WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 18 |

В ситуациях, когда возникают сомнения в применимости классической схемы, необходимо пересмотреть описание пространства. Может быть, элементарные исходы в этом пространстве не столь элементарны и их можно разложить на более мелкие части При этом всегда оказывается, что эти составные исходы содержат разное количество мелких исходов.

Подобные ошибки возникают почти всегда из-за того, что пространство строится с оглядкой на заданный вопрос. Один из способов проверки правильности построения состоит в постановке других вопросов, относящихся к рассматриваемому эксперименту.

Пример 1. С какой вероятностью монета, брошенная дважды, по крайней мере один раз выпадет гербом Решение (ошибочное, по Даламберу, Лейбницу и иже с ними). Рассмотрим, состоящее всего из трех возможных исходов:

герб–герб, герб–решка, решка–решка. Среди этих исходов ровно два приводят к осуществлению интересуюшего нас события, по2/этому вероятность этого события равна.

Под давлением поставленного вопроса невольно исходы в сгруппированы по количеству выпавших гербов 2, 1, 0. Ошибочность этого решения сразу осознается, если попытаться найти (в этом же пространстве ) вероятность выпадения на первой монете решки, а на второй монете герба. Понятно, что для этого необходимо различать между собой монеты.

Выбор из конечной популяции. Решение (правильное). Пространство состоит из четырех исходов: герб–герб, герб–решка, решка–герб, решка–решка. Среди 3/них три благоприятных исхода; искомая вероятность равна.

Z 1 Аналогичный ответ получится, если подбрасывание двух монет рассматривать как два независимых эксперимента, в каждом из которых герб выпадает с вероятностью /2. Этой схеме посвящена Тема V.

Выбор из конечной популяции.

Предположим, что имеется совокупность S из N объектов (исторически ее принято называть генеральной совокупностью).

Из этой совокупности выбирается n объектов, причем считается, что выбор каждого нового объекта происходит с одинаковой вероятностью для всех объектов, имеющихся на данный момент выбора. В этом случае удобнее всего считать все объекты генеральной совокупности различными (!!!), а посему каким-либо особым лейблом пометить каждый такой объект, например, занумеровать или записать (уникальную) фамилию S = {1,..., N}.

Элементарные исходы эксперимента описываются как n -мерные векторы (выборки) = (s1,..., sn), элементы которого суть объекты S j k : sj = k.

Если выборки, одинаковые по составу, но разные по порядку поступления, считаются различными, то такую схему выбора называют упорядоченной для нее порядок элементов важен:

(1, 2, 1) = (1, 1, 2).

В неупорядоченной выборке порядок элементов не важен, поэтому для ее представления можно выбрать любой удобный вариант записи, например, упорядочить каким-либо способом:

(1, 2, 1) = (2, 1, 1) = (1, 1, 2).

Z 2 Словесный эквилибр:

при неупорядоченном выборе нужно упорядочить;

при упорядоченном ни в коем случае не упорядочивать! 32 Т е м а II. Классическая схема При решении задач, связанных с выбором из генеральной совокупности, весьма полезны методы комбинаторики.

3. Обоснуйте справедливость описаний биномиальных коэффициентов, рассмотренных в приложении VIII, с. 215.

4. Докажите симметричность Cm : Cm = CK-m.

K K K Пример 2. Сравните объемы работ:

10! 10 · 9 · 8! 10 · 9 10 · C8 = = = = 45 и C8 = C2 = = 45.

10 10 8!2! 8! 2! 1 · 2 1 · Большинство экспериментов, в которых производится выбор из генеральной совокупности, могут быть описаны одной из следующих схем.

[Y-B] Упорядоченный выбор с возвращением.

При выборе очередного объекта фиксируется соответствующая ему метка, а сам объект возвращается в генеральную совокупность.

В этом случае = (s1,..., sn) : sj S, j = 1, n, объем выборки n может быть любым, порядок элементов выборки важен, число всех исходов N() = Nn.

[HY-B] Неупорядоченный выбор с возвращением.

При выборе очередного объекта фиксируется соответствующая ему метка, а сам объект возвращается в генеральную совокупность, по окончании выбора вся выборка упорядочивается. В этом случае = (s1,..., sn) : sj sk S, j < k = 1, n, объем выборки n может быть любым, порядок элементов выборки не важен (ее нужно упорядочить), число всех исходов N() = Cn.

N+n-Выбор из конечной популяции. [Y-HB] Упорядоченный выбор без возвращения.

