WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 10 | 11 || 13 | 14 |   ...   | 18 |

90. Оценка = 3.15956. Интервал: [3.077; 3.265].

91. 0.03408 (0.02870). 92. 0.0611 (0.05963). 93. 0.17547 (0.17635).

94. 0.0003 (0.000178). Воспользоваться разложением в ряд Тейлора функции (1 - x)k при малых x.

95. i) по 554; ii) по 572; 96. 533.

97. i) 0.13534 (0.13262); ii) 0.67668 (0.67669); n = 105(106).

98. i) 0.00029; ii) 0.04979 (0.04978); iii) 0.22404 (0.22405).

99. 100374 (100448) 100. 0.58304 (0.58304).

101. 0.0479 (0.04538).

Случайные величины.

Т е м а VI.

Распределения случайных величин [1, с. 41–48; 2, с. 166–168, с. 186–190] Пусть (, F, P) вероятностное пространство.

Случайной величиной (коротко с.в.) называется измеримая функция : R1, то есть функция, для которой события { < x } = { : () < x } F, измеримы относительно -алгебры F при всех вещественных x.

Z 1 Строго говоря, необходимо уметь вычислять вероятности для всех борелевских множеств B B(R1). Достаточность данного определения вытекает из того, что борелевская –алгебра порождается всеми интервалами вида (-; x) (см. задачу 56, с. 24).

Функция распределения(коротко ф.р.) с.в. равна F (x) = F(x) := P { < x}, x R1.

То, что ф.р. с.в. равна F (x) будем записывать как F (x).

1. Докажите справедливость основных свойств ф.р. F (x) :

F1 ) F (x) не убывает;

F2 ) F (-) := lim F (x) = 0, F (+) := lim F (x) = 1;

x- x+ F3 ) F (x) всюду непрерывна слева.

Z 2 Иногда полагают F (x) = P { x}. Принципиальных различий здесь нет, однако надо помнить, что в этом случае справедливо свойство F3 ) F (x) всюду непрерывна справа.

136 Т е м а VI. Распределения случайных величин Теорема.

Любая вещественная функция F (x), удовлетворяющая условиям F1, F2, F3 (или F3 ), является ф.р. некоторой с.в.

2. Применяя свойства вероятности (непрерывность, аддитивность), докажите, что вероятности попадания с.в. в различного вида промежутки можно вычислять через ее ф.р. F (x) :

i) P {a < b} = F (b) - F (a);

ii) P {a b} = F (b + 0) - F (a);

iii) P {a < < b} = F (b) - F (a + 0);

iv) P {a < b} = F (b + 0) - F (a + 0);

v) P { a} = 1 - F (a);

vi) P { = b} = F (b + 0) - F (b);

• P { = b} = 0 ф.р. F непрерывна в точке x = b.

3. Докажите, что число точек разрыва ф.р. не более чем счетно.

С.в. имеетдискретный типраспределения, если для (конечного или счетного) множества X = xk N, N, k=N pk := P { = xk} > 0 и pk = 1. () Множество X называетсяносителемс.в. или множеством ее значений.

Дискретную с.в. с конечным и не очень большим числом N точек носителя можно задать посредством таблицы вероятностей X x1 · · · xN.

P p1 · · · pN При этом необходимо следить за выполнением свойств ().

Типы распределений Z 3 Ф.р. F (x) дискретной с.в. имеет ступенчатый вид (см. ниже пример 2).

В силу утверждения задачи 2.vi высота ступеньки F (x) в точке xk как раз равна вероятности pk попадания в эту точку.

Иногда с.в. дискретного типа определяют как с.в., функция распределения которой имеет ступенчатый вид.

Пример 1. Самое популярное дискретное распределение это классическое распределение на конечном носителе:

X x1 · · · xN.

1 P · · · N N Пример 2. Таблица вероятностей с.в. задана не полностью:

X 2 -1.

