Подсказка. Рассмотреть конечные верхние пределы; представить 1-F (x) через вероятности значений (плотность ); поменять порядок суммирования (интегрирования).
iii) как будут выглядеть эти формулы, если с.в. не обязательно положительна 64. Для с.в. с ф.р. F (x) общего вида математическое ожидание определяется посредством интеграла Лебега-Стилтьеса:
E h() = h(x) dF (x).
Абсолютная непрерывность F как раз означает, что здесь можно заменить dF (x) на f(x) dx. Кстати, формула задачи 63 ii справедлива для любой положительной с.в.
Найти среднее значение E случайной величины с ф.р.
0, если x 0, 3x F (x) =, если 0 < x 1, 1, если x > 1.
65. Доказать, что если с.в. 0 имеет м.о. E, то,,хвост‘‘ 1/n ее распределения P { n} убывает к нулю быстрее, чем :
lim n P { n} = 0. ( ) n 66. Утверждение, обратное утверждению предыдущей задачи, не всегда верно. Доказать, что с.в. с распределением C P { = k} =, k = 2, 3,..., k2 ln k с некоторым C > 0, не имеет м.о., но удовлетворяет ( ).
192 Т е м а VII. Числовые характеристики случайных величин 67. Максимальный коэффициент корреляции между с.в., R(, ) := sup Corr(U(), V ()), U,V где супремум берется по всем борелевским функциям U(x), V (x), для которых коэффициент корреляции существует. Доказать, что:
i) R(, ) 0;
ii) R(, ) = 0 только тогда, когда с.в., независимы.
68. Неравенство Йенсена E h() h(E ) справедливо для любой выпуклой книзу функции h(x) (например, h(x) = x2), если м.о. E h() существует и функция h определена во всех точках носителя и в точке µ = E. Доказать неравенство Йенсена в частном случае, когда функция h(x) дифференцируема в точке µ.
Подсказка. График выпуклой книзу функции лежит выше любой ее касательной.
1/ 69. Функция плотности с.в. равна C ln(1 + xm), x > 0.
(a) Найти константу C и k -й момент E k.
(b) Вычислить D при m = 4 и m = 6.
70. Коэффициент корреляции между двумя событиями A и B равен P {AB} - P {A} P {B} (A, B) =.
P {A} P {Ac} P {B} P {Bc} (a) Доказать, что:
i) |(A, B)| 1 ;
ii) (A, B) = 0 только тогда, когда события независимы.
(b) В каких случаях (A, B) = ±1 Ответы и указания Ответы и указания 1. Нет. 2. 0. 3. (0,1).
4.
U Bin Geo Pasc P пара{x1,..., xk} (n, p) p (p, s) метры N 1 1 s µ = E xk np N p p k=N (1 1 - p - p)s D x2 - µ2 np(1 - p) k N p2 pk=n R/M ), D = n(M - n)(1 - p)p.
Gg(M, R, n) : E = (p = p (M - 1) 5. E =, D = 2.
6.
U G C N B пара(A, B) (p, ) (m, 2) (m, 2) (p, q) метры A + B p µ = E p ¬ m 2 p + q (B - A)2 p2 ¬ pq D (p + q)2(1 + p + q) 1 7. Показать, что F (ml), и если F (ml+) <, то су2 ществует такая точка x > ml, что F (x ) <. Аналогично, для mr. Доказать, что любая точка ml m mr может быть выбрана в качестве медианы. Если найдется не менее двух точек x, y : F (x) = F (y) =, тогда ml < mr.
8. График подобной функции пл.в. может состоять из бесконечного числа равнобедренных треугольников; высоту k -го треугольника нужно выбрать равной k, а основание.
k2k 194 Т е м а VII. Числовые характеристики случайных величин 9. ii) при доказательстве для абсолютно непрерывной с.в.
сначала перейти к с.в. = - a; воспользовавшись четностью пл.в. f, показать, что интеграл, определяющий м.о. E, равен 0. Другой способ основан на том, что м.о. полностью определяется распределением с.в., то есть если, то E = E.
19. Показать, что случайные величины некоррелированы, но зависимы.
20. ii) при нахождении частных плотностей (путем интегрирования совместной плотности) выделить под знаком экспоненты Ответы и указания полный квадрат; после соответствующей замены воспользоваться тем, что полный интеграл от нормальной плотности равен 1. Ко вариацию удобнее всего искать с помощью замены x = (u + v), y = (u - v), приводящей квадратичную форму к главным осям; получающиеся в результате интегралы равны моментам нормального распределения.
