WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 || 7 | 8 |   ...   | 18 |

10. Студент Ирек Шустр дожидается прихода лифта на ов первом этаже учебного корпуса только в том случае, когда лифт опускается, в противном случае он пользуется лестницей. За время своего обучения гораздо чаще Ирек передвигался пешком, хотя кажется, что оба события равновероятны. Можно ли дать разумное объяснение такому факту 11. Возлюбленная и родители Ивана Донжуева живут рядом с конечными станциями одной и той же ветки метро, но в разных ее концах. Решая навестить кого-либо из них, окончательный выбор он доверяет случаю и при пересадке садится в поезд того направления, который приходит первым. Оказалось, что возлюбленная чуть ли не в 5 раз чаще, чем родители, имела счастье лицезреть своего ненаглядного Ванечку. Можно ли утверждать, что это судьба или 64 Т е м а III. Равномерное распределение в области же сей факт имеет разумное (физическое, а не физиологическое) объяснение 12. Случайная точка бросается в круг. Какова вероятность того, что она попадет внутрь квадрата, вписанного в круг 13. Случайная точка бросается в шар. Какова вероятность того, что она попадет внутрь куба, вписанного в этот шар 14. Точка (, ) равномерно распределена в треугольнике с вершинами (0, 0), (0, T ), (T, 0). Как зависит вероятность P {| - | < x} от x 15. Единичный отрезок двумя случайными точками разделен на три отрезка. Найти вероятность того, что из них можно составить треугольник.

16. В условиях задачи 15 найти вероятность того, что из полученных отрезков можно составить остроугольный треугольник.

17. Прут длины L,,случайно‘‘ разламывается на две части, после чего б ольшая из частей опять в,,случайно‘‘ выбранной точке разламывается надвое. Найти вероятность того, что из получившихся частей можно составить треугольник.

18. Какова вероятность, что из трех взятых,,наудачу‘‘ отрезков можно составить треугольник, если длина каждого из отрезков не превышает 10, и все значения этой длины одинаково возможны 19. Две точки и выбираются,,наудачу‘‘ из отрезка [-1; 1]. Какова вероятность, что уравнение x2 + x + = 0 имеет вещественные корни 20. В условиях задачи 19 найти вероятность того, что оба корня будут положительными.

21. В шар радиуса R бросают N точек. Найти вероятность того, что расстояние от центра шара до ближайшей точки будет Задачи не меньше x.

22. В единичный квадрат [0, 1][0, 1] брошена точка с координатами (, ). Найти вероятность P {H(, ) < x} как функцию x, если i) H(, ) = min(, ) ;

ii) H(, ) = max(, ) ;

iii) H(, ) = +.

23. Пусть (, ) имеет равномерное распределение в единичном круге с центром в начале координат и пусть 2 = 2 + 2, а = arctg( ). Найти совместное распределение и, т. е. для всех x и y найти вероятность P {( < x) ( < y)}.

24. Трехмерный вектор (,, ) U [0; 1]3. Найти вероятность того, что:

i) + + 1 ;

ii) min(, ) ;

iii) +.

66 Т е м а III. Равномерное распределение в области Ответы и указания 1 D 1/l 1. (a) ( - 2( l2 - 1 - l + arcsin( ))). (b).

2. i) x, x [0; 1]; ii) 1 - (1 - 2x)2, x [0; ];

x2, при 0 x, iii) 1 x2 + 4x2 - 1 - 4x2 arctg( 4x2 - 1), при x.

2 3. i) 3x - 2x2, x [0; ]; ii) x - 1, x [1; 2];

5 1 1 1 iii) x2, x [0; ], (2 - (2 - 5x)2), x [ ; ].

2 5 5 2 2 3R 2R R 4. i) 1 - ; ii) 1 - ; iii) 1 -. Отно шение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия.

x2 1 x2 x5. 2 - 1. 6.. 7. arccos(1- ). 8. 1- 1 -.

4 2 2 d 1 d 9. + - +.

T T 2 T T 10. Проанализировать время, затрачиваемое лифтом на подъем и на спуск.

11. Рассмотреть возможные варианты расписания поездов.

2 2 x 12.. 13.. 14. 1 -, 0 x T.

T 1 1 15.. 16. 3 ln 2 - 2 0.07944. 17.. 18..

4 3 3 N 13 1 x 19.. 20.. 21. 1 -.

24 24 R (2 - x)x22. i) x2; ii) 2x-x2; iii), x [0; 1], 1-, x [1; 2].

2 y 23. x2 1 +, 0 x 1, - y.

2 2 1 5 24. i) ; ii) ; iii).

6 6 Условная вероятность.

Т е м а IV.

Независимость событий [1, с. 29–33, 36–40; 2, с. 86–94] Пусть A и B события, причем P {B} > 0.

