WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 18 |

Если в исходном пространстве 1 имелась своя –алгебра Fи при этом () F1 (то есть прообраз любого измеримого относительно F2 множества измерим относительно F1 ), тогда отображение называется измеримым (точнее, F1|F2 -измеримым).

Вероятность Вероятностная мера P задается на –алгебре F и удовлетворяет условиям:

(P1) 0 P {A} 1, A F;

(P2) P {} = 1, P {} = 0;

(P3) для любых несовместных событий A1, AP {A1 + A2} = P {A1} + P {A2};

(P4) если семейство вложенных друг в друга событий A1 A2... таково, что limn An := An =, то n=lim P {An} = 0.

n Часто два условия (P3)–(P4) заменяются одним эквивалентным условием, называемым –аддитивностью:

(P3 ) семейства несовместных событий {Aj} j= P Aj = P {Aj}.

j=1 j=Теория и примеры Z 1 Вероятность есть заданная на –алгебре F подмножеств конечная, нормированная, аддитивная, непрерывная мера.

Если акцент делается на свойстве (P3 ), то вероятность есть конечная, нормированная, -аддитивная мера.

В общем случае вероятность задается именно на событиях алгебры F, но не на отдельных элементарных исходах.

12. Докажите непрерывность вероятности в более широком смысле:

i) An A (т.е. An = A) P {An} P {A}.

n= ii) An A (т.е. An = A) P {An} P {A}.

n=Z 2 Соотношения (P3-P3 ) вместе с формулами для вероятности объединения пересекающихся событий (задачи 13 iii, iv и 35, с. 22) носят названия формул суммирования вероятностей. На вопрос, Равна ли вероятность суммы событий сумме вероятностей этих событий оба ответа ДА и НЕТ, неверны. Правильный ответ Да, если события несовместны.

13. Докажите справедливость следующих соотношений:

i) P {Ac} = 1 - P {A};

ii) P {A B} = P {A} - P {A B};

iii) P {A1 A2} = P {A1} + P {A2} - P {A1 A2};

iv) P {A1 A2 A3} = P {A1} + P {A2} + P {A3} - P {A1 A2} - P {A1 A3} - P {A2 A3} + P {A1 A2 A3}.

Решение (iii). Объединение любых двух событий может быть представлено в виде суммы двух несовместных событий:

A1 A2 = A1 + (A2 A1).

18 Т е м а I. Основания теории вероятностей В силу несовместности указанных событий и равенства задачи 13 ii P {A1 A2} = P {A1} + P {A2 A1} = = P {A1} +(P {A2} - P {A2 A1}).

14. Когда вероятность разности событий равна разности их вероятностей 15. Докажите справедливость следующих свойств:

i) свойство монотонности вероятности:

P {A} P {B}, A B;

ii) свойство полуаддитивности вероятности:

n n P Ak P {Ak}.

k=1 k=Пример 11. Даны вероятности P {A}, P {B}, P {A B}.

Найти вероятность P {A B}.

Решение. Так как A B = (A B) + (B A), то P {A B} = P {A B} + P {B A}.

Примененное дважды равенство задачи 13 ii дает P {B A} = P {B} - P {AB} = P {B} -(P {A} - P {A B}).

Следовательно, P {A B} = 2 P {A B} + P {B} - P {A}.

16. Докажите, что если последовательности событий {An} и {Bn} таковы, что limn P {An} = 0 и limn P {Bn} = 1, то для Q F lim P {Q An} = 0, lim P {Q Bn} = P {Q}, n n lim P {Q An} = P {Q}, lim P {Q Bn} = 1, n n lim P {Q An} = P {Q}, lim P {Q Bn} = 0.

n n Задачи ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 17. Среди студентов, собравшихся на лекцию по теории вероятностей, выбирают наудачу одного. Пусть событие Y заключается в том, что выбранный окажется юношей, событие N в том, что он не курит, а событие H в том, что он живет в общежитии.

