WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 9 | 10 || 12 | 13 |   ...   | 18 |

Попавший в мишень первым получает приз. Если вероятность по1/падания p =, то что вероятнее: получат стрелки приз или нет Задачи 66. Пусть в ситуации, описанной в предыдущей задаче, веро1/ятность попадания в цель первого стрелка p1 =, а второго 1/p2 =. Каково отношение вероятностей стрелков на получение приза Изменится ли это отношение, если не ограничивать число выстрелов 67. Две игральные кости бросают до первого появления на них в сумме менее пяти очков. Какова вероятность получить при последнем бросании сумму не менее трех очков 68. Технический контроль проверяет изделия, каждое из которых независимо от других может оказаться дефектным с вероятностью p. После проверки оказалось, что из 10 проверенных изделий только два дефектные Найти вероятность того, что дефекты были обнаружены у первого и последнего изделия.

69. В условиях технического контроля из задачи 68 найти распределение числа обнаруженных хороших изделий между двумя последовательными дефектными. Другими словами, найти вероятности P { = k} при всех возможных k.

70. Двое играют в следующую игру. Первый записывает одно из двух чисел: ноль или единицу, а второй стремится отгадать, какое из двух чисел записал первый игрок. Второй игрок заметил, что первый пишет очередную цифру независимо от предшествующих, причем ноль у него появляется с вероятностью p = 0.6.

Какой должна быть стратегия второго игрока, т. е. с какой вероятностью он должен называть каждое из чисел, чтобы добиться наибольшей вероятности отгадывания 71. Найти распределение числа отгадываний между двумя последовательными неудачами в предыдущей задаче при условии, 1/что второй игрок называет ноль с вероятностью независимо от результатов предшествующих отгадываний.

124 Т е м а V. Схема Бернулли. Биномиальное распределение 72. Два шахматиста A и B согласились сыграть матч на следующих условиях: A должен набрать для победы 12 очков (выигрыш очко), B 6 очков, причем ничьи не считаются. Обычно A вдвое чаще выигрывает у B, если считать только результативные партии, так что вероятность его выигрыша можно считать равной 2/. Игру пришлось прекратить после того, как A набрал 8 очков, а B набрал 4 очка. Победу решено присудить тому, у кого вероятность окончательного выигрыша больше. Кто победитель 73. Матч между двумя игроками состоит из нескольких партий и продолжается до тех пор, пока один из игроков не выиграет S партий. Какова вероятность победы в матче первого игрока, если каждую из партий он выигрывает с вероятностью p1 и, кроме того, i) партия не может закончиться вничью;

ii) возможен ничейный исход партии 74. В двухрожковую люстру вставили 2 лампочки разного типа, которые могут перегореть (с вероятностями p1 и p2 ) только при включении. Люстра эксплуатируется, если исправны обе лампы. Чему равна вероятность того, что ремонт люстры придется производить после N -го включения 75. Ответить на вопрос предыдущей задачи, если замена лампочек производится, когда они обе не функционируют. Для упрощения предположить, что лампы однотипны p1 = p2 = p.

76. Две игральные кости бросают до выпадения 6 хотя бы на одной из них. Найти вероятность того, что впервые 6 появится при k -м бросании, k = 1, 2,...

77. Симметричная монета с вероятностью появления герба 1/бросается до тех пор, пока дважды подряд не выпадет гербом вверх. Описать пространство исходов. Найти вероятность того, что эксперимент закончится на k -ом шаге (k = 3, 4, 5). Чему Задачи будут равны эти вероятности, если вероятность герба при одном подбрасывании равна p Как найти вероятность остановки на произвольном k -ом шаге шаге 78. Найти точное и приближенное значение вероятности того, что число успехов в схеме n = 100 испытаний Бернулли с веро1/ятностью успеха p = лежит в пределах от 35 до 65; от 45 до 53.