21. После простых алгебраических преобразований воспользоваться свойствами м.о.
22. i) показать, что E( - a)2 = E( - µ)2 + (a - µ)2.
ii) при m = 0, a > m : | - a| - || = H(, a), где H(, a) = a-2aI( a)-2I(0 < a); показать, что так как P { 0} 1/, то E H(, a) 0 (применить неравенство E I(0 < a) < a P {0 < a}).
23. Дискретные. U : любое число из носителя.
Bin(n, p) : [(n + 1)p], если (n + 1)p дробное число, и (n + 1)p или (n + 1)p - 1, если (n + 1)p целое.
(R + 1)(n + 1) Gg(M, R, n) :.
M + Geo : 1. Pasc(p, s) : s. P - см. пример 6, с. 179.
А.-Непрерывные. U : любое число из носителя.
E, L : 0. G(p, ) : (p - 1), если p > 1, 0, если p 1.
p - B(p, q) :, p, q > 1. C, N : µ.
p + q - x1 n xk-1 n 24. E n = xnpj = xn xk p1 +... + pk-1 + pk.
j j k xk 3 3 25. E =, D =, mod() = 1, med() = 2;
2 1 3 1 3 1 1 E =, D =, mod( ) = 1, med( ) =.
4 26. Представить в виде суммы геометрических с.в.
196 Т е м а VII. Числовые характеристики случайных величин S SpS 27. E = (-1)S dS-1 ln p. Представить иско (S - 1)! 1 - p d pS-мое м.о. в виде (S - 1) -ой производной от хвоста ряда Тейлора функции ln p (см. пример при решении следующей задаче).
28. Представить искомое м.о. в виде (S - 2) -ой производной от суммы геометрической прогрессии. Например, при S = 3 :
34. E = 6p(1 - p); D = 2p(1 - p)(5 - 14p + 14p2). Для м.о. и ковариаций важны только вероятность P {1 = 1} = 2p(1 p) и вероятность P {12 = 1} = p(1 - p)2 + p2(1 - p) = p(1 p). Расписать дисперсию суммы через дисперсии слагаемых и их попарные ковариации.
11 2 41. E = R; D = R2. 42. i) 0; ii) 0; iii) 0; iv) 1.
3 2 2p p + 43.. 44., p > -1.
3 22(15d2 + 2) d2 45. µ = + ; 2 =.
4 12 k 46.. Воспользовавшись положительностью с.в. показать, n что при k n искомое среднее не превосходит 1. Доказать, что для любого 1 j n совпадают все средние значения j E.
1 +... + n 47. Применить равенство задачи 10, с. 181.
m 48. 1 -. 49. 30 и 21. 50. 0. 51. D > D.
k n - 52., > -1. 53..
1 + 54. Расписать выражение для дисперсии D, воспользовавшись независимостью с.в.; представить м.о. квадратов с.в. через их дисперсии.
55. Применить формулу сокращенного умножения.
198 Т е м а VII. Числовые характеристики случайных величин 2 - 56. (a). (b) Рассмотреть случай µ = 0, 2 = 1.
2 + Найти ф.р. и пл.в. с.в. = max(, ). При вычислении м.о.
E разбить область интегрирования на две части (-; 0] и [0; +). В первом интеграле сделать замену x -x; показать, 2/ что м.о. E = 2 x(x) dx =. Перейти к общему случаю µ R1, > 0.
57. 13 + 14 + 23 + 24.
58. Показать, что k P { > k} = P i 1 = · · · dx1 · · · dxk =, k! V где область интегрирования V = 0 x1 1, 0 x2 1 - x1,..., 0 xk 1 - x1 -... - xk-1.
1 1 59. E (1) =, E (2) =, E (3) =.
4 2 2/60. E = exp{µ + }, D = exp{2µ + 2}(exp{2} - 1).
61. М.о. и дисперсия 1 легко находятся через свойства для суммы независимых с.в. Для оценки 2 найти сначала ф.р. и пл.в.
2 Показать, что D 1 = > D 2 =.
3n n(n + 2) 62. i) применить свойства дисперсии к с.в. и 2; ii) вычислить коэффициент корреляции Corr(, 2).
63. Например, пусть E(1) с плотностью вероятностей Ответы и указания f(t) = e-t, t > 0. Тогда y (1 - F (x)) dx = e-y dy dx = e-y dx dy = 0 0 x 0 = ye-y dy = E.
iii) F (x) dx + (1 - F (x)) dx.