(a) Описать событие Y N Hc.

(b) Когда справедливо соотношение Y NH = Y c (c) Имеет ли место равенство Y = N, если все юноши курят (d) Когда справедливо соотношение Hc N 18. Событие A хотя бы один из трех проверяемых приборов бракованный, событие B все три прибора доброкачественные. Что означают события A B, A B 19. Событие A хотя бы одно из имеющихся четырех изделий бракованное, событие B бракованных изделий среди них не менее двух. Что означают события Ac, Bc, A B, A B 20. Мишень состоит из десяти кругов, ограниченных концентрическими окружностями с радиусами r1 < r2 <... < r10. Событие Ak происходит, если стрелок попал в круг радиуса rk. Что означают события 6 B = Ak, C = Ak, A = A5 A6 k=1 k=21. Двое играют в шахматы. Событие A означает, что выиграл первый игрок, событие B выиграл второй игрок.

Что означают события A Bc, Ac B, Bc A, Ac Bc 22. Когда возможны равенства A B = A B, ABC = A 20 Т е м а I. Основания теории вероятностей 23. Проверяется качество N деталей. Пусть событие Ak заключается в том, что k -я деталь имеет дефект. Записать следующие события через множества A1,..., AN :

i) ни одна из деталей не имеет дефектов;

ii) хотя бы одна деталь имеет дефект;

iii) только одна деталь имеет дефект;

iv) не более двух деталей имеют дефекты;

v) по крайней мере две детали не имеют дефектов;

vi) ровно две детали дефектны.

24. Доказать, что для A, B равносильны соотношения:

A B, Bc Ac, AB = A, A B = B, A B =.

25. Проверить следующие соотношения между событиями:

i) ABC AB BC AC;

ii) AB BC AC A B C;

iii) A B = AB + (A B);

iv) (A B)c = AB Ac Bc;

v) A B = (A Bc)c (Ac B)c.

26. Верны ли следующие равенства:

i) A B = AB (A B);

ii) A B = A (AB);

iii) (Ac Bc)c = A B;

iv) A (B C) = (A B) C;

v) (A B) C = A (B C);

vi) (AB CE)c = (Ac Bc)(Cc Ec);

vii) (A B)(A C)(B C) = AB BC AC;

viii) (A Bc) (Ac B) = A B 27. Обязаны ли совпадать события A и B, если Задачи i) A B = ;

ii) Ac = Bc ;

iii) A C = B C, где C некоторое событие;

iv) AC = BC, где C некоторое событие;

v) A(A B) = B(A B) 28. В каком случае симметрическая разность трех событий A B E происходит только если происходит ровно одно из них 29. Событие A влечет событие B. Упорядочить величины 0, 1, P {A}, P {B}, P {A B}, P {A B}, P {AB}.

30. Даны события A и B. Упорядочить величины P {AB}, 0, P {A}, P {A} + P {B}, P {A B}.

1/3 1/31. Даны вероятности событий: P {A} =, P {B} =, 1/P {AB} =. Найти P {A B} и P {Ac B}.

32. Совместны ли события A и B, если вероятность P {A} = 1/2 2/и P {B} = 33. Показать, что если P {A} + P {B} > 1, то события A и B совместны.

34. (Метод индикаторных функций.) Пусть IA : {0, 1} индикаторная функция события A, принимающая значение 1, если исход A, и 0, если A. Доказать справедливость / следующих свойств:

i) IA+B = IA + IB; ii) IAB = 1 - (1 - IA)(1 - IB);

c iii) IAB = IAIB; iv) IA = 1 - IA;

v) IA = IB + IC P {A} = P {B} + P {C};

vi) IA = IB - IC P {A} = P {B} - P {C};

( ) ( ) vii) IA = IB - IC P {A} = P {Bk} - P {Cj} k k j j k j ( ) ( ) (доказать позже, используя свойства математ. ожидания).