Условная вероятностьсобытия A при условии, что произошло событие B, равна P {AB} P {A|B} =.

P {B} Другие варианты обозначений: PB{A}, P {A / B}.

1. Докажите, что при фиксированном событии B условная вероятность как функция множеств A F также представляет собой вероятностную меру.

Z 1 Ключевыми фразами, по которым можно понять, что речь идет именно об условной вероятности, являются выражения типа:

если происходит B, то вероятность, что произойдет A, равна p;

среди B доля тех, которые A, составляет Q%.

Пример 1. Чему равна вероятность выпадения двух шестерок на двух игральных костях, если сумма выпавших очков четна Решение I. Вероятностное пространство, описывающее эксперимент с подбрасыванием двух игральных костей, состоит из равновероятных пар чисел вида (k, l), k, l = 1, 6. Событию A = { на обеих костях выпали шестерки } 1/благоприятствует всего один исход (6, 6), поэтому P {A} =.

68 Т е м а IV. Условная вероятность. Независимость событий Событию B = { сумма очков четна } благоприятствует 18 исхо18/36 1/дов, поэтому P {B} = =.

Так как пересечение AB = A, то условная вероятность P {AB} 1/P {A | B} = = =.

18/36 P {B} Решение (II). Раз уж событие B произошло, то мы можем взять его в качестве пространства элементарных исходов: = B.

Поскольку событию A благоприятствует все тот же один исход, 1/то вероятность события A в этом пространстве снова равна.

Z 2 Совпадение результатов здесь не случайно: обратите внимание, что 1/=, а это уже напоминает первый способ решения. В классиче18 18/ском вероятностном пространстве оба способа решения хороши, если требуется найти варианты условной вероятности при одном – двух условиях. Если же таких условий много, а также в более сложных вероятностных пространствах, удобнее использовать формулу условной вероятности.

Формула умножения вероятностей.

Если P {B} > 0, то P {AB} = P {A | B} · P {B}.

Пример 2. За свой многолетний опыт общения с пассажирами поездов коммивояжер Джек Втюхин заметил, что только 30% всех пассажиров во время поездки не употребляют пищу перед сном, зато среди них только 15% ночью сильно храпят. Отправляясь в очередную командировку, Джек взял билет в двухместное купе, надеясь отоспаться и не видеть жующего человека. Какова вероятность, что ему не повезет Решение. Джеку не повезет, если ему попадется попутчик, который либо ест, либо храпит. Рассмотрим события:

G ={ попутчик будет жевать }, H ={ попутчик будет храпеть }.

Требуется найти вероятность P {G H}.

Теория и примеры Из условий задачи видно, что P {Gc} = 0.3 и P {H | Gc} = 0.(обратите внимание на слова,,среди них 15%‘‘ ). Отсюда по формуле умножения вероятностей находим P {HGc} = P {H | Gc} · P {Gc} = 0.3 · 0.15 = 0.045.

Так как G H = G + (HGc), то искомая вероятность невезения P {G H} = P {G} + P {HGc} = 0.7 + 0.045 = 0.745.

События A и B называютсянезависимыми, если P {AB} = P {A} P {B}, т.е. вероятность совместного осуществления событий A и B равна произведению вероятностей этих событий.

Для независимых событий тот факт, что произошло одно из событий, не изменяет вероятность другого события:

P {A | B} = P {A}, P {B | A} = P {B}.

События A1,..., An независимы в совокупности, если для любого набора событий Ai1,..., Aik, k n, P Ai1... Aik = P {Ai1} · · · P Aik.

Иными словами, события должны быть независимы не только попарно, но и в любых сочетаниях.

2. Будут ли независимыми события, для которых P {A | B} = P {A | Bc} 3. Докажите, что если события A и B независимы, то независимыми будут также пары i) A и Bc ; ii) Ac и B ; iii) Ac и Bc.

70 Т е м а IV. Условная вероятность. Независимость событий 4. Выведите формулу для вероятности объединения P {A1... An}, если события A1,..., An независимы в совокупности.

5. Выведите формулу для вероятности совместного осуществления событий P {A1... An}, если события Ac,..., Ac 1 n попарно несовместны.

Пример 3. При подбрасывании двух монет вероятностное пространство состоит из четырех равновероятных исходов. Докажем, что в этом случае появление герба или решки на одной из монет не зависит от результата подбрасывания другой монеты.

Решение. Рассмотрим события Gi = { на i -ой монете выпадает герб }, i = 1, 2, каждому из которых благоприятствуют по два исхода:

G1 = {(Г,Р), (Г,Г)}, G2 = {(Г,Г), (Р,Г)}.

2/4 1/Поэтому P {Gi} = =, i = 1, 2.

