WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     | 1 |   ...   | 8 | 9 || 11 | 12 |   ...   | 18 |

Пример 11. В семье слесаря Осипа Хангриева на Рождество принято лепить большое количество пельменей, причем в каждый десятый пельмень для улучшения настроения едока подкладывается чесночный зубчик. Какова вероятность того, что после поедания 50 пельменей настроение Осипа поднимется на два пункта Решение. Строго говоря, эту вероятность следует искать в рамках гипергеометрической модели. Однако так как общее количество пельменей нам неизвестно и, кроме того, по условию задачи порция Осипа составляет малую долю всей совокупности пельменей, то мы могли бы воспользоваться биномиальным приближением для гипергеометрической модели. В свою очередь, при вычислении биномиальной вероятности здесь вполне уместно применить пуассоновское приближение, поскольку выборка n = 1/достаточно велика, а параметр = n p = 50 · = 5 меньше 10.

По таблице распределения Пуассона (с. 222) находим P(2 | 5) = 0.08422.

112 Т е м а V. Схема Бернулли. Биномиальное распределение Для сравнения:

PB(2 | 50, 0.1) = 0.07794, Gg(2 | 1000, 100, 50) = 0.07486.

Пример 12. Решим задачу о вакцине из примера 4, с. 100.

Решение. По условию задачи вероятность заболевания отдельного пациента равна p = 0.62, а объем испытаний n = 30. Поэтому µ = np = 18.6 и для вычисления верятности P { 15} уместнее всего применить нормальную аппроксимацию с параметрами 15.5 - 18. = 18.6 · 0.38 = 2.65857, b = -1.166, a = -.

2.Следовательно, P { 15} 1 - (1.166) 0.1218, что неожиданно очень близко к точному значению 0.12257.

В том же примере была найдена верхняя граница заболевших пациентов в экспериментальной группе, при которой мы готовы голосовать за применение новой вакцины. При решении этой задачи мы посчитали, что если происходит событие, вероятность которого менее 0.01, то, скорее всего, предположения, при которых эта вероятность вычисляется (то есть предположения об отсутствии эффекта вакцинации), неверны. Таким образом, необходимо решить относительно переменной x неравенство x + 0.5 - 18.P { x} 0.01.

2.Снова воспользуемся таблицей нормального распределения, только в обратном направлении. Из этой таблицы легко находим, что (2.326) = 0.99 и, следовательно, (-2.326) = 0.01. Поэтому предыдущее неравенство эквивалентно x 18.1 - 2.65857 · 2.326 11.92.

Итак, приближенная граница 11 полностью совпала с точной.

Предельные теоремы Пуассона и Муавра–Лапласа Еще одна задача, рассмотренная в том примере, состояла в нахождении объема испытаний, при котором 50% заболеваемость тоже свидетельствовала бы в пользу новой вакцины. Другими словами, необходимо найти число n, удовлетворяющее неравенству 0.50n + 0.5 - 0.62n n P 0.01.

0.62 · 0.38 · n oo ) убрали добавок 0.5, поскольку в Здесь мы (свою лелея лень этом случае неравенство решается очень просто:

2.n 0.62 · 0.38 · 88.5.

0.Если все же не полениться и решить неравенство с уточняющей добавкой 0.5, то результат n 100 полностью совпадет с точным значением.

Z 7 При современном развитии матобеспечения для вычислительной техники роль предельных теорем как способа приближенного вычисления тех или иных вероятностей сильно уменьшилась. Зато еще ярче высветилась их роль как способа построения новых вероятностных моделей.

114 Т е м а V. Схема Бернулли. Биномиальное распределение ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 10. Бросают 6 правильных монет. Найти вероятность выпадения i) хотя бы одного герба;

ii) ровно одного герба;

iii) ровно двух гербов.

11. При каком числе подбрасываний симметричной монеты вероятность утверждения, что выпадет хотя бы один герб, превосходит 0.999.

12. Производитель одноразового индивидуального средства защиты гарантирует его надежность на уровне 99.9%. Если этим средством приходится пользоваться ежедневно (каждый раз новым), то какова вероятность заражения хотя бы один раз в течение одного года А в течение 10 лет 13. Чему приблизительно должно равняться значение гарантированной надежности средства защиты в условиях предыдущей задачи, чтобы вероятность заражения не превышала 0.i) при использовании в течение одного года;

ii) в течение 10 лет.

