WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 18 |

Нас не будет интересовать порядок расположения шаров в выборке, поэтому в качестве пространства исходов можно взять пространство в схеме выбора [HY-HB] с общим числом исходов N() = Cn.

N Благоприятный исход ( n -мерный вектор), при котором будет выбрано ровно r красных шаров, содержит на первых r местах произвольные красные шары из урны, а на остальных w = n r местах произвольные белые шары с упорядоченными номерами j1 <... < jr, k1 <... < kw (напомним, что элементы вектора должны быть упорядочены):

= ( Redj1,..., Redjr, Whitek1,..., Whitekw ).

Cr Cw R W Гипергеометрическая модель Общее число таких исходов (вариантов неупорядоченного выбора r чисел j1 <... < jr из множества {1,..., R} и w чисел k1 <... < kw из множества {1,..., W }) равно Cr · Cn-r, а вероR W ятность появления в выборке ровно r красных шаров равна Cr · Cn-r R N-R Gg(r|N, R, n) :=.

Cn N Модель, описывающая число элементов фиксированного цвета (типа) в выборке без возвращения из генеральной совокупности, содержащей элементы двух цветов (типов), называется гипергеометрической моделью.

Пример 10. На занятиях по теории вероятностей из человек только 15 сделали домашнюю работу. Чему равна вероятность того, что из 8 случайно выбранных для контроля студентов домашнюю работу сделали 6 человек Решение. Применим гипергеометрическую модель:

общий объем,,урны‘‘ N = 20 ;

количество,,красных‘‘ в урне R = 15 ;

объем выборки n = 8.

Вероятность получить 6,,красных‘‘ равна C6 · Cпосле 5 · 7 · 15 Gg(6 | 20, 15, 8) = = = 0.397.

сокращений 3 · 17 · CПример 11. В карточной игре Преферанс один из игроков (игрок A) заказывает тип игры, а два других игрока принимают в ней участие (вистуют). Вистующие игроки имеют на своих руках по 10 карт каждый, полный набор которых известен игроку A; ему важно, как эти карты размещены (легли) среди игроков. Например, если игрок A имеет 5 из 8 козырных карт, то при заказе игры 42 Т е м а II. Классическая схема ему очень бы хотелось, чтобы три оставшихся козыря не легли на одну руку. Какова вероятность этого неблагоприятного события Решение (ну, очень неправильное). В пространство включим всего 4 исхода, перебрав только количество козырей у вистующих игроков:

= (0, 3), (1, 2), (2, 1), (3, 0).

В этом пространстве всего 2 благоприятных исхода (подчеркнуты), 2/поэтому искомая вероятность равна = 0.5. Любой заядлый преферансист скажет, что это многовато.

Решение (просто неправильное). В действительности исходы нельзя считать равновероятными, поскольку два из них ( (1, 2) и (2, 1) ) составные. Так, если козырные карты вистующих суть 7, 8, D, то, например, исход (1, 2) происходит, когда на руке первого вистующего игрока будет одна из карт 7, 8 или D, то есть содержит в себе три исхода. Разукомплектовав составные исходы, получим пространство с общим числом исходов N() = 8 и 2/вероятностью,,третьей дамы‘‘ = 0.25.

Это уже ближе к истине, однако вдумчивый читатель может заметить, что раз конкретное расположение козырей влияет на результат, то, может быть, и расположение остальных карт тоже изменит рассматриваемую картину, и будет прав! Решение (правильное). Пространство элементарных исходов должно состоять из всех возможных комбинаций 20 карт на руках у вистующих игроков. Поскольку состав карт у одного игрока полностью определяет расположение всех 20 карт, то наша ситуация может быть описана урновой схемой:

число шаров (карт) N = 20, число красных шаров (козырей) R = 3, объем выборки (карт на фиксированной руке) n = 10.

Гипергеометрическая модель Нас интересует вероятность выбора r = 0 или r = 3 красных шаров:

C0 · C10 + C3 · C7 2 · C3 17 3 17 Gg(0|20, 3, 10) + Gg(3|20, 3, 10) = = = C10 C20 2 · 17! · 10! · 10! = = 0.21.

7! · 10! · 20! 7. Обобщите гипергеометрическую модель на,,многоцветную‘‘ урну.