При выборе очередного j -ого объекта фиксируется (на j -ом месте) соответствующая ему метка, а сам объект не возвращается в генеральную совокупность. В этом случае = (s1,..., sn) : sj = sk S, j, k = 1, n, количество элементов в выборке n N не больше N, порядок элементов выборки важен, число всех исходов N() = An.

N [HY-HB] Неупорядоченный выбор без возвращения.

При выборе очередного j -ого объекта фиксируется соответствующая ему метка, сам объект не возвращается в генеральную совокупность, а по окончании выбора вся выборка ранжируется. В этом случае = (s1,..., sn) : sj < sk S, j < k = 1, n, количество элементов в выборке n N не больше N, порядок элементов выборки не важен (ее нужно упорядочить), число всех исходов N() = Cn.

N Пример 3. Пусть из совокупности S = {a1, a2, b} отбираются два элемента. Тогда для рассмотренных схем выбора имеем:

(a1, a1), (a1, a2), (a1, b), (a2, a1), (a2, a2), (a2, b), [Y-B] =, (b, a1), (b, a2), (b, b) N() = 32 = 9 ;

[HY-B] = (a1, a1), (a1, a2), (a1, b), (a2, a2), (a2, b), (b, b), N() = C2 = 6 ;

3+2-[Y-HB] = (a1, a2), (a1, b), (a2, a1), (a2, b), (b, a1), (b, a2), N() = A2 = 6 (нечаянно совпало с предыдущим) ;

[HY-HB] = (a1, a2), (a1, b), (a2, b), N() = C2 = 3.

34 Т е м а II. Классическая схема Z 3 Обратите внимание на то, что каждый элемент неупорядоченной выборки в схеме без возвращения содержит одинаковое количество элементов упорядоченной выборки (по два). Для схемы с возвращением это уже не справедливо.

5. Докажите формулы для N() в описанных выше схемах выбора [Y-B], [HY-B], [Y-HB] и [HY-HB].

Решение (для [HY-B]). Каждой выборке можно сопоставить вектор (n1,..., nN), где число nk равно количеству элементов генеральной совокупности k S, попавших в выборку (n1 +... + nN = n). Если в этом векторе каждое число nk > 0 заменить nk единицами, а числа nk = 0 просто отбросить, то выборке будет соответствовать набор n единиц, разделенных (N - 1) -ой запятой.

Например, выборка (a2, a2) из предыдущего примера эквивалентна набору (0, 2, 0) = (, 11, ), состоящему из 4 (= 2+2 = n+(N -1)) элементов. Таким образом, любая выборка представляет собой размещение (N -1) -ой запятой на (n+N -1) -ом месте. Число таких выборок равно CN-1 = Cn.

N+n-1 N+n-Пример 4. Подбрасывание двух монет можно рассматривать как упорядоченный выбор с возвращением двух объектов из генеральной совокупности, содержащей два объекта S = {Г, Р}.

Пример 5. Единственный известный нам пример,,реальной‘‘ ситуации, описываемой схемой выбора [HY-B], восходит к экспериментам по изучению распределения элементарных частиц по энергетическим уровням. Некоторые частицы (бозоны фотоны, глюоны и др.) не подчиняются принципу запрета Паули запрета размещения нескольких частиц на одном уровне. Принцип Паули эквивалентен выбору без возвращения, отказ от принципа выбору с возвращением. Бозе и Эйнштейн заметили, что для описания поведения этих частиц как раз подходит схема выбора [HY-B].

Выбор из конечной популяции. При этом объем генеральной совокупности N соответствует числу уровней, а объем выборки n числу элементарных частиц.

Если провести аналогию с рассмотренными выше монетами, то две монеты соответствуют двум частицам, а символы Г, Р энергетическим уровням, на которых эти,,частицы‘‘ могут находиться. По-видимому, Даламбер и Лейбниц перебрасывались межoo.

ду собой глюонами Описание других моделей статистической физики можно найти в учебном пособии А.Н. Ширяева [2, с.19].

Пример 6. Известно, что 50% партий между шахматистами A и B заканчиваются вничью, 25% в пользу A и 25% в пользу B. Какова вероятность, что игрок A выиграет две из трех партий Решение. Рассмотрим совокупность S = {N1, N2, WA, WB};

метка WA обозначает окончание партии в пользу игрока A, метка WB в пользу игрока B, метки N1, N2 отведены для обозначения ничейного результата (дабы соблюсти указанные в задаче пропорции).

