WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 | 9 |   ...   | 18 |

9. В урне находятся 5 белых шаров и 4 черных шара. Из урны наудачу без возвращения извлекают N шаров. Проверить независимость (попарную и в совокупности) событий A, B и C и найти условные вероятности этих событий относительно друг друга.

i) A : { белых больше черных }, B : { белых четное число }, C : { черных не меньше одного }, N = 3.

ii) A : { не все шары одного цвета }, B : { белых не меньше черных }, C : { белых не больше черных }, N = 4.

Задачи iii) A : { белых больше двух }, B : { черных больше двух }, C : { черных больше белых }, N = 5.

iv) A : { белых больше одного }, B : { черных и белых поровну }, C : { черных больше двух }, N = 4.

10. Случайная точка (, ) U([0; 1][0; 1]). Проверить независимость (попарную и в совокупности) событий A, B и C и найти условные вероятности этих событий относительно друг друга.

i) A = { > 0.5}, B = { + < 1}, C = { > }.

ii) A = { < }, B = { > 0.5}, C = { < 2}.

iii) A = { < 0.3}, B = { > 0.8}, C = { + < 1}.

iv) A = { + > 1}, B = { > }, C = { < 2}.

11. Доказать, что P {A1 · · · Ak} = P {A1} P {A2 | A1} · · · P {Ak | A1 · · · Ak-1}.

12. Доказать, что P {A1 · · · Ak | C} = P {A1 | C} P {A2 | C A1} · · · P {Ak | C A1 · · · Ak-1}.

13. Пусть P {A | B} > P {B | A}. Будет ли P {A} > P {B} 14. Пусть P {A | B} > P {A}. Будет ли P {B | A} > P {B} 15. Верны ли равенства:

i) P {A | B} + P {A | Bc} = 1;

ii) P {A | B} + P {Ac | B} = 1 16. События A и B несовместны. Зависимы ли они P {Ac} 17. Доказать, что P {A | B} 1 -.

P {B} 18. Исследовалась связь между цветом глаз отца и сына. Было установлено, что отец и сын оба имеют темный цвет глаз в 5% семей, у отца темные глаза, а у сына светлые в 7.9% семей, у отца светлые, а у сына темные в 8.9% семей. Вычислить вероятность 78 Т е м а IV. Условная вероятность. Независимость событий рождения сына с темным цветом глаз в зависимости от цвета глаз отца.

19. Пусть события A и B независимы, P {A B} = p, P {A B} = P {A} + P {B} и P {A B} < p.

Найти P {A}, P {B}, P {B | A B}.

20. Пусть событие A таково, что оно не зависит от самого себя. Чему может равняться P {A} 21. Пусть A и B независимые события и P {A B} = 1.

Доказать, что либо P {A} = 1, либо P {B} = 1.

22. Пусть A и B независимые события. Доказать, что если A B и A B независимы, то либо P {A} = 1, либо P {B} = 1, либо P {A} = 0, либо P {B} = 0.

23. События A, B, C независимы в совокупности, причем каждое из них имеет вероятность, отличную от нуля и единицы.

Будут ли события AB, BC, AC независимы в совокупности 24. Пусть независимы события A и B, а также события A и C, причем события B и C несовместны. Зависимы ли события A и B C 25. Из множества чисел 1, 2,..., 9 по схеме случайного выбора без возвращения выбираются три числа. Найти условную вероятность того, что третье число попадет в интервал, образованный первыми двумя, если известно, что модуль разности между вторым и первым больше 1.

26. Найти вероятность того, что при бросании двух правильных игральных костей выпало две пятерки, если сумма выпавших очков кратна пяти.

27. Два игрока поочередно извлекают шары (без возвращения) из урны, содержащей M белых и N - M черных шаров.

Выигрывает тот, кто первым вынет белый шар. Используя результат задачи 11, найти вероятность выигрыша первого игрока, если Задачи i) N = 4, M = 1; ii) N = 5, M = 1; iii) N = 7, M = 2.

28. Из урны, содержащей W белых, B черных и R красных шаров, без возвращения по одному извлекают шары до появления первого красного шара. Воспользовавшись задачей 11, с. 77, найти вероятность того, что:

i) будет вынуто w белых шаров и b черных;

ii) не появится ни одного белого шара;

iii) всего будет вынуто k шаров.

29. Из урны, содержащей W белых и B черных шаров, два игрока извлекают шары по очереди. Выигрывает тот, кому раньше попадется шар,,своего‘‘ цвета (для первого белый, для второго черный). Найти вероятность выигрыша второго игрока, если шары извлекаются по схеме равновероятного выбора с возвращением.

