WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 14 | 15 || 17 | 18 |

Подсказка. Рассмотреть конечные верхние пределы; представить 1-F (x) через вероятности значений (плотность ); поменять порядок суммирования (интегрирования).

iii) как будут выглядеть эти формулы, если с.в. не обязательно положительна 64. Для с.в. с ф.р. F (x) общего вида математическое ожидание определяется посредством интеграла Лебега-Стилтьеса:

E h() = h(x) dF (x).

Абсолютная непрерывность F как раз означает, что здесь можно заменить dF (x) на f(x) dx. Кстати, формула задачи 63 ii справедлива для любой положительной с.в.

Найти среднее значение E случайной величины с ф.р.

0, если x 0, 3x F (x) =, если 0 < x 1, 1, если x > 1.

65. Доказать, что если с.в. 0 имеет м.о. E, то,,хвост‘‘ 1/n ее распределения P { n} убывает к нулю быстрее, чем :

lim n P { n} = 0. ( ) n 66. Утверждение, обратное утверждению предыдущей задачи, не всегда верно. Доказать, что с.в. с распределением C P { = k} =, k = 2, 3,..., k2 ln k с некоторым C > 0, не имеет м.о., но удовлетворяет ( ).

192 Т е м а VII. Числовые характеристики случайных величин 67. Максимальный коэффициент корреляции между с.в., R(, ) := sup Corr(U(), V ()), U,V где супремум берется по всем борелевским функциям U(x), V (x), для которых коэффициент корреляции существует. Доказать, что:

i) R(, ) 0;

ii) R(, ) = 0 только тогда, когда с.в., независимы.

68. Неравенство Йенсена E h() h(E ) справедливо для любой выпуклой книзу функции h(x) (например, h(x) = x2), если м.о. E h() существует и функция h определена во всех точках носителя и в точке µ = E. Доказать неравенство Йенсена в частном случае, когда функция h(x) дифференцируема в точке µ.

Подсказка. График выпуклой книзу функции лежит выше любой ее касательной.

1/ 69. Функция плотности с.в. равна C ln(1 + xm), x > 0.

(a) Найти константу C и k -й момент E k.

(b) Вычислить D при m = 4 и m = 6.

70. Коэффициент корреляции между двумя событиями A и B равен P {AB} - P {A} P {B} (A, B) =.

P {A} P {Ac} P {B} P {Bc} (a) Доказать, что:

i) |(A, B)| 1 ;

ii) (A, B) = 0 только тогда, когда события независимы.

(b) В каких случаях (A, B) = ±1 Ответы и указания Ответы и указания 1. Нет. 2. 0. 3. (0,1).

4.

U Bin Geo Pasc P пара{x1,..., xk} (n, p) p (p, s) метры N 1 1 s µ = E xk np N p p k=N (1 1 - p - p)s D x2 - µ2 np(1 - p) k N p2 pk=n R/M ), D = n(M - n)(1 - p)p.

Gg(M, R, n) : E = (p = p (M - 1) 5. E =, D = 2.

6.

U G C N B пара(A, B) (p, ) (m, 2) (m, 2) (p, q) метры A + B p µ = E p ¬ m 2 p + q (B - A)2 p2 ¬ pq D (p + q)2(1 + p + q) 1 7. Показать, что F (ml), и если F (ml+) <, то су2 ществует такая точка x > ml, что F (x ) <. Аналогично, для mr. Доказать, что любая точка ml m mr может быть выбрана в качестве медианы. Если найдется не менее двух точек x, y : F (x) = F (y) =, тогда ml < mr.

8. График подобной функции пл.в. может состоять из бесконечного числа равнобедренных треугольников; высоту k -го треугольника нужно выбрать равной k, а основание.

k2k 194 Т е м а VII. Числовые характеристики случайных величин 9. ii) при доказательстве для абсолютно непрерывной с.в.

сначала перейти к с.в. = - a; воспользовавшись четностью пл.в. f, показать, что интеграл, определяющий м.о. E, равен 0. Другой способ основан на том, что м.о. полностью определяется распределением с.в., то есть если, то E = E.

