WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!


Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 18 |
С.В. Симушкин, Л.Н. Пушкин ЗАДАЧИ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Учебное пособие Казанский университет 2011 УДК 519.21(075.8) ББК 22.171 Я7 Печатается по рекомендации Редакционно-издательского Совета факультета ВМК Казанского (Приволжского) федерального университета Научный редактор доктор физ.-мат. наук, профессор И.Н. Володин Рецензенты:

доктор физ.-мат. наук, профессор Д.Х. Муштари;

кандидат физ.-мат. наук, доцент М.Х. Бренерман С и м у ш к и н С. В.

C37 Задачи по теории вероятностей: учеб. пособие./ С.В. Симушкин, Л.Н. Пушкин. Казань: Казан.ун-т, 2011. 223 с.

Пособие содержит почти 500 задач по основным разделам теории вероятностей. Методы решения задач проиллюстрированы большим количеством примеров, способствующих самостоятельному освоению материала.

Предназначено для физико-математических специальностей университетов.

© Казанский университет, 2011 © Пушкин Л.Н., 2011 © Симушкин С.В., 2011 Список тем Предисловие 5 Обозначения и сокращения 6 I Основания теории вероятностей 7 Задачи............................. 19 Ответы и указания.................... 26 II Классическая схема 29 Задачи............................. 45 Ответы и указания.................... 53 III Равномерное распределение в области 57 Задачи............................. 62 Ответы и указания.................... 66 IV Условная вероятность. Независимость событий 67 Формула полной вероятности. Формула Байеса 72 Задачи............................. 76 Ответы и указания.................... 91 V Схема Бернулли. Биномиальное распределение 97 Предельные теоремы Пуассона и Муавра–Лапласа 107 Задачи............................. 114 Ответы и указания.................... 130 VI Распределения случайных величин Многомерные случайные величины Задачи............................. Ответы и указания.................... VII Числовые характеристики случайных величин Задачи............................. Ответы и указания.................... VIII Метод характеристических функций Задачи............................. Ответы и указания.................... Вспомогательный материал Алфавиты Литературные источники Таблицы Предисловие Предисловие В настоящем сборнике собраны задачи по основным разделам теории вероятностей. Сборник разбит на восемь тем в соответствии с изучаемой вероятностной моделью (основания теории, классическая схема, геометрические вероятности, схема Бернулли) или применяемым математическим аппаратом (условные вероятности, независимость событий, случайные величины и их распределения, математическое ожидание, характеристические функции). Каждая тема содержит подробный теоретический материал, а также большое количество примеров решения задач. Часть задач для самостоятельного решения помещена в теоретический блок каждой темы, чтобы подчеркнуть их важность для понимания изучаемого материала. Естественно, их нужно рассматривать почти как обязательные для решения задачи. Номера действительно обязательных задач подчеркнуты. Решение сложных задач (со звездочкой и галочкой) будут способствовать не только более глубокому пониманию существа методов теории вероятностей, но и повышению рейтинговой оценки студента.

Символы греческого алфавита, а также готический шрифт написания латинских символов приведены в конце задачника.

Для более детального ознакомления с теоретическим материалом рекомендуем обратиться к следующим учебным пособиям;

ссылки на эти пособия приведены в начале каждой темы.

[1 ] В о л о д и н И. Н. Лекции по теории вероятностей и математической статистике / И.Н. Володин. Казань: КГУ, 2006. 272 с.

[2 ] Ш и р я е в А. Н. Вероятность / А.Н. Ширяев. М.: Наука, 1980. 576 с.

Обозначения и сокращения N(A) число элементарных исходов A множество элементов x (,...), {x : Q(x)} = {Q} = : Q() удовлетворяющих свойству Q P {A} вероятность события A условная вероятность события A P {A | G} при условии, что произошло событие G,,,... случайные величины (коротко с.в.) X (X) носитель случайной величины ( ) E h() математическое ожидание (коротко м.о.) h() E k момент k -ого порядка µ = E среднее значение 2 = D дисперсия Corr(, ) = (, ) коэффициент корреляции между с.в., F(x) (f(x)) функция распределения (плотность) с.в.

(t) характеристическая функция с.в.