30. В условиях задачи 29 найти вероятность выигрыша второго игрока, если W B - 2 и шары извлекаются по схеме равновероятного выбора без возвращения. Сравнить результаты для обеих схем при W = 5, B = 8.

31. Случайная точка (, ) имеет равномерное распределение в квадрате [0; 1] [0; 1]. При каких значениях x независимы события Ax = {| - | x} и Bx = { + 3x} 32. Студент пришел на экзамен, зная лишь 20 из 25 вопросов программы. Экзаменатор задал студенту три вопроса. Используя понятие условной вероятности, найти вероятность того, что студент знает все эти вопросы (см. задачу 11, с. 77). Найти ту же вероятность, используя классическую схему.

33. Вероятность того, что письмо находится в письменном столе, равна p, причем с равной вероятностью оно может быть в любом из восьми ящиков стола. Было просмотрено 7 ящиков и в 80 Т е м а IV. Условная вероятность. Независимость событий них письмо не было обнаружено. Какова вероятность, что письмо в восьмом ящике 34. Имеется N одинаковых кубиков, на каждый из которых может быть наклеена картинка с изображением буквы А или буквы Б, или обе эти картинки вместе. Будем говорить, что произошло событие A, если кубик имеет картинку с буквой А, и событие B, если с буквой Б. Можно ли наклеить картинки так, чтобы события A и B были независимыми 35. После бросания 10 правильных игральных костей была обнаружена по крайней мере одна единица. Какова вероятность, что появилось две или более единиц 36. Двое играют в разновидность покера, при которой из колоды в 52 листа каждому игроку сначала раздается по две карты.

Игрок А настолько изучил поведение игрока В, что мог по его поведению понять имеет ли тот на своей руке какого-либо туза или нет. В одной из раздач А обнаружил у себя двух королей и понял, что В имеет по крайней мере одного из тузов. Чему равна вероятность того, что и вторая карта игрока В тоже туз, если i) игроку А еще удалось подсмотреть масть туза на руке В;

ii) масть туза на руке В игроку А осталась неизвестной.

37. Доказать, что если P {F } = 0.9, P {B} = 0.8, то P {F | B} 0.875.

38. Известно, что события F и B независимы и несовместны.

Найти min(P {F }, P {B}).

39. Пусть P {F } = p, P {B} = 1 -, где мал о.

Оценить P {F | B} сверху и снизу. Привести примеры, когда каждая из оценок будет точной.

40. Три попарно независимых события, которые все три вместе произойти не могут, имеют одну и ту же вероятность p. Определить наибольшее возможное значение p.

Задачи 41. Даны P {A}, P {B}, P {C}, P {AB}, P {BC}, P {AC}, P {ABC}. Найти P {C | Ac Bc}.

42. В студенческом отряде две бригады первокурсников и одна второкурсников. В каждой бригаде первокурсников 5 юношей и 3 девушки, а в бригаде второкурсников 4 юноши и 4 девушки.

По жеребьевке из отряда выбрали одну из бригад и из нее одного человека для поездки в город.

(a) Какова вероятность того, что выбран юноша (b) Какова вероятность того, что выбран первокурсник, если это юноша 43. Пусть для событий A, B и семейства событий C = {Ck}n выполняются неравенства k=P {A | Ck} P {B | Ck}, k = 1,..., n.

Верно ли, что P {A} P {B}, если n i) семейство C образует разбиение : Ck = ;

k=n ii) семейство C образует покрытие : Ck =.

k=44. В первой урне содержится 10 шаров, из них 8 белых; во второй урне 8 шаров, из них 4 белых. Из каждой урны извлекают наудачу k шаров, а затем из этих шаров наудачу берут один шар. Найти вероятность того, что этот шар белый, если i) k = 1; ii) k = 2.

45. Бросают две игральные кости, и, если сумма выпавших очков меньше 5, вынимают один шар из урны с номером 1; в противном случае из урны с номером 2. Урна 1 содержит 3 красных и 1 белый шар. Урна 2 содержит 1 красный и 3 белых шара.

(a) Какова вероятность того, что вынут красный шар (b) Какова вероятность того, что вынимался шар из первой урны, если он оказался красным 46. Среди 20 стрелков 4 отличных, 10 хороших и 6 посредственных. Вероятность поражения цели для отличного стрелка 82 Т е м а IV. Условная вероятность. Независимость событий равна 0.9, для хорошего 0.7, для посредственного 0.5. Найти вероятность того, что два наудачу выбранных стрелка поразят цель, произведя по одному выстрелу.