10. Применить равенство D( + ) = E(( - µ) + ( - µ))2.

11. Раскрыть скобки и воспользоваться свойствами м.о.

12. (1)-(2). Если µ = µ = 0 и D = D = 1, то = E();

0 E( - )2 = D + 2 D - 2 E() = 1 - 2.

(3). E( - µ)( - µ) = E( - µ) · E( - µ) = 0.

13. = 0, однако с.в. зависимы. Частные плотности f(x) = f(x) = 1 - x2, -1 x 1.

14. i) µ = 2.7; 2 = 0.81; moda = 3; median = 3.

ii) µ = 0; 2 = 1.6; moda = 0, 1; median = 2.

iii) µ = 0.8; 2 = 0.76; moda = 1; median = 1.

15. 155. Пусть с.в. k равна k -ому выбранному числу. Показать, что хотя эти с.в. зависимы, они все одинаково распределены.

Найти м.о. E k.

16. -0.2. Составить двумерную таблицу распределения (1, 2).

17. E = 1, D = 20, E = -1, D = 20, = 0.05.

18. A) 0; B) 0.039.

19. Показать, что случайные величины некоррелированы, но зависимы.

20. ii) при нахождении частных плотностей (путем интегрирования совместной плотности) выделить под знаком экспоненты Ответы и указания полный квадрат; после соответствующей замены воспользоваться тем, что полный интеграл от нормальной плотности равен 1. Ко вариацию удобнее всего искать с помощью замены x = (u + v), y = (u - v), приводящей квадратичную форму к главным осям; получающиеся в результате интегралы равны моментам нормального распределения.

21. После простых алгебраических преобразований воспользоваться свойствами м.о.

22. i) показать, что E( - a)2 = E( - µ)2 + (a - µ)2.

ii) при m = 0, a > m : | - a| - || = H(, a), где H(, a) = a-2aI( a)-2I(0 < a); показать, что так как P { 0} 1/, то E H(, a) 0 (применить неравенство E I(0 < a) < a P {0 < a}).

23. Дискретные. U : любое число из носителя.

Bin(n, p) : [(n + 1)p], если (n + 1)p дробное число, и (n + 1)p или (n + 1)p - 1, если (n + 1)p целое.

(R + 1)(n + 1) Gg(M, R, n) :.

M + Geo : 1. Pasc(p, s) : s. P - см. пример 6, с. 179.

А.-Непрерывные. U : любое число из носителя.

E, L : 0. G(p, ) : (p - 1), если p > 1, 0, если p 1.

p - B(p, q) :, p, q > 1. C, N : µ.

p + q - x1 n xk-1 n 24. E n = xnpj = xn xk p1 +... + pk-1 + pk.

j j k xk 3 3 25. E =, D =, mod() = 1, med() = 2;

2 1 3 1 3 1 1 E =, D =, mod( ) = 1, med( ) =.

4 26. Представить в виде суммы геометрических с.в.

196 Т е м а VII. Числовые характеристики случайных величин S SpS 27. E = (-1)S dS-1 ln p. Представить иско (S - 1)! 1 - p d pS-мое м.о. в виде (S - 1) -ой производной от хвоста ряда Тейлора функции ln p (см. пример при решении следующей задаче).

28. Представить искомое м.о. в виде (S - 2) -ой производной от суммы геометрической прогрессии. Например, при S = 3 :

2 2 (k - 1)! E = p3(1 - p)k-3 = - 1 k - 1 2!(k - 3)! k= = p3 (k - 2)(1 - p)k-3 == -p3 (1 - p)k-2 = k=3 k=1 - p = -p3 = p.

p 29. E = 2, D =.

30. Оба значения равны 7. 31. p.

32. -0.2. Представить числа выпадений единиц и шестерок как сумму N независимых копий случайных векторов (1, 6) (см.

задачу 16, с. 184); показать, что ковариация суммы независимых векторов равна сумме ковариаций.

