WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 12 | 13 || 15 | 16 |   ...   | 18 |

Какое распределение имеет с.в., равная количеству блоков, использованных за время t 53. Отсутствие старения. Часто экспоненциальные с.в. интерпретируют как время жизни некоторого объекта. Показать, что для таких объектов вероятность,,прожить‘‘ заданное время не зависит от начала t0 наблюдения за ней (эффект отсутствия последействия): t0, P { > t0 + | > t0} = P { > }.

53 (Продолжение.) Показать, что свойством отсутствия старения, правда, справедливым только для t0, 1 и хотя бы одно из чисел t0 или целое, обладают с.в. с распределением Geo(p).

54. Постоянство интенсивности отказов. Отношение f(t), 1 - F (t) где F ф.р., а f = F функция плотности с.в., называют интенсивностью отказов. Расшифровать смысл этого термина. Доказать, что только для экспоненциальной модели интенсивность отказов постоянна, то есть не зависит от t.

/( + ) 55. Найти распределение отношения (при независимых с.в., ), если i), E() ; ii) G(p, ), G(q, ).

56. С.в., независимы и имеют экспоненциальное распреде/ ление E(1). Доказать, что с.в. + и также независимы.

57. Пусть 1, 2, 3, 4 одинаково распределенные с.в. с ф.р.

x - µ вида F, x (-; ). Доказать, что распределение с.в.

1 - 3 - Задачи не зависит от значений параметров µ,. Найти ее плотность, если функция F = ф.р. стандартного нормального закона и все с.в. независимы.

58. Пусть с.в. U[0; 1]. Определим семейство с.в. (процесс) t = I( < t), t [0; 1].

Найти совместное распределение (t, u) при t < u.

59. Пусть F (x) произвольная ф.р. и константа 0.

Найти F (x + ) - F (x) dx.

60. Пусть функция f(x) 0 такова, что f(x) dx <.

Используя только вероятностные соображения, доказать справедливость соотношений:

f(z) f(z) lim x dz = 0, lim x dz = 0.

x x+z z x x 61. Пусть с.в. удовлетворяет свойству отсутствия старения (см. задачу 53, с. 164):

P { > t0 + | > t0} = P { > }. () Доказать, что если свойство () имеет место:

i) для любых t0, 0 и ф.р. F(0) = F(0+) = 0, то E() с некоторым > 0;

ii) для любых целых t0, 1 и с.в. принимает только натуральные значения P { = k} = 1, то p > 0, что k= Geo(p).

166 Т е м а VI. Распределения случайных величин Ответы и указания 1. Записать свойства в виде свойств для убывающих или возрастающих последовательностей событий. Например, lim F (x) = lim P { < -N} = P {} = 0.

xN 2. iii) событие {a < < b} можно представить в виде разности вложенных событий { < b} { a}. Поэтому P {a < < b} = P { < b} - P { a}. Первое слагаемое равно F (b). Событие { a} = lim { < a + }. По свойству непреn n рывности вероятности, 1 P { a} = lim P < a + = lim F a + = F (a + 0).

n n n n 3. Найти количество точек, для которых величина скачка >, n > 1.

n 4. Следует интерпретировать значение плотности как относительную вероятность попадания в окрестность точки.

5. (a) Начать с ф.р. P {h() < x} = P < (x) = (x) f(t) dt; подходящей заменой свести последний интеграл к виa x ду Q(y) dy ; проанализировать для каких x -ов эти операции C допустимы.

1 1 6. f(y) =, y 1. Интересно, что. Почему 1 - y7. Воспользоваться схемой вывода ф.р. для функции от с.в.

Небольшое предупреждение: противоположное событие { > a}c = { a}.

8. Решить неравенство k + b < x относительно ; применить подходящую замену, при которой верхний предел интегрирования станет равен x.

Ответы и указания 9. Решить неравенство k + b < x относительно при отрицательном k.

10. Для гипергеометрической модели. Способ I. По индукции, начиная с R = 1 и любых M 1. Способ II. Сравнить коэффициенты при tn у двух совпадающих полиномов (1 + t)R(1 + t)M-R = (1 + t)M. Для нормальной модели. С помощью замен привести интеграл к гамма–функции.

