WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 6 | 7 || 9 | 10 |   ...   | 18 |

73. При тестировании на каждый вопрос предоставляется варианта ответов; необходимо выбрать правильный. Хороший студент знает 90% ответов. Какова вероятность того, что хороший студент угадал ответ, если он ответил правильно 74. Известно, что урна содержит N шаров (белых и черных), причем все предположения о составе, т.е. о количестве белых и черных, равновероятны. Чему равна вероятность того, что из двух наудачу вынутых шаров оба окажутся белыми 75. Система контроля изделий состоит из двух независимых проверок. В результате k -й проверки ( k = 1, 2 ) изделие, удовлетворяющее стандарту, отбраковывается с вероятностью k, а бракованное изделие принимается с вероятностью k. Изделие принимается, если оно прошло обе проверки. Найти вероятности следующих событий:

i) бракованное изделие будет принято;

ii) изделие, удовлетворяющее стандарту, будет отбраковано.

76. Изделия поступают на проверку, описанную в задаче 75.

Предполагая, что каждое изделие удовлетворяет стандарту с вероятностью p, найти вероятность того, что:

i) поступившее на проверку изделие не будет отбраковано;

ii) неотбракованное изделие удовлетворяет стандарту.

77. Из урны, содержащей M белых и N - M черных шаров, утеряно k шаров. Сравнить вероятности извлечения белого шара а) до утери; б) после утери при k = 1; в) при k > 1.

78. В ящик, содержащий 8 исправных изделий, добавлено изделия, взятых со склада. Известно, что доля бракованных изделий на складе равна 5%. Найти вероятность того, что взятое наудачу из пополненного ящика изделие будет бракованным.

88 Т е м а IV. Условная вероятность. Независимость событий 79. Из урны, содержащей 3 белых и 2 черных шара, отобрали два шара. Шар, взятый наудачу из этих двух, оказался белым.

Какова вероятность того, что второй шар тоже белый 80. Разыскивая специальную книгу, студент решил обойти три библиотеки. Для каждой библиотеки одинаково вероятно, есть в ее фондах книга или нет. И если книга есть, то одинаково вероятно, занята она другим читателем или нет. Что более вероятно:

достанет студент книгу или нет, если известно, что библиотеки комплектуются независимо одна от другой 81. Эксперимент состоит в том, что на отрезок [0, 1] независимо одна от другой бросается наудачу точек, где случайное число принимает значение k = 0, 1, 2,... с вероятностью k i e-. Обозначим i число точек, попавших в интервал (i-1, ), k! n n i = 1, 2,..., n. При каких величины i независимы Подсказка. Показать, что n P {1 = y1,..., n = yn} = P {i = yi}, yi 0.

i=82. Вероятность того, что молекула, испытавшая в момент t = 0 столкновение с другой молекулой и не имевшая других столкновений до момента t > 0, испытает столкновение в промежуток времени от t до t + t равна t + o(t). Найти вероятность того, что время свободного пробега (т.е. время между двумя соседними столкновениями) будет больше t.

Подсказка. Показать, что функция H(t) = P { > t} удовлетворяет дифференциальному уравнению H (t) = -H(t).

83. (Задача о разорении.) A и B, имеющие соответственно капитал a и b рублей, играют в азартную игру, состоящую из от1/дельных партий. Каждая партия с вероятностью оканчивает1/ся выигрышем первого игрока и с вероятностью выигрышем второго игрока. После каждой партии проигравший уплачивает Задачи рубль выигравшему. Игра продолжается до разорения одного из игроков. Найти вероятность b того, что разорится второй игрок.

Подсказка. Рассмотрев ситуацию, возникающую после первой партии, составить разностное уравнение связи между b-1, b и b+1; найти два частных решения (почти очевидных); рассмотреть общее решение этого уравнения в виде линейной комбинации двух частных решений.