14. Какова вероятность выпадения на 6 игральных костях i) хотя бы одной шестерки;

ii) ровно одной тройки;

iii) ровно двух единиц 15. Шесть игроков бросают по две игральные кости каждый.

Найти вероятность того, что сумма очков больше 6 будет не менее чем у трех игроков.

Задачи 16. Вероятность хотя бы одного появления события при четырех независимых опытах равна 0.5904. Какова вероятность появления события при одном опыте, если при каждом опыте эта вероятность одинакова 17. Сколько нужно взять случайных цифр от 0 до 9, чтобы цифра 7 появилась хотя бы один раз с вероятностью, не меньшей 0.9 Чему при этом равна вероятность наиболее вероятного числа появления цифры 7 18. В партии хлопка 20% коротких волокон. Какова вероятность обнаружить менее 20% коротких волокон при случайном отборе 20 волокон 19. Для прядения смешаны поровну белый и окрашенный хлопок. Какова вероятность среди пяти случайно отобранных волокон смеси обнаружить менее двух окрашенных 20. Среди коконов некоторой партии 30% цветных. Какова вероятность того, что среди 10 случайно отобранных из партии коконов 3 цветных Не более 3 цветных 21. На бутерброд с сыром длиной 15 см. независимо одна от другой сели 8 мух. Известный силач снял свой пояс (шириной см.) и, не долго думая (то есть не прицеливаясь), ударил им поперек бутерброда. Найти вероятность того, что получившаяся пицца будет содержать ровно 7 мух.

1/22. В схеме Бернулли с вероятностью успеха p = вероятности всех элементарных исходов одинаковы. Например, при испытаниях вероятность получения 10 успехов, как и вероятность получения 5 успехов в конкретной последовательности (напри 1/ мер УУННУНУННУ ), равны. С другой стороны, здравый смысл подсказывает нам, что второй исход более вероятен. В чем здесь,,правда‘‘ здравого смысла 23. Что вероятнее: выиграть у равносильного противника 116 Т е м а V. Схема Бернулли. Биномиальное распределение i) 3 партии из 4 или 5 из 8;

ii) не менее 3 партий из 4 или не менее 5 партий из 8 24. Что вероятнее: выиграть у равносильного противника i) не более N из 2N партий или более N из 2N партий;

ii) не более N из 2N + 1 партий или более N из 2N + партий 25. В 1693 г. Джоном Смитом был поставлен следующий вопрос: одинаковы ли шансы на успех у трех человек, если первому надо получить хотя бы одну шестерку при бросании игральной кости 6 раз, второму не менее двух шестерок при 12 бросаниях, а третьему не менее трех шестерок при 18 бросаниях. Задача была решена Ньютоном и Толлетом, показавшими, что первый человек имеет больше шансов на выигрыш, чем второй, а второй больше, чем третий. Доказать этот результат.

26. Двое бросают правильную монету по N раз каждый. Найти вероятность того, что у них выпадет одинаковое число гербов.

27. Предположим, что у пяти человек, выбранных наугад, спросили, поддерживают ли они некоторое мероприятие. Если мероприятие поддерживают всего лишь 30% населения, то какова вероятность того, что большинство из 5 выбранных человек ответят положительно 28. Студент считает, что если он возьмется изучать 4 предмета, то вероятность сдачи экзамена по каждому из них равна 0.8. Если он возьмется изучать 5 предметов, то вероятность сдать каждый отдельный предмет равна 0.7; в случае 6 и 7 предметов эта вероятность равна 0.6 и 0.5 соответственно. Необходимо сдать экзамен по меньшей мере по четырем предметам. Сколько предметов он должен выбрать, чтобы иметь наилучшие шансы достижения этой цели Задачи 29. В классе имеется 6 лампочек, каждая из которых при 1/включении может перегореть с вероятностью. Считается, что класс не пригоден для занятий, если горят меньше четырех лампочек. Какова вероятность того, что после включения света класс будет непригоден для занятий 30. Для получения зачета необходимо ответить более чем на половину из 10 тестовых вопросов. Какова вероятность получения зачета абсолютно неподготовленным студентом, пытающимся просто угадать один из трех вариантов ответа по каждому вопросу 31. При передаче сообщения вероятность искажения одного 1/знака равна. Какова вероятность того, что сообщение из знаков i) не будет искажено;

ii) содержит ровно три искажения;

iii) содержит не более трех искажений 32. Испытание заключается в бросании двух игральных костей. Найти вероятность того, что в пяти независимых испытаниях ровно два раза выпадет по две единицы.