I. В качестве первого шага решите следующую задачу. В списке футбольной команды 3 вратаря, 7 защитников, 8 полузащитников и 4 нападающих. Для проведения допинг-контроля случайно отобрали 5 игроков. Какова вероятность, что допингконтроль будут проходить 2 нападающих и по одному игроку из остальных линий II. Рассмотрите урну, содержащую всего N шаров, из которых M Rk окрашены в k -ый цвет, k = 1, M, Rk = N.

k=Требуется найти вероятность того, что в выборке объема n без возвращения будет ровно M rk шаров k -ого цвета, k = 1, M, rk = n.

k=8. Докажите, что если из урны извлекается n шаров с возвращением, то вероятность получения ровно r красных шаров равна Cr pr(1 - p)n-r, ( ) n R/N где p = доля красных шаров в урне.

9. Докажите, что при большом объеме урны (N, доля R/N красных шаров p = фиксирована) вероятности получения в выборке заданного числа красных шаров в схемах выбора без возвращения и с возвращением асимптотически (приблизительно) совпадают.

44 Т е м а II. Классическая схема 3/Пример 12. Охотник с вероятностью попадает в пролетающую мимо него утку. Какова вероятность того, что, произведя 4 выстрела, он попадет ровно 3 раза Решение. Для решения такого рода задач применяется обычно аппарат биномиального распределения (см. тему V), однако и урновая схема вполне здесь сгодится, тем более что формула ( ) абсолютно идентична биномиальной вероятности.

Чтобы не причинять зла бедным уточкам и в целях сохранения пропорции шансов на попадание, будем считать, что у нас имеется урна, в которой лежат 3 красных шара и 1 белый. Таким образом, в соответствии с формулой ( ) вероятность получения в выборке с возвращением объема 4 ровно трех красных шаров равна 3 3 1 1 33 C3 = 4 · = = 0.421875.

4 4 44 Z 5 Конечно, трудно представить себе урну, содержащую, например, 50 2 % белых шаров, и кажется, что пользоваться формулой ( ) можно только при рациональных значениях p. Однако это не так. Докажите, что если значение вероятности попадания в цель при одном выстреле иррационально, то вероятность поражения ровно r целей при n выстрелах также можно вычислить по формуле ( ).

10. Выведите формулу, аналогичную ( ), для случая,,многоцветной‘‘ урны. Точнее, пусть в урне находятся N шаров, раскрашенных каждый в один из M цветов, причем относительная доля шаров k –го цвета равна pk (p1+...+pM = 1).

1. Найдите вероятность того, что в выборке объема n с возвращением будет содержаться ровно rk шаров k -ого цвета M ( rk = n ).

k=2. Решите задачу о шахматистах из примера 6, с. 35.

Задачи ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 11. Куб, все грани которого окрашены, распилен на тысячу одинаковых кубиков. Найти вероятность того, что взятый,,наудачу‘‘ кубик будет иметь две окрашенные грани.

12. [Y-B] Брошены три монеты. Найти вероятности событий A : { первая монета выпала гербом вверх }, B : { выпало ровно два герба }, C : { выпало не более двух гербов }.

13. [GG] Участник лотереи спортлото должен был из 49 наименований видов спорта назвать шесть. Розыгрыш лотереи состоял в выборе без возвращения шести счастливых номеров. Найти вероятность того, что игрок угадает все 6 наименований, 5 наименований, и т. д.

14. [HY-HB] Имеется 5 отрезков, длины которых равны соответственно 1, 3, 5, 7, 9 см. Найти вероятность того, что из взятых,,наудачу‘‘ трех отрезков можно построить треугольник.

15. [Y-HB] Шесть книг на одной полке расставляются,,наудачу‘‘. Найти вероятность того, что при этом три определенные книги окажутся поставленными вместе.

16. [Y-HB] В стопке на полу в случайном порядке лежат книг, среди которых имеются четыре тома романа Война и мир.

Прежде чем поставить книгу на полку, Федор Ридов ее прочитывает. Какова вероятность того, что после установки 6 книг Федор прочтет весь роман Л.Н. Толстого, причем в правильном порядке Зависит ли ответ от количества книг в стопке 17. В лифт 11-этажного дома на первом этаже вошли 6 человек. Предположим, что каждый из них с равной вероятностью 46 Т е м а II. Классическая схема может выйти на любом этаже, начиная со второго. Найти вероятность того, что все шестеро выйдут на разных этажах.

18. Ребенок играет с 10 буквами разрезной азбуки: А, А, А, Е, И, К, М, М, Т, Т. Найти вероятность того, что при случайном расположении букв в ряд он получит слово МАТЕМАТИКА.

