WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 7 | 8 || 10 | 11 |   ...   | 18 |

Пример 3. Летняя сессия студента Гены Зубрилова выдалась очень жаркой (до +30oC ) и длинной (пять экзаменов), так что 3/подготовить он сумел только билетов по каждому предмету.

Какова вероятность, что его отчислят сразу после сессии и даже не допустят к пересдаче Решение. По правилам деканата отчисление производится сразу после сессии, если студент не сумел сдать с первого раза больше одного предмета. Будем считать, что каждый экзамен есть испы3/тание в схеме Бернулли с вероятностью успеха (сдачи) p =. В такой постановке перед нами стоит задача отыскания для случай3/ного числа Bin(5, ) вероятности P { 3}. Заметим, что противоположное событие { 4} содержит меньше элементов, поэтому лучше найти вероятность этого события, а затем воспользоваться формулой для вероятности дополнительного события:

3 P { 4} = PB 4 5, + PB 5 5, = 4 4 1 5 5 · 81 1 · 243 = C4 3 1 + C5 3 1 = + =.

5 4 4 4 4 1024 1024 100 Т е м а V. Схема Бернулли. Биномиальное распределение 648 Вероятность отчисления P { 3} = 1 - = 0.367.

1024 2. Если вероятность успеха в разных испытаниях не одинакова, тогда необходимо рассмотреть каждую перестановку единиц внутри вектора ( ) в отдельности и для каждой из них вычислить вероятность искомого события, после чего сложить все полученные результаты. Каков будет ответ на поставленный в примере вопрос, если к первому экзамену Гена подготовил 90% билетов, ко второму 85%, к третьему 80%, к четвертому 75% и к пятому 70% Вычислять биномиальные вероятности вручную не всегда удобно. Чаще всего приходится прибегать к каким-либо компьютерным средствам. Например, в руссифицированной версии пакета программ MS Excel имеется функция БИНОМРАСП (категория Статистические мастера функций), с помощью которой можно вычислять как вероятности отдельных событий = m :

PB(m|n, p) = БИНОМРАСП(m; n; p; 0), так и сумму таких вероятностей от 0 до m (обратите внимание на последний аргумент):

PB( m|n, p) = БИНОМРАСП(m; n; p; 1).

Пример 4. При клинических испытаниях новой вакцины от гриппа оказалось, что из 30 пациентов экспериментальной группы, прошедших вакцинацию, только 15 человек (50%) заболели, хотя ранее доля заболевших ежегодно составляла приблизительно 62% всего населения. Можно ли, основываясь на этих данных, признать эффективной новую вакцину Решение. Такого рода задачи относятся к прерогативе статистической теории проверки гипотез и будут изучаться в следующем семестре. Вкратце решение можно описать следующим образом. Зададимся сначала вопросом, когда бы мы признали вакцину эффективной Ответ на этот вопрос очевиден: когда количество Полиномиальная модель заболевших в экспериментальной группе было бы маленьким, точнее меньше некоторого граничного значения: C. Вычислим вероятность этого события в предположении, что ситуация не изменилась (то есть истинная вероятность заболевания осталась равной 0.62), подставив вместо константы C результат эксперимента:

P { 15} = PB( 15 | 30, 0.62) = = БИНОМРАСП(15; 30; 0.62; 1) = 0.12257.

В рамках парадигмы статистической теории проверки гипотез считается, что если в эксперименте происходит маловероятное событие, то предположения, при которых вычислена эта вероятность, должны быть признаны несправедливыми. Найденная нами вероятность не слишком мала, чтобы считать, что такой результат не мог быть получен и при неэффективной вакцине.

Подбором здесь можно найти также, что PB( 11 | 30, 0.62) = БИНОМРАСП(11; 30; 0.62; 1) = 0.и PB( 50 | 100, 0.62) = БИНОМРАСП(50; 100; 0.62; 1) = 0.0096.

Другими словами, если бы в экспериментальной группе заболевших было меньше 12 человек ( < 40% ) или если бы эта группа (при тех же 50% заболевших) состояла не менее чем из 100 пациентов, то мы имели бы значительно больше оснований для перехода на новую вакцину.

В следующем примере рассматривается ситуация, когда в каждом испытании возможно осуществление более двух исходов.

