endomorphism rings // Arch.

Math. 2004, №83. p. 340–343.

6. Camillo V.P., Khurana D., Lam T.Y., Nicholson W.K., Zhou Y. Continuous modules are clean // J. Algebra. 2006, №304. p. 94–111.

СЕКЦИЯ «ГЕОМЕТРИЯ» Математическая модель процесса сближения двух поверхностей в пространстве Камчатный С.А.

Научный руководитель: доцент, к.ф.-м.н. Щербаков Н.Р.

Томский государственный университет E-mail: kam-serega2030@sibmail.com Современные многокоординатные станки с ЧПУ, способны обрабатывать поверхности весьма сложной конфигурации, но точность этой обработки, заложенная в компьютерной программе станка, не всегда удовлетворяет заказчика. Поэтому возникает необходимость создания специальной компьютерной программы управления движением фрезы, обрабатывающей деталь.

Выходная деталь образована плоскопараллельным движением циклоидальной кривой (эквидистанты эпитрохоиды). Поверхность фрезы – сфера. Необходимо найти координаты точек касания фрезы с выходной деталью при условии, что координаты центра сферы лежат в фиксированной плоскости. Это условие приводит к системе трех уравнений на 4 неизвестных, которая позволяет находить координаты центра сферы для каждой выделенной координатной линии на поверхности выходной детали. На рис.1 показано множество всех точек касания фрезы с деталью.

Рис. Хроматическое число. Трехмерный случай Тарновская Е. П.

Научный руководитель: к.ф.м.н. Корякина Е. Е.

Томский государственный университет E-mail: elenatarnovskaya@sibmail.com Определение 1. Хроматическим числом евклидова пространства называется величина ( ), равная минимальному количеству цветов, в которые можно так раскрасить все точки, чтобы расстояние между точками одного цвета не могло оказаться равным единице.

Определение 2. Множество точек A на плоскости называется (M, D) -критической конфигурацией, если мощность множества A (т. е. число элементов в A ) равна M и в то же время в любом подмножестве F множества A, таком, что # F D 1, найдётся пара точек F1, F на расстоянии 1.

Определение 3. Решёткой в пространстве называется множество всех точек вида ax b y cz (ax1 by1 cz1, ax2 by2 cz2, ax3 by3 cz3 ), где векторы x (x1, x2, x3 ), y ( y1, y2, y3 ) и z (z1, z2, z3), а величины a, b и c принимают любые целочисленные значения.

Векторы x, y и z образуют базис решётки.

Определение 4. Разбиением пространства на многогранники называется бесконечное множество T, состоящее из таких (многогранных) тел T1, T2,..., что их объединение T1 T2... совпадает со всем и что любые две из них пересекаются, как максимум, по элементам границы (граням, ребрам, вершинам).

Для ( ) можно получить соответствующие оценки и зазор между ними, по сравнению с оценками ( ) плоскости, возрастает. Рассмотрим следующие теоремы.

Теорема 1 (Д. Е. Райский, 1970). Имеет место неравенство ( ) 5.

Теорема 2 (Д. Кулсон, 2000). Имеет место неравенство ( ) 15.

Проблема раскраски пространства с помощью многогранников заключается в том, что сами многогранники должны иметь диаметр, меньший единицы и расстояние между многогранниками одного цвета должно быть больше единицы. Оценка ( ) 27 получена с помощью общего метода, т. к. кубы суть многогранники Вороного 3 для решётки. Оценка ( ) 21 доказывается за счёт рассмотрения решётки, порождённой базисом из векторов (1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1); оценка ( ) 18 следует из свойств разбиения Вороного 1 1 для решётки с базисом (1, 0, 0),,, (0, 0, 1), а результат, 2 2 теоремы 2 обусловлен структурой решётки, построенной на векто 2 2 2 2 2 2 2 2 рах.

,, 0, 0,,,,, 3 5 5 3 5 5 3 5 ЛИТЕРАТУРА 1. Райгородский А. М. Хроматическое число плоскости. //Математическое просвещение. - вып. - 28 - 2003. - с. 13 - 19.

СЕКЦИЯ «ГИДРОМЕХАНИКА» Сравнительный анализ различных подходов к решению плоской задачи теплопроводности Гусев С.И.

Научный руководитель: доцент, к.ф.-м.н. Шеремет М.А.

Томский государственный университет E-mail: gusev@mexmat.org Исследование численных методик решения прикладных задач математической физики позволяет определить наиболее оптимальные и эффективные подходы к моделированию процессов тепломассопереноса в различных технологических системах [1]. Знание основных положений каждого из возможных вариантов численной реализации краевых задач помогает выбрать наиболее удачный подход к решению конкретной задачи.