- 3 64. Ф.р. F (x) = x + G(x), где функция G(x) = 0 при 4 x 1 и G(x) = 1 при x > 1. Другими словами, F есть ф.р.
3/,,составной‘‘ с.в., которая с вероятностью равна реализации 1/равномерной U[0; 1] с.в. и с вероятностью равна 1. Поэто3 1 1 му м.о. равно · + · 1 =. Применение формулы ii из 4 2 4 предыдущей задачи дает тот же результат.
65. Записать вероятность P { n} через интеграл от пл.в.
(если распределение абсолютно-непрерывно) или через сумму вероятностей соответствующих значений (если распределение дискретно); воспользоваться тем, что область интегрирования (суммирования) содержит только точки, большие n ; применить критерий сходимости интегралов (рядов).
66. Ряд (k2 ln k)-1 сходится, так как (ln k)-1 < 1. М.о.
k= не существует, так как ряд (k ln k)-1 расходится (!). Докаk=зать неравенство 1 1 dx =.
ln n n ln n k2 ln k xk=n+1 n 67. i) показать, что предположение R < 0 противоречит определению R как максимального коэффициента корреляции;
200 Т е м а VII. Числовые характеристики случайных величин ii) в одну сторону (из независимости) следует из утверждения задачи 16, с. 148, и свойств коэффициента корреляции. Показать, что если R = 0, то для любых измеримых функций U, V коэффициент корреляции Corr(U(), V ()) = 0. Применить это соотношение к индикаторным функциям множеств: U(x) = I(-; x0)(x), V (y) = I(-; y0)(y).
68. Касательная в точке x = µ : h (µ)( - µ) + h(µ) h().
69. (a) C =, /m sin( ) /m sin( ) E k =, m > 2, k < m - 1.
(k + 1)/m) (k + 1) sin( М.о. E k с помощью интегрирования по частям и замены пере5 менных преобразовать к бета–функции. (b) и.
24 70. (a) Вычислить коэффициент корреляции для индикаторных функций = IA и = IB ; применить свойство (1) коэффициента корреляции.
(b) (A, B) = 1 P {ABc} = P {AcB} = 0, (A, B) = -1 P {AB} = P {AcBc} = 0.
Грубо говоря, когда соответственно B = A или B = Ac. Применить свойство (2) коэффициента корреляции.
Характеристические функции.
Т е м а VIII.
Предельные теоремы [1, с. 120–131] Характеристической функцией(коротко х.ф.) с.в. называется функция (t) = (t) := E eit = E cos(t) + i E sin(t), t R1, где i мнимая единица.
Теорема.
1. (0) = 1.
2. | (t)| 1, t R1.
3. Любая х.ф. равномерно непрерывна на всей числовой прямой.
4. (-t) = (t) ( комплексно-сопряжены).
5. Х.ф. вещественна ттогда она четна;
ттогда распределение с.в. симметрично: -.
6. Если существует E k (т.е. E ||k < ) при целом k > 0, то х.ф. (t) с.в. имеет k -ю производную в точке t = 0 и E m = (m)(0), m k.
im Если существует конечная производная четного порядка (2k)(0), то момент E m существует m 2k.
7. Х.ф. суммы = 1 +... + n независимых с.в. равна (t) = 1(t) · · · n(t).
8. Функции распределения двух с.в. совпадают тогда и только тогда, когда совпадают их характеристические функции.
202 Т е м а VIII. Метод характеристических функций Таблица х.ф. некоторых распределений Распределение Х.ф.
Биномиальное Bin(n, p) (1 - p + peit)n Пуассона P() exp((eit - 1)) p Геометрическое Geo(p) e-it - 1 + p Экспоненциальное E(1) (1 - it) Гамма G(p, 1) (1 - it)p sin(t) Равномерное U[-1, 1] t Коши C(0, 1) e-|t| Нормальное N(0, 1) e-2 tПример 1. Характеристическая функция детерминированной величины, то есть,,с.в.‘‘ C (= const) с вероятностью 1, равна (t) = E eit = eit C.
Пример 2. Найдем х.ф. классического дискретного распреде1 ления, сосредоточенного в точках X =,,..., 1 с вероятноN N стями, описывающего модель распределения датчика псевдоN случайных чисел в любом из известных языков программирования ( N точность представления десятичных чисел).