Пример 5. Пятеро студентов проживали в одной комнате общежития. Поэтому, готовясь к экзамену,,параллельно‘‘, каждый из них сумел выучить только 75 одних и тех же вопросов из 100. Какова вероятность, что на экзамене ими будет получено две 102 Т е м а V. Схема Бернулли. Биномиальное распределение пятерки, две четверки и одна тройка, если пятерка ставится за три правильных ответа, четверка за два правильных ответа и тройка за один правильный ответ на три вопроса Решение. Для каждого студента на экзамене возможно четыре исхода O5, O4, O3, O2, очевидным образом связанные с полученной оценкой. Для того чтобы подсчитать вероятности этих исходов, воспользуемся гипергеометрическим распределением, то есть предположим, что три вопроса в билете формируются путем выбора трех шаров из урны, содержащей 75 красных шаров и 25 белых шаров:

C3 · C75 P {O5} = Gg(3|100, 75, 3) = = 0.418, CC2 · C75 P {O4} = Gg(2|100, 75, 3) = = 0.429, CC1 · C75 P {O3} = Gg(1|100, 75, 3) = = 0.139, CC0 · C75 P {O2} = Gg(0|100, 75, 3) = = 0.014, CРезультат сдачи экзамена пятью студентами можно представить в виде пятимерного вектора, каждая координата которого закреплена за конкретным студентом (1, 2, 3, 4, 5). Условие задачи будет удовлетворено, если произойдет, например, событие (O5, O5, O4, O4, O3). Вероятность этого события, если считать независимым процесс сдачи экзамена студентами, равна P {(O5, O5, O4, O4, O3)} = (0.418)2 · (0.429)2 · 0.139 0.00447.

Совокупность благоприятных событий можно найти, перебрав все 5! = 120 вариантов перестановок исходов в рассмотренном нами событии. Однако некоторые из этих перестановок будут неразличимы, поскольку два места в векторе занимают одинаковые исходы O5 и два исходы O4. Легко понять, что всего имеется Полиномиальная модель 5! = = 2! · 2! · 1! различных (но равновероятных) событий, отвечающих условию задачи. Поэтому искомая вероятность равна 30 · 0.00447 0.Этот пример подводит нас к следующей модели многократно повторяющихся независимых испытаний (сравните с 10, с. 44).

Пусть E1,..., Em возможные исходы одного испытания, p1,..., pm вероятности этих исходов в каждом испытании:

pj > 0, j = 1, m, p1 +... + pm = 1.

Вероятность того, что в n испытаниях произойдут:

исход E1 j1 раз,..., исход Em jm раз, равна n! pj1 · · · pjm.

1 m j1! · · · jm! Распределение вероятностей, задаваемое этой формулой, называетсяполиномиальным распределением.

Z 2 Название объясняется следующей формулой для полинома n-ой степени:

n! m (p1 +... + pm)n = pj · · · pj, 1 m j1! · · · jm! j1+...+jm=n где суммирование распространяется на все сочетания неотрицательных целых чисел j1,..., jm, в сумме равных n : j1+...+jm = n, jl 0.

При m = 2, очевидно, имеем классический бином Ньютона.

Пример 6. Семинарские занятия посещают 3 девушки, юноши и руководитель семинара. Докладчика на каждое занятие решили выбирать случайным образом из всех 8 человек. Какова вероятность того, что в течение семестра 7 раз доклад будут проводить девушки, 7 раз юноши и 2 раза руководитель семинара 104 Т е м а V. Схема Бернулли. Биномиальное распределение Решение. Если идеализировать ситуациию и считать, что все члены семинара настолько добросовестны, что только и ждут, как бы выйти к доске и что-нибудь доложить, то мы имеем 16 испытаний в полиномиальной схеме с тремя возможными исходами:

E1 – докладчик девушка (вероятность p1 = ), E2 – докладчик юноша (вероятность p2 = ), E3 – докладчик руководитель (вероятность p3 = ).

Искомая вероятность равна 7 7 16! 3 4 0.052.

7! · 7! · 2! 8 8 Пример 7. Найдем вероятность ничейного исхода матча в примере 2, с. 99, если допустить возможность ничейного окончания одной партии.

Решение. Пусть p вероятность выигрыша одной партии шахматистом A, для игрока B вероятность выигрыша также равна p. Тогда вероятность ничьей в одной партии равна 1 - 2p. Матч закончится вничью в следующих ситуациях (T ничья, А выигрыш игрока А, В выигрыш игрока В):

1/Исход матча Вероятность При p = 6! 1/6T, 0A, 0B (1 - 2p)6p0p0 = (1 - 2p)6! 0! 0! 6! 4T, 1A, 1B (1 - 2p)4p1p1 = 30(1 - 2p)4p2 30/4! 1! 1! 6! 2T, 2A, 2B (1 - 2p)2p2p2 = 90(1 - 2p)2p4 90/2! 2! 2! 6! 20/0T, 3A, 3B (1 - 2p)0p3p3 = 20p0! 3! 3! 1 - 12p + 90p2 - 400p3+ 47/ +1050p4 - 1512p5 + 924p3. Применив схему Бернулли в примере 5, с. 101, мы негласно предположили, что после ответа каждого студента билет для следующего экзаменуемого формируется из всего списка вопросов.