Cn, An комбинаторные коэффициенты K K число перестановок 2n!! = 2n(2n - 2) · · · попарно связанных элементов IA или I(A) индикаторная функция события A D распределение с.в. описывается законом D n D распределение n слабо сходится к D заменяет классическое обозначение at bt, t tэквивалентности в анализе: limt at/bt = 1.

окончание решения def равно по определению := = с.в. случайная величина м.о. математическое ожидание (среднее значение) тогда и только тогда, когда ттогда ф.р. (пл.в.) функция распределения (плотность вероятностей) х.ф. характеристическая функция Z замечание Основания теории Т е м а I.

вероятностей [1, с. 21–28; 2, с. 144–161] Описание любого случайного явления начинается с построения соответствующего этому явлению вероятностного пространства.

Вероятностным пространствомназывается тройка (, F, P) :

– пространство элементарных исходов;

некоторая алгебра (-алгебра) подмножеств F, F – называемых событиями;

P – вероятность, задаваемая на алгебре F.

Пространство элементарных исходов непустое множество, элементы которого, называемые элементарными исходами, интерпретируются как неразложимые, исключающие друг друга исходы случайного эксперимента.

Если эксперимент закончился элементарным исходом, который принадлежит некоторому подмножеству A, то говорят, что произошло событие A. В дальнейшем мы будем называть событиями только подмножества алгебры F. В этой терминологии происходит, когда происходит хотя бы одно объединение Ak – (по крайней мере одно, какое-либо) из событий k {Ak}k; синоним слова ИЛИ происходит, когда происходит каждое из собыпересечение Ak – k тий {Ak}k; синоним слова И дополнение происходит, когда не происходит событие A;

Ac – (отрицание) синоним слова НЕ 8 Т е м а I. Основания теории вероятностей происходит только тогда, когда происходит соразность A B – бытие A и не происходит событие B происходит только тогда, когда происходит сосимметрическая A B – бытие A или происходит событие B, но не проразность исходят одновременно A и B означает, что событие A влечет событие B;

включение A B – если произошло A, то произошло и B Непересекающиеся события называются несовместными, поскольку не могут произойти вместе в одном эксперименте. Для таких событий принято заменять знак объединения в формулах на знак суммирования. Записи F1 + F2, Fk k следует понимать как объединения попарно несовместных событий семейства {Fk} : Fk Fj =, k = j.

Знак пересечения часто опускается: A B = AB.

Пример 1. Докажем, что объединение любых двух событий может быть представлено в виде суммы несовместных событий A1 A2 = A1 + (A2 A1) = (A1 A2) + (A2 A1) + A1 A2.

Решение. Несовместность заявленных событий очевидна.

Справедливость равенств (для приA2 Aмера только последнего) установим методом,,туда и обратно‘‘. То есть, взяв A1·Aисход, принадлежащий левой части A1 Aравенства, покажем, что он будет принадлежать и правой части и наоборот.

Соотношение A1 A2 эквивалентно выполнению одного из трех утверждений: A1 и одновременно A2, или A2 и A1, или A1 и A2, то есть когда (A1 A2)+ (A2 A1) + A1 A2.

Теория и примеры Доказательство становится нагляднее, если записать его в виде логических переходов, заменив при этом союз ИЛИ (аналог объединения) квадратной скобкой [, а союз И (пересечение) – фигурной скобкой { :

A1 и A2, A1 A2, A1 A2 A1 и A2, A2 A1, A1 и A2, A1 A2, (A1 A2) + (A2 A1) + A1 A2.

Полезно представить исследуемое соотношение в виде рисунка с областями на плоскости. Рисунок помогает догадаться о путях доказательства соотношения, но не может рассматриваться как окончательное доказательство. В то же время, при построении контрпримера рисунок бывает незаменимым решением задачи.

Пример 2. Верно ли, что (A B) + B = A Решение. Из представленного здесь A рисунка (множество A овал, множество B прямоугольник) видно, что B B + (A B) скорее совпадает с объединением A B (докажите строго этот факт), но никак не с A.

Пример 3. Докажем, что (-; x0 + ) = (-; x0].

n n=Решение. С одной стороны (справа налево), (-; x0] -; x0 +, n n=1/n так как (-; x0] (-; x0 + ) для n 1.

С другой стороны (слева направо), если точка x (-; x0 + ), n n=10 Т е м а I. Основания теории вероятностей то она не может быть строго больше x0, так как в противном случае нашелся бы такой номер n, для которого имело бы место 1/n неравенство x0+ < x, противоречащее выбору x. Таким образом, x (-; x0], что доказывает противоположное включение, а вместе с ним и все требуемое равенство.

