WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 18 |

i) если выбор производится без возвращения, то kn - (k - 1)n P {Bk} = ;

Nn 52 Т е м а II. Классическая схема ii) если выбор производится с возвращением, то Cn-k-P {Bk} =, n k.

Cn N 54. (Парадокс Монти Холла.) В телевизионном шоу (Monty Hall’s show) игроку предлагается на выбор три ящика, внутри одного из которых спрятан ценный приз. После произведенного игроком выбора, ведущий, владеющий полной информацией, открывает из двух оставшихся пустой ящик и предлагает игроку снова произвести выбор ящиков. На первый взгляд кажется, что с равны1/ми вероятностями ( ) приз может находиться в любом из двух не открытых ящиков. Парадокс заключается в том, что стратегия, подразумевающая замену первоначально выбранного ящика, имеет вдвое большую вероятность на получение приза.

55. Показать, что в предыдущей задаче вероятность выигрыша приза не зависит от стратегии игрока, если ведущий может,,случайно‘‘ открыть i) любой из трех ящиков;

ii) любой из двух ящиков, не выбранных игроком;

iii) любой из двух пустых ящиков.

Объяснить различие между ситуациями, описанными в задаче и в пункте ii) настоящей задачи.

Примечания. Слово,,случайно‘‘ подразумевает равную вероятность открытия для всех возможных ящиков. Игра заканчивается естественным образом, если открывается выбранный ящик или ящик с призом.

Объяснение парадокса. (Одно из возможных.) При первом взгляде на этот якобы парадокс нормальный человек невольно ориентируется на ситуацию из пункта ii), что и приводит его к ложному умозаключению.

Ответы и указания Ответы и указания 1. Проверить свойства вероятности. Например, P {A1 + A2} = p() = A1+A= p() + p() = P {A1} + P {A2}.

A1 A2. Доказать, что n 1 множество Bn = { : p() > } конечно и { : p() > 0} = Bn.

n 3. Ai) На первом месте K вариантов выбора, на втором месте (K - 1) вариант выбора и т.д. Любой полученный таким образом вектор должен быть включен в искомое число (!). Общее число векторов равно K(K - 1) · · · (K - m + 1) (!). Aii) Свести к предыдущему случаю, переформулировав соответствующим образом. Aiv) Установить эквивалентность с Ai) или Aii).

Ci) Если сначала считать все объекты разными, то будем иметь Am способов (см.Ai)). Поскольку объекты одинаковы, то кажN дый вариант будет повторен m! раз (см. Aiii)). Cii) Идентично Ci). Ciii) Начать со случая, когда порядок расположения в очереди важен (то есть место в очереди играет роль).

K! 4. Cm =. 5. См. задачу 3.

K m!(K - m)! M 6. Результаты совпадают. 7. I) ; II) Cri 1.

Ri N 209 Cn i=8. Рассмотреть модель [Y-B] с числом исходов N() = Nn;

подсчитать общее число вариантов благоприятного исхода одного конкретного вида, например (Ri1,..., Rir, Wj1,..., Wjn-r); учесть, что для благоприятного события порядок расположения в выборке красных шаров не важен.

54 Т е м а II. Классическая схема Cr · Cn-r (Np)Npe-Np 2Np · (N - n)N-ne-N+n R N-R 9.

Cn r!(Np - r)Np-re-Np+r 2(Np - r) · NNe-N N 2(N - n) n!(N(1 - p))N(1-p)e-N(1-p) 2(N(1 p)) (n - r)!(N(1 - p) - (n - r))N(1-p)-(n-r)e-N(1-p)+(n-r) 2N Cr pr(1 - p)n-r.

n 2(N(1 - p) - (n - r)) Там, где N входит вместе с некоторым слагаемым, воспользоваться представлением (aN + b)aN+b NaN+baaN+beb. Подсчитать степени всех входящих сомножителей N, p, (1 - p), e, 2, n, (n - r).

Способ II. Показать сначала (не обращаясь к формуле Стирлинга), Mn что Cn при M и фиксированном n.

M n! n! 10. i) P(r1,..., rM | p1,..., pM) = pr1 · · · prM.

1 M r1! · · · rM! 1 1 1 1 1 1 ii) P 2, 1, 0 |,, + P 2, 0, 1 |,, =.

4 4 2 4 4 2 11. 0.096. 12. P {A} = 0.5; P {B} = 0.375; P {C} = 0.875.

