WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 13 | 14 || 16 | 17 |   ...   | 18 |

гармонический ряд, как ни прискорбно 4. Найдите средние значения и дисперсии всех дискретных с.в., приведенных в таблице на с. 146. Не забудьте про замечание Z 3 ! Пример 4. При вычислении моментов некоторых абсолютно непрерывных распределений полезно вспомнить о гамма– и бета–функциях (см. Приложение, с.215). Найдем, например, м.о.

и дисперсию с.в. E(1).

Решение. Начинаем всегда с анализа носителя! Для экспоненциального закона он равен положительной части R1, поэтому def с учетом E k = xk f(x) dx ===== xke-xdx = (k + 1) = k!.

носителя - Таким образом, м.о. µ = 1, а дисперсия 2 = E 2-µ2 = 2!-1 = 1.

5. Применив соответствующее линейное преобразование (см.

задачу 14, с. 147), найдите числовые характеристики распределения E().

6. Найдите средние значения и дисперсии всех непрерывных с.в., приведенных в таблице на с. 146 :

a) U(A, B); b) G(p, ); c) C(µ, );

d) N(µ, 2); e) B(p, q).

178 Т е м а VII. Числовые характеристики случайных величин Пример 5. Найдем среднее значение и дисперсию суммы +, если вектор (, ) U(X ), где носитель распределения X треугольник с вершинами в точках (0, 0), (0, 1), (1, 0).

1/Решение (I). Так как площадь носителя равна, то функция пл.в. f(x, y) = 2, (x, y) X, и поэтому k -й момент def E( + )k = (x + y)k f(x, y) dx dy = 2 (x + y)k dx dy.

X RРасставив пределы интегрирования, легко находим 1 1-x 1-x E( + )k = 2 dx (x + y)k dy = (x + y)k+1 dx k + y=0 0 2 2 1 = (1 - xk+1) dx = 1 - =.

k + 1 k + 1 k + 2 k + Таким образом, искомые среднее значение и дисперсия равны 2 2 2 µ = E( + ) =, D( + ) = - =.

3 4 3 Решение (II). Предварительно найдем плотность вероятностей = +. Для этого сначала найдем ее ф.р.

F(t) = P { < t} = P { + < t}.

y Область {x + y < t} пересекает носитель X X только при 0 t 1, причем площадь этой t2/области равна. Поэтому ф.р. и пл.в.

x 0 t равны F(t) = t2 и f(t) = 2t, 0 t 1.

Следовательно, м.о. равно µ = E = t f(t) dx = 2 t2 dt =, - а второй момент E 2 = 2 t3 dt =.

Теория и примеры Медианой с.в. с ф.р. F (x) называется такое значение m, что 1 P { < m} P { > m} или F (m) F (m+).

2 Модой с.в. называется (а) любая точка локального максимума функции плотности f(x), если распределение абсолютно непрерывно;

(б) любое значение x, для которого максимальна вероятность P { = x}, если имеет дискретное распределение.

Z 5 Медиана, как и среднее значение, служит характеристикой положения с.в. Формально, половина,,массы‘‘ с.в. лежит левее медианы, половина правее.

Другое название моды наивероятное значение.

7. Иногда медиану определяют как решение уравнения 1/F (x) =. Приведите графические примеры ф.р., когда такое определение не корректно либо уравнение не имеет решений, либо решений очень много. Докажите, что следующие числа можно выбрать в качестве медианы:

1 • ml = sup x : F (x) < ; • mr = inf x : F (x) > ;

2 • mc = (ml + mr).

В каком случае ml < mr Пример 6. Складывая (начиная с первой) все вероятности в таблице пуассоновского распределения P(5) (с. 222), находим F (5) = P { < 5} = 0.44049, а F (5+) = P { 5} = 0.61596.

Поэтому медиана пуассоновского распределения P(5) равна 5. В обозначениях предыдущей задачи ml = mr = mc = 5.