Пример 4. Докажем дистрибутивность операций объединения и пересечения:

A (BC) = (A B)(A C).

Решение. Доказательство проведем методом туда и обратно :

A, A, A B, A (BC) B, BC, A C, C, (A B)(A C).

Другой способ доказательства соотношений между событиями состоит в использовании уже известных (ранее кем-то доказанных) утверждений. Сформулируем ряд таких утверждений в виде задач.

1. Докажите законы дистрибутивности:

i) A(B C) = AB AC; ii) A (BC) = (A B)(A C).

2. Докажите правила де Морг для операции дополнения:

ана c i) (A B)c = Ac Bc, Ak = Ac ;

k k k c ii) (A B)c = Ac Bc, Ak = Ac.

k k k 3. Докажите следующие соотношения:

i) A B = ABc = A (AB) ;

ii) A B = ABc + BAc ;

iii) (A B) + B = A B A.

Теория и примеры Пример 5. Докажем ассоциативность симметрической разности:

(A B) E = A (B E).

Решение. Воспользуемся соотношениями предыдущих задач:

(1) (A B) E = (ABc + BAc)Ec + E(ABc + BAc)c (2) = (ABc + BAc)Ec + E((B Ac)(A Bc)) (3) = ABcEc + BAcEc + E((BA) (AAc) (BBc) (AcBc)) (4) = ABcEc + AcBEc + AcBcE + BAE.

Здесь равенство (1) вытекает из задачи 2, равенство (2) из правила де Морг равенство (3) из законов дистрибутивности, а ана, равенство (4) из того, что пересечение любого множества и его отрицания пусто. Знак объединения заменен на знак суммы по причине несовместности оставшихся событий.

Произведя аналогичные преобразования правой части доказываемого равенства, мы придем к тому же самому представлению.

4. Докажите и графически обоснуйте следующие свойства:

i) A B = (A B) + (A B) ;

n n k-ii) Ak = Bk, где B1 = A1, Bk = Ak Aj ;

k=1 k=1 j=iii) A B = Ac Bc ;

iv) (A B) (B C) = (A C) ;

v) A (B E) (A B) (A E) ;

vi) A B = E A = B E.

При построении сложных выражений полезно отождествлять объединение с союзом ИЛИ, а пересечение с союзом И.

Пример 6. Используя операции с множествами, запишем событие, происходящее, если происходит только одно из событий {Ak}.

12 Т е м а I. Основания теории вероятностей Решение. Искомое событие произойдет, если произойдет какоелибо ( k ) событие Ak и ( ) не произойдут все остальные события, то есть произойдут все ( j=k ) дополнения событий Aj, j = k :

Ak Ac = Ak Ac, j j k j=k k j=k где последнее равенство следует из того, что все события, стоящие под знаком объединения, несовместны (докажите!).

Пример 7. Статистический контроль качества электроламп осуществляется в два этапа. Сначала из партии ламп отбираются три лампы, и вся партия отправляется для дальнейшего использования (партия принимается), если все эти лампы хорошие. Если среди контрольных ламп имеется ровно одна плохая, то производится отбор еще двух ламп и партия принимается, только если обе эти лампы хорошие. Во всех остальных случаях партия бракуется.

Требуется записать в виде подмножеств некоторого пространства исходов событие, состоящее в том, что партия будет принята.

Решение. Поскольку от производимого нами вероятностного анализа лампы не испортятся, будем считать, что на контрольный стенд поступают сразу 5 ламп. Партия принимается, если первые три из них хорошие (две последние могут быть любыми) либо среди первых трех имеется ровно одна плохая и при этом среди двух последних вообще нет плохих. Обозначим через Ki событие, состоящее в том, что i -ая контрольная лампа кондиционна. Тогда партия будет принята, если произойдет событие c c c K1K2K3 + K1K2K3K4K5 + K1K2K3K4K5 + K1K2K3K4K5.

Булева алгебра событий Алгебра ( –алгебрa) F представляет собой набор тех подмножеств, вероятность которых может быть вычислена (измереТеория и примеры на). Поэтому эти подмножества часто называются измеримыми. В дальнейшем измеримые подмножества мы будем называть просто событиями. Все пространство называется достоверным событием, а пустое подмножество невозможным.