47. Имеется n урн, в каждой из которых по 4 белых и 6 черных шаров. Последовательно, из первой урны во вторую, затем из второй в третью и т.д., перекладывается по одному шару. Найти вероятность того, что шар, извлеченный затем из последней урны, окажется белым.

48. В двух урнах содержатся шары двух цветов. В первой 2 белых и 3 черных, во второй 2 белых и 2 черных. Эксперимент состоит в перекладывании шаров: сначала одного из первой урны во вторую, а затем одного шара из второй урны снова в первую.

Какой состав шаров в первой урне наиболее вероятен 49. В известной истории про лису, притворившуюся воротником на шубу жены рыбака, плутовка оказалась не столь жадной и удовлетворилась всего одной рыбиной. Рыбак знал, что он поймал 7 карпов и 4 леща. Приехав домой, первая рыбина, которую он вытащил из повозки, оказалась лещем. Какова вероятность, что лиса полакомилась карпом 50. Предыдущую задачу иногда решают с помощью следующих простых рассуждений. Поскольку рыбак вытащил леща, то оставшийся улов содержит 7 карпов и 3 леща, следовательно, ве7/роятность вытащить лисе карпа равна. Ответ правильный, но верен ли ход решения 3/51. Известно, что выпускаемых заводом изделий отвечает стандарту. Существующая схема контроля признает стандартную продукцию годной с вероятностью 0.9, а нестандартную – с вероятностью 0.1. Найти вероятность того, что изделие, признанное годным, отвечает стандарту.

52. Брак в продукции завода вследствие дефекта A составляет Задачи 5%, причем среди продукции, свободной от дефекта A, 2% имеют дефект B. Найти вероятность наличия какого-либо из дефектов.

53. Имеется 2 урны. В первой 3 белых и 4 черных, во второй 2 белых и 3 черных шара. Из первой урны во вторую наудачу перекладываются 2 шара, а затем из второй урны извлекается один шар. Какой состав переложенных шаров наиболее вероятен, если извлеченный из второй урны шар оказался белым 54. Стрелки A, B, C, D независимо друг от друга стреляют по одной мишени, делая по одному выстрелу. Вероятности их попадания в цель равны 0.4, 0.6, 0.7 и 0.8 соответственно. После стрельбы было обнаружено 3 пробоины. Найти вероятность того, что промахнулся стрелок D.

55. Из 20 студентов, пришедших на экзамен, 8 подготовлены отлично, 6 хорошо, 4 посредственно, 2 плохо. Из 40 экзаменационных вопросов студент, подготовленный хорошо, знает вопросов, отлично 40 вопросов, посредственно 25, плохо 10 вопросов. Некоторый студент ответил на два из трех вопросов в билете. Каковы вероятности того, что он подготовлен хорошо, посредственно и плохо 56. Из 21 стрелка 8 попадают в мишень с вероятностью 0.7, 6 с вероятностью 0.6, 4 с вероятностью 0.4, 3 с вероятностью 0.2. Наудачу выбранный стрелок не попал в мишень. К какой группе, вероятнее всего, он принадлежит 57. Для сдачи экзамена студентам было необходимо подготовить 30 вопросов. Из 25 студентов 10 подготовили все вопросы, 25 вопросов, 5 20 вопросов, 2 15 вопросов. Вызванный студент ответил правильно на три вопроса. Найти вероятность того, что он подготовил все вопросы.

58. В специализированную больницу поступает в среднем 50% больных с заболеванием A, 30% с заболеванием B, 20% с забо84 Т е м а IV. Условная вероятность. Независимость событий леванием C. Вероятность полного излечения болезни A равна 0.7, для болезней B и C эти вероятности равны соответственно 0.8 и 0.9.

Каков процент пациентов, полностью излечившихся по окончании курса лечения 59. В первой урне находится 1 белый и 9 черных шаров, а во второй – 1 черный и 5 белых шаров. Из каждой урны удалили случайным образом по одному шару, а оставшиеся шары ссыпали в третью урну (пустую). Найти вероятность того, что шар, вынутый из третьей урны, белый.

60. Из двух близнецов первым родился мальчик. Какова вероятность того, что вторым родится тоже мальчик, если среди близнецов вероятности рождения двух мальчиков и двух девочек равны соответственно p и q, а для разнополых близнецов вероятность родиться первым для обоих полов одинакова 61. При переливании крови надо учитывать группу крови донора и больного. Человеку, имеющему четвертую группу крови, можно перелить кровь любой группы; человеку со второй или третьей группой крови можно перелить либо кровь той же группы, либо первой; человеку с первой группой крови можно перелить только кровь первой группы. Среди населения 33.7% имеют первую группу крови, 37.5% вторую, 20.9% третью и 7.9% четвертую. Найти вероятность того, что случайно взятому больному можно перелить кровь от случайно выбранного донора.