84. Какова вероятность разорения второго игрока в преды1/дущей задаче, если он выигрывает с вероятностью q < и проигрывает с вероятностью p = 1 - q Подсказка. Найти два частных решения соответствующего разностного уравнения выбрав b = xb.

85. Как изменится (увеличится или уменьшится) вероятность разорения второго игрока в предыдущей задаче, если ставка в каждой партии уменьшится вдвое Другими словами, по какой ставке (более мелкой или более крупной) выгоднее играть игроку с меньшей вероятностью на победу в каждой партии 86. При подготовке к экзамену студенты каким-то образом узнали, как связаны номера билетов и их содержимое. Понадеявшись на эту информацию, все решили выучить только по одному билету. Однако первый зашедший на экзамен студент растерялся, а может, проявил запоздалую принципиальность и взял случайно попавшийся билет. Все следующие за ним либо брали,,свой‘‘ билет, либо вынужденно произвольный. Какова вероятность, что последний студент возьмет свой билет, если количество билетов совпадает с количеством студентов 87. Чему будет равна вероятность в задаче 86, если первый студент вредный и поэтому специально взял чужой билет 88. Крэпс. Игра в КРЭПС формально может состоять из бесконечного числа этапов. Сначала играющий выбрасывает две 90 Т е м а IV. Условная вероятность. Независимость событий игральные кости. Если сумма очков равна 7 или 11, он сразу выигрывает, а если сумма равна 2, 3 или 12, то сразу проигрывает. В остальных случаях набранная им сумма составляет его пойнт.

Теперь две кости бросаются до первого появления на них пойнта (и тогда игрок выигрывает) или 7 (и тогда он проигрывает). Какова вероятность выигрыша в КРЭПС Подсказка. Найти условную вероятность пойнта при условии, что сумма очков равна или этому пойнту или 7. (Зависит от величины пойнта.) 89. (Закон следования Лапласа.) Имеется K + 1 урна, в каждой из которых K шаров, причем в i -ой урне i - 1 шаров белого цвета и (K + 1 - i) черного. Из наугад взятой урны по схеме выбора с возвращением извлекли n шаров, и все они оказались белыми. Какова вероятность того, что следующий шар, извлеченный из этой же урны, снова будет белым Оценить эту вероятность при K.

Подсказка. Найти связь выражений в числителе и знаменателе искомой вероятности с интегралом xn dx =.

n + 90. (К парадоксу Монти Холла.) Решить задачи 54 и 55, с. 52, о призе среди трех ящиков, используя формулу Байеса. Показать, что в задаче 54 условная вероятность того, что приз находится в 1/выбранном ящике, если ведущий открыл пустой ящик, равна.

1/Для задачи 55 эта вероятность во всех случаях равна.

Ответы и указания Ответы и указания 1. Применить равенства B = B; AcB = B - AB;

( Ak)B = AB.

k k 2. Да.

3. Пример: P {ABc} = P {A} - P {A} P {B} = P {A} P {Bc}.

4. Воспользоваться равенством P {Ai} = 1 - P {Aic}.

5. Воспользоваться равенством P {Ai} = 1 - P {Aic}.

6. Три области в единичном квадрате, у которых любые парные пересечения совпадают с пересечением всех трех областей, 1/причем площадь каждой из областей равна, а площадь пе1/ресечения.

7. Применить равенство A = A = ABk.

k 1 8. i) независимы в совокупности; ii) P {A} =, P {B} =, 8 5 2 3 P {C} =, P {B | A} =, P {B | C} =, P {C | A} =, P {ABC} = 0;

9 9 20 1 91 19 iii) P {A} =, P {B} =, P {C} =, P {B | A} =, P {BC} = 24 216 216 1 25 P {AC} = P {ABC} = 0; iv) P {A} =, P {B} =, P {C} =, 36 216 1 P {B | A} =, P {B | C} =, P {AC} = P {ABC} = 0.