1 P C 4 F Понятно, что неизвестная констан1/та может равняться только C =. На рисунке справа приведен график соотx ветствующей функции распределения.

-1 0 Пример 3. С.в. принимает все натуральные значения с вероятностями, обратно пропорциональными квадратам этих значений. Найти вероятность получения нечетного числа.

Решение. Носитель распределения X = 1, 2,..., а вероятности C pk = P { = k} =, k = 1, 2,...

kИз курса анализа (тема ряды Фурье) известно, что 1 =.

k2 k=6/ Чтобы соблюсти свойство (), необходимо положить C = 2 :

pk =.

( k)138 Т е м а VI. Распределения случайных величин Поскольку сумма нечетных членов ряда =, (2k - 1)k=6 2 = 3, что то вероятность получения нечетного числа равна 1 втрое больше вероятности для четного числа ( = 1 - ).

4 С.в. имеетабсолютно непрерывный типраспределения, если существует функция f(x) такая, что (i) f(x) 0, (ii) f(x) dx = 1, и ф.р. с.в. может быть представлена в виде x F (x) = f(t) dt, x R1.

Функция f(x) называется плотностью вероятностей(коротко пл.в.). Множество X = x : f(x) > 0 (или его замыкание) называется носителем распределения и интерпретируется как множество значений, которые с.в. может принять.

Z 4 Плотность вероятностей определяется неоднозначно. В частности, ее можно переопределить в конечном или счетном числе точек (!). Поэтому граничные точки носителя иногда включаются в носитель, а иногда не включаются.

Для сокращения записи часто функцию пл.в. задают только на ее носителе в виде f(x), x X, автоматически предполагая, что вне носителя f(x) = 0.

Другой вариант записи через индикаторную функцию носителя: f(x)IX (x).

Типы распределений Теорема.

Если ф.р. F с.в. абсолютно непрерывна с носителем X, то • она всюду непрерывна и вероятность P { = x} = 0, x R1;

• она почти всюду (по мере Лебега) дифференцируема и в точках x, где существует производная, пл.в. можно выбрать равной f(x) = F (x) ;

• вероятность любого события вида { A} равна P { A} = f(x) dx.

AX 4. Несмотря на то что вероятность принятия любого конкретного значения абсолютно непрерывной с.в. равна 0, часто при сравнении различных значений из носителя с.в. говорят, например, что значение 7 в три раза более вероятно, чем значение 1, если отношение f(7)/f(1) 3. Можно ли этой фразе придать точный математический смысл Пример 4. По определению с.в. U[0; 1] вероятность попадания в интервал (a; b) равна длине части этого интервала, которая лежит внутри отрезка [0; 1]. Поэтому ф.р., как вероятность интервала (-; x), равна x 0, если x 0, F (x) = P { (-; x) [0; 1]} = x, если 0 x 1, = I[0;1](t)dt, 1, если x где I[0;1] индикаторная функция отрезка [0; 1]. В соответствии с нашим договором, функцию плотности можно записать как f(x) = 1, x [0; 1].

140 Т е м а VI. Распределения случайных величин Z 5 В обычной практике применения второй части предыдущей теоремы условие абсолютной непрерывности не проверяется, но, получив непрерывную всюду ф.р., ее плотность находят путем дифференцирования (конечно, там, где это возможно). Такой путь почти всегда приводит к правильному результату, однако, хотя бы из уважения к Теории, следует на секунду остановиться и, найдя первообразную, восстановить ф.р. по ее производной.

Существует пример непрерывной, почти всюду дифференцируемой функции распределения (лестница Кантора), у которой нет плотности вероятностей.

Теорема.

Если с.в. имеет пл.в. f с носителем X = (a; b) (конечным или бесконечным), а функция h непрерывно дифференцируема и строго возрастает всюду на (a; b), то для с.в. = h() (i) носитель X = ( h(a) ; h(b) ) = ( lim h(x) ; lim h(x) ) ;

x a x a (ii) плотность вероятностей f(y) = f (y) · (y), y X, где = h-1 обратная функция h.