При каких значениях n вероятность того, что 0.35 0.65, n будет больше 0.99 79. Доказать закон больших чисел Бернулли, утверждающий, что в схеме Бернулли (с вероятностью успеха p ) для > 0 вероятность того, что относительная частота успеха ( Bin(n, p)) n отличается от p не более, чем на, стремится к 1 при увеличении числа испытаний:

lim P - p < = 1.

n n Каково должно быть число n, чтобы с вероятностью 0.95 частота успеха отличалась от p не более, чем на 0.05 n 80. Доказать теорему Пуассона.

81. По каналу связи передается 100 знаков. Каждый знак может быть искажен независимо от остальных с вероятностью 0.05.

Найти приближенное значение вероятности того, что будет искажено не более трех знаков.

82. Найти вероятность того, что в группе из 500 человек ровно у двух человек день рождения придется на Новый год. Считать, 1/что вероятность рождения в фиксированный день равна.

83. Среди семян пшеницы 0.6% семян сорняков. Какова вероятность при случайном отборе 1000 семян обнаружить i) не менее 3 семян сорняков;

ii) не более 12 семян сорняков;

iii) ровно 6 семян сорняков 126 Т е м а V. Схема Бернулли. Биномиальное распределение 84. Сравнить точность аппроксимаций в предельных теоремах при различных сочетаниях вероятности успеха p и числа испытаний n:

№ p n № p n № p n № p n 1) 0.5 16 2) 0.5 24 3) 0.5 50 4) 0.5 5) 0.1 10 6) 0.1 30 7) 0.1 50 8) 0.1 9) 0.1 120 10) 0.1 250 11) 0.1 500 12) 0.05 13) 0.05 60 14) 0.05 100 15) 0.05 240 16) 0.05 17) 0.05 1000 18) 0.01 50 19) 0.01 100 20) 0.01 21) 0.01 500 22) 0.01 800 23) 0.01 1200 24) 0.01 Вычислить вероятность попадания числа успехов в интервал A = [np - 1; np + 1] по формулам биномиального распределения и приближенным формулам Пуассона и Муавра-Лапласа (как интегральной, так и локальной).

85. По гипотезе Менделя, в опытах по скрещиванию желтого (гибридного) гороха вероятность появления зеленого гороха рав1/на. Подтверждают ли гипотезу Менделя данные, в которых при 34992 опытах скрещивания зеленый горох был получен в случаях 86. При 1000 бросаниях монеты герб выпал в 540 случаях.

Подтвержают ли эти результаты предположение, что монета симметрична 87. Предположим, что в схеме Бернулли с n испытаниями вероятность успеха p неизвестна и ее нужно оценить по результатам экспериментов. В качестве оценки p (наряду с частотой успеха pn = ) может быть взят так называемый доверительn ный интервал [p, p ], для которого P p p p 1 - n n n n для некоторого наперед заданного малого (0, 1). Найти с помощью теоремы Муавра-Лапласа приближенный доверительный интервал для вероятности успеха p.

Задачи 88. Предположение о конкретном значении вероятности успеха p в схеме Бернулли (например p0 ) можно проверить, построив доверительный интервал [p, p ] для p уровня (1 - ) (см. заn n дачу 87). Если p0 [p, p ], то можно считать гипотезу о том, n n что p = p0, совместимой (согласующейся) с данными, а в случае p0 [p, p ], следует отказаться от гипотезы, имея в виду, n n что вероятность ошибки в последнем случае не будет превосходить. По данным, полученным Г. Крамером, в январе 1935 г. в Швеции из общего числа 7280 новорожденных родилось 3743 мальчика. Проверить гипотезу (при = 0, 02 ) о том, что вероятность рождения мальчика p0 = 0.515.