6 25 11 37 9. i) P {A} =, P {B} =, P {C} =, P {B | A} =, 42 21 42 4 22 10 P {C | A} =, P {B | C} =, P {ABC} =. ii) P {A} =, 5 37 21 35 27 5 2 P {B} =, P {C} =, P {B | A} =, P {C | A} =, P {B | C} =, 42 42 6 3 10 9 5 P {ABC} =. iii) P {A} =, P {B} =, P {C} =, P {B | C} = 1, 21 14 14 35 P {AB} = P {AC} = P {ABC} = 0. iv) P {A} =, P {B} =, 42 1 P {C} =, P {B | A} =, P {AC} = P {BC} = P {ABC} = 0.

6 1 10. i) P {A} = P {B} = =P {C} =, P {A | B} = P {C | A} =, 2 1 B, C независимы, P {ABC} = 0. ii) P {A} = P {B} =, P {C} =, 2 92 Т е м а IV. Условная вероятность. Независимость событий 3 2 P {A | B} =, P {A | C} =, P {C | B} = 1, P {ABC} =.

4 3 iii) P {A} = 0.3, P {B} = 0.2, P {C} =, A, B независимы, P {A | C} = 0.51, P {C | B} = 0.1, P {ABC} = 0.02.

1 3 iv) P {A} = P {B} =, P {C} =, A, B независимы, P {C | A} =, 2 4 1 P {B | C} =, P {ABC} =.

3 11. P {A1 · · · Ak} = P {Ak | A1 · · · Ak-1} P {A1 · · · Ak-1} =...

12. Применить равенство предыдущей задачи.

13. Да. 14. Да. 15. i) нет. Привести контрпример. ii) да.

16. Применить условие независимости к несовместным событиям.

17. Применить равенство AB = B (BAc) и свойство монотонности вероятности.

18. У отцов с темными глазами в 38.8% случаев сыновья темноглазые; у отцов со светлыми глазами сыновья имеют темные глаза в 10.2% случаев.

19. P {A} = 0, P {B} = p, P {B | A B} = 1.

20. Проанализировать условие независимости при B = A.

21. Показать, что (1 - P {A})(1 - P {B}) = 0.

22. Показать, что или P {AB} = 0, или P {A B} = 1; далее аналогично предыдущей задаче.

23. Нет. Попарно зависимы. 24. Независимы.

25.. Модель [Y-HB]. Благоприятные исходы перебрать, начиная с (1, (x = 1, 3), 3) и (1, 2, 3). 26..

3 1 27. i) ; ii) ; iii). В случаях i), ii) вероятности оста5 2 новки на всех шагах одинаковы! Ответы и указания Cw Cb R W B 28. Пусть N = W + B + C. i) ;

Cw+b(N - w - b) N B+Ck-1 R Ck-1 R W +B B ii) ; iii) ;

Ck-1(N - k + 1) Ck-1(N - k + 1) k=1 N N W +Ak-1Ak+BW B 29.. 30.. С возвращением B2 + BW + W A2k k=1 W +B 0.4961, без возвращения 0.4949.

1 1 1 1 31. x =. Рассмотреть случаи x, < x, x >.

3 3 3 2 Второй случай свести к первому, перейдя к дополнительному событию. Показать, что в третьем случае не может быть независимости.

32.. Пусть событие Zk студент знает k -ый вопрос.

Найти P {Z1Z2Z3} с помощью соотношения задачи 11. Другой способ через гипергеометрическую модель.

p 33.. Ввести события Lk письмо в k -ом ящи8 - 7p ке и B письмо в столе. Найти условную вероятность P {L8 | (L1)c · · · (L7)c}.

34. Да, если одна из картинок наклеивается только в паре с другой.

610 - 3 · 510 3 35.. 36. i) ; ii).

49 610 - 37. Применить равенство BF = F (F Bc). 38. 0.

p - p 39. P {F | B}. Оценка снизу достигается 1 - 1 - c при условии F Bc =, оценка сверху при F B.