13. Модель GG с N = 49, R = 6, n = 6, r = 6, 5, 4, 3, 2, 1.

14. 0.3. 15. 0.2. 16.. 17. 0.1582. 18. 6.61376 · 10-6.

19. 0.4. Схема [Y-B]. Благоприятные исходы перебрать.

20. i) При N = 10, K = 5 : ; ii) при N = 10, K = 4 : 0.2.

5 2 21. i) ; ii) ; iii).

9 9 22. 0.0731424; 8252. Использовать оценку N -k N -1.

23. При N = 20, K = 5, m = 10 :.

24. При N = 5, n = 3 :. Модель [GG] не подходит (!).

25. При N = 5 :.

x 26. {ky K} {km K, km+1 > K}. Событие {km m=y K, km+1 > K} означает, что из x чисел ровно m чисел,,красные‘‘ Ответы и указания ( K ), остальные,,белые‘‘ (> K). Предел вероятности найден в x задаче 9, с. 43: Cmm(1 - )x-m.

x m=y 27. 0.1666667. 28. Вероятность приза умножить на размер приза: 0.055, 0.072, 0.071, 0.062, 0.050.

Ck 2N-k Cj+k N N 29. P {A} = ; P {B} = ; P {C} =.

3N 3N 1 2 30. i) 0.1512; ii) 0.1008. 31.. 32. i) ; ii).

K 21 1 33. i) ; ii) 0.130038. 34..

10005 n! 2 35.. 36..

N 37. При N = 3 : i) 0.02(7); ii) 0.421296; iii) 0.69(4).

38. P {A} 0.0154321; P {B} 0.000128601.

39. При K = 6, N = 3 : i) ; ii) 4.

40. При N = 4 :.

8 N 41. При W = K = C = M = 2 :. 42..

35 N + M 1 1 1 43. i) ; ii). 44. i) ; ii).

N - 1 N N2 - 3N + 2 N2 - 2N 22rA2r A2 22r-2A2r-1 A4 22r-4A2r-n 2r n 2r n 45. i) ; ii) ; iii).

A2r A2r 2 A2r 2n 2n 2n 2n(n!)2nn! 1 2n!! 46. i) ; ii). 47. (a) ; (b).

(2n)! (2n)! 15 2n! 48.. Событие An n -ая фуражка попала на свое меe (n - k)! сто; показать, что P Aj1 · · · Ajk = ; применить тожn! дество Пуанкаре.

49. Событие An n -ая фуражка на своем месте; показать, (n - k)! 1 что P Aj1 · · · Ajk = Ck · = и Cr = n r+m n! k! (r + m)! ; применить формулу Варинга.

r!m! 56 Т е м а II. Классическая схема 365! 50. pk = ; p2 = ; p47 0.95; 1 - p23 > 0.5.

(365 - k)! 365k 51. 50.

52. P (k; N, n) = Ck (N-1)n-k; применить формулу Стирлинга.

n Nn 53. i-ii) Благоприятная выборка содержит только первые k чисел (событие Ak ), причем хотя бы одно число должно равняться k (событие Bk); рассмотреть дополнительное событие Ak Bk.

Преобразовать биномиальные коэффициенты.

54. Стратегия, при которой первоначально выбранный ящик заменяется, выигрывает в том случае, когда на первом шаге был 2/выбран пустой ящик (P = ). Противоположная стратегия при1/водит к успеху, когда сразу выбирается ящик с призом (P = ).

55. Считать, что игрок выбирает ящик с номером 1. Рассмотреть выбор точки из двумерной решетки (, ),, = 1, 2, 3, с классическим распределением вероятностей. В задаче 54 не все пары (, ) равновероятны. Другое решение, основанное на понятии условной вероятности, приведено в задаче 90, с. 90.

Геометрические вероятности.

Т е м а III.

Равномерное распределение Принцип,,равновозможности‘‘ всех элементарных исходов может быть положен в основу определения вероятности и при бесконечных. Так, если пространство есть борелевское подмножество Rn, для которого мера Лебега (длина, площадь, объем,... ) 0 < () < положительна и конечна, то вероятность любого подмножества A Rn (точнее, борелевского подмножества, каковое измеримо по Лебегу) пропорциональна объему (длине, площади) той части A, которая попадает внутрь :

(A ) P {A} =, A B(Rn).

() В этом случае говорят, что точка случайно бросается на или что случайная точка имеет равномерное распределение на обозначается (от английского UNIFORM) U().