В настоящей работе проведен сравнительный анализ методов конечных разностей и контрольного объема применительно к решению двумерной нестационарной задачи теплопроводности. Установлены масштабы влияния сеточных параметров на время численной реализации задачи, а также на погрешность вычислений. Показаны некоторые преимущества метода контрольного объема, обусловленные консервативностью получаемых разностных схем, а также несущественным влиянием вида разностной сетки на алгоритм построения сеточных уравнений. Необходимо отметить, что на основе метода контрольного объема можно проводить анализ гидродинамики и теплопереноса в естественных переменных «скорость – давление» [1], не прибегая при этом либо к введению дополнительных слагаемых в уравнение неразрывности (метод искусственной сжимаемости [2]), либо к преобразованию переменных (переход к переменным «функция тока – завихренность» [2, 3]).

ЛИТЕРАТУРА 1. Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости. – М.: Энергоатомиздат, 1984. – 152 с.

2. Пасконов В.М., Полежаев В.И., Чудов Л.А. Численное моделирование процессов тепло- и массообмена. – М.: Наука, 1984. – 288 с.

3. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. – М.: Мир, 1980. – 616 с.

Математическое моделирование упругого контактирования двух гуковских тел сложной формы Диль Д.О.

Научный руководитель: профессор, д.ф.-м.н. Бубенчиков А.М.

Томский государственный университет gradpower@list.ru В настоящее время при прочностном расчёте различных механизмов часто используется аналитическое решение задачи Герца.

Но поскольку оно осуществлено только для простых видов контактирующих поверхностей, возникает необходимость численного расчёта контакта деталей со сложными поверхностями. В данной работе проведены расчёты в двумерной постановке, с целью дальнейшего их обобщения на трёхмерный случай.

Рассматривая стационарную задачу контактирования без учёта массовых сил и принимая во внимание несжимаемость детали, получаем уравнения Ламе в форме уравнений Лапласа, записанных в полярной системе координат. Для вала, профилем которого в сечении, перпендикулярном оси вращения, является эквидистанта эпициклоиды, будем использовать равномерную сетку, заданную таким образом, чтобы обязательно покрыть линию контакта. Осуществим доворот эксцентрика, считая большой вал недеформируемым. Для эксцентрика в качестве граничных точек сетки на линии контакта возьмём граничные точки сетки большого вала. Благодаря этому существенно упрощается определение координат точек границы, а также граничных условий для компонент вектора перемещений. На остальной части эксцентрика сетку зададим равномерно, взяв её более разреженной для экономии времени расчётов.

Заменяя частные производные разностными, получим следующий вид рассматриваемых уравнений для компонент вектора перемещений:

W 2W W 1 W W i1, j i, j i1, j i1, j i1, j (r)2 ri, j 2r 1 W W W W i, j1 i, j i, j i, j ( ) 0, ri, j 2 (j1 j )( j1) (j j1)( j1) j1 jимеющих второй порядок точности относительно шага сетки и учитывающих неравномерность шага по угловой координате.

Граница рассматриваемой области состоит из двух частей: линии контакта и свободной границы. Граничные условия на линии контакта легко определяются с использованием известных координат точек границы и условия несжимаемости. На свободной границе U условие аппроксимируем по формуле:

r 4Un1, j Un2, j имеющей также второй порядок точности.

Un, j, Используя следующее выражение для нормальной компоненты U 1 V U U тензора напряжений и считая её rr ( ) r r r r на границе равной нулю, получим следующее граничное условие V для углового перемещения:. Его разностная аппроксима U ция имеет следующий вид: V V ( ) U.

n, j1 n, j1 j 1 j1 n, j Применяя метод простой итерации, получим компоненты вектора перемещений во всей рассматриваемой области. Для реализации этих расчётов была написана программа на языке C++. Она была составлена таким образом, чтобы в дальнейшем можно было легко обобщить полученные результаты на случай плоской задачи с заранее неизвестной границей контактирования, а также на пространственный случай.

ЛИТЕРАТУРА 1. Шанников В.М. Планетарные редукторы с внецентроидным зацеплением.

– М. : ГНТИМЛ, 1948.

2. Математическое моделирование работы зубчатой реечной передачи с эксцентриково-циклоидальным зацеплением / Бубенчиков А.М. [и др.] // Вычислительные технологии. 2010. – Т. 15, № 1. – С. 53-59.

3. Математическое моделирование работы редуктора с эксцентриковоциклоидальным зацеплением / Диль Д.О. // Научная студенческая конференция механико-математического факультета: Сборник трудов конференции (Томск, 19 - 23 апреля 2010 г.) - Томск: Томский государственный университет, 2010 г. - С. 32-34.

СЕКЦИЯ «МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ» Теоремы о существовании и единственности решения задачи Коши Анциферова Е.В.

Научный руководитель: к. ф. - м. н. Малютина А.Н.

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 10 |






















© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.