Набор F подмножеств образует –алгебру событий, если (S1) F, F ;

(S2) A F Ac F ;

(S3) (a) {Ak} F Ak F ;

k=k= (b) {Ak} F Ak F.

k=k=Если условие (S3) выполняется только для конечных систем множеств {Ak}M, M <, то F образуеталгебру событий.

k=Если пространство конечно или счетно, то F выбирается как -алгебра всех подмножеств :

F = P() := {A : A }.

Это самая богатая (тонкая) -алгебра. Самая бедная (грубая) алгебра содержит всего два подмножества: F = {, }.

5. Проверьте выполнение условий (S1) - (S3) для обоих семейств F = P() и F = {, }.

6. Докажите, что если пространство состоит из N элементов, то алгебра P() содержит 2N подмножеств.

Пример 8. Докажем, что пересечение любого числа произвольных –алгебр снова является –алгеброй.

Решение. Пусть F семейство –алгебр и F = F – их пересечение, то есть совокупность всех тех подмножеств, которые входят в состав сразу всех –алгебр этого семейства.

14 Т е м а I. Основания теории вероятностей Проверяем (S1). Поскольку пустое множество и все входят в каждую –алгебру F, то они будут входить и в их пересечение.

Проверяем (S2). Если множество A F, то оно будет при надлежать каждой –алгебре. Поэтому его дополнение Ac также будет входить в каждую из –алгебр.

Проверяем (S3). Пусть счетный набор подмножеств {Ai} F, тогда эта совокупность вместе со своим объединением будет входить в состав каждой из –алгебр F, а значит, и в состав F.

7. Интересно, а объединение –алгебр обязано быть – алгеброй С каждым набором Q = {A} подмножеств можно связать семейство всех –алгебр, содержащих Q. Тогда пересечение этого семейства образует минимальную –алгебру, содержащую Q. Эта –алгебра обозначается (Q) и называется –алгеброй, порожденной Q.

Пример 9. Если Q = {A} содержит всего одно подмножество A, то в силу свойства (S2) в алгебру (Q) должно входить дополнение Ac множества A до всего пространства.

Так как набор подмножеств {,, A, Ac} образует алгебру (!), то {A} = {,, A, Ac}.

На числовой прямой R1 (или в n -мерном пространстве Rn) в качестве –алгебры чаще всего выбирают борелевскую –алгебру F = B(R1) := {(-; x), x R1}, то есть –алгебру, порожденную открытыми интервалами вида (-; x). Если пространство есть подмножество R1, то борелевская –алгебра в задается как пересечение всех подмножеств из B(R1) с :

B() = {B : B B(R1)}. ( ) Теория и примеры 8. Докажите измеримость следующих множеств:

i) одноточечные множества;

ii) любые конечные интервалы;

iii) любые бесконечные интервалы.

Решение (iii). Измеримость интервалов вида (-; x] следует из равенства примера 3, с. 9, поскольку открытые интервалы (-; x0 + ) принадлежат порождающему семейству и n (-; x] = -; x + (Q).

n n=9. Докажите, что семейство ( ) образует –алгебру.

Чаще всего требуется найти вероятности событий, выраженных в виде некоторых функций от наблюденного значения {() G}.

В первую очередь необходимо выяснить, принадлежит ли такое событие –алгебре F. Пусть задано отображе- ние : 1 2. Определим прообраз -1(G) подмножества G 2 :

G -1(G) := { 1 : () G}.

Пример 10. Докажем, что прообраз дополнения B -1(Bc) = (-1(B))c.

Решение. По определению прообраза множества, -1(Bc) () Bc () B / -1(B) (-1(B))c.

/ 10. Докажите, что:

i) -1() =, -1(2) = 1;

ii) -1( B) = -1(B), -1( B) = -1(B) для любых семейств подмножеств {B} 2.

16 Т е м а I. Основания теории вероятностей 11. Докажите, что прообраз –алгебры F2 :

-1(F2) := {-1(F ) : F F2}, то есть совокупность подмножеств 1, которые являются прообразами измеримых (относительно –алгебры F2 ) подмножеств 2, также образует –алгебру в 1.

–алгебра -1(F2) называется –алгеброй, порожденной отображением, и обозначается ().

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 18 |






















© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.