89. В урне находятся шары белого и черного цвета, причем известно, что доля белых шаров равна либо 0.5, либо 0.4. Из урны извлекается с возвращением 100 шаров. Решение в пользу того или иного предположения принимается в зависимости от того, больше 1/или нет доля белых шаров в выборке. Чему равны вероятности принятия ошибочных заключений 90. (Экспериментальная оценка.) Опыт Бюффона с бросанием иглы на плоскость, расчерченную параллельными прямыми (см. пример 5, с. 61), неоднократно использовался для вычисления числа. В опыте Вольфа из Цюриха длина иглы L равна 36 мм, расстояние между прямыми D = 45 мм, игла брошена n = раз и m = 2532 раза пересекла прямые. Считая, что вероятность пересечения равна p = 2L/D, найти доверительный интервал уровня 0.95 для (см. задачу 87).

91. Два баскетболиста соревнуются в попаданиях в кольцо с линии штрафного броска. Какова вероятность того, что при бросках они сделают одинаковое число промахов, меньшее 3, если для одного из них вероятность попадания при одном броске равна 0.99, а для другого 0.95 128 Т е м а V. Схема Бернулли. Биномиальное распределение 92. Прядильщица обслуживает 1000 веретен. Вероятность обрыва нити на одном веретене равна 0.04. Найти вероятность того, что обрыв произойдет на сорока двух веретенах.

93. Вероятность того, что любой абонент позвонит на коммутатор в течение часа, равна 0.01. Телефонная станция обслуживает 500 абонентов. Какова вероятность того, что в течение часа позвонят 5 абонентов 94. Книга в 500 страниц содержит 50 опечаток. Оценить вероятность того, что на случайно выбранной странице не менее двух опечаток.

95. Театр, вмещающий 1024 человека, имеет два разных входа. Около каждого входа имеется свой гардероб. Сколько мест должно быть в каждом из гардеробов для того, чтобы в среднем в 99 случаях из 100 все зрители могли раздеться в гардеробе того входа, через который они вошли Предположить, что входы зрители выбирают с равными вероятностями. Рассмотреть два случая:

i) зрители приходят поодиночке;

ii) зрители приходят парами.

96. В поселке 2500 жителей. Каждый из них примерно 6 раз в месяц ездит на поезде в город, выбирая дни поездок по случайным мотивам независимо от остальных. Какой наименьшей вместимостью должен обладать поезд, чтобы он переполнялся в среднем не чаще одного раза в 20 дней (поезд ходит один раз в сутки).

97. Вероятность выпуска сверла повышенной хрупкости (брак) равна 0.02. Сверла укладывают в коробки по 100 штук.

Какова вероятность того, что:

i) в коробке не окажется бракованных сверл;

ii) число бракованных сверл окажется не более двух Задачи Какое наименьшее количество сверл нужно класть в коробку, чтобы с вероятностью, не меньшей 0.9, в ней было не менее исправных 98. Счетчик Гейгера Мюллера и источник радиоактивных частиц расположены по отношению друг к другу так, что вероятность частице, вылетевшей из радиоактивного источника, быть 1/10 зарегистрированной счетчиком равна. Предположим, что за время наблюдения из источника вылетело 30 тысяч частиц. Какова вероятность того, что счетчик i) зарегистрировал более 10 частиц;

ii) не зарегистрировал ни одной частицы;

iii) зарегистрировал ровно 3 частицы 99. Какое наименьшее число частиц в условиях задачи должно вылететь из источника для того, чтобы с вероятностью, большей 0.99, счетчик зарегистрировал более трех частиц 100. Предположим, что при наборе книги существует постоянная вероятность p = 0.001 того, что любая буква будет набрана неправильно. После набора гранки прочитывает корректор, который обнаруживает каждую опечатку с вероятностью q = 0.95.

После корректора автор, обнаруживающий каждую из оставшихся опечаток с вероятностью r = 0.8. Найти вероятность того, что после этого в книге со 100 тысячами печатных знаков останется не более 10 незамеченных опечаток.