11. На носителе отрезок прямой линии от (A, 0) до (B, 1).

12. i) 1 - e-x/, x 0; ii) (1 + sign(x)(1 - e-|x|/));

1 1 x - µ iii) + arctg( ).

13. Решить неравенство || < x относительно.

- µ 14. Если N(µ, 2), то N(0, 1).

15. Аналогично решению задачи 1.

16. Для C, D рассмотреть прообразы A = h-1(C), B = g-1(D); воспользоваться тем, что P {h() C, g() D} = P { A, B}. Простое доказательство независимости через ф.р. можно предложить только для монотонных и непрерывных функций.

N17. P { + = z} = P {xk + = z | = xk} P { = xk}.

k=18. Найти ф.р. суммы двух с.в. с помощью формулы полной вероятности.

19. Способ I. Непосредственно из определения с.в. Паскаля как времени ожидания S -го успеха. Способ II. Записать свертку Pasc(p, S1) Pasc(p, S2); воспользоваться тождеством для суммы всех вероятностей гипергеометрического закона.

20. i) дискретного типа; абсолютно-непрерывного типа;

ii) нет; дискретного типа; iii) ф.р. общего типа; нет;

iv) нет; абсолютно-непрерывного типа;

168 Т е м а VI. Распределения случайных величин v) абсолютно-непрерывного типа; нет;

vi) нет (исправить с сохранением функциональных частей);

абсолютно-непрерывного типа;

vii) абсолютно-непрерывного типа;

нет, но очень похожа на ф.р. дискретной с.в. 0.

1 21. i) 1; x;, 0; нет;.

2 x2 + (1 - x) ln(1 - x) 2 - ln(3) 1 1 ii) ; ;, -1; ;.

2 x(1 - x) 1 - x2 1 1 iii) - C 0; (при C = - );, 1 - x6x2 2 1 1 x - 1 1; ;. iv) 1; ;, 1; ;.

3 2 1 + e (1 - 2x3)2 (1 + x)2 (1 + x ln(x)) 1 + sin(x) 1 2 + 2 1 x2 22. i) ; ;, ; ;.

2 2 4 2 4 1 1 1 - cos x ii) 2; 1 - e-2x;, ; ; 1.

2 2 - x1 + sign(x) |x| 2 1 iii) 1; 1 - e ;, ; ;.

3 4 2 1 1 iv) 1; 1 - cos x;, 1; 1 - ;.

2 x 1/23. Ai) Bern( ), Aii) независимы;

Bi) {(-1, 0.2), (0, 0.3), (1, 0.5)}, Bii) зависимы.

24. A) независимы; B) зависимы.

Начать с описания носителя с.в.. Например, Ai) {-2, -1, 0, 1, 2, 3};..., P { = 0} = 0.25,....

1 1 7 11 7 1 25. {(3, ), (4, ), (5, ), (6, ), (7, ), (8, ), (9, )}.

8 4 24 54 72 36 3 n2 - n1 + 26. C = 1; P { 3} = ; P {n1 n2} =.

4 n1(n2 + 1) Воспользоваться методом неопределенных коэффициентов.

27. C = 4; P { 3} = ;

2(n2 - n1 + 1)(n2 + n1 + 2) P {n1 n2} =. См. указание к n1(n1 + 1)(n2 + 1)(n2 + 2) предыдущей задаче.

27 1 3 2/28. i) при p = : a) {(-1, ), (0, ), (1, )}; b) Bern( ).

40 4 40 Ответы и указания 1 3 15 5 ii) a) {(0, ), (1, ), (3, ), (4, )}; b) Bern( ).

32 16 32 16 3 1 iii) a) e- x, x > 0; b) e-1/x, x > 0; c) 2x e-x, x > 0;

x3 x/d) U[0; 1]; e) exp{x - ex}, x R1; f) e- tg x, x [0; );

cos2 x e g) Geo(1 - e-1); h) e-x, x (0; 1).

e - iv) Здесь везде (x) = exp{- x2}.