Пример 5. Пусть U[0; 1]. Найдем пл.в. с.в. =.

1 - Решение. Функция h(x) = возрастает на носителе [0; 1) (1 - x) распределения.

Носитель равен X = [1; ).

Решая уравнение h(x) = y, находим обратную к h функцию 1/y 1/y (y) = 1 -. Ее производная (y) =.

Таким образом, плотность равна (напомним, что f(x) 1 ) f(y) = f((y)) (y) =, y 1.

yПреобразования случайных величин Лучше всего подстраховаться и проверить справедливость свойств :

1 1 = 1.

f(y)dy = dy = - y2 y - Пример 6. Плотность вероятностей с.в. равна f(x) = C(1 - |x - 1|), x [0; 2].

Требуется найти a) неизвестную константу C и построить график пл.в.;

б) функцию распределения с.в. и построить ее график;

в) вероятность того, что [-1; 1] ;

г) функцию плотности с.в. = 2 и построить ее график.

Решение. a) Воспользуемся свойствами пл.в.. Оче видно, при C > 0 функция f(x) 0. Так как f(x) = x при x [0; 1], f(x) = 2 - x при x [1; 2], а в остальном f(x) = 0, то 1 f(x) dx = C x dx + (2 - x) dx = C.

- 0 С учетом второго свойства C = 1. График этой пл.в. (см.

ниже) объясняет причину, по которой данное распределение называют треугольным.

б) Функция распределения равна t F (t) = f(x) dx = f(x) dx, At где область At = (-; t)[0; 2] часть интерf вала (-; t), лежащая внутри носителя распределения X = [0; 2]. Как видно из графика x плотности f(x), для отыскания F придется 0 1 рассмотреть четыре ситуации:

142 Т е м а VI. Распределения случайных величин (i) если t 0, то область At пуста и F (t) = 0;

(ii) если t 2, то область At совпадает с носителем [0; 2], поэтому F (t) = 1;

(iii) если 0 t 1, то область At = [0; t] а пл.в. в этой области f(x) = x, поэтому t tF (t) = x dx = ;

(iv) поскольку пл.в. f(x) = 2 - x для всех 1 x 2, то при 1 t 1 t 1 1 (2 - t)F (t) = x dx + (2 - x) dt = + -.

2 2 0 Таким образом, ф.р. равна 0, если x 0, F x, если 0 x 1, F (x) = (2 - x) -, если 1 x 2, x 0 1 1, если x 2.

в) В соответствии с формулами задачи 2, с. 136, 1 P {-1 1} = F (1) - F (-1) = - 0 =.

2 г) Вообще говоря, квадратическая функция не является монотонной, однако в нашем случае на носителе X = [0; 2] распределения функция h(x) = x2 строго возрастает. Обратная к ней функция (y) = y, а ее производная (y) =.

(2 y) Раскрыв модуль в выражении для пл.в. f окончательно получаем:

Преобразования случайных величин f, если 0 y 1, 2 1 f(y) = -, если 1 y 4, y x 0, если y < 0 или x > 4. 0 1 Пример 7. Функция распределения случайной величины F (x) = A + B arctg x, - < x <.

Найти а) неизвестные константы A, B;

б) плотность вероятностей случайной величины ;

в) плотность вероятностей случайной величины = 2.

Решение. а) Очевидно эта функция непрерывна всюду, а при B > 0 она возрастает. Для нахождения неизвестных констант A и B воспользуемся свойством F2) :

0 = lim F (x) = A - B, x 1 = lim F (x) = A + B.

x 1 1 1 Отсюда A =, B = и F (x) = + arctg(x).

2 б) Производная функции F всюду существует и равна f(x) = F (x) =, - < x <.