62. На трех дочерей Нину, Еву и Айгуль в семье возложена обязанность мыть посуду. Нина выполняет 40% всей работы, а остальные 60% работы Ева и Айгуль делят поровну. С вероятностью 0.02 Нина может разбить по крайней мере одну тарелку; для Евы и Айгуль эта вероятность равна соответственно 0.03 и 0.04.

Родители не знают, кто мыл посуду вечером, но они слышали звон разбитой посуды. Чья очередь мыть посуду в этот вечер наиболее вероятна Задачи 63. Агентство по страхованию автомобилей разделяет водителей по трем классам: класс A (мало рискует), класс B (рискует средне), класс C (рискует часто). Агентство предполагает, что среди водителей, застраховавших автомобили, 30% принадлежат классу A, 50% классу B и 20% классу C. Вероятность того, что в течение года водитель класса A попадет хотя бы в одну аварию, равна 0.01, для водителей класса B эта вероятность равна 0.02, а для водителей класса C эта вероятность равна 0.04. Какова вероятность того, что некий водитель принадлежит классу A, если в течение года он ни разу не попал в аварию 64. Один властелин, которому его звездочет наскучил своими ложными предсказаниями, решил казнить его. Однако, будучи очень добрым повелителем, он решил дать звездочету шанс и предложил ему распределить по двум урнам четыре шара: два белых и два черных. Палач выбирает одну из урн и извлекает из нее один шар. Если шар будет черным, то звездочета казнят, в противном случае его жизнь будет спасена. Каким образом звездочет должен разместить шары в урнах, чтобы обеспечить себе максимальную вероятность спасения 65. По каналу связи передается одна из последовательностей букв АААА, ВВВВ, СССС с вероятностями 0.2, 0.3, 0.5. Каждая буква независимо от других букв принимается правильно с вероятностью 0.8 и с вероятностью 0.1 принимается за одну из двух других букв. Найти вероятность того, что была передана последовательность АААА, если принято АВСА.

66. При рентгеновском обследовании вероятность обнаружить заболевание у больного туберкулезом равна 0.9. Вероятность принять здорового человека за больного равна 0.01. Среди всего населения больные туберкулезом составляют 0.1 %. Найти вероятность того, что человек здоров, если при обследовании он был признан больным.

86 Т е м а IV. Условная вероятность. Независимость событий 67. Имеется 10 монет, причем у одной из них герб с обеих сторон, а остальные монеты обычные. Наугад выбранную монету, не разглядывая, бросают 10 раз, причем при всех бросаниях она падает гербом вверх. Найти вероятность того, что была выбрана монета с двумя гербами, если результаты каждого подбрасывания не зависят от предыдущих подбрасываний.

68. Игральная кость изготовлена так, что вероятность выпадения того или иного числа очков пропорциональна количеству очков. Какова вероятность выпадения трех очков, если известно, что выпало нечетное число 69. Определить вероятность того, что 100 лампочек, взятых наудачу из 1000, все окажутся исправными, если известно, что число испорченных лампочек на 1000 штук колеблется от 0 до 5 с равными вероятностями.

70. Из урны, в которой было m 3 белых шаров и n черных, потеряли один шар неизвестного цвета. Для определения состава шаров в урне, из нее были вынуты два шара. Найти вероятность того, что был потерян белый шар, если вынутые шары оказались белыми.

71. В сборочный цех радиолампы поступают из трех цехов:

25% из цеха A, 25% из цеха B и 50% из цеха C. Вероятность того, что лампа проработает заданное число часов равна 0.1, если она изготовлена в цехе A, 0.2 если в цехе B и 0.4 если в цехе C. Найти вероятность того, что радиолампа изготовлена в цехе A, если она проработала заданное число часов.

72. В каждом из двух независимых испытаний событие A происходит с вероятностью 0.2. Вслед за этим происходит (или не происходит) событие B с вероятностью, зависящей от числа появлений события A: при однократном появлении эта вероятность равна 0.1; при двукратном 0.7; если событие A не произошло Задачи ни разу, событие B невозможно. Определить наиболее вероятное число появлений события A, если событие B произошло.

Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 | 9 |   ...   | 18 |






















© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.