1/2 1/a) G(, ) хи-квадрат распределение;

1 b) (ln x), x > 0; c) 2(x), x > 0; d) ( x);

x 3 x 1 1 e) ( ); f) ( x), x > 0; g) не имеет плотности;

x x2 xф.р. равна 0 при x 0 и (x) при x > 0.

v) a) (1 - 2x + 2x2)-1, 0 < x < 1; b) C(0, 1).

vi) a) U[0, 1]; b) E(1); c) C(0, 1).

29. 3y2, y [0; 1].

30. Равномерная распределенность на окружности означает, что вероятность попадания точки внутрь любой дуги окружности пропорциональна угловой мере дуги. Выбрать в качестве начала отсчета (против хода часовой стрелки) точку пересечения оси ординат с окружностью; связать неравенство < y для рассматриваемой точки на оси абсцисс с множеством соответствующих точек на окружности.

x 31. Описать область { < z} = {x < z · y, y > 0} {x > y z · y, y < 0} через полярные координаты.

32. Воспользоваться критерием независимости. При вычислении частных плотностей (посредством интегрирования совместной плотности по dx или dy ) выделить под знаком экспоненты полный квадрат; соответствующей заменой привести подынтегральную функцию к одномерной нормальной плотности.

33. i, ii) zn ( ) F (y) y > ( ) F (zn) ( ) F (x);

iii) из определения F ; iv) если z < x F (z) = F (x) 170 Т е м а VI. Распределения случайных величин F (F (x)) z < x; обратно из определения F.

34. Найти ф.р. P { < x} ; показать, что если z < x F (z) = F (x), то [F (y) < x y F (x)];

если z < x F (z) < F (x), то [F (y) < x y < F (x)].

35. i-iii) зависимы; iv) независимы.

36. Найти совместную ф.р. P { + < u, - < v}, то есть вычислить площадь соответствующей области внутри квадрата;

показать, что эта ф.р. распадается в произведение двух функций F1(u) · F2(v).

37. Воспользоваться формулой полной вероятности и записать ф.р. суммы в виде P { + < u} = P { + yk < u | = yk} P { = yk}. Так как и незаyk висимы, то P { + yk < u | = yk} = P { < u - yk}.

38. i) Bin(2, p); ii) P(2); ii) Bin(n1 + n2, p).

39. (a). Дополнительная область состоит из двух равновеликих пирамид. (b) Найти свертку треугольного распределения с равномерным.

40. Представить вероятность P {|| < x, sign() = y} при x > 0, y = 1, 0 через ф.р. с.в. ; найти связь между значениями ф.р. в отрицательных и положительных точках для симметрич1/ного распределения; вывести отсюда, что F (0) =, если ф.р.

непрерывна в точке x = 0.

41. Показать, что в условиях задачи (, ) (, ); вывести отсюда, что P { - < z} = P { - < z}.

42. i) G(2, ); ii) N(0, 2); iii) (1 - |x|), при x [-1; 1];

(3 - x) x/iv), при x [0; 1],, при x [1; 2],, при x [2; 3];

2 v) (1 - e-x), при x [0; 1], e-x(e - 1), при x 0.

43. a) f(z)F(z) + f(z)F(z); b) f(z)(1 - F(z)) + f(z)(1 F(z)); c) |y|f(zy)f(y) dy;

Ответы и указания d) f( z cos t)f( z sin t) dt; E(2).

44. Найти ф.р.; применить равенство arccos x = arctg - 1.

x 45. U[0; 1]. 46. Проинтегрировать по частям; представить бета–функцию через биномиальные коэффициенты.

47. Для любого целого k 1 с.в. = k k -1 < k.

48. p1 + p2 - p1p2. Найти вероятность P { > k}.

n 49. F(z - x) dx. 50. E( i). 51. (a).

1 + 52. Показать, что свертка G(p, ) E() = G(p + 1, ).

t/ 52 (Продолжение). P( ). Событие { = n} {n t, n + n+1 > t}, где n = 1 +... + n не зависит от n+1.