Время ожидания геометрическая модель Рассмотрите случай, когда вопросы в билетах не повторяются, и докажите, что тогда искомая вероятность равна 30 · A11 · A4 · 3 · 3 · 3 48 081 899 110 283 847 768 960 000 75 = 0.145.

A15 331 284 225 412 682 501 619 179 520 Z 3 Обратите внимание на близость значений вероятностей, найденных в биномиальной и урновой моделях.

Кстати, вероятности событий O5, O4, O3, O2 также могут быть приближенно вычислены с помощью биномиального распределения с числом испытаний n = 3 (три вопроса) и вероятностью успеха p = 0.75.

Например, P {O4} PB(2 | 3, 0.75) = 0.421875.

Найдем вероятность того, что первый успех произойдет при k -ом испытании Бернулли. Это возможно только, если первые k1 испытаний закончатся неудачей, а последнее k -ое успехом:

k-( 0, 0,..., 0, 1). Вероятность такого события равна p(1 - p)k-1.

Случайное число, равное количеству экспериментов в схеме Бернулли, проведенных до появления первого успеха, называетсягеометрическим случайным числом, а набор вероятностей, с которыми принимает конкретные значения P { = k} = p(1 - p)k-1, k X = 1, 2,..., называетсягеометрическим распределением.

Происхождение названия этой модели объясняется, конечно, геометрической прогрессией, образуемой ее вероятностями.

4. Докажите, что сумма всех вероятностей геометрической модели P { = k} = 1.

k=Случай ожидания S -ого успеха приводит к модели Паскаля.

106 Т е м а V. Схема Бернулли. Биномиальное распределение Вероятностнаямодель Паскаля, описывающая время ожидания S-ого успеха в последовательности испытаний Бернулли, задается пространством исходов X = S, S + 1,... и вероятностями исходов pk = CS-1 pS(1 - p)k-S, k S. () k- 5. Докажите формулу (). Покажите, что pk = 1.

k=S Z 4 Если в модели Паскаля учитывать только неудачные эксперименты, то получим так называемую обратную биномиальную модель:

pk = CS-1 pS(1 - p)k, k 0.

k+S-Иногда геометрическое распределение также определяют при k 0.

Пример 8. При проезде по мосту грузовики проходят весовой контроль. Превышение норматива карается штрафом в 1 у.е. Какова вероятность того, что дальнобойщику Петру Тяглову удастся благополучно проехать через 7 мостов, если он имеет всего 3 у.е.

для оплаты штрафов, а, по его опыту, в среднем на каждом четвертом мосту весы могут показать превышение уровня загрузки Решение (модель Паскаля). Контроль на мосту есть испытание 1/в схеме Бернулли с вероятностью успеха p =. Тогда Петр проедет 7 мостов, если четвертый успех произойдет не ранее 8-го испытания. Пусть время ожидания 4-го успеха (S = 4), тогда 4 k-P { 8} = 1 - P { 7} = 1 - C4-1 1 3 = k-4 k=1 3 32 33 = 1 - + 4 · + 10 · + 20 · = 0.929.

44 45 46 47 Решение (биномиальная модель). Петр благополучно доедет до цели, если при 7 испытаниях в схеме Бернулли успех произойдет не более 3 раз, то есть искомая вероятность равна 1 PB 3 7, = 0.929.

4 Предельные теоремы Пуассона и Муавра–Лапласа 6. Докажите, что m s > 0, p [0; 1] m s-1 - Cs-1 ps(1 - p)k-s = Ck pk(1 - p)m-k.

k-1 m k=s k=Пример 9. (Задача Банаха о спичечных коробках.) Некий математик носит с собой две коробки спичек; каждый раз, когда он хочет достать спичку, он выбирает наугад одну из коробок. Найти вероятность того, что когда будет вынута пустая коробка, в другой окажется m спичек, m = 0, 1,..., N, где N первоначальное число спичек в каждой из коробок.

Решение. Зафиксируем одну из коробок и будем считать успехом, когда достается именно эта коробка. Вероятность успеха p = 1/. Если при очередном испытании наша коробка впервые оказалась пуста, это означает, что мы дождались ровно (N + 1) -го успеха. Если при этом другая коробка содержит m спичек, значит спички брались всего (N + 1) + (N - m) = 2N - m + 1 раз.

1/Воспользовавшись моделью Паскаля (с s = N + 1, p = и k = 2N - m + 1 ), а также учитывая, что возможно два варианта фиксации коробок, находим искомую вероятность:

CN CN 2N-m 2N-m 2 · =.

22N-m+1 22N-m Предельные теоремы Пуассона и Муавра–Лапласа [1, с. 52, 78–83; 2, с. 57–80] Биномиальные вероятности можно вычислять приближенно, используя следующие предельные теоремы, в которых речь идет о распределении PB(m|n, p) для биномиального случайного числа.