(1 + x2) Поскольку, очевидно, имеет место обратное соотношение x F (x) = f(t) dt, то эта производная и будет пл.в. распределения F. Из приведенной ниже таблицы видно, что эта пл.в. есть плотность стандартного (то есть с параметрами µ = 0, 2 = 1 ) распределения Коши.

в) Преобразование h(x) = x2 не является возрастающей всюду функцией на носителе, поэтому для нахождения пл.в. нам сначала придется найти функцию распределения. Весь процесс построения пл.в. с.в. = 2 опишем поэтапно.

144 Т е м а VI. Распределения случайных величин • Начнем с записи ф.р. : F(y) = P { < y} = P 2 < y.

• Решим неравенство 2 < y относительно с.в. :

, если y 0, (2 < y) - y < < y, если y > 0.

• Запишем вероятность (в непустом случае) через ф.р. с.в. :

F(y) = F ( y ) - F (- y + 0 ) = 1 1 1 = + arctg( y ) - + arctg(- y ) = 2 = arctg( y ).

• Приводим окончательный вид ф.р. с.в. :

0, если y 0, F(y) = arctg( y ), если y > 0.

Для контроля рекомендуется проверить все свойства ф.р.

• Эта функция всюду непрерывна и почти всюду (кроме точки y = 0) дифференцируема:

0, если y < 0, (F(y)) = 1, если y > 0.

y(1 + y) После недолгих раздумий о возможности обратного восстановления функции F через ее производную, заключаем, что функция f(y) = (F(y)) и есть искомая функция плотности.

В точке y = 0 удобнее положить f(y) = 0.

5. (a) Докажите теорему о монотонных преобразованиях с.в.

(b) Переформулируйте теорему для случая убывающей функции h.

1/ 6. Найдите распределение с.в. = в условиях примера 5, с. 140.

Преобразования случайных величин 7. Говорят, что с.в. имеет симметричное распределение, если ее распределение совпадает с распределением с.в. - :

F(x) = F-(x), x R1.

(a) Докажите, что для абсолютно непрерывных с.в. симметричность эквивалентна четности функции плотности:

- f(-x) = f(x).

(b) Как можно вычислить значение ф.р. такой с.в. в отрицательной точке (c) Чему равно значение F (0), если ф.р. F непрерывна в нуле Будет ли справедлив этот результат, если ф.р. F терпит в нуле разрыв (d) Как можно определить понятие симметричности с.в. относительно произвольной точки a = 0 8. Функция распределения и плотность вероятностей случайной величины равны F(x) и f(x) соответственно. Докажите, что ф.р. и пл.в. случайной величины = k + b, где k > и b константы, равны F(y) = F y - b, f(y) = f y - b.

k k k 9. Как будут выглядеть ф.р. и пл.в. в предыдущей задаче, если k < 0 На следующей странице приведена таблица наиболее часто встречающихся моделей распределений.

Названия моделей :

U – равномерное (классическое), Bin – биномиальное, Geo – геометрическое, Pasc – Паскаля, P – Пуассона, Gg – гипергеометрическое, U – равномерное (на отрезке), E – экспоненциальное, L – Лапласа, G – гамма, B – бета, C – Коши, N – нормальное (Гаусса).

146 Т е м а VI. Распределения случайных величин Дискретные распределения Вероятность Носитель Обозначение Параметры pk X x1,..., xN U(X ) x1,..., xN N N N Bin(N, p) Ck pk (1 - p)N-k k = 0, N N 0 p Geo(p) 0 p 1 p (1 - p)k-1 k 0 p Pasc(p, S) CS-1 pS (1 - p)k-S k S k-S k eP() > 0 k k! M Ck Cn-k max(0, n+R-M) R M-R Gg(M, R, n) 0 R M Cn k min(n, R) M 1 n M Абсолютно непрерывные распределения Плотность Носитель Обозначение Параметры f(x) X U(A, B) A < B A x B B - A 1 x E() > 0 exp - x L() > 0 exp -|x| x R > xp-1 exp x G(p, ) x > p(p) p > p > (p + q) B(p, q) xp-1(1 - x)q-1 0 < x < (p)(q) q > -µ R1 x - µ C(µ, 2) 1 + x R > µ R N(µ, 2) exp -(x - µ)2 x R2 > Многомерные случайные величины 10. Для каждой из моделей проверьте свойства () и.