22 Т е м а I. Основания теории вероятностей 35. Доказать формулу суммирования вероятностей (тождество Пуанкаре) для произвольного конечного числа событий:

n n P Ak = P {Ak} - P {Ak Ak } +... + 1 k=1 k=1 1 k1

1 m 1 k1<...

36. Вывести аналог тождества Пуанкаре для вероятности пересечения событий.

r 37. Доказать формулу Варинга для вероятности P {Bn} осуществления в точности r из n событий A1,..., An :

n-r r P {Bn} = (-1)m Cr P Ak1... Ak(r+m).

r+m m=1 k1<...

r 38. Доказать, что:

i) P {AB} P {A} + P {B} -1;

n n ii) P Ak P {Ak} -(n - 1).

k=1 k=1/39. Пусть вероятность каждого из событий A и B равна.

Доказать, что P {AB} = P {Ac Bc}.

40. Доказать, что P {A B} = P {A} + P {B} -2 P {AB}.

Задачи 41. Доказать, что для любых событий A, B, C i) P {AB} + P {AC} + P {BC} P {A} + P {B} + P {C} -1;

ii) P {AB} + P {AC} - P {BC} P {A};

iii) P {A B} P {A C} + P {C B}.

42. Даны p = P {A}, q = P {B}, r = P {A B}. Найти i) P {A B}; ii) P {A Bc}; iii) P {Ac Bc}.

43. Доказать, что каждая –алгебра является алгеброй.

44. В каком случае алгебра будет также –алгеброй Другими словами, когда при проверке условия (S3) достаточно ограничиться рассмотрением только конечных наборов подмножеств 45. Найти пересечение {A1} {A2}, если A1 = A2.

46. Показать, что при проверке условия (S3) достаточно ограничиться одним из двух приведенных соотношений (например, только (a)).

47. Доказать, что замкнутость –алгебры относительно счетных объединений достаточно проверять только на несовместных событиях. Точнее, условие (S3a) эквивалентно двум условиям:

(S3 ) A, B F A B F ;

(S3 ) {Ak} F, AkAj = Ak F.

k=48. Описать {A1, A2, A3}, если A1 + A2 + A3 =.

49. Описать {A1, A2}, если подмножества A1, A2 имеют непустое пересечение и накрывают все пространство : AA2 =.

n 50. Описать {Ak, k = 1, n }, если Ak =.

k=Сколько элементов эта алгебра содержит 24 Т е м а I. Основания теории вероятностей 51. Доказать, что борелевская –алгебра может быть порождена всеми открытыми конечными интервалами:

B(R1) = {(a; b) : a < b, a, b R1}.

52. Доказать, что борелевская –алгебра на прямой может быть порождена счетным семейством подмножеств R1.

53. Борелевскую –алгебру на плоскости R2 можно определить по аналогии с одномерным случаем как (-, x1) (-, x2), (x1, x2) R2.

Доказать измеримость (по Борелю) прямоугольников, треугольников, а также их границ.

54. Доказать, что если F1 есть –алгебра в 1, то при отображении : 1 2 совокупность множеств F2 = D 2 : -1(D) Fобразует –алгебру в 2.

55. Доказать, что для минимальной –алгебры в 1, порожденной прообразами совокупности подмножеств Q пространства 2 при отображении : 1 2, справедливо равенство (-1(Q)) = -1((Q)).

Подсказка. В одну строну с помощью утверждения задачи 11, с. 16. В другую сторону с помощью утверждения задачи 54.

56. Доказать, что любое отображение : (, F) (R1, B) в борелевскую числовую прямую измеримо, если y R1 множество { : () < y} F.

Подсказка. Применить утверждение задачи 55.

57. Воспользовавшись результатами предыдущей задачи, доказать измеримость функции x2 : (R1, B) (R1, B).