180 Т е м а VII. Числовые характеристики случайных величин По таблице этого распределения наиболее вероятные значения, которые может принимать с.в., равны 4 и 5. Оба эти значения могут быть выбраны в качестве моды.

Моду распределения Пуассона можно найти в общем случае.

Для этого отношение двух соседних вероятностей сравним с 1:

pk+1 k+1e- k! 1 = =.

pk (k + 1)! ke- k + Таким образом, при k > - 1 пуассоновские вероятности убывают ( pk+1 < pk ), а при k < -1 возрастают. Следовательно, если не целое число, то мода равна целой части. При целом распределение имеет две моды - 1 и.

8. Попытка определения моды абсолютно непрерывного распределения по аналогии с дискретным не совсем корректна. Приведите пример непрерывной пл.в., для которой не только supx f(x) =, но и,,достигается‘‘ это значение на x =.

9. Пусть имеет симметричное распределение относительно a : ( - a) (a - ) (см. задачу 7, с. 145). Докажите, что i) точка a может быть выбрана в качестве медианы;

ii) E = a, если м.о. существует.

Коэффициент корреляциимежду с.в., равен E ( - µ)( - µ) = (, ) = Corr(, ) :=, D D где µ = E, µ = E.

Z 6 Коэффициент корреляции выступает в роли коэффициента линейной связности между с.в. Он показывает, насколько точно можно предсказать (посредством линейной функции) значение одной с.в. по значению другой с.в. Ошибка такого прогноза пропорциональна 1 - 2.

Теория и примеры 10. Докажите, что дисперсия суммы двух (не обязательно независимых) с.в.

D( + ) = D + D + 2(, ) D D.

11. Докажите, что коэффициент ковариации (числитель ) Cov(, ) := E ( - µ)( - µ) = E() - µ µ.

Чему равна ковариация Cov(, ) 12. Докажите основные свойства коэффициента корреляции.

(1) |(, )| 1.

(2) (, ) = ±1 только тогда, когда между и суп.н.

ществует строгая линейная зависимость: = b + d, причем sign(b) = sign().

Подсказка. Рассмотрите E = E = 0, D = D = 1;

воспользуйтесь тем, что E( - · )2 0; примените свойство (4).

(3) Если с.в., независимы, тогда (, ) = 0.

Kонтрпример обратного см. задачу 13 ниже.

(4) (, ) = (a + c, b + d) при любых c, d и a · b > 0, то есть коэффициент корреляции не изменяется при (однонаправленных) линейных преобразованиях с.в.

Как изменится коэффициент корреляции, если ab < 0 Пример 7. Вычислим коэффициент корреляции между с.в.

и из примера 5, с. 178 Решение. Найдем общий вид смешанных моментов с.в. E km, воспользовавшись основным представлением для бета–функции:

182 Т е м а VII. Числовые характеристики случайных величин 1-y E km = xkym f(x, y) dx dy = 2 ym dy xk dx = 0 R2 = ym(1 - y)k+1 dy = B(m + 1, k + 2) = k + 1 k + (m + 1)(k + 2) 2 m! k! = = 2.

k + 1 (k + m + 3) (k + m + 2)! Таким образом, среднее значение (при k = 1, m = 0 ) и дисперсия (при k = 2, m = 0 ) равны соответственно 0! 1! 1 0! 2! 1 1 1 µ = 2 =, D = 2 - = - =.

3! 3 4! 3 6 9 Среднее значение и дисперсия, очевидно, совпадают с аналогичными характеристиками. Второй смешанный момент (при k = 1, m = 1 ) 1! 1! E = 2 =, 4! 1 1 1 а коэффициент ковариации Cov(, ) = - · = -.

12 3 3 Следовательно, коэффициент корреляции равен 36 (, ) = = -.

1 · 18 13. (a) Чему равен коэффициент корреляции между с.в.,, если вектор (, ) U(X ), где область X единичный круг {x2 + y2 1} (b) Будут ли эти с.в. независимы Теория и примеры Пример 8. Пусть, независимые случайные вели2 чины с дисперсиями 1 и 2 соответственно. Найти коэффициент корреляции между случайными величинами = + и = -.