33. N(ap(1 - 1)(1 - 2) - b(1 - p)12 - c(p(1 + 2 - 12) + (1 - p)(1 - 12))).

34. E = 6p(1 - p); D = 2p(1 - p)(5 - 14p + 14p2). Для м.о. и ковариаций важны только вероятность P {1 = 1} = 2p(1 p) и вероятность P {12 = 1} = p(1 - p)2 + p2(1 - p) = p(1 p). Расписать дисперсию суммы через дисперсии слагаемых и их попарные ковариации.

35. (a) 1 - (1 - p)k. (b) N(1 - (1 - p)k + ). (c) В 2.35 раза.

k Ответы и указания 2v 36. C =, F (v) = 2( 2v) - 1 - e-v.

b2b i) E V =, D V = b2 3 - 8 ; ii) mod(V) = b, med(V) 1.1b;

37. E = E = 0; D = D = ; Corr(, ) = 0. За 2 висимы, так как, например, P cos >, sin > = 0 = 2 2 P cos > P sin >.

2 t(1 - u) 38.. 39. (a) 0.333. (b) 2 ln 2 - 1 0.386.

u(1 - t) 2 40. 0.1818; (2 - 9 ln 3 + 12 ln 2) 0.1076.

11 2 41. E = R; D = R2. 42. i) 0; ii) 0; iii) 0; iv) 1.

3 2 2p p + 43.. 44., p > -1.

3 22(15d2 + 2) d2 45. µ = + ; 2 =.

4 12 k 46.. Воспользовавшись положительностью с.в. показать, n что при k n искомое среднее не превосходит 1. Доказать, что для любого 1 j n совпадают все средние значения j E.

1 +... + n 47. Применить равенство задачи 10, с. 181.

m 48. 1 -. 49. 30 и 21. 50. 0. 51. D > D.

k n - 52., > -1. 53..

1 + 54. Расписать выражение для дисперсии D, воспользовавшись независимостью с.в.; представить м.о. квадратов с.в. через их дисперсии.

55. Применить формулу сокращенного умножения.

198 Т е м а VII. Числовые характеристики случайных величин 2 - 56. (a). (b) Рассмотреть случай µ = 0, 2 = 1.

2 + Найти ф.р. и пл.в. с.в. = max(, ). При вычислении м.о.

E разбить область интегрирования на две части (-; 0] и [0; +). В первом интеграле сделать замену x -x; показать, 2/ что м.о. E = 2 x(x) dx =. Перейти к общему случаю µ R1, > 0.

57. 13 + 14 + 23 + 24.

58. Показать, что k P { > k} = P i 1 = · · · dx1 · · · dxk =, k! V где область интегрирования V = 0 x1 1, 0 x2 1 - x1,..., 0 xk 1 - x1 -... - xk-1.

1 1 59. E (1) =, E (2) =, E (3) =.

4 2 2/60. E = exp{µ + }, D = exp{2µ + 2}(exp{2} - 1).

61. М.о. и дисперсия 1 легко находятся через свойства для суммы независимых с.в. Для оценки 2 найти сначала ф.р. и пл.в.

2 Показать, что D 1 = > D 2 =.

3n n(n + 2) 62. i) применить свойства дисперсии к с.в. и 2; ii) вычислить коэффициент корреляции Corr(, 2).

63. Например, пусть E(1) с плотностью вероятностей Ответы и указания f(t) = e-t, t > 0. Тогда y (1 - F (x)) dx = e-y dy dx = e-y dx dy = 0 0 x 0 = ye-y dy = E.

iii) F (x) dx + (1 - F (x)) dx.

- 3 64. Ф.р. F (x) = x + G(x), где функция G(x) = 0 при 4 x 1 и G(x) = 1 при x > 1. Другими словами, F есть ф.р.

3/,,составной‘‘ с.в., которая с вероятностью равна реализации 1/равномерной U[0; 1] с.в. и с вероятностью равна 1. Поэто3 1 1 му м.о. равно · + · 1 =. Применение формулы ii из 4 2 4 предыдущей задачи дает тот же результат.

65. Записать вероятность P { n} через интеграл от пл.в.

(если распределение абсолютно-непрерывно) или через сумму вероятностей соответствующих значений (если распределение дискретно); воспользоваться тем, что область интегрирования (суммирования) содержит только точки, большие n ; применить критерий сходимости интегралов (рядов).