53. Представить условную вероятность через функцию надежности P { > a} = 1-F(a) с.в. E() или Geo(p).

54. Заменить пл.в. f через производную от ф.р.: f(t) = F (t + ) - F (t) F (t + ) - F (t) F (t) = lim. Отношение можно ин (1 - F (t)) терпретировать как долю объектов, вышедших из строя за единицу времени в период от t до t +, если рассматривать только объекты,,,дожившие‘‘ до момента t. Решить уравнение F (t) = (1 - F (t)).

55. i) U[0; 1]. ii) B(p, q). Заметить сначала, что можно x выбрать = 1. Проинтегрировать по области < z при x + y xp-1 yq-0 < z < 1 совместную пл.в. e-x e-y. i) (p = q = 1).

(p) (q) Интеграл равен z. ii) найти производную по z ; преобразовать ее к виду бета–плотности (с. 146).

56. Совместная ф.р. F (u, v) = P + < u, < v может быть представлена в виде интеграла по соответствующей области 172 Т е м а VI. Распределения случайных величин от произведения экспоненциальных плотностей. Вычислить этот v интеграл и показать, что F (u, v) = (1 - e-u - ue-u).

1 + v 57. C(0, 1). Показать, что распределение с.в. (i - µ)/ не зависит от параметров. Показать, что в случае нормальности распределения i рассматриваемое отношение имеет то же распределение, что и отношение двух независимых стандартных (0, 1) нормальных с.в. Установить, что это распределение совпадает со стандартным распределением Коши.

58. Дискретный случайный вектор с распределением (t, u) {{(0, 0), 1 - u}, {(0, 1), u - t}, {(1, 0), 0}, {(1, 1), t}}.

59..

Способ I. Произвести замену порядка интегрирования в выраB x+ жении d F (y) d x. Перейти к пределу при A, B.

A x Способ II. Геометрически искомый интеграл есть площадь области, лежащей между двумя кривыми. Изобразить эту область и поменять местами оси координат.

x/z x 60. Заметить, что = du; представить исследуемый инz теграл в виде P { x, < x} относительно независимых с.в.

, (каких).

61. Вывести для H(t) = P { > t} тождество H(t + ) = H(t)H(). Показать, что H(k) = H(1)k, k = 1, 2,...

ii) положить p = 1 - H(1). Доказать,что 0 < p < 1.

i) показать, что H(t) = H(1)t, сначала для рациональных t = k/m, k, m = 1, 2,..., затем для произвольных t > 0. Показать, что 0 < H(1) < 1. Выбрать = - ln(H(1)) (> 0).

Числовые характеристики Т е м а VII.

случайных величин [1, с. 79–82] Математическое ожидание (или среднее значение) действительной функции h() от с.в. (коротко м.о.), равно а) для дискретной с.в. с распределением pk = P { = xk}, xk X, E h() = h(xk) pk, (1) xkX если ряд (1) сходится абсолютно;

б) для абсолютно непрерывной с.в. с пл.в. f(x), x X, E h() = h(x) f(x) dx = h(x) f(x) dx, (2) X если интеграл (2) сходится абсолютно.

Z 1 Область суммирования (интегрирования) включает в себя только точки из носителя (точки, которые с.в. может принять).

Z 2 При вычислении м.о. функции от случайного вектора h(1,..., n) в формулах (1)-(2) распределение с.в. заменяется совместным распределением вектора (1,..., n); однократные суммы и интегралы заменяются их многомерными аналогами по соответствующему носителю.

Для распределений общего вида м.о. определяется как интеграл Лебега–Стилтьеса по ф.р. (см. задачу 64, с. 191).

174 Т е м а VII. Числовые характеристики случайных величин Среднее значение E(k) называетсямоментом k-го порядка.

Среднее значение с.в. часто обозначается символом µ :

µ = E.

Среднеквадратическое отклонение с.в. от своего среднего называетсядисперсией и обозначается D, либо символом 2:

2 = D := E( - µ)2.