19. В телевизионной игре Что Где Когда разыгрываемые номера расположены по кругу. При выпадении того или иного номера в очередном раунде он заменяется стрелкой в направлении хода часов. Если этот номер выпадает в следующем раунде игры, то выбирается ближайший по часовой стрелке номер, не выпадавший в предыдущих раундах. Предположим (для простоты), что круг состоит из 5 номеров, причем один из номеров занят под музыкальную паузу. Найти вероятность того, что после трех раундов игры ни разу не выпадет музыкальная пауза.

20. Из последовательности чисел 1,..., K,..., N выбирают два числа. Найти вероятность того, что:

i) одно из них меньше K, а другое больше K;

ii) первое выбранное число меньше K, а второе больше K.

21. Из 10 билетов выигрышными являются два. Найти вероятность того, что среди 5 приобретенных билетов имеется i) один выигрышный;

ii) оба выигрышные;

iii) хотя бы один выигрышный билет.

22. В лотерее из 40000 билетов три билета выигрышные. Найти вероятность получения хотя бы одного выигрыша на 1000 билетов. Сколько надо приобрести билетов, чтобы вероятность получения хотя бы одного выигрыша была не менее 0.5 23. В Летнем саду всего N парных скамеечек. В один прекрасный день K из них покрасили; в сумерках предупреждение о покраске стало незаметным. Какова вероятность того, что все Задачи окрашенные скамейки будут заняты, если на прогулку в сад вышли m пар ( K < m < N ) 24. Урна содержит N белых и N черных шаров. Вынимаются n раз по два шара, не возвращая вынутых шаров обратно.

Какова вероятность того, что всегда будут выниматься пары разноцветных шаров 25. Монета брошена 2N раз. Найти вероятность того, что число выпадений герба равно числу выпадений решки.

26. Из последовательности 1, 2,..., N отобраны x чисел и расположены в порядке возрастания: k1 < k2 <... < kx. Для фиксированных y x и K N найти вероятность того, что ky K Чему равен предел этой вероятности, когда N, K, K > 0.

N 27. На полке,,случайно‘‘ расставлены 40 книг, среди которых находится трехтомник А.С. Пушкина. Найти вероятность того, что эти три тома стоят в порядке возрастания слева направо (но не обязательно рядом).

28. В лотерее разыгрываются 90 номеров, из которых выигрывают пять. Разрешается ставить на любую совокупность одного, двух, трех, четырех или пяти номеров, при этом для получения приза необходимо угадать хотя бы один выигрышный номер. На какую комбинацию выгоднее всего поставить, если при нулевой стоимости заявки размер приза зависит от числа n выставленных 2/номеров как ( )n 29. Из всех последовательностей длины N, состоящих из цифр 0, 1, 2, случайно выбирается одна. Найти вероятность того, что:

i) последовательность начинается с нуля;

ii) последовательность содержит ровно k единиц;

iii) в последовательности j нулей и k единиц.

48 Т е м а II. Классическая схема 30. Какова вероятность того, что среди последних шести цифр номера сотового телефона i) все цифры разные;

ii) только три одинаковые цифры 31. Чему приблизительно равна вероятность того, что случайно взятое натуральное число из множества {1, 2,..., N} делится на фиксированное число K, если N достаточно велико 32. Из 10 карточек азбуки составлено слово СТАТИСТИКА.

Из этих карточек по схеме случайного выбора без возвращения отобрано k карточек. Найти вероятность того, что из отобранных карточек можно составить слово ТАКСИ, если i) k = 5; ii) k = 6.

33. Из 30 чисел 1, 2,..., 30 случайно отбирается 10 различных чисел. Найти вероятность того, что i) все числа нечетные;

ii) ровно 5 чисел делится на 3.

34. Из чисел {1, 2,..., K} без возвращения выбираются n чисел. Найти вероятность того, что числа поступают в порядке возрастания.

35. Группа, состоящая из 100 мальчиков и 100 девочек делится случайным образом на две равные части. Найти вероятность того, что в каждой части число мальчиков и девочек одинаково.

Оценить эту вероятность, воспользовавшись формулой Стирлинга.

36. Из полного набора 28 костей домино отбираются 5 костей. Найти вероятность того, что среди них будет хотя бы одна кость с шестью очками.

37. Бросают N игральных костей. Найти вероятность, что:

i) на всех костях выпадет одинаковое число очков;

ii) хотя бы один раз выпадет шестерка;

iii) шестерка выпадет в точности один раз.