Таким образом, каждая отдельная партия представляет собой однократный выбор из генеральной совокупности S, а три партии есть упорядоченная выборка с возвращением объема n = 3. Общее число исходов N() = 43 = 64.

Представим сначала один конкретный благоприятный исход, например (WA, WA, N1), и попытаемся описать отличия других благоприятных исходов от выбранного. Во-первых, в этих исходах на третьем месте могут находиться три варианта меток, отличных от WA : N1 или N2 или WB. Во-вторых, так как при подсчете общего числа исходов мы считали векторы, одинаковые по составу, но разные по расположению элементов, различными, то и при подсчете благоприятных исходов мы должны исходить из тех же соображений, то есть рассмотреть все возможные способы 36 Т е м а II. Классическая схема расположения двух выигранных партий в матче. Количество таких способов, как известно, равно C2 = 3. Таким образом, число благоприятных исходов равно 9 по три варианта на каждые три 9/способа расположения. Искомая вероятность равна.

Пример 7. Среди 6 визуально одинаковых консервных банок две банки с борщом, две с мясным гуляшом и две с абрикосами. Какова вероятность, что среди трех случайно открытых банок будет по одной банке каждого типа А какова вероятность, что при этом еще будет соблюден принятый в современном обществе порядок употребления продуктов в пищу Решение. При ответе на первый вопрос мы можем не учитывать порядок поступления банок. Здесь можно было бы просто занумеровать все банки от 1 до 6. Однако для подсчета всех благоприятных исходов это может оказаться не совсем удобным. Опишем генеральную совокупность как набор S = B1, B2, G1, G2, A1, Aс очевидными вариантами обозначений. В соответствии с моделью [HY-HB] общее число исходов N() = C3 = 20. Так как для данного порядок не важен, то при описании элементарных исходов их компоненты могут (и должны!) быть упорядочены по какому-либо правилу, например в алфавитном (лексикографическом) порядке.

Поэтому для события, описанного в первом вопросе, благоприятными будут исходы, в которых на первом месте окажется банка с абрикосами, на втором с борщом, а на третьем с гуляшом:

Q = (Ai, Bj, Gk), i, j, k = 1, 2 всего 8 благоприятных исхо8/дов. Следовательно, P {Q} = = 0.4.

Во втором вопросе, по-видимому, подразумевается, что содержимое банок съедается сразу по открытии каждой из них. Здесь уже важен порядок их поступления модель [Y-HB] с общим числом исходов (трехмерных векторов) N() = A3 = 120. Благоприятный исход имеет вид W = (Bi, Gj, Ak), i, j, k = 1, 2. Число Выбор из конечной популяции. 8/120 1/благоприятных исходов равно 8, поэтому P {W } = =.

Z 4 Если по сути задачи не важен порядок поступления элементов выборки, то нет большой разницы, какую из схем [Y-HB] или [HY-HB] следует рассматривать. При этом не нарушается принцип равновозможности элементарных исходов, поскольку каждый элементарный исход схемы [HY-HB] есть объединение одинакового числа n! равновероятных исходов схемы [Y-HB]. Единственное, что следует иметь при этом в виду, это способ подсчета благоприятных исходов он должен согласовываться со способом подсчета всех исходов. Другими словами, если в (не) учитывается порядок элементов выборки, то и для благоприятных исходов он тоже (не) должен учитываться.

Аналогичная связь между схемами [Y-B] и [HY-B] отсутствует. Применение классической вероятностной модели при неупорядоченном выборе с возвращением требует дополнительного обоснования.

Если Вы не физик-ядерщик, забудьте о существовании схемы [HY-B].

6. Проверьте, будут ли совпадать решения в первой из задач о банках в рамках моделей [Y-HB] и [HY-HB] При ответе на вопрос, почему при подсчете благоприятных исходов мы произвели умножение количеств вариантов ( 2 · 2 · 2 = 8 ), а не их сложение, может пригодиться следующая таблица связей соединительных союзов и логических операций, а также способов их реализаций:

Союз Операция Реализация или сумма и, а произведение Пример 8. Среди 25 экзаменационных билетов имеется ровно 5 счастливых. Студенты подходят за билетами один за другим по очереди. У кого больше вероятность вытащить счастливый билет: у того, кто подошел первым, или у того, кто подошел вторым Решение. Представим эксперимент, в котором выбираются два билета, причем, для того чтобы различить 1-го и 2-го экзамену38 Т е м а II. Классическая схема емого, мы должны учитывать порядок поступления билетов. Тогда пространство элементарных исходов (пространство двумерных векторов типа [Y-HB]) содержит всего N() = A2 = 25 · элементов. Первый экзаменуемый получит счастливый билет, если на первом месте элементарного исхода будет стоять один из пяти счастливых билетов, а на втором любой из 24 оставшихся (всего 5 · 24 вариантов). Таким образом, вероятность выбора счастливого билета первым студентом равна 5 · 24 =.