33. По каналу связи передаются сообщения из нулей и единиц.

Из-за помех вероятность правильной передачи знака равна 0.75.

Для повышения вероятности правильной передачи каждый знак сообщения повторяют N раз. При приеме полагают, что последовательности из N принятых знаков в сообщении соответствует знак, составляющий в ней большинство. Найти вероятность правильного приема одного знака для N = 5.

34. В условиях задачи 33 подобрать N так, чтобы вероятность правильной передачи знака была не меньше 0.99.

35. Найти вероятность того, что среди 13 наугад выбранных карт из полной колоды (в 52 карты) содержится k карт красной 118 Т е м а V. Схема Бернулли. Биномиальное распределение масти. Сравнить эту вероятность (для k = 2 и k = 6) с соответ1/ствующей вероятностью для испытаний Бернулли с p = 36. Рабочий обслуживает 12 однотипных станков. Вероятность того, что станок потребует к себе внимания рабочего в тече1/ние смены, равна. Чему равна вероятность того, что за смену i) ровно четыре станка потребуют к себе внимания рабочего;

ii) число требований будет от 3 до 6 37. В некотором семействе имеется 10 детей различного воз1/раста. Считая вероятность рождения девочки равной, найти вероятность того, что в семействе i) равное число мальчиков и девочек;

ii) число мальчиков от 3 до 8.

38. В некоторой местности в сентябре в среднем бывает дождливых дней. Какова вероятность того, что из случайно взятых в этом месяце восьми дней три дня окажутся дождливыми 39. Изделия некоторого производства содержат 5% брака.

Найти вероятность того, что среди пяти взятых наугад изделий i) нет ни одного испорченного;

ii) ровно два испорченных.

40. Вероятность получения удачного результата при произ2/водстве химического опыта равна. Найти наивероятнейшее число удачных опытов, если их общее количество равно 7.

41. Батарея дала 14 выстрелов по объекту, вероятность попадания в который при одном выстреле равна 0.2. Найти наивероятнейшее число попаданий и вероятность этого числа попаданий.

42. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле из орудия равна 0.8. Сколько нужно сделать выстрелов, чтобы наивероятнейшее число попаданий было равным 20 Задачи 43. Допустим, что некоторое насекомое с вероятностью k e- кладет k яиц, k = 0, 1,..., а вероятность развития наk! секомого из яйца равна p. Предполагая взаимную независимость развития яиц, найти вероятность того, что у насекомого будет ровно n потомков.

K 44. Обозначим через M вероятность того, что при M бросаниях монеты герб выпадет меньше, чем K раз. Доказать, что:

N 1/i) 2N < ;

N 1/ii) 2N при N.

45. Если при сдаче зачета предложить студентам самим выбирать количество вопросов, то большинство предпочтет минимизировать это количество. Оптимально ли такое поведение Точнее, пусть p·100% доля вопросов, на которые студент знает правильный ответ. Для получения зачета необходимо правильно ответить более чем на n из 2n заданных вопросов. Выяснить, при каких p вероятность получения зачета убывает с ростом 2n, при каких растет, а при каких максимум вероятности достигается при некотором,,промежуточном‘‘ количестве вопросов Подсказка. Без компьютера будет трудно! 46. На предприятии работает 8 служащих. Эти служащие завтракают в одной из двух закусочных, причем выбор ими той или 1/другой закусочной одинаково вероятен (по ). Если владельцы обеих закусочных хотят быть уверенными более чем на 95% в том, что у них найдется достаточное число мест, то сколько мест должно быть в каждой закусочной Каков будет ответ на поставленный вопрос, если у закусочных один владелец и его цель с той же надежностью не допустить очереди ни в одной из закусочных 47. Несколько игроков бросают поочередно три игральные кости. Бросающий первым платит каждому, кто выкинет строго 120 Т е м а V. Схема Бернулли. Биномиальное распределение больше его. Начинающий выкинул 5 очков. При каком числе игроков вероятность того, что он будет платить всем, меньше 0.5 48. При помощи некоторого прибора можно получить результат измерения в допустимых границах погрешности с вероятностью pk, зависящей от степени натренированности наблюдателя Ak, проводящего измерения. Различно натренированные наблюдатели A1, A2,..., An производят по одному измерению. Какова вероятность того, что среди результатов измерений будет по крайней мере M (= 1, 2, 3) наблюдателей, имеющих погрешность, выходящую за допустимые границы 49. Доказать, что вероятность получения ровно половины 1/успешных исходов в схеме Бернулли с p = удовлетворяет неравенствам ( k > 1 ) 1 PB k 2k,.