Решение. Воспользовавшись формулой для конечной геометрической прогрессии, находим 1 N+N k eitN - eit N 1 - eit 1 1 (t) = E eit = eitN = =.
1 N N N 1 - eitN e-itN - k=Теория и примеры Пример 3. Могут ли функции 1(t) = sin t+1 и 2(t) = cos t быть х.ф. какой-либо с.в. Решение. Функция 1(t) не может быть х.ф., так как она вещественна, но не является четной, что противоречит свойству 5.
(Кстати, она не удовлетворяет и свойству 2.) Что касается функции 2(t), то с ней немного сложнее, поскольку она удовлетворяет всем основным свойствам (1, 2, 3, 5), что, однако, не гарантирует ее принадлежность к классу х.ф.
Воспользуемся формулой Эйлера:
1 cos t = eit·1 + eit·(-1).
2 Последнее выражение есть х.ф. классического двухточечного рас1/пределения, сосредоточенного (с вероятностями ) в точках -1, +1.
Пример 4. Может ли функция (t) = 1 - t2 при |t| 1 и (t) = 0 при |t| 1 быть характеристической функцией Решение. Легко проверяется выполнение первых пяти свойств для функции. Воспользовавшись свойством 6, получаем, что если есть характеристическая функция, то четвертый момент соответствующей с.в. должен равняться 0 ( = (iv)(0) ). Этим свойством обладают только случайные величины, тождественно равные 0, однако х.ф. такой с.в. равна 1 при всех t, что не совпадает с нашей. Следовательно, она не может быть х.ф.
1. Докажите, что х.ф. с.в. = a + b связана с х.ф. с.в.
равенством (t) = eib t (at).
2. С помощью соответствующего преобразования с.в.
U[-1; 1] найдите х.ф. с.в. U[0; 1].
Пример 5. Какое распределение имеет сумма = + двух независимых с.в., одна из которых U[-1; 1], а вторая есть 204 Т е м а VIII. Метод характеристических функций дискретная с.в. с классическим распределением, сосредоточенным в точках ±1 Решение. По свойству 7, х.ф. суммы независимых с.в. равна произведению х.ф. слагаемых. В примере 3 мы установили, что (t) = cos(t), поэтому sin(t) sin(2t) (t) = (t) (t) = · cos(t) =.
t 2t Сверившись с таблицей х.ф., замечаем, что найденная нами функция отличается от х.ф. равномерного распределения U[-1; 1] заменой аргумента t на 2t. В силу утверждения задачи 1 отсюда можно сделать вывод, что это есть х.ф. равномерного распределения на отрезке [-2; 2].
Пример 6. Найдем дисперсию с.в. G(p, 1).
Решение. Вычислим первые две производные х.ф. этой с.в. в точке t = 0 (в соответствии со свойством 6 всегда нужно вычислять четное число производных, даже если требуется найти только первый момент, либо доказывать существование моментов нечетного порядка специальными средствами):
1 i p (0) = = = i p, (1 - it)p t=0 (1 - it)p+1 t=i p i2p(p + 1) (0) = = = i2p(p + 1).
(1 - it)p+1 t=0 (1 - it)p+2 t=Следовательно, м.о. равно µ = (0) = p, а дисперсия i D = E 2 - µ2 = p(p + 1) - p2 = p.
Пример 7. Чему равно м.о. распределения Коши Решение. Характеристическая функция распределения Коши e-|t| недифференцируема в точке t = 0. Следовательно, м.о. не существует.
Теория и примеры Последовательность с.в. {n, n = 1, 2,...} сходится слабо(или по распределению) к с.в. 0, если ф.р.
Fn(x) F0(x), n, во всех точках x, в которых предельная ф.р. F0(x) непрерывна.
Для слабой сходимости используются обозначения:
d w n 0, n F0, n 0, Fn F0, Fn F0.
Пример 8. Интуитивно понятно, что последовательность 1 случайных величин n U[- ; ] должна сходиться к нулю.
n n Действительно, ф.р. n (на носителе) равна n 1 1 Fn(x) = x +, - x.
2 n n n Во всех точках x = 0 последовательность этих ф.р. сходится к функции 0, если x 0, F0(x) = 1, если x > 0, которая является ф.р. 0 0 и которая разрывна лишь в точке x = 0. Таким образом, как и ожидалось, n 0.
Теорема.
(I) n 0 х.ф. n(t) 0(t) t.
(II) Если n 0 и 0 C (= const), тогда имеет место сходиP мость по вероятности n C, то есть > lim P {|n - C| > } = 0.