Решение. В силу независимости, 2 D = D + D = 1 + 2, 2 D = D + D(-) = D + D = 1 + 2.

Если обозначить через µU среднее значение с.в. U, тогда µ = µ + µ, µ = µ - µ, а коэффициент ковариации между с.в., равен E( - µ)( - µ) = E ( - µ) + ( - µ) ( - µ) - ( - µ) = = E( - µ)2 - E( - µ)2 = D - D = 2 = 1 - 2.

Таким образом, искомый коэффициент корреляции равен 2 2 2 1 - 2 1 - = =.

2 2 2 2 1 + (1 + 2)(1 + 2) Следствие. Независимые с.в., имеют одинаковые дисперсии тогда и только тогда, когда с.в +, - не коррелируют.

184 Т е м а VII. Числовые характеристики случайных величин ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 14. Найти среднее значение, дисперсию, моду и медиану следующих дискретных с.в., заданных таблицами распределений:

1 2 3 4 2 -1 0 1 -i) ; ii) ;

P 0.1 0.4 0.2 P 0.2 0.1 0.3 0. -1 0 1 iii).

P 0.2 0.5 0.15. Из 30 чисел 1, 2,..., 30 по схеме выбора без возвращения отбирается 10 чисел. Найти м.о. их суммы.

16. Бросается игральная кость. Пусть с.в. k = 1, если выпала цифра k, и k = 0 в противном случае. Найти коэффициент корреляции (1, 2).

17. Совместное распределение случайных величин и определяется условиями: P { = 0} = 1, P { = 8} = P { = -4} = P { = 4} = P { = -8} =.

Найти E, E, D, D и коэффициент корреляции (, ).

18. Найти коэффициент корреляции дискретных с.в. из задачи 24, с. 158.

19. Случайные величины и независимы, P { = 0} =, 1 P { = 1} = P { = -1} =, P { = 1} = P { = -1} =.

4 Проверить независимость и некоррелированность с.в. и.

20. В некоторых частных случаях независимость эквивалентна некоррелированности. Установить это свойство, если i) каждая из с.в., принимает по два значения;

Задачи ii) вектор (, ) имеет нормальное распределение с плотностью 1 exp{- (x2 - 2xy + y2)}, (x, y) R2.

2(1 - 2) 2 1 - 21. Доказать свойства дисперсии 1), 3), 4).

22. Доказать, что наилучший прогноз значения с.в. с помощью константы равен (при условии существования соответствующих моментов) i) ее среднему µ, если ошибка прогноза вычисляется как среднеквадратическое отклонение:

min E( - a)2 = E( - µ)2 = D ;

a ii) ее медиане m, если ошибка прогноза вычисляется как среднее абсолютное отклонение:

min E | - a| = E | - m|.

a Подсказка. i) ( - a) = (( - µ) + (µ - a)).

ii) Для случая a > m записать разность | -a|-| -m| через индикаторные функции событий { a}, { [m; a)}, { < m};

воспользоваться тем, что E(IA) = P {A}.

23. Найти моду всех табличных распределений (с. 146).

24. Пусть положительная дискретная с.в. с конечным носителем X = x1 <... < xk. Доказать, что n lim E n = max X = xk.

n 1/x 25. Функция распределения равна F (x) = 1 -, x 1.

1/ Найти м.о., дисперсию, моду и медиану с.в. и.

26. Случайная величина Pasc(p, S) имеет распределение S/p Паскаля (время ожидания S -го успеха). Показать, что E =.

186 Т е м а VII. Числовые характеристики случайных величин 27. Если задано число испытаний n в схеме Бернулли с ве/n роятностью успеха p, то м.о. среднего числа успехов E = p, то есть среднее число успехов в модели Бернулли представляет собой так называемую несмещенную оценку p. Если же, наоборот, фиксировано число успехов при случайном числе испытаний (модель Паскаля), то это утверждение уже не справедливо. Пусть S Pasc(p, S), найти м.о. E.