108 Т е м а V. Схема Бернулли. Биномиальное распределение Теорема Пуассона.

Если n и p = pn 0 так, что np (> 0), то m m PB(m | n, p) P(m | ) := e-.

m! 7. Проверьте, что сумма всех вероятностей P(m|) = 1.

m=Определим стандартную нормальную функцию распределения (читается ФИ или по-старорусски ФЕРТ ) x (x) = (t) dt, где (t) = e- t2/2.

Теорема Муавра-Лапласа.

Пусть Bin(n, p) с фиксированным p (0; 1). Положим µ := np, := n p (1 - p), тогда при n (I) (локальный-вариант) для любого m ----- ---1 m - µ PB(m | n, p) ;

(II) (интегральный вариант) для любых a < b ---------- - µ P a < b (b) - (a).

Z 5 Пуассоновское приближение биномиального распределения используют обычно в тех случаях, когда p < 0.1 и np < 10;

в случае, когда np 10, используют нормальное приближение.

Предельные теоремы Пуассона и Муавра–Лапласа Z 6 Для повышения точности аппроксимации интегральной теоремы Муавра–Лапласа при отыскании вероятности попадания в замкнутый отрезок {a b} в качестве верхней границы следует выбирать значение b + 0.5.

Для событий вида { < b} левую границу лучше выбрать равной a = -.

8. Докажите справедливость свойств функции :

i) lim (x) = 0, lim (x) = 1;

x- x+ ii) (-x) = 1 - (x);

iii) (0) =.

9. В некоторых научных кругах вместо функции принято использовать функции x x 1 1 2 2 (x) = e-2t dt и Erf(x) = e-t dt.

0 Приведите свойства этих функций и найдите их связь с функцией.

Пример 10. Производители заклепок для крепления обшивки самолета гарантируют, что в среднем только одна заклепка из 1000 не выдержит экстремальных нагрузок и лопнет. Какова вероятность того, что из 10 000 использованных при постройке самолета заклепок ровно 7 выйдут из строя Чему равна вероятность того, что таких заклепок будет не больше 7 Решение. Точные значения вероятностей мы можем найти с помощью биномиального распределения (n = 10 000, p = 0.001) :

PB(7 | n, p) = 0.0900702, PB( 7 | n, p) = 0.220086.

110 Т е м а V. Схема Бернулли. Биномиальное распределение Найдем приближенные значения этих вероятностей с помощью теорем Пуассона и Муавра-Лапласа. Имеем n = 10 000, p =, np = 10.

Если воспользоваться пуассоновской аппроксимацией, то по таблице распределения Пуассона (табл. 3, с. 222) с = 10 и m = находим PB(7 | n, p) P(7 | 10) = 0.09008.

Для вычисления вероятности P { 7} нужно просто сложить все значения в столбце пуассоновского распределения от 0 до 7:

P { 7} P(m | 10) = 0.22022.

m=При нормальной аппроксимации необходимо сначала найти µ = 10 000 · 0.001 = m - µ 7 - и X = = -0.949.

3. = 10 · 0.999 3.Локальная теорема Муавра-Лапласа дает (табл. 2, с. 221) 1 1 0.PB(7 | 10 000, ) (0.949) 0.08043.

1000 3.1607 3.Для приближенного вычисления вероятности P { 7} представим событие { 7} (в соответствии с предыдущим замечанием) в виде - µ 7.5 - µ - < <.

Таким образом, правая граница интервала 7.5 - b = -0.791.

3.По таблице 1 с. 220, применив простую линейную интерполяцию между значениями x = 0.79 и x = 0.8, а также учитывая отрицательность b, находим P { 7} (b) - (-) = 1 - ( |b| ) - 0 = 0.21448.

Предельные теоремы Пуассона и Муавра–Лапласа Для сравнения все результаты сведем в одну таблицу. Здесь также приведена вероятность P { 7}, найденная восьмикратным (от m = 0 до m = 7 ) применением локальной теоремы.

Модель Нормальная Нормальная Биномиальная Пуассона (локальная) (интегральная) n = 10 параметры: = 10 µ = 10, = 3.p = 0.P { = 7} 0.09007 0.09008 0.08043 P { 7} 0.22009 0.22022 0.21309 0.Вопреки нашим рекомендациям, пуассоновское приближение оказалось точнее, что обусловлено, конечно, малостью p. Отметим еще, что если при вычислении правой границы b использовать вместо числа 7.5 номинальное значение 7, то ошибка приближения Муавра-Лапласа резко возрастет.

Pages:     | 1 |   ...   | 7 | 8 || 10 | 11 |   ...   | 18 |






















© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.