Вероятность совместного осуществления событий G1 и G2, то есть вероятность того, что на обеих монетах выпадет герб, равна P {G1G2} = совпадает с P {G1} P {G2}.

Аналогично проверяется независимость остальных пар событий.

Z 3 Обратно, вполне естественное предположение (постулирование) независимости выпадения той или иной стороны на разных монетах приводит снова к вероятностному пространству с четырьмя равновероятными (по /4) исходами.

Пример 4. (Несколько неожиданный.) Поскольку результаты подбрасывания на разных монетах независимы, то может показаться, что если нам откуда-то стало известно, что на какой-то из 1/монет выпал герб, то все с той же вероятностью на другой монете также будет герб. Увы, это не так! Действительно, тот факт, что на одной из монет выпал герб сужает пространство исходов до трех элементов (ГГ, ГР, РГ). Поэтому вероятность того, что на Формула полной вероятности. Формула Байеса 1/обеих монетах выпадет герб равна. В чем же здесь отличие от предыдущего примера Пример 5. Случайная точка (, ) имеет равномерное распределение в единичном квадрате на плоскости. Проверим независимость (попарную и в совокупности) следующих событий:

A = { | - | 0.5 }, B = { 0.5 }, C = { 0.5 }.

Решение. Вероятности событий равны площадям соответствующих им областей внутри единичного квадрата:

1 1 A C 0.5 0.B A 0 0 0.5 1 0 0.5 1/4 1/2 1/Таким образом, P {A} =, P {B} =, P {C} =.

Аналогичным образом устанавливается попарная независи1/мость событий. Например, P {AB} = = P {A} P {B}.

В то же время пересечение всех трех событий пусто, поэтому P {ABC} = 0 = = P {A} P {B} P {C}.

Следовательно, события не независимы в совокупности.

6. Приведите пример, когда P {ABC} = P {A} P {B} P {C}, но попарная независимость событий A, B, C отсутствует.

Пример 6. Докажем, что события { A} и { B}, связанные с компонентами вектора (, ) U [0; 1] [0; 1], независимы для любых борелевских подмножеств A, B B([0; 1]).

Решение. Как показано в [1, с. 89], заявленное свойство достаточно проверить для интервалов вида A = (a1; a2), B = (b1; b2).

Независимость таких событий почти очевидна:

P { (a1; a2), (b1; b2)} = (a2 - a1) · (b2 - b1) = = P { (a1; a2)} · P { (b1; b2)}.

72 Т е м а IV. Условная вероятность. Независимость событий Формула полной вероятности. Формула Байеса События B1,..., BN образуютполную группу событий, если (i) они несовместны: BkBj =, k = j ;

(ii) исчерпывают все исходы: B1 +... + BN = ;

(iii) имеют ненулевую вероятность: P {Bk} > 0.

Теорема.

Формула полной вероятности.

Для любого события A F и полной группы событий {Bk}N k=N P {A} = P {A | Bk} · P {Bk}.

k=Формула Байеса. Если P(A) > 0, тогда P {A | Bj} P {Bj} P {Bj | A} =.

P {A | B1} · P {B1} +... + P {A | Bn} · P {BN} Z 4 Формула Байеса представляет собой, в сущности, способ вычисления условной вероятности, где вероятность условия приходится вычислять по формуле полной вероятности.

Числитель формулы Байеса равен одному из слагаемых в знаменателе реализацию формулы Байеса удобнее начинать со знаменателя.

Z 5 Количество элементов полной группы событий может быть и бесконечным, но обязательно счетным.

7. Докажите формулы полной вероятности и Байеса.

Пример 7. Известно, что 5% мужчин и 0.25% женщин дальтоники. Какова вероятность того, что наугад выбранный человек дальтоник, если выбор производится из группы, содержащей равное число мужчин и женщин Формула полной вероятности Решение. Рассмотрим два события M ={ выбран мужчина }, W ={ выбрана женщина }.

Так как в группе одинаковое число мужчин и женщин, то P {M} = P {W } =.

Поэтому события M, W образуют полную группу.

Среди мужчин 5% дальтоники, то есть для события D ={ выбранный человек дальтоник }, условная вероятность P {D | M} = 0.05. Аналогично P {D | W } = 0.0025. Отсюда полная вероятность 1 P {D} = 0.05 · + 0.0025 · = 0.02625.

2 Пример 8. Если в условиях предыдущего примера случайно выбранный человек оказался дальтоником, какова вероятность, что это мужчина Решение. Воспользовавшись формулой Байеса, находим 1/P {D | M} · P {M} 0.05 · 0.P {M | D} = = = 0.95.