66. Ряд (k2 ln k)-1 сходится, так как (ln k)-1 < 1. М.о.

k= не существует, так как ряд (k ln k)-1 расходится (!). Докаk=зать неравенство 1 1 dx =.

ln n n ln n k2 ln k xk=n+1 n 67. i) показать, что предположение R < 0 противоречит определению R как максимального коэффициента корреляции;

200 Т е м а VII. Числовые характеристики случайных величин ii) в одну сторону (из независимости) следует из утверждения задачи 16, с. 148, и свойств коэффициента корреляции. Показать, что если R = 0, то для любых измеримых функций U, V коэффициент корреляции Corr(U(), V ()) = 0. Применить это соотношение к индикаторным функциям множеств: U(x) = I(-; x0)(x), V (y) = I(-; y0)(y).

68. Касательная в точке x = µ : h (µ)( - µ) + h(µ) h().

69. (a) C =, /m sin( ) /m sin( ) E k =, m > 2, k < m - 1.

(k + 1)/m) (k + 1) sin( М.о. E k с помощью интегрирования по частям и замены пере5 менных преобразовать к бета–функции. (b) и.

24 70. (a) Вычислить коэффициент корреляции для индикаторных функций = IA и = IB ; применить свойство (1) коэффициента корреляции.

(b) (A, B) = 1 P {ABc} = P {AcB} = 0, (A, B) = -1 P {AB} = P {AcBc} = 0.

Грубо говоря, когда соответственно B = A или B = Ac. Применить свойство (2) коэффициента корреляции.

Характеристические функции.

Т е м а VIII.

Предельные теоремы [1, с. 120–131] Характеристической функцией(коротко х.ф.) с.в. называется функция (t) = (t) := E eit = E cos(t) + i E sin(t), t R1, где i мнимая единица.

Теорема.

1. (0) = 1.

2. | (t)| 1, t R1.

3. Любая х.ф. равномерно непрерывна на всей числовой прямой.

4. (-t) = (t) ( комплексно-сопряжены).

5. Х.ф. вещественна ттогда она четна;

ттогда распределение с.в. симметрично: -.

6. Если существует E k (т.е. E ||k < ) при целом k > 0, то х.ф. (t) с.в. имеет k -ю производную в точке t = 0 и E m = (m)(0), m k.

im Если существует конечная производная четного порядка (2k)(0), то момент E m существует m 2k.

7. Х.ф. суммы = 1 +... + n независимых с.в. равна (t) = 1(t) · · · n(t).

8. Функции распределения двух с.в. совпадают тогда и только тогда, когда совпадают их характеристические функции.

202 Т е м а VIII. Метод характеристических функций Таблица х.ф. некоторых распределений Распределение Х.ф.

Биномиальное Bin(n, p) (1 - p + peit)n Пуассона P() exp((eit - 1)) p Геометрическое Geo(p) e-it - 1 + p Экспоненциальное E(1) (1 - it) Гамма G(p, 1) (1 - it)p sin(t) Равномерное U[-1, 1] t Коши C(0, 1) e-|t| Нормальное N(0, 1) e-2 tПример 1. Характеристическая функция детерминированной величины, то есть,,с.в.‘‘ C (= const) с вероятностью 1, равна (t) = E eit = eit C.

Пример 2. Найдем х.ф. классического дискретного распреде1 ления, сосредоточенного в точках X =,,..., 1 с вероятноN N стями, описывающего модель распределения датчика псевдоN случайных чисел в любом из известных языков программирования ( N точность представления десятичных чисел).

Решение. Воспользовавшись формулой для конечной геометрической прогрессии, находим 1 N+N k eitN - eit N 1 - eit 1 1 (t) = E eit = eitN = =.

1 N N N 1 - eitN e-itN - k=Теория и примеры Пример 3. Могут ли функции 1(t) = sin t+1 и 2(t) = cos t быть х.ф. какой-либо с.в. Решение. Функция 1(t) не может быть х.ф., так как она вещественна, но не является четной, что противоречит свойству 5.