Задачи 58. Пусть n : (, F) (R1, B) последовательность измеримых функций, для которой существует поточечный предел () = limn n(). Доказать измеримость.

Подсказка. { < y} { > 0 N 1 n N : n < y - }.

59. Доказать измеримость функций двух переменных:

i) max(x, y) : (R2, B(R2)) (R1, B(R1));

ii) min(x, y) : (R2, B(R2)) (R1, B(R1)).

Подсказка. Применить утверждение задачи 56.

60. Если (1, F1, P1) вероятностное пространство, тогда любое измеримое отображение : (1, F1) (2, F2) порождает на (2, F2) меру P{D} = P1{-1(D)}, D F2, называемую распределением случайного элемента. Доказать, что P есть вероятность.

26 Т е м а I. Основания теории вероятностей Ответы и указания 1. 2. 3. 4. Метод: туда и обратно. 5. (!).

6. Занумеровать элементы от 1 до N ; описать каждое подмножество как N -мерный вектор, в котором на i -ом месте стоит 1, если i -ый элемент входит в это подмножество, и 0, если не входит. 7. Нет. 8. По аналогии с примером.

9. Проверить выполнение свойств –алгебры. Например, F B() [B B(R1) : F = B ] F = Bc B().

10. Метод: туда и обратно. 11. См. задачу 10.

12. i-ii) An A (или A An).

13. i) 1 = P {} ; iv) A1 A2 A3 = A1 (A2 A3).

14. См. задачу 13ii. 15. i) см. задачу 14; ii) см. задачу 13iii.

16. Например, 1 P {Q Bn} P {Bn} 1.

17. 18. 19. 20. 21. 22. Метод: нарисовать диаграмму.

23. i) все хорошие; iii) см. примеры; iv) дефектных 0, 1 или 2; v) перейти к противоположному событию. vi) См. iii.

24. Пример: A B [ A B = B + A B = B + = B ].

Обратно, A B = B [ A A B B].

25. i-ii) слева направо ; iv) правило де Моргана и дистрибутивность; v) найти симметрическую разность правой части.

26. i) да; ii) нет; iii) нет; iv) нет; v) нет; vi) да; vii) нет; viii) да.

27. i) нет; ii) да; iii) нет; iv) нет; v) да. 28. См. пример 5.

7/29. См. задачу 24. 30. (!). 31. P {A B} =, 1/P {AcB} =. 32. - 33. От противного.

34. i) IA+B = 1 (A + B) {[(IA = 1)&(IB = 0)] [(IA = 0)&(IB = 1)]} IA + IB = 1.

ii, iii, iv) аналогично; v) показать, что IA = IB + IC A = B + C; vi) использовать v.

Ответы и указания 35. Например, I1Ak = 1 - (1 - IA1)(1 - IA2)(1 - IA3) = = IA1 + IA2 + IA3 - IA1A2 - IA1A3 - IA2A3 + IA1A2A3.

36. Например, P {AB} = 1 - P {Ac Bc} = 1 - (P {Ac} + + P {Bc} - P {AcBc}) = P {A} + P {B} - P {A B}.

37. Пример для вероятности B4. Одно из слагаемых (всего их C2 = 6 ) в представлении для индикаторной функции B4 (см.

подсказку) равно IA IA (1 - IA )(1 - IA ) = IA A2 - IA A2A3 - IA A2A4 + IA A2A3A4.

1 2 3 4 1 1 1 Индикатор IA1A2A3A4 встретится (со знаком + ) во всех 6 слагаемых. Каждый из индикаторов вида IA1A2A3 встретится (со знаком - ) в тех слагаемых, где из этой тройки событий ровно 2 произойдут, то есть C2 = 3 раза.

38. i) см. задачу 13iii; ii) по индукции. 39. Найти P {Ac Bc}. 40. См. пример 11. Способ II. Использовать метод индикаторных функций (задача 34).