40.. Найти вероятность P {Ac Bc Cc}; оценить сверху (не единицей) вероятность P {Ac Bc Cc}; решить неравенство относительно p; модернизировав пример 4, показать неулучшаемость полученной оценки.

P {C} - P {AC} - P {BC} + P {ABC} 7 41.. 42. (a) ; (b).

1 - P {A} - P {B} + P {AB} 12 43. i) да. Применить формулу полной вероятности.

94 Т е м а IV. Условная вероятность. Независимость событий 1 44. i-ii) 0.65. 45. (a) ; (b).

3 46. 0.4614. 47..

48. Исходный. Возможные варианты (1б,4ч),(2б,3ч),(3б,2ч) 4 15 имеют вероятности,,. 49. 0.7.

25 25 50. Ход решения безупречен, поскольку в формуле условной вероятности P {A | B} = P {AB} / P {B} никак не учитывается порядок поступления событий. Поэтому здесь не имеет значения последовательность выбора сначала лиса или сначала рыбак.

51. 0.964. 52. 0.069.

53. Разноцветные. Вероятности сочетаний переложенных ша1 3 ров (б,б),(б,ч),(ч,ч) равны,,.

5 5 21 119 120 54. 0.088. 55.,,.

239 257 257 56. Группы равновероятны. 57. 0.6188. 58. 77%.

38 2p 59.. 60.. 61. 0.573683.

105 1 + p - q 8 9 12 62. Айгуль. Вероятности равны,,. 63..

29 29 29 64. В одну из урн положить только один белый шар P =.

2 111 65.. 66.. 67. 0.9913.

3 121 Ak 1 68.. 69. 1 + 0.780693.

3 Ak k=1 m - 2 70.. 71.. 72. Один раз.

m + n - 1 1 73. 0.027. 74..

37 75. i) 12; ii)1 - (1 - 1)(1 - 2).

p(1 - 1)(1 - 2) 76. i) Q = (1 - p)12 + p(1 - 1)(1 - 2); ii).

Q Ответы и указания 1 77. Одинаковы. 78.. 79..

100 37 80. Достанет P = >.

64 81. При любых > 0. Если y1 +... + yn = k, то только для j = k отлична от нуля условная вероятность P {1 = y1,..., n = yn | = j}. Поэтому (по схеме выбора из n цветной урны k шаров с возвращением) n i k! 1 ke- 1 y e-/n P {1 = y1,..., n = yn} = =.

i y1! · · · yn! yi! ny nk k! i=82. H(t) = e-t. Условная вероятность H(t) - H(t + t) P {t < t + t | > t} = = t + o(t).

H(t) a 83.. Подставить в общее решение b = x + y b краевые a + b условия 0 = 1, a+b = 0. Единственность решения доказать по индукции.

p/q a+b - p/q b 84..

p/q a+b - 85. Увеличится. Выгоднее всего игра ва-банк. Например, если иметь 1000 рублей (b = 1000) и мечтать выиграть 100 рублей (a = 100) в рулетку, ставя на красное по 1 рублю, то вероятность осуществления мечты 1 - b = 0.0045. Если же в каждой партии ставить по 100 рублей и уйти восвояси как только наличный капитал станет равным 1100, то эта вероятность будет равна 0.883.

(Цифры приведены для рулетки с 18 красными, 18 черными полями и 1,,zero‘‘.) 86.. Если первый студент взял k -й билет, то следующие за ним k - 2 студента будут брать свои билеты, а (k - 1) -й, когда придет его время, будет выполнять роль стушевавшегося 1-го студента. Вывести из этих соображений рекуррентное соотношение для вероятностей n, n = 2, 3,..., получения своего билета 96 Т е м а IV. Условная вероятность. Независимость событий последним студентом в зависимости от числа студентов. По индукции показать, что n = n.

1 n - 87., где n число билетов (студентов). Ситуация, 2 n - когда k -й студент не обнаруживает своего билета, идентична предыдущей задаче.

