WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 15 | 16 || 18 |

n Пример 9. Датчики случайных чисел во всех языках программирования устроены так, что в результате их работы выдается отрезок десятичного числа (с точностью до N знаков), интерпретируемый как приближенное значение равномерно распределенного числа. Справедливо ли это 206 Т е м а VIII. Метод характеристических функций Решение. Вероятностная модель случайного числа, выдаваемого датчиком, описана в примере 2, с. 202. Для этой модели х.ф.

при N (см. замечательный предел 4.B, с. 215) 1 - eit (4.B) eit - N(t) =.

N i t e-itN - Как было установлено в задаче 2, это есть х.ф. модели U[0; 1].

Пример 10. Докажем закон больших чисел Бернулли, утверждающий, что среднее число успехов в схеме Бернулли приближается к истинной вероятности успеха с ростом числа испытаний.

Решение. Пусть 1,..., n Bern(p) последовательность независимых бернуллиевских с.в. с одинаковой вероятностью успеха p. Характеристическая функция каждой из этих с.в. легко находится:

k(t) = E eitk = p eit·1 + (1 - p) eit·0 = 1 - p + peit.

n По свойству 7, х.ф. k равна n -ой степени х.ф. слагаемых:

(1 - p + peit)n.

Взглянув на таблицу х.ф., обнаружим, что это есть х.ф. биномиального распределения. Вообще говоря, сей замечательный факт нас не должен слишком сильно радовать, поскольку мы обязаны были его знать из предыдущих тем курса и не заниматься стрельбой по давно улетевшим воробьям.

Характеристическая функция среднего арифметического (то есть суммы, деленной на n ) получается из последней замеt/n ной аргумента t на (в силу утверждения задачи 1, с. 203):

n (t) = 1 - p + pei t/n.

Воспользуемся замечательным пределом 4.A, с. 215. Здесь n(an - 1) = n p ei t/n - 1 itp, поэтому n(t) exp(itp), что совпадает с х.ф. 0 p.

Теория и примеры 3. Перефразируя закон больших чисел, можно сказать, что относительная частота успеха p. Можно ли отсюда сделать n вывод, что число успехов в n испытаниях Бернулли np Пример 11. Интегральная теорема Муавра-Лапласа (с. 108) n - np утверждает, что если n Bin(n, p), то ф.р. с.в. n = np(1 - p) в пределе (при n ) совпадает со стандартной нормальной ф.р.

Другими словами, n N(0, 1). Классики доказывали этот факт путем долгих преобразований факториалов с помощью формулы Стирлинга. Мы же (всед за Ляпуновым) воспользуемся методом характеристических функций.

Решение. В целях сокращения записи будем считать, что n 1/Bin(n, p) с p = (общий случай проведите самостоятельно).

Тогда с.в.

n - np n - n n = = n np(1 - p) а ее х.ф. равна (аналогично предыдущему примеру) n 2t 1 n(t) = e-it n 1 - + ei n = 2 n n t t 1 1 t = e-i n + ei n = cos.

2 2 n t В силу первого замечательного предела n cos - 1 -t n при n, поэтому 1 n(t) e-2t.

Последняя функция есть х.ф. стандартного нормального закона.

4. Докажите теорему Пуассона (с. 108) для n Bin(n, pn) при npn с помощью метода характеристических функций.

5. Применяя разложение в ряд Тейлора в окрестности точки t = 0 к главной ветви функции ln((t)) и воспользовавшись 208 Т е м а VIII. Метод характеристических функций свойством 6 для х.ф., докажите, что при t 0 :

i) если µ = E, (t) = exp iµ t + o(t) ;

µ = E, ii) если (t) = exp iµ t - t2 + o(t2).

2 = D, 6. Докажите Закон Больших Чисел Хинчина:

если {k} независимые одинаково распределенные с.в., для k=которых существует м.о. µ = E i, то среднее арифметическое этой последовательности (при n ) n k -P µ.

n k=7. Математическое ожидание распределения Коши не существует. Докажите, что (в противовес Закону Больших Чисел) среднее арифметическое случайных величин из этого распределения не,,стабилизируется‘‘ около константы.

8. Докажите Центральную Предельную Теорему (ЦПТ):

если {k, k 1} последовательность независимых одинаково распределенных с.в., для которых существуют м.о. µ = E k и дисперсия 2 = D k, то при n n (k - µ) N(0, 1).

n k=Z 1 Краткая формулировка ЦПТ.

Сумма независимых одинаково распределенных с.в. асимптотически нормальна со средним и дисперсией, равными сумме истинных средних (nµ) и, соответственно, дисперсией (n 2) слагаемых.