41. i) применить тождество Пуанкаре (задача 35);

ii) представить P {A} в виде суммы вероятностей 4-х событий, среди которых имеются события AB, AC, ABC;

iii) воспользоваться методом задачи 34.

42. i) 3(p + q) - 2r; ii) 2p + q - r; iii) 1 - r.

43. Дополнить конечный набор событий {Ak}N до счетного N N набора с сохранением равенств Ak = Ak, Ak = Ak.

1 1 1 44. В случае –алгебры с конечным числом событий.

45. Воспользоваться правилом де Моргана. 46.,.

47. Применить задачу 4ii к счетныму числу событий.

48. Всего 8 событий, которые легко перебрать (см. задачу 6).

49. Воспользоваться задачей 47.

50. Связать с каждым подмножеством из искомой –алгебры n -мерный вектор (см. решение задачи 6).

28 Т е м а I. Основания теории вероятностей 51. Пусть B = {(a; b) : a < b, a, b R1}. Воспользовавшись результатами задачи 8, показать, что B B(R1). Обратно, показать, что все бесконечные интервалы вида (-; b) B.

52. Найти счетное семейство подмножеств R1, из которых можно с помощью счетных операций объединения и пересечения получить любой интервал вида (-; x), x R1.

53. Последовательно показать измеримость: 1) всех прямоугольников (замкнутых, открытых и полуоткрытых, бесконечных и конечных) со сторонами, параллельными осям координат; 2) прямоугольных треугольников с катетами, параллельными осям координат; 3) любых треугольников; 4) любых прямоугольников; 5) границ этих фигур.

54. Проверить свойства –алгебры. Например, (Ex10 – пример 10) (S2) def def c c F F2 -1(F ) F1 (-1(F ))c F1 Ex10 -1(F ) F1 F F2.

55. Q (Q) -1(Q) -1((Q)) (-1(Q)) -1((Q)).

Пусть S = F 2 : -1(F ) (-1(Q)). В силу предыдущей задачи S –алгебра, причем S (Q) и -1(S) (-1(Q)). Поэтому (-1(Q)) -1(S) -1((Q)).

56. Для доказательства, что -1(B) F, применить утверждение задачи 55 к совокупности Q = (-; y), y R1.

57. Прообраз (-; y) при y > 0 равен (- y; y) B.

1/k 58. Множество { : (x) < y} = {n() < y- }.

k=1 N=1 n=N 59. i) прообраз (-; z) равен {x < z, y < z} и, следовательно, измерим относительно борелевской –алгебры B(R2);

ii) рассмотреть дополнительное событие {min(x, y) z}.

60. Проверить свойства вероятности. Например, если An -1(An) P -1(An) 0.

Классическая Т е м а II.

схема [1, с. 8–20; 2, с. 14–34] Каковы Ваши шансы на зачет по ТВ 50% Почему Либо получу, либо не получу.

Из ответа оптимиста Проще всего вероятность задается в дискретном вероятностном пространстве со счетным или конечным числом элементарных исходов. Для этого каждому элементарному исходу приписывается положительное число p() вероятность осуществления, так чтобы сумма всех вероятностей p() = 1. ( ) 1. Докажите, что функция множеств P {A} := p(), A, A определяемая на –алгебре всех подмножеств P() не более чем счетного пространства задает вероятностную меру.

2. Докажите невозможность задания вероятности подобным образом в несчетном пространстве. А именно, покажите, что равенство ( ) может иметь место, только если множество исходов, для которых p() > 0, не более чем счетно.

В конечном пространстве с общим числом исходов N(), когда из соображений симметрии можно предположить,,равновозможность‘‘ всех элементарных исходов, полагают p() =,.

N() 30 Т е м а II. Классическая схема В этом случае N(A) P {A} =, A, N() где N(A) число исходов, приводящих к осуществлению события A (так называемых благоприятных исходов). Вероятностное пространство с такой вероятностной мерой называется классическим.

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 18 |






















© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.