28. Среднее число успехов в модели Паскаля не может рассматриваться в качестве оценки вероятности успеха (см. предыдущую задачу). Однако если среднее число успехов вычислять только среди экспериментов, предшествовавших последнему успеху, то S - такая величина будет снова несмещенной оценкой p : E = - p, S > 1. Доказать этот факт.

29. Найти м.о. и дисперсию дискретной с.в. с распределением P { = k} =, k = 1, 2,....

k(k + 1)(k + 2) 30. Брошены две игральные кости. Найти м.о. суммы очков.

Сравнить с м.о. суммы очков, если известно, что выпали разные грани.

31. Найти м.о. числа потомков насекомого из задачи 43, с. 119.

32. Найти коэффициент корреляции между случайным числом выпадений единиц и числом выпадений шестерок при N независимых бросаниях правильной игральной кости.

33. Каждое изделие в партии независимо от остальных с вероятностью p удовлетворяет стандарту, а с вероятностью q = 1 - p не удовлетворяет ему. Изделия проходят проверку, описанную в задаче 75, с. 87. За каждое изделие, удовлетворяющее стандарту и прошедшее проверку, предприятие получает a руб.; за изделие, Задачи прошедшее проверку, но не удовлетворяющее стандарту, платит штраф b руб.; за изделие, не прошедшее проверку (забракованное), платит штраф c руб. Найти м.о. прибыли, полученной за партию из N изделий.

34. Пусть 1,..., 4 независимые бернуллиевские с.в.

Bern(p). Положим i = 0, если i + i+1 число четное, и i = 1, если i + i+1 = 1. Найти м.о. и дисперсию суммы = 1 + 2 + 3.

35. У большого числа N людей проводится исследование крови на предмет наличия вирусного заболевания. Количество анализов можно сильно сократить следующим приемом.

Сначала случайным образом формируется m групп по k человек в каждой группе. Кровь людей одной группы смешивается, и полученная смесь анализируется. Если результат анализа отрицателен, то все люди в этой группе считаются здоровыми. Если же он положителен, то кровь каждого исследуется затем отдельно. В целом в группе проводится 1 или k + 1 анализ. Предполагается, что вероятность положительного результата p одна и та же для всех людей и что результаты анализов независимы в теоретиковероятностном смысле.

(a) Чему равна вероятность того, что анализ смешанной крови k людей положителен (b) Чему равно м.о. числа анализов (c) Во сколько раз уменьшится среднее число проведенных ана1/лизов (по сравнению с N ), если p = и k = 5 36. Скорость молекул в газе V описывается законом Максвелла, плотность вероятностей которого равна f(v) = C v2 e-v /b2, v 0, где параметр b > 0 характеризует состояние системы. Найти константу C, а также i) м.о. E V и дисперсию D V ;

ii) моду и медиану (приблизительно).

188 Т е м а VII. Числовые характеристики случайных величин 37. С.в. U[0, 2], = cos, = sin. Найти коэффициент корреляции (, ). Являются ли и независимыми Не вычисляя, найти коэффициент (2, 2).

38. Пусть с.в. U[0; 1]. Определим семейство с.в. (процесс) t = I( < t), t [0; 1].

Чему равен коэффициент Corr(t, u) при t < u 39. Сосиска разрезается в случайном месте.

(a) Считая, что сосиска однородный цилиндр, найти отношение средней массы наименьшей порции к средней массе наибольшей порции.

(b) Найти среднее отношение этих масс.

40. Дайте ответы на вопросы предыдущей задачи, если сосиска делится случайным образом на три части.

41. Случайная точка (, ) имеет равномерное распределение в круге радиуса R ; расстояние от точки (, ) до центра круга. Найти м.о. и дисперсию.