101. Какова вероятность того, что среди 3000 человек окажется трое левшей, если в среднем левши составляют 1% 130 Т е м а V. Схема Бернулли. Биномиальное распределение Ответы и указания 1. Применить формулу бинома Ньютона.

2. 0.261175.

3. Рассмотреть схему упорядоченного выбора 15 шаров из урны, в которой 75 красных и 25 белых.

4. Применить формулу суммы бесконечной геометрической 1/(1 - a) прогрессии ak =, -1 < a < 1.

k=5. Рассмотреть какой-либо один исход, который, во-первых, закончился успехом на k -ом испытании и, во-вторых, общее число успехов в нем равно S.

6. Рассмотреть два способа (биномиальная модель и модель Паскаля) отыскания вероятности одного и того же события.

7. Заметить, что ряд вероятностей очень похож на разложение в ряд Тейлора очень известной функции (какой).

t2/8. i) после аккуратной замены = z интегральное выражение () сводится к гамма–функции (см. с. 215); ii) произвести замену -t = z. iii) Воспользоваться пунктом ii.

9. (-x) = -(x); Erf(-x) = -Erf(x);

(0) = 0; Erf(0) = 0;

() = ; Erf() = 1;

1 x (x) = + (x); (x) = (1 + Erf(2)).

2 10. i) 0.984375; ii) 0.09375; iii) 0.234375. 11. 10.

12. 0.306; 0.974. 13. >99.997 ; >99.9997.

14. i) 0.665102; ii) 0.401878; iii) 0.200939; 15. 0.490207.

16. 0.2. 17. 22; PB(2 | 22) 0.280842. 18. 0.411449.

19. 0.1875. 20. 0.266828; 0.Ответы и указания 21. 0.00243865.

22. При интерпретации результатов эксперимента здравый смысл всегда соотносит полученные значения с неким понятием естественности, каковое разбивает пространство исходов на группы (уже не равновероятные):

1 PB(5|10, ) 0.246094; PB({4, 5, 6}|10, ) = 0.65625.

2 1 7 80 23. i) > ; ii) <.

4 32 256 24. Разность вероятностей i) > 0 ; ii) = 0.

25. Значения вероятностей: 0.6651, 0.6187, 0.5973.

26. При N = 3 :. 27. = 0.16308.

28. 6. Вероятности: 0.4096, 0.52822, 0.54432, 0.5.

29. 0.09888. 30. 0.0765635.

31. i) 0.34868; ii) 0.057396; iii) 0.98721.

32. 0.00709. 33. 0.896484375. 34. 9.

35. k = 2 : Биномиал. = 0.00952148; Гипергео. = 0.00395425;

k = 6 : Биномиал. = 0.209473; Гипергео. = 0.238491.

36. i) 0.238446; ii) 0.75243. 37. i) ; ii) 0.93457.

38. = 0.278692.

2476099 39. i) = 0.773781; ii) = 0.021434.

3200000 40. 2; 0.307270. 41. 2 или 3; 0.250139.

(p)n 42. 25. 43. e-p.

n! 44. Воспользоваться симметричностью коэффициентов Cm.

k 45. Один пример. Если подготовить чуть меньше половины вопросов ( p = 0.45), то оптимальное число вопросов равно 10, правда, вероятность сдачи зачета в этом случае равна всего 0.2616.

При 2n = 2 вероятность получения зачета равна 0.2025.

46. В первом случае по 6, во втором случае 6 + 7.

132 Т е м а V. Схема Бернулли. Биномиальное распределение 175 67 3/47. n 16. 48. При pk =, n = 4 :,,.

256 256 49. Показать, что 2k + 1 PB k 2k, убывает, а 2 k PB k 2k, возрастает по k.

1/3 1/N 2/N 50. При K = 3, N = 1, p = :. 51.. 52..

26 76 2/53. A. 54. При p = : i) ; ii) ; iii).