Задачи ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 9. Найти х.ф. следующих распределений:

(a) равномерного U[-, ];

(b) дискретного, сосредоточенного в двух точках x1 = -1 и x2 = 1 с вероятностями p1 и p2 соответственно;

(c) дискретной с.в. :

1 P { = -2} = P { = 2} =, P { = 0} = ;

4 (d) случайной величины, принимающей значения 0, 1,..., N - 1 с равными вероятностями;

(e) экспоненциального E();

(f) гамма G(p, );

(g) Коши C(µ, 2);

(h) нормального N(µ, 2);

(i) Лапласа L().

10. Доказать свойства х.ф. 1, 2, 4, 7. Проанализировать природу соотношения между моментами с.в. и производными ее х.ф.

11. Доказать свойство 5 х.ф.

12. Найти плотность вероятностей (с помощью х.ф.) суммы N независимых случайных величин, имеющих распределение (a) Коши с произвольными (различными) параметрами;

(b) экспоненциальное с параметром 1;

(c) Пуассона с произвольными (различными) параметрами;

(d) нормальное с произвольными (различными) параметрами.

13. Формула обращения. Доказать, что распределение целочисленной с.в. Z = 0, ±1, ±2,... связано с ее х.ф. (t) соотношением P { = k} = e-ik t (t) dt, k Z.

- 210 Т е м а VIII. Метод характеристических функций 14. Являются ли следующие функции характеристическими cos t (a) (b) 1 - i t (c) e-t -2|t| 1 - t1 1 (d) (e) (f) 1 - |t| 1 - t2 - 2 i t 1 + t (g) e-|t| (h) 1 - sin2 t (i) 1 - t2 I[-1;1](t) (j) (1 + exp(i t))3 (k) 1 (l) cos t - i| sin t| 1 (m) ( 2 + sin t)2 (n) (o) exp(-2t2) 1 + i t (p) e(2 cos t-2+2 i sin t) (q) 1 + i sin t (r) 1 + i |t| 15. Пусть 1(t),..., n(t) характеристические функции.

Доказать, что их выпуклая комбинация n c1 1(t) +... + cn n, где ck > 0 и ck = 1, k=также является характеристической функцией.

Подсказка. Применить задачу 64, с. 191.

16. Если (t) характеристическая функция, будут ли характеристическими функции Re (t), Im (t), | (t)|2 Подсказка. Воспользоваться утверждением задачи 15.

17. Используя х.ф., найти м.о. и дисперсию (a) биномиального распределения Bin(n, p) ;

(b) пуассоновского распределения P() ;

(c) геометрического распределения Geo(p) ;

(d) равномерного на отрезке [-; ] распределения;

(e) гамма-распределения G(p, ) ;

(f) экспоненциального распределения E() ;

(g) нормального распределения N(µ, 2).

Задачи 18. Характеристическая функция с.в. равна (t). Ее моменты E = µ, D = 2. Чему равны м.о. и дисперсия с.в. с характеристической функцией (a) 2(t) ; (b) |(t)|2 19. Проверить справедливость Закона Больших Чисел для (a) Bern(p); (b) Geo(p); (c) P();

(d) U(0, 1); (e) E(); (f) G(p, );

(g) C(µ, ); (h) N(µ, ).

20. Пусть с.в. 1, 2,... независимы, одинаково распределены с непрерывной всюду функцией распределения, имеют нулевое среднее значение и конечную дисперсию. К чему сходятся (если сходятся) при n последовательности 1 +... + n 1 +... + n (a) ; (b) 1 +... + n 1 +... + n Для чего здесь введено требование непрерывности ф.р. Подсказка. Применить теорему Слуцкого:

P P n n 0, n 0, где P {j = 0} = 1, j 0 0.

n 21. Пусть с.в. P(). Какое асимптотическое распределе ние имеет с.в. = ( - ) при.

22. Дискретную геометрическую с.в. также можно интерпретировать как время жизни некоторого объекта. Доказать, что если испытания в схеме Бернулли происходят,,часто‘‘ (в моменты времени tk = k·, k = 1, 2,..., при малом ) с малой вероятностью p/ успеха (гибели) p, то при распределение геометрической с.в. может быть приблизительно описано экспоненциальным законом E().

n 23. Пусть = k среднее арифметическое независиn n мых E(1) с.в. Какое асимптотическое распределение при n имеет последовательность n ln( ) n 212 Т е м а VIII. Метод характеристических функций 24. Пусть {k} независимые бернуллиевские с.в., приk=1/kp чем P {k = 1} =. При каких значениях параметра p последовательность (n) = max{2,..., n} слабо сходится к с.в. с невырожденным (сосредоточенным не в одной точке) распределением Каково предельное распределение при p = 2 25. Пусть {k} последовательность независимых равноk=мерных U[0; 1] с.в. Найти асимптотическое (при n ) распределение с.в. i) n min k; ii) n (1 - max k).

k n k n 26. В математической статистике распределение хи-квадрат с k степенями свободы описывается как распределение суммы квадратов k независимых N(0,1) с.в.:

2 2 = 1 +... + k, j N(0, 1).

k Найти связь между хи-квадрат распределением и гаммамоделью. Вычислить E 2, D 2. Доказать, что при k k k 2 - k k P < x = (x) + o(1).