(Кстати, она не удовлетворяет и свойству 2.) Что касается функции 2(t), то с ней немного сложнее, поскольку она удовлетворяет всем основным свойствам (1, 2, 3, 5), что, однако, не гарантирует ее принадлежность к классу х.ф.

Воспользуемся формулой Эйлера:

1 cos t = eit·1 + eit·(-1).

2 Последнее выражение есть х.ф. классического двухточечного рас1/пределения, сосредоточенного (с вероятностями ) в точках -1, +1.

Пример 4. Может ли функция (t) = 1 - t2 при |t| 1 и (t) = 0 при |t| 1 быть характеристической функцией Решение. Легко проверяется выполнение первых пяти свойств для функции. Воспользовавшись свойством 6, получаем, что если есть характеристическая функция, то четвертый момент соответствующей с.в. должен равняться 0 ( = (iv)(0) ). Этим свойством обладают только случайные величины, тождественно равные 0, однако х.ф. такой с.в. равна 1 при всех t, что не совпадает с нашей. Следовательно, она не может быть х.ф.

1. Докажите, что х.ф. с.в. = a + b связана с х.ф. с.в.

равенством (t) = eib t (at).

2. С помощью соответствующего преобразования с.в.

U[-1; 1] найдите х.ф. с.в. U[0; 1].

Пример 5. Какое распределение имеет сумма = + двух независимых с.в., одна из которых U[-1; 1], а вторая есть 204 Т е м а VIII. Метод характеристических функций дискретная с.в. с классическим распределением, сосредоточенным в точках ±1 Решение. По свойству 7, х.ф. суммы независимых с.в. равна произведению х.ф. слагаемых. В примере 3 мы установили, что (t) = cos(t), поэтому sin(t) sin(2t) (t) = (t) (t) = · cos(t) =.

t 2t Сверившись с таблицей х.ф., замечаем, что найденная нами функция отличается от х.ф. равномерного распределения U[-1; 1] заменой аргумента t на 2t. В силу утверждения задачи 1 отсюда можно сделать вывод, что это есть х.ф. равномерного распределения на отрезке [-2; 2].

Пример 6. Найдем дисперсию с.в. G(p, 1).

Решение. Вычислим первые две производные х.ф. этой с.в. в точке t = 0 (в соответствии со свойством 6 всегда нужно вычислять четное число производных, даже если требуется найти только первый момент, либо доказывать существование моментов нечетного порядка специальными средствами):

1 i p (0) = = = i p, (1 - it)p t=0 (1 - it)p+1 t=i p i2p(p + 1) (0) = = = i2p(p + 1).

(1 - it)p+1 t=0 (1 - it)p+2 t=Следовательно, м.о. равно µ = (0) = p, а дисперсия i D = E 2 - µ2 = p(p + 1) - p2 = p.

Пример 7. Чему равно м.о. распределения Коши Решение. Характеристическая функция распределения Коши e-|t| недифференцируема в точке t = 0. Следовательно, м.о. не существует.

Теория и примеры Последовательность с.в. {n, n = 1, 2,...} сходится слабо(или по распределению) к с.в. 0, если ф.р.

Fn(x) F0(x), n, во всех точках x, в которых предельная ф.р. F0(x) непрерывна.

Для слабой сходимости используются обозначения:

d w n 0, n F0, n 0, Fn F0, Fn F0.

Пример 8. Интуитивно понятно, что последовательность 1 случайных величин n U[- ; ] должна сходиться к нулю.

n n Действительно, ф.р. n (на носителе) равна n 1 1 Fn(x) = x +, - x.

2 n n n Во всех точках x = 0 последовательность этих ф.р. сходится к функции 0, если x 0, F0(x) = 1, если x > 0, которая является ф.р. 0 0 и которая разрывна лишь в точке x = 0. Таким образом, как и ожидалось, n 0.

Теорема.

(I) n 0 х.ф. n(t) 0(t) t.

(II) Если n 0 и 0 C (= const), тогда имеет место сходиP мость по вероятности n C, то есть > lim P {|n - C| > } = 0.

Pages:     | 1 |   ...   | 14 | 15 || 17 | 18 |






© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.