Задачи 38. Найти вероятность того, что на 6 игральных костях i) все числа разные;

ii) сумма выпавших очков равна 7.

39. Между игроками A и B проводится K партий, причем игрок А вдвое чаще выигрывает, чем игрок В (без ничьих). Найти i) вероятность того, что игрок А выиграет ровно N партий;

ii) наиболее вероятное число побед для игрока А.

40. Для уменьшения общего количества игр 2N + 1 команд разбивают на две подгруппы (по N и N + 1 команд). Найти вероятность того, что две наиболее сильные команды окажутся в одной подгруппе.

41. В урне W белых, K черных, C сиреневых и M розовых шаров. Из урны без возвращения извлекаются четыре шара. Найти вероятность того, что все шары различны по цвету.

42. В урне находятся N белых и M черных шаров. Шары без возвращения извлекаются из урны. Найти вероятность того, что k -й вынутый шар окажется белым.

43. N человек,,случайно‘‘ рассаживаются за круглым столом. Найти вероятность того, что из трех друзей A, B и C i) по крайней мере A и B сядут рядом, причем B слева от A;

ii) все трое сядут рядом, причем A справа от B, а C слева.

44. Решить задачу 43 для случая, когда друзья садятся в ряд по одну сторону прямоугольного стола.

45. В чулане хранятся n пар ботинок. Из них случайно выn бираются 2r ботинок (r < ). Найти вероятность того, что:

i) среди выбранных ботинок отсутствуют парные;

ii) имеется ровно одна комплектная пара;

iii) имеется ровно две комплектные пары.

50 Т е м а II. Классическая схема 46. Каждая из n палок разламывается на две части длинную и короткую. Затем 2n полученных обломков объединяются в n пар. Найти вероятность того, что:

i) все обломки объединены в первоначальном порядке;

ii) все длинные части соединены с короткими.

47. В некоторых сельских местностях России существовало когда-то следующее гадание. Девушка зажимает в руке шесть травинок так, чтобы концы травинок торчали сверху и снизу; подруга связывает эти травинки попарно между собой сверху и снизу в отдельности. Если при этом все шесть травинок оказываются связанными в одно кольцо, то это означает, что девушка в текущем году выйдет замуж.

(a) Найти вероятность того, что все 6 травинок при завязывании образуют одно кольцо.

(b) То же для случая 2n травинок.

48. Один школьник, желая подшутить над своими товарищами, собрал в гардеробе все фуражки, а потом развесил их в случайном порядке. Какова вероятность Pn, что хотя бы одна фуражка попала на прежнее место, если всего в гардеробе было n крючков и на них n фуражек Найти lim Pn.

n Подсказка. Применить тождество Пуанкаре (задача 35, с. 22).

49. Показать, что в условиях предыдущей задачи вероятность того, что ровно r < n фуражек будет висеть на первоначальных местах, равна n-r 1 - (-1)j.

r! j! j=Подсказка. Применить формулу Варинга (задача 37, с. 22).

Задачи 50. Какова вероятность того, что у всех людей в группе из k человек будут различные дни рождения, если игнорировать високосные года и i) k = 2 ; ii) k ( 365) произвольно; iii) k = 47.

При какой минимальной численности группы с вероятностью, большей 0.5, в группе встретятся по крайней мере два человека с одинаковым днем рождения 51. Для оценки числа рыб в водоеме в него запустили 10 помеченных рыб. После этого было отловлено, а затем отпущено 20 рыб, среди которых оказались 4 помеченные. Найти оценку максимального правдоподобия общего числа рыб N в водоеме, то есть такое число N, при котором полученный результат имеет максимальную вероятность осуществления, если считать, что помеченные рыбы хорошо перемешались и состав рыб при этом не изменился.

Z 6 Такой способ оценки общего числа популяции был предложен Лапласом в 1786 г. для оценивания числа жителей Парижа.

52. (Статистика Максвелла-Больцмана.) В N ячейках размещаются n различных частиц без запрета размещения нескольких частиц в одной ячейке. Найти вероятность P (k; N, n) того, что в фиксированной ячейке будет k частиц. Показать, что предел этой n/N вероятности при N, n, так что > 0 равен k lim P (k; N, n) = e-.

n,N k! 53. Из урны, содержащей N занумерованных от 1 до N шаров, вынимается n шаров. Пусть Bk событие, состоящее в том, что максимальный номер в выборке равен k. Доказать, что:

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 18 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.