2k 27. Пусть k C(µ, 2), k = 1, n, независимые с.в. Коши. Показать, что их среднее арифметическое имеет то же самое распределение:

n := k C(µ, 2).

n n i=k Доказать, что это свойство является характеризационным для распределения Коши. То есть, если среднее арифметическое любого числа независимых одинаково распределенных величин имеет то же распределение, что и каждое из слагаемых, тогда это распределение будет распределением Коши с некоторыми параметрами.

28. Используя вероятностные соображения, доказать, что n+n! xn e-x dx, n.

Ответы и указания Ответы и указания 1. Преобразовать выражение для х.ф. a+b = E ea+b.

eit - 2.. 3. Нет!!! Не всякий согласится считать it 1/492, хотя, для Bin(984, ) вероятность получить большее 1/отклонение P {| - 492| > 25} >.

4. Применить замечательный предел 4.A к х.ф. Bin(n, ).

n 5. Воспользоваться свойством 6 х.ф.

6. Воспользоваться задачей 5i.

n 7. Если {j} C(0, 1) и независимы, то j C(0, 1).

n j=8. Воспользоваться задачей 5ii.

1 - eiNt sin(t) 9. (a) ; (c) cos2 t; (d) ; (e) (1 - it)-1;

t N(1 - eit) 1 (f) (1 - it)-p; (g) eiµte-|t|; (h) eiµte-2 t2; (i).

1 + t10. 4. Комплексно-сопряженное число a + bi = a - bi.

11. Применить свойства 4 и 8.

N N N 12. (a) C µj, j ; (b) G(N, 1); (c) P j ;

1 1 N N (d) N µj, j ;

1 13. Подставить х.ф. (t) = eitjpj с pj = P { = j}; поменять порядок суммирования и интегрирования; показать, что только при j = k интеграл отличен от нуля.

14. (a) нет; (b) нет; (c) да; (d) да; (e) да; (f) нет; (g) нет; (h) да; (i) нет; ( j) да; (k) да; (l) нет; (m) нет; (n) да;

(o) да; (p) да; (q) нет; (r) нет.

214 Т е м а VIII. Метод характеристических функций 1 15. См. подсказку. 16. Re(z) = z + z |z|2 = zz ;

2 1/p (1 - p)/p 17. (a) (np, np(1 - p)); (b) (, ); (c) (, ); (d) 2/(0, ); (e) (p, p2); (f) (, 2); (g) (µ, 2).

18. (a) (2µ, 22); (b) (0, 22).

19. (f) j G(p, ) E j = p, х.ф. j = (1-it)-p n -np 1 t х.ф. n = j равна n(t) = 1 - i eitp.

n n 20. (a) 0; (b) 0. Применить закон больших чисел и центральную предельную теорему. Проанализировать ОДЗ выражений.

21. N(0, 1). Представить ei = 1 + i - 2 + o(||2), 0.

22. Geo(p), p = E() при 0.

23. N(0, 1). Доказать, что ф.р. P n ln < x (x).

n 1/24. p > 1; Bern( ). Исследовать сходимость ln(P (n) = 0 ) при n ; воспользоваться одним из замечательных пределов. При p = 2 сосчитать бесконечное произведение.

25. E(1). Найти предел функций распределения с.в.

k n 2 26. G(, 2). Сначала найти ф.р. 1, а затем х.ф. i. Применить центральную предельную теорему.

27. Доказать равенство (kt) = ( (t))k, t R1, k = 1, 2,... ; сначала для рациональных, а затем для произвольных t 0 установить равенства (±t) = (±1)t; положить (1) = eiµ-; доказать, что > 0.

28. Воспользоваться тем, что с.в. с распределением G(n+1, 1) может быть представлена в виде суммы (n+1) экспоненциальных E(1) с.в. (см. задачу 12b, с. 209); применить центральную предельную теорему.

Гамма– и бета–функции.

Замечательные пределы 1. Гамма–функция (p) := xp-1e-x dx.

Определена p > 0.

(p + 1) = p (p).

=, (n) = (n - 1)!, n = 1, 2,...

2. Бета–функция B(p, q) := xp-1(1 - x)q-1 dx.

Определена p, q > 0.

(p)(q) Способ вычисления B(p, q) =.

(p + q) Еще два варианта представления / xp-B(p, q) = dx = 2 sin2p-1(x) cos2q-1(x) dx.

(1 + x)p+q 0 При q = 1 - p B(p, 1 - p) = (p)(1 - p) =.

sin(p) 3. Формула Стирлинга k! kke-k 2k, k.