Пример 1. Стержень разламывают на две части в случайной точке. Найти вероятность того, что меньший обломок не 1/превосходит длины стержня.

Решение. Пусть L длина стержня, а расстояние от точки разлома до левого конца стержня. Предположим, что L/U[0; L]. Требуется найти вероятность, что min(, L-). Это L/3 2L/событие происходит только тогда, когда либо.

L/3 2L/L - Поэтому искомая вероятность равна + =.

L L Пример 2. Метровая газовая труба проржавела в двух местах. Какова вероятность, что все три получившихся куска можно 58 Т е м а III. Равномерное распределение в области будет использовать в качестве отводов к газовым плитам, если по нормативам плита не должна находиться на расстоянии ближе см. от магистральной газовой трубы Решение (I). Рассмотрим две случайные точки и, обозначающие расстояния от левого края трубы до точек,,разрыва‘‘.

Предположим, что двумерный вектор (, ) U [0; 1] [0; 1].

l1 l2 lТочки разрыва разделяют трубу на три от0 резка. Чтобы не обременять себя излишними тонкостями, мы не будем учитывать ширину проржавевших участков.

Поэтому сумма длин l1 + l2 + l3 = 1. Возможны две ситуации расположения точек разрыва.

- = = Если, то условие задачи выполняется при одновременном вы = полнении трех неравенств l1 = 1/4 1/, l2 = -, l3 = 1 - 1/. Эта система неравенств выделяет в единичном квадрате, слева от диагонали =, область в виде пря 0 = моугольного треугольника с катетами, 1/равными. Для ее построения мы сначала провели граничные 1/4 1/4 1/линии =, - =, 1 - =.

Аналогичный треугольник получается при. Суммарная площадь этих треугольников, а вместе с ней и искомая вероят1/ность, равна.

Решение (II). Определим вероятностное пространство сразу для вектора длин отрезков (l1, l2, l3). Необходимо помнить, что сумма l1 + l2 + l3 = 1. Это соотношение выделяет внутри единичного куба [0; 1]3 плоский равносторонний треугольник (ABC на следующем рисунке). Итак, пусть вектор (l1, l2, l3) имеет равномерное распределение во внутренности треугольника ABC.

Теория и примеры Вероятность любого борелевского подмножества Q R3 пропорциональна площади той части Q, которая попадает внутрь треугольника.

1/Условие задачи l1, llB 1/4 1/, l3 выделяет внутри треугольника ABC подобный ему треугольI ник OIJ, отрезаемый прямыми линиями, J O lпараллельными сторонам исходного тре4 C lугольника на одной четверти его размера, A считая от сторон. Легко понять, что коэф1/фициент подобия треугольников равен. Поэтому отношение их 1/площадей будет равно.

Z 1 Надо сказать, что нам крупно повезло, поскольку разные варианты задания равномерного распределения, вообще говоря, могут привести к абсолютно различным результатам (см., например, задачи 6, 7, 8).

Пример 3. Студент Иван Акураси заметил, что лектор, читающий курс лекций по методике правильной организации труда, приходит на занятия со случайным опозданием в пределах мин., при этом он разрешает проходить в аудиторию только тем студентам, которые пришли после него не позднее 5 мин. Иван тоже решил опоздать на лекцию, но выбрал себе границу случайного опоздания всего в 10 мин. и время ожидания лектора тоже 10 мин.

Какова вероятность того, что он все же посетит лекцию Решение. Обозначим через L и S время S опоздания на лекцию лектором и студентом соответственно. Предположим, что пара случайных L чисел (L, S) равномерно распределена в прямо- угольнике [0; 15] [0; 10]. Тогда студент попадет на лекцию, если произойдут два события L + 5 S и L S + 10. Геометрически это соответствует заштрихованной области на рисунке. Удобнее 60 Т е м а III. Равномерное распределение в области найти площадь дополнительного множества. Эта площадь равна 25/150 5/25, поэтому искомая вероятность равна 1 - =.

Пример 4. В единичный квадрат бросается случайная точка. Требуется найти распределение расстояния от этой точки до одного из углов квадрата.

Решение. Поместим левый нижний y = r2 - xугол квадрата в начало координат. Необходимо найти вероятность того, что расстояние R от случайной точки до начаr r2 - ла координат будет меньше некоторого фиксированного значения r.