Величина = D называетсястандартным отклонением.

Теорема.

• Свойства математического ожидания.

1. E const = const.

2. Для индикаторной функции E(IA()) = P { A}.

3. E( + ) = E + E (если существуют E, E ).

4. E C = C E, (C - const).

5. Если 0, то E 0, причем E = 0 P { = 0} = 1.

6. Если, независимы и E, E существуют, то E = E E.

• Свойства дисперсии.

1. Способ вычисления D = E 2 - (E )2.

2. D = 0 только, если = const почти наверное.

3. D(C + b) = C2 D, (C, b - const).

4. Если, независимы, то D( + ) = D + D.

Пример 1. (Совсем простой.) Найдем м.о. и дисперсию дискретной с.в., заданной таблицей, дополнив эту таблицу соответствующими произведениями и суммами:

Теория и примеры xk -10 0 pk 0.3 0.3 0.4 1 проверка свойства вероятности xk pk -3 0 2 -1 как раз E x2 pk 30 0 10 40 E 2 (– ни в коем случае не надо p2) k k Сумма Итак, м.о. µ = E = -1, дисперсия 2 = D = 40 - (-1)2 = 39, а стандартное отклонение = 39 6.245.

1. По свойству 4 дисперсия суммы независимых с.в. равна сумме дисперсий. Будет ли дисперсия их разности равна разности дисперсий 2. Чему равен первый момент с.в., у которой второй момент равен нулю 3. Если µ = E, 2 = D, то преобразование - µ назы( - µ) вается центрированием, а преобразование нормирова нием. Чему равны - µ - µ E, D Z 3 Если с.в. можно представить в виде суммы независимых с.в., нужно обязательно этим воспользоваться.

Пример 2. Найдем м.о. и дисперсию времени ожидания второго успеха в схеме Бернулли (распределения Паскаля).

Решение. При изучении свертки двух распределений мы показали, что данная с.в. может рассматриваться как сумма двух независимых геометрических с.в. Найдем сначала характеристики с.в.

Geo(p). Носитель есть натуральный ряд X = 1, 2,..., а вероятность, с которой принимает значение k, равна p(1-p)k-1.

Поэтому µ = E = p k (1 - p)k-1.

k=176 Т е м а VII. Числовые характеристики случайных величин Общий член ряда может быть представлен в виде производной по параметру p : k (1 - p)k-1 = - (1 - p)k p. Поэтому 1 - p 1 µ = -p (1 - p)k = -p = -p - =.

p p2 p p p k=Для отыскания дисперсии сначала найдем второй момент :

E 2 = p k2 (1 - p)k-1.

k=Используем тот же прием дифференцирования по параметру.

Для этого сначала разобьем наш ряд на два ряда, подставив k2 = k(k + 1) - k :

E 2 = p k(k + 1) (1 - p)k-1 - p k (1 - p)k-1.

k=1 k=1/p Второе слагаемое равно µ =. Первое слагаемое равно p k(k + 1) (1 - p)k-1 = p (1 - p)k+1 = pk=1 k=(1 - p)1 2 = p = p p - 2 + = p =.

p p p3 pp2 pСледовательно, дисперсия 2 1 1 1 1 1 - p D = E 2 - µ2 = - - = - =.

p2 p p p2 p p2/p Итак, среднее с.в. Паскаля (по свойству 2) равно, а диспер2(1 - p)/p сия, как дисперсия суммы двух независимых с.в., равна.

Z 4 Вспомните,,матан‘‘ и скажите, в каком месте нашего решения мы немножко слукавили Пример 3. Чему равны среднее значение и дисперсия дискретного распределения из примера 3, с. 137 Решение. Носитель распределения есть множество натураль6/( ных чисел, а вероятности pk = P { = k} =. Среднее знаk)Теория и примеры чение этой с.в., а тем более дисперсия, не существуют:

6 6 E = k = = (k)2 2 k k=1 k=oo, расходится.

Pages:     | 1 |   ...   | 12 | 13 || 15 | 16 |   ...   | 18 |






















© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.