P {D} 0.02625 0.Пример 9. Исходя из принципа не класть все яйца в одну корзину, Ефим Осторогов 30% своих свободных средств положил в сбербанк, 30% в банк Форлох, а 40% отдал брату мужа сестры двоюродного деверя. В конце года средства, положенные в сбербанк, выросли на 10%, в банк Форлох на 1%, а родственник оказался настолько честным, что вернул все полностью и еще обещал как-нибудь при случае зайти в гости с подарком. На сколько процентов выросли средства Ефима Осторогова Решение. Хотя эта задача не имеет никакого отношения к теории вероятностей, реальное ее решение вполне эквивалентно применению формулы полной вероятности. Пусть B1, B2, B3 события, обозначающие помещение денег в сбербанк, банк Форлох и 74 Т е м а IV. Условная вероятность. Независимость событий в руки родственнику соответственно. Тогда P {B1} = 0.3, P {B2} = 0.3, P {B3} = 0.4.

Увеличение средств на 10% в сбербанке можно интерпретировать как условную вероятность увеличения при условии, что деньги положены в сбербанк. Если чисто формально обозначить через A событие, состоящее в увеличении средств, то можно сказать, что P {A | B1} = 0.1, P {A | B2} = 0.01, P {A | B3} = 0. Поэтому P {A} = 0.1 · 0.3 + 0.01 · 0.3 + 0 · 0.4 = 0.033.

Таким образом, за год денежные средства выросли на 3.3%.

Пример 10. Среди 25 экзаменационных билетов имеется 5 счастливых. Студенты подходят за билетами один за другим по очереди. У кого больше вероятность вытащить счастливый билет:

у того, кто подошел первым, или у того, кто подошел вторым Решение (сравните с решением на с. 37). Вероятность события A ={ второй студент вытащил счастливый билет } зависит от того, произошло или не произошло событие B ={ первый студент вытащил счастливый билет }.

Если произошло событие B, то среди 24 билетов осталось только 4 счастливых. Поэтому условная вероятность P {A | B} =.

Если же событие B не произошло, то осталось 5 счастливых билетов:

P {A | Bc} =.

События B, Bc образуют полную группу событий. Их вероятности 5 1 20 P {B} = =, P {Bc} = =.

25 5 25 Следовательно, полная вероятность 4 1 5 4 24 P {A} = · + · = =, 24 5 24 5 120 т.е. совпадает с вероятностью события B.

Формула полной вероятности Пример 11. Имеется 2 урны с шарами. В первой урне 4 белых, 4 черных и 2 красных шара, во второй 2 белых и 1 красный.

Из первой урны наугад выбираются 2 шара и перекладываются во вторую, после чего из второй урны вынимаются 3 шара. Найти вероятность того, что эти три шара разного цвета.

Решение. Вероятность выбора трех шаров различного цвета из второй урны (событие A ) зависит от ее состава, т.е. от результата первого случайного эксперимента. Всего имеется 6 вариантов выбора двух шаров из первой урны:

Событие Выборка из 1-й P {Bk} Состав 2-й P{A | Bk} C2 4 · 0 · B1 белый–белый = 4б+0ч+1к = 0 C2 45 C10 C2 2 · 2 · 1 4 B2 черный–черный = 2б+2ч+1к = C2 45 C3 10 10 C2 2 · 0 · B3 красный–красный = 2б+0ч+3к = 0 C2 45 C10 C1C1 3 · 1 · 1 3 4 B4 белый–черный = 3б+1ч+1к = C2 45 C3 10 10 C1C1 3 · 0 · 4 B5 белый–красный = 3б+0ч+2к = 0 C2 45 C10 C1C1 2 · 1 · 2 4 4 B6 черный–красный = 2б+1ч+2к = C2 45 C3 10 10 104/Таким образом, искомая вероятность равна 0.231.

Пример 12. В силу замечания Z4, для нас теперь не составит труда вычислить вероятность того, что из первой урны были вынуты 1 белый и 1 черный шары, если при выборе из второй урны все три шара действительно оказались разного цвета:

48/P {B4 | A} = = 0.4615.

104/450 76 Т е м а IV. Условная вероятность. Независимость событий ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 8. Бросаются три игральных кости. Проверить независимость (попарную и в совокупности) событий A, B и C и найти условные вероятности этих событий относительно друг друга.

i) A : { на первой кости выпала тройка }, B : { на второй кости выпала двойка }, C : { на третьей кости выпала четверка }.

ii) A : { все числа четные }, B : { сумма очков равна 10 }, C : { все числа разные }.

iii) A : { сумма очков равна 6 }, B : { выпала хотя бы одна единица }, C : { минимальное выпавшее число 4 }.

iv) A : { все числа одинаковые }, B : { сумма очков равна 9 }, C : { выпала одна двойка }.

Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 || 7 | 8 |   ...   | 18 |






















© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.