11. Найдите ф.р. распределения U[A; B] и нарисуйте ее график.

12. Найдите ф.р. экспоненциальной модели, моделей Лапласа и Коши.

13. Докажите, что если с.в. L(), то с.в. || E().

14. Найдите линейные преобразования (см. задачу 8), приводящие каждое абсолютно непрерывное распределение к стандартному виду ( U[0; 1], E(1), L(1), G(p, 1), C(0, 1), N(0, 1) ).

Многомерные случайные величины Измеримое отображение вероятностного пространства (, F, P) в k -мерное пространство (Rk, B(Rk )), называется k-мерной случайной величиной(или случайным вектором). Мы ограничимся рассмотрением двумерных случайных векторов (, ).

Функция распределения двумерного случайного вектора (, ) :

F (x, y) = P { < x, < y}.

Ф.р. F(x), F(y) компонент случайного вектора называются маргинальнымииличастнымифункциями распределения.

15. Докажите справедливость основных свойств ф.р. F (x, y) :

Fn1 ) F (x, y) непрерывна слева по каждой переменной;

Fn2 ) F (x, y) не убывает по каждой переменной;

Fn3 ) lim F (x, y) = 0 (y), lim F (x, y) = 0 (x), x- ylim F (x, y) = 1 ;

x,y+ Fn4 ) P {x1 < x2, y1 < y2} = = F (x2, y2) - F (x2, y1) - F (x1, y2) + F (x1, y1).

Fn5 ) F(x) = lim F (x, y), F(y) = lim F (x, y).

y+ x+ 148 Т е м а VI. Распределения случайных величин Теорема.

Любая вещественная функция F (x, y), удовлетворяющая условиям Fn1), Fn2), Fn3), для которой при любых x1 x2, y1 yправая часть Fn4) неотрицательна, является ф.р. некоторого случайного вектора.

С.в. и называютсянезависимыми, если для любых событий (борелевских подмножеств) A, B R1 совместная вероятность P { A, B} = P { A} P { B}.

Теорема.

Случайные величины и независимы тогда и только тогда, когда их совместная ф.р. F (x, y) представима в виде произведения частных ф.р.:

F (x, y) = F(x)F(y), x, y R1.

16. Часто утверждение этой теоремы кладется в основу определения независимости с.в. Проверьте, какое определение удобнее при доказательстве того, что любые (измеримые) функции h(), g() от независимых с.в., снова независимы Дискретный случайный вектор (, ) задается набором вероятностей pij = P { = xj, = yi} > 0, (xj, yi) X, pij = 1.

i,j Многомерные случайные величины Частное распределение одной из компонент, например, можно найти, произведя суммирование в каждом столбце (строке) таблицы вероятностей pij :

p = P { = xj} = pij, j = 1, 2,...

j i Теорема.

Компоненты дискретного сл.вектора (, ) независимы тогда и только тогда, если i, j pij = p p.

i j Пример 8. Если распределение случайного вектора задано таблицей, то эту таблицу можно дополнить еще одним столбцом и одной строкой, в которые поместить суммы всех вероятностей (слева и сверху):

1 3 -1 0.05 0.1 0.1 0.1 0.2 0.4 0.15 0. 0.25 0.5 0.25 Таким образом, частные распределения компонент задаются следующими таблицами вероятностей:

1 3 5 -1,.

p 0.25 0.5 0.25 p 0.25 0.Эти компоненты зависимы, поскольку, например, P { = 1, = -1} = 0.05 = 0.25 · 0.25.

Pages:     | 1 |   ...   | 10 | 11 || 13 | 14 |   ...   | 18 |






















© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.