4. Замечательные пределы ( n ) an 1, (A) если, (an)n ez;

n(an - 1) z n 0, (B) если, n(en - 1) z.

n n z Алфавитный указатель Алгебра ( –алгебра) событий 13 – гамма, G – борелевская 14 – геометрическая, Geo 105, – порожденная семейством 14 – гипергеометрическая, Gg – отображением 16 – – двухцветная 40, –аддитивность вероятности 16 – – многоцветная Ассоциативность симметрической раз- – классическая 30, ности 11 – Коши, C бета–функция 215 – Лапласа, L Величина случайная 135 – логнормальная – – многомерная 147 – Максвелла Вероятность 16 – нормальная (Гауссова), N 108, – условная 67 – Паскаля, Pasc 106, Выбор из совокупности 31-33 – полиномиальная Гамма–функция 215 – Пуассона, P 108, Дисперсия 174 – равномерная, U 57, Дистрибутивность 10 – экспоненциальная, E Де Морг правило 10 – хи-квадрат ана Задача Момент с.в. – Банаха 107 Монотонность вероятности – Бюффона 61 Несовместность событий – Монти Холла 52, 90 Непрерывность вероятности – о разорении 88-89 Независимость Индикаторная функция 21 – случайных величин – – метод 21 – – – критерий 148, 149,Интервал доверительный 126 – событий попарная Исход благоприятный 30 – – в совокупности Ковариации коэффициент 181 Нормирование Корреляции коэффициент 180 Ожидание математическое – – максимальный 192 Отклонение стандартное – – между событиями 192 Отображение измеримое Медиана с.в. (распределения) 179 Парадокс Монти Холла Метод туда и обратно 8 Плотность вероятностей Мода с.в. (распределения) 179 – – частная Модель вероятностная Прообраз множества – бета, B 146 Пространство – Бернулли, Bern 97, 146 – вероятностное – биномиальная, Bin 98, 146 – – классическое Алфавитный указатель – элементарных исходов 7 – суммирования вероятностей Полуаддитивность вероятности 18 – умножения вероятностей Распределение Функция – абсолютно непрерывное 138 – обратная 160, задача – распределения см. распределение – дискретное функция – носитель 136, – характеристическая – симметричное Центрирование – сингулярное – функция – – сл. величины – – сл. вектора – – частная (маргинальная) Свертка распределений (с.в.) 152, Событие 7, Совокупность генеральная Сходимость – слабая (по распределению) – – критерий – по вероятности Теорема – закон больших чисел – – Бернулли – – Хинчина – Муавра-Лапласа – о независимости с.в. 149, – Пуассона 108, – о преобразованиях сл.в. – о свертке – центральная предельная Среднее значение Тождество Пуанкаре Формула – Байеса – Варинга – Йенсена – полной вероятности – Пуанкаре – Стирлинга 218 Алфавиты Греческий алфавит : альфа : бета : гамма : дельта : эпсилон : дзета : эта (ита) : лямбда, : тета µ : мю : ню : омега : кси : пи : ро, : сигма : тау, : фи : хи : упсилон : Гамма : Дельта : Тета : Лямбда : Сигма : Фи : Пси : Омега Готический шрифт Gothick Font A : А B : Б C : Ц D : Д E : Е F : эФ G : Ж H : аШ I : И J : Йот K : Ка L : эЛь M : эМ N : эН O : О P : П Q : Ку R : эР S : эС T : Т U : У W : В X : Икс Y : Игрик Z : Зет Литературные источники Большинство заимствованных задач почерпнуты из следующих книг. В основном, конечно, из задачника Л.Д. Мешалкина, на котором воспитывались авторы.

Литературные источники 1. М е ш а л к и н Л. Д. Сборник задач по теории вероятностей/ Л.Д. Мешалкин. М.: Изд-во МГУ, 1963. 156 с.

2. М о с т е л л е р Ф. Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями: пер. с англ./ Ф. Мостеллер. М.: Наука, 1971. 104 с.

3. П р о х о р о в А. В. Задачи по теории вероятностей: Основные понятия. Предельные теоремы. Случайные процессы: учебное пособие/А.В. Прохоров, В.Г. Ушаков, Н.Г. Ушаков. М.: Наука, 1986. 328 с.

4. С е к е й Г. Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике: пер. с англ./ Г. Секей. М.: Мир, 1990. 240 с.

5. Ф е л л е р В. Введение в теорию вероятностей и ее применения: пер. с англ./ В. Феллер. М.: Мир, 1967. 498 с.

6. Ш и р я е в А. Н. Задачи по теории вероятностей: учеб. пособие/ А.Н. Ширяев. М.: МЦНМО, 2006. 416 с.

Pages:     | 1 |   ...   | 15 | 16 || 18 |






















© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.