42. С.в. U[-1; 1]. Найти i) Corr(, 2) ; ii) Corr sin, cos ;

4 iii) Corr(, ||); iv) Corr sin2, cos2.

4 43. Диаметр круга d измерен приближенно. Найти м.о. и дисперсию значения площади круга, если ошибка измерения имеет равномерное распределение U[d - ; d + ] с некоторым > 0.

44. Пусть N(0, 2), найти E ||p для целых p 1.

45. Найти стандартное отклонение произведения независимых равномерно распределенных с.в.: U[0, 1], U[1, 3].

Задачи 46. Пусть независимые с.в. 1,..., n положительны и одинаково распределены. Чему равно 1 +... + k E, k n 1 +... + n 47. Случайные величины и имеют конечные моменты второго порядка. Доказать, что D( + ) = D + D тогда и только тогда, когда эти величины не коррелированы.

48. Случайные величины 1,..., k+m (k m) независимы, одинаково распределены и имеют конечную дисперсию. Найти коэффициент Corr(1 +... + k, m+1 +... + m+k).

49. С.в., независимы и E = 1, E = 2, D = 1, D = 4.

Найти E(2 + 22 + + 4 + + 4) и E( + + 1)2.

50. Пусть симметричная с.в. с конечным средним значением. Найти коэффициент ковариации между || и sign().

51. Пусть абсолютно непрерывные симметричные с.в., имеют общий конечный носитель X = [-A; A]. Плотность выпукла книзу, а плотность кверху. Чья дисперсия больше 52. Случайная величина E(1), найти E(1 - exp(-)).

53. Случайные величины 1,..., n, независимы и имеют равn-номерное распределение на отрезке [0; 1]. Найти E |i+1 - i|.

i=54. Пусть и независимые случайные величины с конечными дисперсиями. Доказать, что D() D · D.

55. Доказать, что если с.в. и независимы, E = E = 0, E ||3 <, E ||3 <, то E( + )3 = E 3 + E 3.

56. Случайные величины и независимы и нормально распределены с одними и теми же параметрами µ и 2.

190 Т е м а VII. Числовые характеристики случайных величин (a) Найти коэффициент корреляции ( +, - ).

2/ (b) Показать, что E max(, ) = µ +.

1/57. Пусть jk = Corr(j, k), причем 12 = 34 = - и все дисперсии D j = 1. Найти коэффициент Corr(1 + 2, 3 + 4).

58. Случайные величины 1, 2,... независимы и распределены U[0; 1]. Пусть с.в., равная тому k, при котором впервые сумма Sk = 1 +... + k превосходит 1. Доказать, что E = e.

59. Пусть с.в. 1, 2, 3 U[0; 1] и независимы. Найти м.о. минимальной (1), максимальной (3) и серединной (2) точек.

60. С.в. (> 0) имеет логарифмически нормальное распределение, если ln N(m, 2). Найти E и D.

61. Пусть с.в. 1,..., n независимы и k U(0, ), > 0, k = 1, n. В качестве оценки параметра можно взять n 2 n + 1 = i или 2 = max i.

n n 1 i n i=Доказать, что:

i) эти оценки несмещенные, т.е. E 1 = E 2 = ;

ii) оценка 2 эффективнее 1, т.е. D 2 < D 1.

Подсказка. Найти сначала ф.р. (n) = max i.

1 i n 62. Доказать, что для любой с.в. с E 4 < i) E 4 (E 2)2 (E )4 ;

ii) если E = 0, D = 1, то E 4 > E 3 2 + 1.

63. Пусть неотрицательная случайная величина с конечным м.о. и F (x) ее функция распределения. Доказать, что:

i) если целочисленная с.в. ( 0, 1, 2,... ), то E = (1 - F (k));

k=Задачи ii) если абсолютно непрерывная с.в., то E = (1 - F (x)) dx.

Pages:     | 1 |   ...   | 13 | 14 || 16 | 17 |   ...   | 18 |






















© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.