Другими словами, требуется найти вероятность события, заключающегося в попадании случайной точки в пересечение центрального круга радиуса r и единичного квадрата. Способы отыскания площади соответствующей области зависят от величины r.

При r 1 искомая область представляет собой четверть r2/круга. Поэтому вероятность попадания в эту область равна.

При больших r ( 2 ) круг полностью накроет единичный квадрат и, следовательно, искомая вероятность будет равна 1.

При 1 r 2 область состоит из двух прямоугольных тре угольников (общей площадью r2 - 1 см. рисунок выше) и кру гового сектора с центральным углом = - 2 (и площадью r2 r2 - ). Так как sin =, то вероятность (площадь) равна 2 r r2 - r2 - 1 + r2 4 - arcsin.

r Подставляя, в целях контроля, в эту формулу крайние значения r = 1 и r = 2, получаем, как и ожидалось, P {R < 1} =, P R < 2 = 1.

Почти такой же результат (с точностью до тригонометТеория и примеры рических преобразований) получится, если, не мудрствуя лукаво, вычислить площадь дополнительной области как r2 - x2 dx.

r2-Пример 5. (Задача Бюффона (1707–1788 г.г.)) На пол, покрытый паркетом в виде параллельных досок единичной ширины, падает игла, длина которой l < 1. Какова вероятность, что игла пересечет край хотя бы одной доски Решение. Будем считать, что доски паркета ориентированы с юга на север. Тогда положение l иглы на полу может быть описано направлением ее относительно линий паркета (углом, измеряеl sin D мым против хода часов, между линиями паркета и вектор-иглой) и расстоянием D от начала иглы (ушко иглы) до левого края доски, на которую попало ушко.

Игла пересечет левый край доски, если, во-первых, угол и, во-вторых, выполняется неравенство l sin D (см.

рисунок). Правый край будет пересекаться иглой, если 2 и -l sin 1 - D (!).

Предположим (!!!), что случайная пара D (, D) U [0; 2] [0; 1]. Условия выполнения искомого события выделяют в прямоугольнике [0; 2] [0; 1] две равновеликие 2 области, ограниченные синусоидами. Площади этих областей легко находятся стандартными средствами: S = 2 l sin d = 4l. Поскольку площадь всего прямоугольника равна 2 · 1, то вероятность пересечения края паркета равна 4l 2l =.

62 Т е м а III. Равномерное распределение в области ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 1. Проанализировать представленное выше решение задачи Бюффона и найти то место в решении, где было использовано условие l < 1.

(a) Каков будет ответ в этой задаче, если l > 1 (b) Решить задачу Бюффона, если на пол падает монета, диаметр которой D меньше ширины полос паркета.

2. Случайная точка (, ) имеет равномерное распределение в квадрате со стороной 1. Найти вероятность того, что расстояние от точки (, ) i) до фиксированной стороны квадрата меньше x ;

ii) до ближайшей стороны квадрата меньше x ;

iii) до центра квадрата меньше x.

3. Случайная точка (, ) имеет равномерное распределение в прямоугольнике со сторонами 1 и 2. Найти вероятность того, что расстояние от точки (, ) i) до ближайшей стороны прямоугольника меньше x ;

ii) до любой стороны прямоугольника меньше x ;

iii) до диагоналей прямоугольника меньше x.

4. На паркет, составленный из правильных n -угольников со стороной, падает монета радиуса R. Найти вероятность того, что упавшая монета не заденет границу ни одного из n -угольников паркета, если i) n = 3 ; i) n = 4 ; iii) n = 6.

5. Случайная точка (, ) имеет равномерное распределение в квадрате. Найти вероятность того, что расстояние от (, ) до Задачи ближайшей стороны квадрата меньше, чем расстояние от (, ) до ближайшей диагонали квадрата.

6. В круге единичного радиуса случайно проводится хорда.

Обозначим ее длину. Найти вероятность P { < x} как функцию x, если середина хорды равномерно распределена в круге.

7. Решить задачу 6, если один конец хорды закреплен, а другой равномерно распределен на окружности.

8. Решить задачу 6, если направление хорды задано, а ее середина равномерно распределена на диаметре, перпендикулярном направлению хорды.

9. В интервале времени [0, T ] в случайный момент появляется сигнал длительности. Приемник включается в случайный момент, 0 T на время d. Предположив, что точка (, ) равномерно распределена в квадрате [0, T ]2, найти вероятность обнаружения сигнала.

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 18 |






















© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.