2k + 2 k 50. Найти вероятность того, что в 2K испытаниях Бернулли с вероятностью успеха p появится N +K успехов и все испытания с четными номерами закончатся успехом.

51. В последовательности N независимых испытаний с вероятностью успеха p в каждом испытании произошел ровно один успех. Какова вероятность того, что успех произошел при втором испытании 52. В схеме испытаний задачи 51 произошло ровно два успеха.

Найти вероятность того, что успехи произошли в соседних испытаниях.

53. Спортивные общества А и В состязаются тремя командами. Вероятности выигрыша матчей команд общества А у соответствующих команд общества В можно принять равными 0.7 для 1-й (против 1-й В), 0.6 для 2-й (против 2-й В) и 0.3 для 3-й (против Задачи 3-й В). Для победы необходимо выиграть не менее двух матчей из трех (ничьих не бывает). Чья победа вероятнее 54. Вероятность поражения мишени при каждом отдельном выстреле равна p. Найти вероятность того, что число последовательных (подряд) промахов будет оставаться меньшим трех в течение i) трех выстрелов;

ii) четырех выстрелов;

iii) пяти выстрелов.

55. Из множества D = {1,..., N} независимо выбираются два подмножества A1 и A2 так, что каждый элемент из D независимо от других элементов с вероятностью p включается в подмножество Ak и с вероятностью 1 - p не включается. Найти вероятность того, что A1A2 =.

56. По той же схеме выбора подмножеств из D = {1,..., N}, что и в задаче 55, независимо выбираются подмножества A1,..., Ak, k 2. Найти вероятность того, что выбранные подмножества попарно несовместны.

57. Из множества D = {1, 2,..., N} независимо выбираются k подмножеств A1, A2,..., Ak. Механизм выбора состоит в следующем: любой элемент множества D независимо от других элементов с вероятностью pj включается в множество Aj и с вероятностью 1 - pj не включается ( j = 1, 2,..., k ). Найти вероятность того, что множества A1, A2,..., Ak попарно не пересекаются.

58. В круг вписан квадрат. Какова вероятность того, что из 10 точек, брошенных независимо одна от другой внутрь круга, попадут в квадрат, 3 в один какой-либо сегмент и по одной в оставшиеся три сегмента 122 Т е м а V. Схема Бернулли. Биномиальное распределение 59. На отрезок [0; 10] наудачу брошено 5 точек. Найти вероятность того, что две точки попадут в интервал [0; 4], одна в [4; 6] и две в [6; 10].

60. Интервал [0; 10] точками 1, 2, 3, 4, 7 разделен на 6 отрезков. Пусть 1,..., 8 независимые случайные точки на интервале [0; 10]. Какова вероятность того, что из этих точек в два каких-либо отрезка длины 1 попадет по две точки, а в каждый из оставшихся отрезков по одной точке 61. Проводится 8 независимых испытаний, в каждом из которых подсчитывается число гербов при одновременном подбрасывании трех монет. Найти вероятность того, что все возможные исходы одного испытания произойдут по два раза.

62. Какова вероятность того, что все 6 туристов, отправившихся в поход на два месяца, отпразднуют за это время свои дни рождения, причем трое в первый месяц, а трое во второй (Допустить независимость и равновероятность всех месяцев.) 63. В единичный квадрат со вписанным в него кругом наудачу независимо бросается 6 частиц. Найти вероятность того, что ни одна из пяти частей квадрата не будет свободной от частиц.

64. Двое играют в игру, поочередно бросая монету. Выигравшим считается тот, кто первым откроет герб. Описать пространство элементарных исходов. Найти вероятность того, что игра закончится при k -м бросании. Во сколько раз вероятность выигрыша больше для начавшего 65. Два одинаково метких стрелка поочередно стреляют по мишени. Каждый имеет право сделать не более двух выстрелов.

Pages:     | 1 |   ...   | 8 | 9 || 11 | 12 |   ...   | 18 |






















© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.