27 81 55. (1 - p2)N. Отождествить каждое множество с N -мерным вектором. 56. ((1 - p)k + k p(1 - p)k-1)N.

k k pm k 57. ( (1 - pi) + (1 - pi))N.

1 - pm i=i=1 m=1575( - 1)58. 0.00930655. 59. 0.1536.

567 25515 60.. 61. 0.048666. 62..

156250 524288 45(4 - )63.. 64.. 65. Получат.

2k 1/66. 1. 67.. 68. 0.022222222. 69. p(1 - p)k.

70. Всегда называть ноль. Найти максимум вероятности совпадения в двух независимых бернуллиевских экспериментах.

71. P {k} =.

2k+72. Если успех в одной партии это победа игрока В, то он выиграет матч, когда второй успех придет не позднее пятой пар131 тии: P {B} =, P {A} =. Отношение шансов В к шансам 243 А равно 1.170 - победу следует отдать игроку В. Кстати, отношение шансов до начала матча равнялось 1.094, то есть еще до начала матча игрок В был несколько в привилегированном положении.

2S-p73. i) CS-1 pS(1-p)k-S; ii) заменить p на p =, k-p1 + pk=S где p2 вероятность выигрыша второго игрока.

74. (1 - p1 - p2 + p1p2)N-1. 75. (1 - p)N-1(2 - (1 - p)N-1).

Ответы и указания 252k 76. 11 ·.

62k+1 1 77. P {3} =, P {4} =, P {5} =. В общем случае 8 8 рекуррентно.

!!! В ответах к следующим задачам в скобках указаны точные значения.

78. 0.99768 (0.99821); 0.59938 (0.622314); n 92.

В целях упрощения выкладок для ответа на последний вопрос можно отказаться от корректирующей добавки 0.5.

79. Оценить вероятность отклонения частоты от p с помощью теоремы Муавра-Лапласа.

80. Упростить формулу биномиальной вероятности и воспользоваться замечательным пределом, связанным с числом e.

81. 0.26502 (0.25784).

82. 0.216 (0.23883). Применить линейную интерполяцию.

83. i) 0.93803 (0.9386); ii) 0.99117 (0.9914); iii) 0.16062 (0.1611).

84. Абсолютные ошибки асимптотических формул:

Интегральная теорема Локальная теорема 0.0807 0.0704 0.0525 0.0385 0.0060 0.0038 0.0015 0.0.1327 0.0929 0.0784 0.0658 0.0267 0.0055 0.0047 0.0.0557 0.0403 0.0291 0.1389 0.0019 0.0007 0.0003 0.0.0920 0.0770 0.0544 0.0393 0.0048 0.0044 0.0019 0.0.0283 0.2268 0.1439 0.0914 0.0003 0.0296 0.0357 0.0.0759 0.0633 0.0535 0.0385 0.0042 0.0028 0.0018 0.Теорема Пуассона 0.1423 0.1244 0.0927 0.0.0101 0.0247 0.0228 0.0.0170 0.0124 0.0089 0.0.0120 0.0110 0.0082 0.0.0043 0.0008 0.0009 0.0.0021 0.0019 0.0016 0.134 Т е м а V. Схема Бернулли. Биномиальное распределение 1/85. Да. Так как отклонение от частоты зеленого гороха, полученное в эксперименте ( 0.000943), не слишком велико вероятность получить при 34992 опытах большее отклонение равна 0.3172 (0.32082).

86. Да. Вероятность получить большее отклонение равна 0.9876 (0.98961).

87. Пусть (t) = 1 -. Тогда интервал имеет границы t2 t2 tt pn + pn - p2 + · / 1 +.

n 2n 4n n n 88. Да. Интервал [0.50; 0.53]. Кстати, число 0.5 не входит! 89. Для истинной доли 0.5: 0.4207 (0.4602); Для истинной доли 0.4: 0.0329 (0.0271).

Pages:     | 1 |   ...   | 9 | 10 || 12 | 13 |   ...   | 18 |






















© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.