88. 0.492929. Игрок выигрывает сразу (вероятность 8/) или (+) на одном из следующих этапов. Если на первом эта 3/пе выпал пойнт 4 (вероятность ), то среди экспериментов, в которых учитываются только суммы очков, равные 7 и 4, 3/вероятность получить 4 равна три варианта на четверку и шесть на семерку. Аналогично для всех остальных значений пойнт. Применить формулу полной вероятности.

1 1n +... + Kn n + 89.. 90. (!).

K n + 1n+1 +... + Kn+Схема Бернулли.

Т е м а V.

Биномиальное распределение.

Теоремы Пуассона и Муавра-Лапласа [1, с. 33–35] Вероятностная модель, описывающая случайный эксперимент, в котором может произойти всего два исхода с вероятностями осуществления p и q = 1 - p соответственно, называется моделью Бернулли. Такому эксперименту соответствует вероятностное пространство с пространством исходов X = 0, 1 и вероятностями P {1} = p, P {0} = q = 1 - p.

Тот факт, что происходит случайный исход из этого вероятностного пространства, обозначается как Bern(p).

Числовые значения 1, 0 элементарных исходов часто заменяют на более информативные понятия типа,,успех‘‘ и,,неудача‘‘.

Многократно повторяющиеся (конечное или бесконечное число раз) независимые испытания называются испытаниями в схеме Бернулли, если при каждом таком испытании происходит случайный исход в модели Бернулли с одинаковой вероятностью успеха:

(i) i Bern(p), i 1;

k k (ii) P (ij = xij) = P ij = xij, (xi1,..., xik), k <.

j=1 j=Z 1 Схема Бернулли идентична схеме выбора с возвращением из,,двухцветной‘‘ урны, содержащей p · 100% шаров одного цвета.

98 Т е м а V. Схема Бернулли. Биномиальное распределение Если количество испытаний в схеме Бернулли конечно, то чаще всего интересуются только числом испытаний, закончившихся успехом.

Пример 1. Чему равна вероятность того, что при N испытаниях в схеме Бернулли (N < ) ровно k испытаний закончатся успехом Решение. Один вариант N -мерного вектора возможных исходов, в котором ровно k успешных исходов (ровно k единиц), можно представить как k N-k ( 1, 1,..., 1, 0, 0,..., 0 ). ( ) Вероятность этого конкретного исхода в силу условия независимости и одинаковой вероятности успеха во всех испытаниях равна pk(1 - p)N-k.

Остальные эксперименты, в которых ровно k успешных испытаний, отличаются от представленного только перестановками единиц внутри N -мерного вектора. Как известно, число таких перестановок равно Ck.

N Случайное число, равное числу успешных исходов в N испытаниях в схеме Бернулли с одинаковой вероятностью успеха p в каждом испытании, называется биномиальной случайной величиной. Биномиальная случайная величина описывается моделью X = 0, 1,..., N, PB(k | N, p) := P { = k} = Ck pk(1 - p)N-k, k X, N и коротко обозначается как Bin(N, p).

N 1. Докажите, что сумма вероятностей PB(k | N, p) = 1.

k=Теория и примеры Пример 2. Чему равна вероятность ничейного исхода матча из шести партий между равносильными шахматистами Решение. Результат зависит от вероятности ничейного исхода одной партии. Предположим пока, что ничьи не учитываются в протоколе матча. Таким образом, мы находимся в рамках биномиальной модели с 6 испытаниями и вероятностью успеха в одном 1/испытании p = (т.к. игроки равносильны). Искомая вероятность равна 1 1 3 1 3 PB 3 6, = C3 = = 0.3125.

2 2 2 Общий случай с положительной вероятностью ничейного исхода требует применения полиномиальной схемы (см. ниже).

Pages:     | 1 |   ...   | 6 | 7 || 9 | 10 |   ...   | 18 |






















© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.