25 · 24 Второй студент вытащит счастливый билет, если a) первый билет будет счастливым и второй тоже счастливым (всего 5 · 4 вариантов), либо ( + ) b) первый билет будет несчастливым, а второй счастливым (всего 20 · 5 вариантов). Следовательно, вероятность получения счастливого билета для второго экзаменуемого равна 5 · 4 + 20 · 5 =.

25 · 24 Итак, если заранее решать, каким по очереди выбирать билет, то вероятность удачного стечения обстоятельств не будет зависеть от момента захода на экзамен. Докажите этот результат для всех остальных экзаменуемых.

Пример 9. Рассмотрим ситуацию статистического контроля, описанную в примере 7, с. 12. При статистическом контроле необходимо уметь вычислять вероятности приемки партии в различных предположениях относительно количества бракованных ламп. В иллюстративных целях будем считать, что партия состоит из ламп, при этом среди них ровно 4 дефектных.

Решение. Здесь удобнее всего считать, что отбираются сразу ламп с учетом порядка их поступления. Таким образом, мы нахоВыбор из конечной популяции. димся в рамках выбора n = 5 элементов из совокупности в N = элементов по схеме [Y-HB]. Следовательно, общее число N() = A5 = 1 860 480.

При подсчете числа благоприятных исходов порядок выбора также будем учитывать. Благоприятное событие состоит из четырех несовместных событий (см. решение в примере 7, с. 12):

c c c B = K1K2K3 + K1K2K3K4K5 + K1K2K3K4K5 + K1K2K3K4K5.

Первое событие происходит, если на первых трех местах элементарного исхода (контрольные лампы первого этапа контроля) будут стоять кондиционные лампы (A3 = 3 360 вариантов из 16 хороших), а две другие лампы могут быть произвольными (A2 = 272 варианта 2 из 17 оставшихся). Еще раз подчеркнем, в качестве элементарных исходов нами были взяты 5-мерные векторы, поэтому при описании благоприятных исходов мы должны учитывать возможные комбинации всех его компонент. С этой точки зрения выбранная нами запись для первого события не вполне удовлетворительна надо было записать его в виде K1K2K3X1X2, где последние два символа X1X2 подразумевают любую возможную комбинацию ламп. Число благоприятных исходов N(K1K2K3) = 3 360 · 272 = 913 920.

Три другие события, очевидно, имеют одинаковое число благоc приятных исходов. Найдем это число для K1K2K3K4K5, то есть когда на первом месте стоит дефектная лампа (A1 = 4 варианта), а на остальных четырех местах любые 4 кондиционные лампы из c (A4 = 43 680 вариантов): N(K1K2K3K4K5) = 4·43 680 = 174 720.

Отсюда окончательно получаем N(B) 913 920 + 3 · 174 720 P {B} = = = = 0.772962.

1 860 480 N() 40 Т е м а II. Классическая схема При нахождении подобных вероятностей, конечно, не надо вычисoo, числа Am. Правильнее было лять, порой очень большие M бы просто воспользоваться определением числа Am и сократить M одинаковые сомножители в числителе и знаменателе:

A3 · A2 + 3 · A1 · A(16 · 15 · 14) · (17 · 16) + 3 · 4 · (16 · 15 · 14 · 13) 16 17 4 = = 20 · 19 · 18 · 17 · A7(4 · 17 + 3 · 13) =.

3 · 17 · Изучим еще одну очень популярную на практике схему выбора.

(GG) Гипергеометрическая модель. Урновая схема.

Имеется урна, содержащая всего N шаров, среди которых R шаров красного цвета и W = N -R белого. Из урны отбирают без возвращения n шаров. Требуется найти вероятность получения в выборке ровно r красных.

Несмотря на то что шары различаются только по цвету, будем считать, что генеральная совокупность состоит из N различных элементов: S = { Red1,..., RedR, White1,..., WhiteW }.

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 18 |






















© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.